Issuu on Google+

Exercicis del Tema 2. Primera part Anàlisi de sistemes lineals amb la transformada de Laplace 

Càlcul de transformades i transformades inverses (repàs)

Calculeu, utilitzant la taula de les transformades bàsiques i la propietat de linealitat de la transformada de Laplace, la transformada dels següents senyals. Expresseu F  s  com una funció racional i calculeu els seus pols i zeros 2.1.

f  t   A 1  e  t  u  t 

2.2.

f  t   A 1  2 t  e  t  u  t 

2.3.

f  t   A  e  t   e   t  u  t 

2.4.

f  t   A sin   t     u  t 

2.5.

f  t   A cos   t     u  t 

2.6.

f  t   A  e t sin   t     u  t 

2.7.

f  t   A  e t  cos  t  sin  t   u  t 

Trobeu el senyal corresponent a les següents transformades 2.8.

F s 

2.9.

F s 

1

 s  a  s  b  s

 s  a   s  b 2

2.10. F  s  

1 s s  a

2.11. F  s  

4 s  5s  4

2.12. F  s  

4 s  4s  4

2.13. F  s  

4 s  2s  4

2

2

2


Tema 2-1. Anàlisi de circuits en el domini transformat de Laplace

Calculeu i representeu gràficament v0  t  als següents circuits.

2.14.

iL  t  +

10 mH

10u  t 



2.15.

+ 100 

iL  0   0 A

v0  t 

_

vC  t 



+ +

1 F

10u  t 

+ 1 k

vC  0   2 V

v0  t 

_



2.16. 10 k

+

10sin 0 t  u  t 

+

+

vC  0   0 V

_

_

f 0  100 Hz

vC  t  10 k

100 nF



v0  t 

2.17. + 10 pF

vC  t  1 mH

iL  t 

_

1 k

+

vC  0   10 V

_

iL  0   0 A

v0  t 

2.18.

0.1u  t 

+

vC  t  1 mH

10 pF

iL  t  47 k

_

2.19. + +

vin  t   10 u  t 



+

vC  0   0 V

_

iL  0   100 mA

v0  t 

vC  t 



1 F iL  t  1 mH

100 

+

vC  0   0 V

_

iL  0   0 A

vout  t 


2.20. R

+

2 u t



iL  t 

L

+ R

v0  t 

_

iL  0   0 A

a) Trobeu Vout  s  en funció de R i L al circuit de la figura. b) Quins són els pols de Vout  s  si R  1 k i L  1 mH ?

2.21. Considereu un circuit on es compleix la següent relació entre la tensió de sortida i l’excitació: 4  106 Vout  s   2 Vin  s  s  4  106

Calculeu vout  t  si vin  t   10 e 210 t u  t  3

2.22.

vC  t 



+

2 u t 

R

C

+ R

v0  t 

_

vC  0   0 V

a) Trobeu Vout  s  en funció de R i L al circuit de la figura. b) Quins són els pols de Vout  s  si R  1 k i C  1  F ?

2.23. Considereu un circuit on es compleix la següent relació entre la tensió de sortida i l’excitació: 10 Vout  s   Vin  s  s  2  103

Calculeu vout  t  si vin  t   10 sin  2  103 t  u  t 


Tema 2-2. Dinàmica de sistemes lineals

2.24. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència

H s 

Y s

X s

10 s3

Dibuixeu els diagrama de pols i zeros dels sistema. Calculeu la resposta y  t  a estat nul del sistema si la excitació aplicada és respectivament: a) x  t   2 u  t  b) x  t   2 e 10 t u  t  c) x  t   2 cos 10t  u  t  Identifiqueu en cada cas els termes corresponents a la resposta natural i la resposta forçada.

2.25. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència

H s 

Y s

X s

10 s  4s 5 2

Dibuixeu els diagrama de pols i zeros dels sistema Calculeu la resposta y  t  a estat nul del sistema si la excitació aplicada és respectivament: a) x  t   10 u  t  b) x  t   10sin 10t   4  u  t  Identifiqueu en cada cas els termes corresponents a la resposta natural i la resposta forçada.

2.26. Responeu a les següents qüestions:

a) Quina és la relació entre la resposta impulsional i la funció de transferència d’un sistema lineal? b) Quina és la relació entre resposta impulsional i resposta indicial d’un sistema lineal? I entre les seves respectives transformades de Laplace?

2.27. Quina serà la duració aproximada de la resposta impulsional d’un sistema descrit per la següent funció de transferència:


H s 

s 1  s  10 s  26 10   s  2  s  100  s  1000  2

4

6

2.28. Raoneu el tipus d’estabilitat dels sistemes lineals caracteritzats per les següents funcions de transferència

a) H  s  

10 s5

b) H  s  

10  s  5  s 2  4 

10 s  4s  5 0.5s d) H  s   2  s  4 s  3  s  5  c) H  s  

e) H  s  

2

10  s  4s  2   s  2  2

2.29. Considereu un sistema lineal en el que quan l'entrada és x(t )  2e 3t u  t  , s’obté

una sortida y (t )  2 cos  2t   2  u  t  a) Calculeu la funció de transferència del sistema. b) Identificar raonadament les respostes transitòria, permanent, forçada i natural de la sortida.

2.30. Considereu un sistema lineal en el que l’excitació i la resposta a estat nul són respectivament: x  t   2 e 2t u  t  y  t   10 cos  2t  u  t 

a) b) c) d)

Dibuixeu el seu diagrama de pols i zeros. Quant valen les respostes natural i forçada? Quin tipus d’estabilitat té el sistema? Quant dura la seva resposta natural?

