Exercicis del Tema 2. Primera part Anàlisi de sistemes lineals amb la transformada de Laplace
Càlcul de transformades i transformades inverses (repàs)
Calculeu, utilitzant la taula de les transformades bàsiques i la propietat de linealitat de la transformada de Laplace, la transformada dels següents senyals. Expresseu F s com una funció racional i calculeu els seus pols i zeros 2.1.
f t A 1 e t u t
2.2.
f t A 1 2 t e t u t
2.3.
f t A e t e t u t
2.4.
f t A sin t u t
2.5.
f t A cos t u t
2.6.
f t A e t sin t u t
2.7.
f t A e t cos t sin t u t
Trobeu el senyal corresponent a les següents transformades 2.8.
F s
2.9.
F s
1
s a s b s
s a s b 2
2.10. F s
1 s s a
2.11. F s
4 s 5s 4
2.12. F s
4 s 4s 4
2.13. F s
4 s 2s 4
2
2
2
Tema 2-1. Anàlisi de circuits en el domini transformat de Laplace
Calculeu i representeu gràficament v0 t als següents circuits.
2.14.
iL t +
10 mH
10u t
2.15.
+ 100
iL 0 0 A
v0 t
_
vC t
+ +
1 F
10u t
+ 1 k
vC 0 2 V
v0 t
_
2.16. 10 k
+
10sin 0 t u t
+
+
vC 0 0 V
_
_
f 0 100 Hz
vC t 10 k
100 nF
v0 t
2.17. + 10 pF
vC t 1 mH
iL t
_
1 k
+
vC 0 10 V
_
iL 0 0 A
v0 t
2.18.
0.1u t
+
vC t 1 mH
10 pF
iL t 47 k
_
2.19. + +
vin t 10 u t
+
vC 0 0 V
_
iL 0 100 mA
v0 t
vC t
1 F iL t 1 mH
100
+
vC 0 0 V
_
iL 0 0 A
vout t
2.20. R
+
2 u t
iL t
L
+ R
v0 t
_
iL 0 0 A
a) Trobeu Vout s en funció de R i L al circuit de la figura. b) Quins són els pols de Vout s si R 1 k i L 1 mH ?
2.21. Considereu un circuit on es compleix la següent relació entre la tensió de sortida i l’excitació: 4 106 Vout s 2 Vin s s 4 106
Calculeu vout t si vin t 10 e 210 t u t 3
2.22.
vC t
+
2 u t
R
C
+ R
v0 t
_
vC 0 0 V
a) Trobeu Vout s en funció de R i L al circuit de la figura. b) Quins són els pols de Vout s si R 1 k i C 1 F ?
2.23. Considereu un circuit on es compleix la següent relació entre la tensió de sortida i l’excitació: 10 Vout s Vin s s 2 103
Calculeu vout t si vin t 10 sin 2 103 t u t
Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals
2.24. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència
H s
Y s
X s
10 s3
Dibuixeu els diagrama de pols i zeros dels sistema. Calculeu la resposta y t a estat nul del sistema si la excitació aplicada és respectivament: a) x t 2 u t b) x t 2 e 10 t u t c) x t 2 cos 10t u t Identifiqueu en cada cas els termes corresponents a la resposta natural i la resposta forçada.
2.25. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència
H s
Y s
X s
10 s 4s 5 2
Dibuixeu els diagrama de pols i zeros dels sistema Calculeu la resposta y t a estat nul del sistema si la excitació aplicada és respectivament: a) x t 10 u t b) x t 10sin 10t 4 u t Identifiqueu en cada cas els termes corresponents a la resposta natural i la resposta forçada.
2.26. Responeu a les següents qüestions:
a) Quina és la relació entre la resposta impulsional i la funció de transferència d’un sistema lineal? b) Quina és la relació entre resposta impulsional i resposta indicial d’un sistema lineal? I entre les seves respectives transformades de Laplace?
2.27. Quina serà la duració aproximada de la resposta impulsional d’un sistema descrit per la següent funció de transferència:
H s
s 1 s 10 s 26 10 s 2 s 100 s 1000 2
4
6
2.28. Raoneu el tipus d’estabilitat dels sistemes lineals caracteritzats per les següents funcions de transferència
a) H s
10 s5
b) H s
10 s 5 s 2 4
10 s 4s 5 0.5s d) H s 2 s 4 s 3 s 5 c) H s
e) H s
2
10 s 4s 2 s 2 2
2.29. Considereu un sistema lineal en el que quan l'entrada és x(t ) 2e 3t u t , s’obté
una sortida y (t ) 2 cos 2t 2 u t a) Calculeu la funció de transferència del sistema. b) Identificar raonadament les respostes transitòria, permanent, forçada i natural de la sortida.
2.30. Considereu un sistema lineal en el que l’excitació i la resposta a estat nul són respectivament: x t 2 e 2t u t y t 10 cos 2t u t
a) b) c) d)
Dibuixeu el seu diagrama de pols i zeros. Quant valen les respostes natural i forçada? Quin tipus d’estabilitat té el sistema? Quant dura la seva resposta natural?
