Matematica
08
REVISÃO UNEB, UESB, EBMSP E OUTROS VESTIBULARES
Raimundo Portela e Manuel
RESUMO TEÓRICO
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Vamos recordar as unidades de medida decimais, todas relacionadas com o metro. Nas tabelas a seguir destacamos as unidades que têm uso mais frequente.
Unidades de comprimento O metro é a unidade fundamental de medida de comprimento, pois as outras derivam dela. A palavra metro vem do grego 1 de uma circunferência máxima do globo terrestre. Atualmetrom (o que mede). Inicialmente o metro foi definido como 40000 mente a definição é bem mais sofisticada, mas o comprimento do metro continua sendo o mesmo. quilômetro km 1 000 m
hectômetro hm 100 m
decâmetro dam 10 m
metro m 1m
decímetro dm 0,1 m
centímetro cm 0,01 m
milímetro mm 0, 001 m
Unidades de área O metro quadrado é a unidade de medida de superfície equivalente à área de um quadrado com 1 m de lado. As outras unidades derivam dele. quilômetro quadrado
hectômetro quadrado
decâmetro quadrado
metro quadrado
decímetro quadrado
centímetro quadrado
milímetro quadrado
km2 1 000 000 m2
hm2 10 000 m2
dam2 100 m2
m2 1 m2
dm2 0,01 m2
cm2 0,0001 m2
mm2 0, 000001 m2
Unidades de volume O metro cúbico é a unidade de medida de volume equivalente ao volume de um cubo com 1 m de aresta. As outras unidades derivam dele. quilômetro cúbico
hectômetro cúbico
decâmetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3 1 000 000 000 m3
hm3 100 000 m3
dam3 1 000 m3
m3 1 m3
dm3 0,0001 m3
cm3 0,000001 m3
mm3 0, 000000001 m3
Unidades de capacidade O litro é a unidade fundamental de medida de capacidade, pois outras são derivadas dele. Com essa unidade mede-se quanto líquido cabe em um recipiente. Se um recipiente tem 1 L de capacidade, então seu volume interno é 1 dm3. 1L = 1dm3
Unidades de massa O grama é a unidade fundamental de medida de massa, pois outras são derivadas dele O grama corresponde à massa de um cubo de gelo de 1 cm de aresta. 1g = 1cm3 quilôgrama kg 1 000 g
hectôgrama hg 100 g
decâgrama dag 10 g
grama g 1g
decigrama dg 0,1 g
centígrama cg 0,01 g
milígrama mg 0, 001 g
Fonte: Guia do estudante - 2010 - Ed. Abril (Adaptado pelo Prof. Raimundo Portela)
PROF. RAIMUNDO PORTELA
1
LIVRO 08
RESUMO TEÓRICO
PRODUTOS NOTÁVEIS 1º CASO
4º CASO
Quadrado da Soma
Produto de Steveen
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a
2º CASO
5º CASO
Quadrado da Diferença
Cubo da Soma
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3º CASO
6º CASO
Produto da soma pela Diferença
Cubo da Diferença
(a + b) (a - b) = a2 - b2
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
FATORAÇÃO
2
1º CASO
4º CASO
Fator Comum
Trinômio do 2º Grau
ax + ay = a(x + y)
ax2 + bx + c = a(x - x') (x - x") a . b
2º CASO
5º CASO
Diferença dos Quadrados
Soma de Cubos
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) b3
3º CASO
6º CASO
Trinômio Quadrado Perfeito
Diferença de Cubos
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
MATEMÁTICA
REVISÃO UNEB, UESB, EBMSP E OUTROS VESTIBULARES
ESTUDO GERAL DAS FUNÇÕES Uma relação R: A → B será uma funçao de A em B, se e somente se: • •
D(R) = A A cada x ∈ A corresponde um, e somente um, y ∈ B
OBSERVAÇÃO Existem funções que não são sobrejetoras nem injetoras (FUNÇÃO SIMPLES).
Função constante • • • •
f: A B D(f) = A (domínio = conjunto de partida) CD = B (contradomínio = conjunto de chegada) I(f) = {y1, y2} (imagem ⊂ contradomínio)
Tipologia Sobrejetora •
IMAGEM = Contradomínio
•
f: R → R definida por
• • • • •
D=R I={k} função monotônica função não injetora função par
f (= x ) k (k ∈ R )
Injetora x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
Função identidade
Bijetora SOBREJETORA e INJETORA
PROF. RAIMUNDO PORTELA
•
f: R → R definida por
• • • • •
D=R I=R função monotônica função bijetora função ímpar
f (x) = x
3
LIVRO 08
Função identidade
Reconhecimento da função no gráfico cartesiano Função 1. DOMÍIO - Conjunto de Partida. 2. Retas Verticais trocam o gráfico, no máximo, uma vez. • •
Injetora - Retas horizontais tocam o gráfico, no máximo, uma vez. Sobrejetora - Imagem = Contradomínio
Função composta f ( x ) =ax + b ( a ≠ 0 )
•
f: R → R definida por
• • •
D=R I=R coeficiente angular (inclinação da reta) Dy a= ou a= tga Dx
• •
b = coeficiente linear (ordenada na origem) x0 = raiz da equação ax + b = 0 f (k ) - f (m ) k -m
= a (coef. angular) k≠m
Sinal da função
fog (x) = f (g (x) )
fof (x) = f (f (x) )
gof (x) = g (f (x) )
gog (x) = g (g (x) )
Propriedades: • • •
fog (x) ≠ gof (x) (NÃO COMUTATIVA) (f -log -1 (x) )-1 = gof (x) fof -1 (x) = f -1of (x) = x
f ( x ) = 5x Exemplos: 3 g ( x ) = x a) fog (2) = f (g (2) ) Primeiro calculamos g(2) g(2) = 23 = 8, então: f(g(2) ) = f(8) = 5 . 8 = 40 b) gof(x) = g(f(x) ) = g(5x) = (5x)3 = 125x3
Função quadrática Condição de existência (domínio) • •
•
Função fracionária N ⇒D≠0 D
f (x) =
Função polinominal f (x) a
n
0x
+ a xn-1 + + an ⇒ D = R 1
Função irracional *f ( x ) = *f ( x ) =
par ↑
A ⇒ A≥0
1 par ↑
⇒ A>0
A
*f ( x ) = *f ( x ) =
4
ímpar ↑
B ⇒ B>R
1 ímpar ↑
B
⇒ B≠0
• f: R → R, definida por f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) • D = R • x' e x" são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 b x '+ x " = a c x '. x " = a
MATEMÁTICA