CAPÍTULO 5
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Problemas con valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias
El punto débil del teorema 5.9 consiste en el requisito de conocer una cota para la segunda derivada de la solución. Aunque con frecuencia esta condición con frecuencia impide obtener una cota de error realista, conviene señalar que, si existen ∂f ∂t y ∂f ∂y, la regla de la cadena para la derivación parcial implica que y (t) =
dy df ∂f ∂f (t) = (t, y(t)) = (t, y(t)) + (t, y(t)) ⋅ f (t, y(t)). dt dt ∂t ∂y
Así pues, a veces es posible obtener una cota de error para y (t) sin que se conozca explícitamente y(t). Ejemplo 2
La solución al problema con valores iniciales y = y − t 2 + 1,
0 ≤ t ≤ 2,
y(0) = 0.5,
fue aproximada en el ejemplo 1 utilizando el método de Euler con h = 0.2. Aplique la desigualdad del teorema 5.9 para hallar las cotas para los errores de aproximación y compárelos con los errores reales. Solución Como f (t, y) = y − t 2 + 1, tenemos ∂ f (t, y) ∂y = 1 , para toda y, entonces L = 1.
En este problema, la solución exacta es y(t) = (t + 1) 2 − 0.5et , así y (t) = 2 − 0.5et y y (t) ≤ 0.5e2 − 2,
para toda t ∈ [0, 2].
Utilizando la desigualdad en la cota de error en el método de Euler con h = 0.2 y L = 1 y M = 0.5e2 − 2 obtenemos yi −w i ≤ 0.1(0.5e2 − 2)(eti − 1).
Por tanto y(0.2) −w 1 ≤ 0.1(0.5e2 − 2)(e0.2 − 1) = 0.03752; y(0.4) −w 2 ≤ 0.1(0.5e2 − 2)(e0.4 − 1) = 0.08334;
y así sucesivamente. La tabla 5.2 contiene el error real encontrado en el ejemplo 1, junto con la cota de error. Observe que aunque utilizamos la cota verdadera en la segunda derivada de la solución, la cota de error es mucho mayor que el error real, especialmente para valores crecientes de t. Tabla 5.2 ti
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Error real Cota de error
0.02930 0.03752
0.06209 0.08334
0.09854 0.13931
0.13875 0.20767
0.18268 0.29117
0.23013 0.39315
0.28063 0.51771
0.33336 0.66985
0.38702 0.85568
0.43969 1.08264
La importancia principal de la fórmula de la cota de error que se da en el teorema 5.9, radica en que la cota depende linealmente del tamaño de paso h. En consecuencia, cuando el tamaño disminuye, deberá haber mayor exactitud en las aproximaciones. En el resultado del teorema 5.9 no se tiene en cuenta el efecto que el error de redondeo ejerce sobre la elección del tamaño de paso. Conforme h decrece, se requieren más cálculos y se puede predecir un mayor error de redondeo. Así pues, en la práctica, la forma de la ecuación de diferencias w0 = a, wi+1 = wi + h f (ti , wi ),
para cada i = 0, 1, . . . , N − 1,