2.31. Calculeu l’entrada x t que, quan és aplicada a un sistema lineal amb funció de
transferència H s , provoca una sortida y t e t cos t sin t u t H s
s
s 1 s 2
Identifiqueu els termes de y t que corresponen a les respostes natural i forçada.
2.32. Donat un sistema lineal descrit per un diagrama de zeros i pols com el de la figura, excitat per un senyal x(t ) 2u t , doneu una possible expressió del senyal
de sortida. 4
-2 4
2.33. Dibuixeu, de forma aproximada, el diagrama de pols i zeros d’un sistema amb una resposta a l’esgraó:
a)
b) g(t)
g(t) t t
2.34. Què es pot dir sobre els pols i els zeros d’un circuit amb una resposta al esgraó com la següent:
y t e2t 3 e5t 2 e 0.5t cos 0.86t 1.2 rad u t
2.35. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència:
H s
106 s s 2 103 s 2 8 106
a) Si el senyal d’entrada és sinusoïdal i la seva freqüència és igual a 2000 rad/s, quin tipus de senyal i de quina freqüència serà la resposta forçada? b) Si l’amplitud del mateix senyal d’entrada és 2 V i la seva fase és 0 rad, calculeu la l’amplitud i la fase de la resposta forçada. a) Calculeu la resposta forçada
2.36. Calculeu quan valen la pulsació natural, el factor d’esmorteïment i quin tipus d’esmorteïment presenta la resposta natural dels sistemes lineals de 2on ordre amb les següents funcions de transferència
a) H s
5s s 700s 60000 2
10 s 4 0.5s c) H s 2 s 4s 5 10 d) H s 2 s 4s 3 b) H s
2
2.37. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència que depèn de l’ajust d’una constant k:
H s
108 k s 2 104 3 k s 108
Calculeu el marge de valors de k que fan que el sistema tingui una resposta natural: a) b) c) d)
Sobreestmorteïda. Amb esmorteïment crític. Subesmorteïda. Inestable.
2.38. Considereu un sistema en el que l’excitació i la resposta a estat nul són respectivament:
x t 2 u t y t sin 10 t e 15t u t a) Calculeu la seva funció de transferència H s
Y s
X s
i dibuixeu el seu diagrama
de pols i zeros. b) Identifiqueu els termes de y t corresponents a les respostes natural, forçada, transitòria i permanent. Raoneu les respostes. c) Quin tipus d’estabilitat té el sistema? Raoneu la resposta.
2.39. Considereu un sistema amb una funció de transferència que depèn d’un paràmetre k: H s
s s 25 105
s 2 103 k 25 105 s 25 108 k
a) Calculeu el valor de k necessari per a que el sistema es comporti com un oscil·lador. Calculeu la freqüència d’oscil·lació en aquest cas (1 punt).
b) Quin tipus d’esmorteïment presentarà la resposta natural d’aquest sistema quan k = 5000? En cas de hi hagi algun tipus d’oscil·lació, quan valdrà la seva freqüència? (1 punt).
2.40. Considereu un sistema lineal amb la següent funció de transferència x t
H s
5s s 700s 60000 2
y t
a) Dibuixeu el diagrama de pols i zeros de H s . Raoneu l’estabilitat del sistema a partir del diagrama de pols i zeros. b) Calculeu la seva resposta impulsional. c) Si el sistema és excitat amb un senyal tipus esglaó: x t u t , calculeu la seva resposta permanent. d) Quan dura la resposta transitòria?
2.41. Considereu un sistema lineal amb la següent funció de transferència:
s 2 108 H s 2 s 104 s 108 Dibuixeu el seu diagrama de pols i zeros. a) Quina serà la resposta forçada si l’entrada és x t 10 cos 104 t u t ? b) Sense calcular la resposta natural, contesteu a les següents preguntes:
Dibuixeu de forma qualitativa la resposta natural.
En el cas de que hi hagi algun tipus d’oscil·lació, quina és la seva freqüència?
c) Calculeu la resposta permanent quan x t 2 u t . d) Trobeu, a partir del càlcul del guany i el desfasament del sistema en r.p.s., l’amplitud i la fase de la resposta forçada si x t 10 cos 2 104 t u t .
2.42. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència caracteritzada per un diagrama de pols i zeros com el de la figura i amb un factor de multiplicació igual a 1:
K=1 -3 -2
-1
a) Calculeu l’entrada x t que, quan és aplicada a un sistema lineal amb funció de 1 transferència H s , provoca una sortida y t e t e 3t u t 2 b) Identifiqueu en y t els termes corresponents a la resposta natural, forçada, permanent i transitòria. c) Quant dura la resposta transitòria? d) Trobeu la resposta permanent si x t 2 u t e) Trobeu, a partir del càlcul de l’amplificació i el desfasament del sistema en règim permanent sinusoïdal, la seva resposta forçada si x t 5 cos t 4
2.43. Considereu un sistema lineal amb la següent funció de transferència:
H s
2 s 3s 2 2
a) Quant dura la seva resposta natural? b) Calculeu la resposta transitòria si x t 3 sin 2t u t c) Quin polinomi (en forma canònica) hi hauria d’haver al denominador de la funció de xarxa d’un sistema oscil·lador de 2on ordre amb freqüència d’oscil·lació igual a 100 Hz?