2.31. Calculeu l’entrada x  t  que, quan és aplicada a un sistema lineal amb funció de

transferència H  s  , provoca una sortida y  t    e t  cos t  sin t  u  t  H s 

s

 s  1 s  2 

Identifiqueu els termes de y  t  que corresponen a les respostes natural i forçada.


2.32. Donat un sistema lineal descrit per un diagrama de zeros i pols com el de la figura, excitat per un senyal x(t )  2u  t  , doneu una possible expressió del senyal

de sortida. 4

-2 4

2.33. Dibuixeu, de forma aproximada, el diagrama de pols i zeros d’un sistema amb una resposta a l’esgraó:

a)

b) g(t)

g(t) t t

2.34. Què es pot dir sobre els pols i els zeros d’un circuit amb una resposta al esgraó com la següent:

y  t     e2t  3 e5t  2 e 0.5t cos  0.86t  1.2 rad   u  t 

2.35. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència:

H s 

106 s  s  2 103  s 2  8 106 

a) Si el senyal d’entrada és sinusoïdal i la seva freqüència és igual a 2000 rad/s, quin tipus de senyal i de quina freqüència serà la resposta forçada? b) Si l’amplitud del mateix senyal d’entrada és 2 V i la seva fase és 0 rad, calculeu la l’amplitud i la fase de la resposta forçada. a) Calculeu la resposta forçada

2.36. Calculeu quan valen la pulsació natural, el factor d’esmorteïment i quin tipus d’esmorteïment presenta la resposta natural dels sistemes lineals de 2on ordre amb les següents funcions de transferència

a) H  s  

5s s  700s  60000 2


10 s 4 0.5s c) H  s   2 s  4s  5 10 d) H  s   2 s  4s 3 b) H  s  

2

2.37. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència que depèn de l’ajust d’una constant k:

H s 

108 k s 2  104  3  k  s  108

Calculeu el marge de valors de k que fan que el sistema tingui una resposta natural: a) b) c) d)

Sobreestmorteïda. Amb esmorteïment crític. Subesmorteïda. Inestable.

2.38. Considereu un sistema en el que l’excitació i la resposta a estat nul són respectivament:

x t   2 u t  y  t   sin 10 t   e 15t  u  t  a) Calculeu la seva funció de transferència H  s  

Y s

X s

i dibuixeu el seu diagrama

de pols i zeros. b) Identifiqueu els termes de y  t  corresponents a les respostes natural, forçada, transitòria i permanent. Raoneu les respostes. c) Quin tipus d’estabilitat té el sistema? Raoneu la resposta.

2.39. Considereu un sistema amb una funció de transferència que depèn d’un paràmetre k: H s 

s  s  25  105 

s 2  103 k  25  105  s  25  108 k

a) Calculeu el valor de k necessari per a que el sistema es comporti com un oscil·lador. Calculeu la freqüència d’oscil·lació en aquest cas (1 punt).


b) Quin tipus d’esmorteïment presentarà la resposta natural d’aquest sistema quan k = 5000? En cas de hi hagi algun tipus d’oscil·lació, quan valdrà la seva freqüència? (1 punt).

2.40. Considereu un sistema lineal amb la següent funció de transferència x t 

H s 

5s s  700s  60000 2

y t 

a) Dibuixeu el diagrama de pols i zeros de H  s  . Raoneu l’estabilitat del sistema a partir del diagrama de pols i zeros. b) Calculeu la seva resposta impulsional. c) Si el sistema és excitat amb un senyal tipus esglaó: x  t   u  t  , calculeu la seva resposta permanent. d) Quan dura la resposta transitòria?

2.41. Considereu un sistema lineal amb la següent funció de transferència:

s 2  108 H s  2 s  104 s  108 Dibuixeu el seu diagrama de pols i zeros. a) Quina serà la resposta forçada si l’entrada és x  t   10 cos 104 t  u  t  ? b) Sense calcular la resposta natural, contesteu a les següents preguntes: 

Dibuixeu de forma qualitativa la resposta natural.

En el cas de que hi hagi algun tipus d’oscil·lació, quina és la seva freqüència?

c) Calculeu la resposta permanent quan x  t   2 u  t  . d) Trobeu, a partir del càlcul del guany i el desfasament del sistema en r.p.s., l’amplitud i la fase de la resposta forçada si x  t   10 cos  2  104 t  u  t  .

2.42. Considereu un sistema lineal amb una funció de transferència caracteritzada per un diagrama de pols i zeros com el de la figura i amb un factor de multiplicació igual a 1:

K=1 -3 -2

-1


a) Calculeu l’entrada x  t  que, quan és aplicada a un sistema lineal amb funció de 1 transferència H  s  , provoca una sortida y  t    e  t  e 3t  u  t  2 b) Identifiqueu en y  t  els termes corresponents a la resposta natural, forçada, permanent i transitòria. c) Quant dura la resposta transitòria? d) Trobeu la resposta permanent si x  t   2 u  t  e) Trobeu, a partir del càlcul de l’amplificació i el desfasament del sistema en règim permanent sinusoïdal, la seva resposta forçada si x  t   5 cos  t   4 

2.43. Considereu un sistema lineal amb la següent funció de transferència:

H s 

2 s  3s  2 2

a) Quant dura la seva resposta natural? b) Calculeu la resposta transitòria si x  t   3 sin  2t  u  t  c) Quin polinomi (en forma canònica) hi hauria d’haver al denominador de la funció de xarxa d’un sistema oscil·lador de 2on ordre amb freqüència d’oscil·lació igual a 100 Hz?


Col·lecció de problemes