UNIVERSIDAD FERMIN TORO Coatzacoalcos CABUDARE ESTADO LARA
Calculo Vectorial APLICACIONES
Integrantes JOSE ANGEL JIMENEZ
JUAN CARLOS GUTIERREZ
PROFESORA: MARLENE DE PARRA
Introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Muchas cantidades se denotan por parámetros se caracterizan por componentes que son f, g y h. Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como r ( t )= 〈 f ( t ) , g ( t ) 〉 o r ( t )= 〈 f ( t ) , g ( t ) , h(t) 〉 Técnicamente una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Eso quiere decir que, dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Se llama función vectorial a cualquier función de la forma Plano r (t) = (f(t) , g(t) , h(t)) Espacio donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Este concepto se puede generalizar a espacios n dimensionales r (t) = (f(t) , g(t)) Se debe distinguir entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h que son sus componentes y son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t ). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t . Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de: es el intervalo (0, 1]
2
3.1
Definición de función vectorial de una variable real.
3.2
Graficación de curvas en función del parámetro t.
Una función de la forma r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j plano O r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j+ h ( t ) k espacio Es una función vectorial en donde las funciones componentes f,g y h son funciones del parámetro t. Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como r ( t )= 〈 f ( t ) , g ( t ) 〉
o r ( t )= 〈 f ( t ) , g ( t ) , h(t) 〉
Técnicamente una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Eso quiere decir que, dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Ejemplo: r =sent i+ cos t j r =sen²t i+cos²t j
3
(x,y) = (sin(t),cos(t)); 0.0 <= yt <= 360
(x,y) = (sin(t^2),cos(t^2)); 0.0y <= t <= 360 2
1
1
x −2
−1
1
2
x −2
−1
1
2
−1
−1
−2
Se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes f,g y h . Ejemplo: Eldominiode r ( t )=ln ( t ) i+ √1−t j+t k es ¿
Trazado de una curva plana: Dibujar la curva plana representada r ( t )=2 cos(t )i−3sen ( t ) j 0 ≤ t ≤ 2 π
4
por
la
función
vectorial
Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial r ( t )=4 cos( t)i+ 4 sen ( t ) j+t k 0 ≤ t ≤ 4 π
Representar la parábola
5
2
y=x +1
mediante una función vectorial
Dibujar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide 2 2 2 x y z + + =1 z ≥ 0 12 24 4 Y el cilindro parabólico
y=x
2
Definición del límite de una función vectorial 1. Si r es una función vectorial tal que
[
] [
]
r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j entonces:
lim r (t )= lim f ( t ) i + lim g ( t ) j plano t→a
t→0
t →0
siempre que existan los límites de f
y g cuando t → a . r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j+ h ( t ) k entonces
2. Si r es una función vectorial tal que
[
] [
] [
]
lim r (t )= lim f ( t ) i+ lim g ( t ) j+ lim g ( t ) j espacio t→a
t→0
t →0
t →0
siempre que existan
los límites de f,g y h cuando t → a . Si
r (t)
tiende al vector L cuando
a cero. Es decir, ‖r ( t )− L‖ → 0 cuandot → a
6
t → a , la longitud del vector
r ( t )−L tiende
A medida que t tiende a a, r(t) tiende al límite L. Para que L exista, no es necesario que r(a) esté definida o que r(t) sea igual a I
Definición de continuidad de una función vectorial Una función vectorial r es continua en una punto dado por r (t )
cuando
t→a
t=a
si el límite de
existe y
lim r ( t ) =r (a) t→a
Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo. Analizar la continuidad de la función vectorial
] [
]
lim r ( t ) = lim t i+ lim a j+ lim ( a 2 +t 2 ) k t→0
[
t →0
] [
t→0
t →0
r ( t )=t i+ a j+ ( a 2+ t 2) k cuando t=0
Evidencia 1: 1. Hallar el dominio de la función vectorial
7
a)
1 r ( t )=5t i−4t j− k t
b)
r ( t )=F ( t ) +G ( t ) donde F ( t )=cos t i−sen t j+ √t k
;
G ( t )=cos t i+ sen t j
2. Evaluar si es posible, la función vectorial en cada valor dado de t a)
1 r ( t )= t 2 i− ( t −1 ) j 2 r ( 1 ) , r ( 0 ) , r ( s +1 ) , r ( 2+ ∆ t ) −r ( 2)
b)
r ( t )=ln t i+
1 j+3t k t
r ( 2 ) , r (−3 ) , r ( t−4 ) , r ( 1+ ∆t )−r (1)
8
3.3
Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
La derivada de una función vectorial r se define como r ( t+ ∆t )−r (t ) r ’ ( t )= lim ∆t ∆t→0
Para toda t para el cual existe el límite. Sí
r ’ (c )
existe para todo c en un
intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.
Derivación de funciones vectoriales: 1. Si r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j dondef y g son funciones derivables en t, entonces, r ’ ( t )= f ’ ( t ) i + g ’ ( t ) j plano
9
2. Si
r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j+ h ( t ) k dondef , g y h son funciones derivables en t,
entonces,
r ’ ( t )= f ’ ( t ) i+ g ’ ( t ) j+ h ’ ( t ) k espacio
Propiedades de la derivada: Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, f una función real derivable de t y c un escalar 1. Dt [ c r (t) ] =c r ’ (t ) 2.
D t [ r (t) ± u( t) ] =r ’ (t)± u ’ (t)
3.
D t [ f (t) r (t) ] = f ( t ) r ’ ( t ) + f ’ (t)r ( t)
4.
D t [ r (t)∙ u( t) ] =r ( t ) ∙ u ’ ( t )+ r ’ (t )∙ u (t)
5.
