7.2 Concurrencia de rectas
Descubra Un programa de software de cómputo puede ser útil para demostrar la concurrencia de las rectas descritas en cada teorema de esta sección.
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Las tres rectas en la figura 7.12 son concurrentes en el punto A. Las tres rectas en la figura 7.13 no son concurrentes aunque cualquier par de rectas (como r y s) se intersecan. Partes de rectas (rayos o segmentos) son concurrentes si son partes de rectas concurrentes y si las partes comparten un punto común.
s
r
n
t
p m A
GEE Ejercicios 1, 2
m, n y p son concurrentes
r, s y t no son concurrentes
Figura 7.12
Figura 7.13
TEOREMA 7.2.1 Los tres bisectores de ángulo de los ángulos de un triángulo son concurrentes.
Para las demostraciones informales de esta sección no se establece Dado o Demuestre. En cursos más avanzados estas partes de la demostración son obvias.
EJEMPLO 1 Proporcione una demostración informal del teorema 7.2.1.
Demostración En la figura 7.14(a), los bisectores del /BAC y del /ABC se intersecan en el punto E. Debido a que el bisector del /BAC es el lugar geométrico de los puntos equidisEN en la figura 7.14(b). De manera tantes de los lados del /BAC, se sabe que EM similar, EM EP ya que E está en el bisector del /ABC. B
B
P
Recuerde Un punto en el bisector de un ángulo es equidistante de los lados del ángulo.
M E
E C
A
(a)
A
C
N
(b)
Figura 7.14
EN. Por la propiedad transitiva de la congruencia se tiene que EP Como el bisector de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados del ángulo, E está también en el bisector del tercer ángulo, /ACB. Por tanto, los bisectores de ángulo son concurrentes en el punto E. El punto E en el cual convergen los bisectores de ángulo en el ejemplo 1 es el incentro del triángulo. Como se muestra en el ejemplo siguiente, el término incentro está bien aplicado ya que este punto es el centro del círculo inscrito del triángulo.