Dt [ r (t ) x u(t) ] =r ( t ) x u ’ ( t )+ r ’ ( t ) x u (t)
6.
Dt [ r ( f ( t ) )] =r ’ ( f ( t ) ) f ’ ( t )
7. Si
r ( t ) ∙ r ( t ) =c , entonces r ( t ) ∙ r ’ ( t )=0
Evidencia 2: 1. Dibujar la curva plana representada por la función vectorial y dibujar los vectores r (t 0 ) y r ’ ( t 0 ) . Colocar los vectores de manera que el punto inicial de
r (t 0 )
punto final de a) b)
este en el origen y el punto inicial de r (t 0 ) . ¿Qué relación existe entre
r ( t )=t² i+ t j ; t 0=2 r ( t )=t² i+
1 j ; t 0=2 t π 2
c)
r ( t )=cos t i+ sen t j ; t 0=
d)
r ( t )=2 cos t i+ 2sen t j+t k ; t 0=
2. Hallar
10
r ’ ’ (t ) y r ’ (t )∙ r ’ ’ (t )
3π 2
r ’ (t 0 )
este en el
r ’ (t 0 ) y la curva?
a)
1 r ( t )=t³ i+ t² j 2
b)
1 1 r ( t )= t² i−t j+ t ³ k 2 6
c)
r ( t )= 〈 cos t +tsen t , sen t−t cos t ,t 〉
3. En el ejercicio siguiente, utiliza las propiedades de la derivada para encontrar la respuesta
11
3.4
Integración de funciones vectoriales.
Definición de la integral de una función vectorial: 1- Si r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j dondef y g son continuas en
[ a , b ] , entonces la
integral indefinida ( o antiderivada) de r es ∫ r ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt i+ ∫ g ( t ) dt j plano
[
] [
]
a ≤ t ≤ b es
Y su integral definida en el intervalo
[
b
b
∫ r ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt a
] [∫ ] b
a
i+
g ( t ) dt j
a
r ( t )= f ( t ) i+ g ( t ) j+ h ( t ) k dondef , g y h son continuas en
2- Si
entonces la integral indefinida ( o antiderivada) de r es ∫ r ( t ) dt= ∫ f ( t ) dt i+ ∫ g ( t ) dt j+ ∫ h ( t ) dt espacio
[
] [
] [
a ≤ t ≤ b es
Y su integral definida en el intervalo
[
b
b
∫ r ( t ) dt= ∫ f ( t ) dt a
] [∫ ] [∫ ] b
a
i+
b
g ( t ) dt j+
a
Evidencia 3: 1. Hallar la integral indefinida a)
∫ ( 2ti+ j+ k ) dt
(
3
)
1 i + j + t 2 k dt t
b)
∫
c)
∫ ( (2t −1) i+3t³ j+3 √ t k ) dt
2. Evaluar la integral definida
12
]
h ( t ) dt
a
[a ,b] ,
1
a)
∫ ( 8t i+t j −k ) dt 0
π 2
b)
∫ ( a cos t i+ a sen t j+ k ) dt 0
2
c)
13
∫ ( t i+e t j −t et k ) dt 0
3.5
Longitud de arco.
Longitud de arco de una curva en el espacio: Si C es una curva suave dada por r ( t )= x ( t ) i+ y ( t ) j + z ( t ) k en un intervalo [ a , b ] , entonces la longitud de arco de C en el intervalo es: b
s=∫ a
b
√ [ x ’ (t)] +[ y ’ (t )] +[ z ’ (t)] dt=∫ ‖ r ’ (t) ‖dt
3.6
2
2
2
a
Vector tangente, normal y binormal.
Definición del vector unitario tangente Sea C una curva suave e un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario tangente T(t) en t se define como: r ’ (t ) T (t)= , r ’ (t )≠ 0 ‖ r ’ (t )‖
Definición del vector unitario normal principal Sea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. Si T ’ ( t ) ≠ 0 entonces el vector unitario normal principal en t se define como: N (t)=
14
T ’ (t) ‖T ’ (t)‖
15
Evidencia 4: 1. Hallar el vector unitario tangente
16
T (t)
a)
r ( t )=t i+ t² j+t k , t=2
b)
r ( t )=2 cost i+ 2 sent j +t k , t=3
.
3.7
Curvatura.
Fórmulas para la curvatura: Si C es una curva suave dada por
r ( t ) , entonces la curvatura K de C en t está
dada por: K=
‖T ’ (t )‖ ‖r ’ ( t ) x r ’ ’ ( t ) ‖ K= ‖r ’ ( t ) ‖ ‖ r ’ ( t ) ‖3
Evidencia 5: 1. Determinar la curvatura de un circulo de radio a. r (t)=a cos t i +a sin t j
a) 2. Hallar K=
17
la
curvatura
‖ r ’ (t) x r ' ' (t )‖ 3
‖ r ’ (t) ‖
de
la
curva
definida
utilizando
la
formula
3.8
Aplicaciones.
Muchos de los fenómenos que existen en la naturaleza pueden ser expresados a través defórmulas o modelos matemáticos de tal forma que si estos fenómenos reúnen lascondiciones para expresarse como un vector, entonces su modelo sería una expresiónvectorial, de la forma:
En base en lo anterior, el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez delinstante t vienen dados por:
18
Bibliografia http://www.matematica1.com/2012/05/vector-tangente-unitario-ejercicios.html http://www.slideshare.net/anaceb/funciones-vectoriales-de-variable-realpresentation https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-3-funciones-vectorialesde-una-variable-real
19