Sistemas de equações lineares
15
No Exemplo 7 na Seção 1.1, você utilizou a eliminação de Gauss com substituição regressiva para resolver um sistema de equações lineares. O próximo exemplo ilustra a versão para matriz da eliminação de Gauss. Os dois métodos são essencialmente os mesmos. A diferença básica é que com matrizes você não precisa continuar escrevendo as variáveis.
EXEMPLO 3 Usando operações elementares de linhas para resolver um sistema
Sistema linear
x − 2y + 3z = 9 = −4 −x + 3y 2x − 5y + 5z = 17
Some a primeira equação à segunda equação. x − 2y + 3z = 9 y + 3z = 5 2x − 5y + 5z = 17
Matriz aumentada associada
[
−2 3 −5
1 −1 2
3 0 5
9 −4 17
]
Some a primeira linha à segunda linha para produzir uma nova segunda linha. 3 9 1 −2 0 1 3 5 R2 1 R1 l R2 2 −5 5 17
[
]
Some a primeira equação multiplicada Some a primeira linha multiplicada por 22 por 22 à terceira equação à terceira linha para produzir uma nova terceira linha. x − 2y + 3z = 9 y + 3z = 5 −y − z = −1
[
1 0 0
−2 1 −1
3 3 −1
]
9 5 −1 R3 1 (22)R1 l R3
Some a segunda equação à terceira Some a segunda linha à terceira linha equação para produzir uma nova terceira linha. x − 2y + 3z = 9 y + 3z = 5 2z = 4
[
1 0 0
−2 1 0
]
3 3 2
9 5 4 R3 1 R2 l R3
Multiplique a terceira equação por 12. Multiplique a terceira linha por 12 para produzir uma terceira nova linha.
OBSERVAÇÃO O termo escalonada refere-se ao padrão de degraus de escada formado pelos elementos não nulos da matriz.
x − 2y + 3z = 9 y + 3z = 5 z=2
[
1 0 0
−2 1 0
3 3 1
]
9 5 (12 )R3 → R3 2
Use substituição regressiva para encontrar a solução, como no Exemplo 6 na Seção 1.1. A solução é x = 1, y 5 21 e z = 2. A última matriz no Exemplo 3 está na forma escalonada por linha. Para estar nesta forma, uma matriz deve ter as propriedades listadas abaixo.
Forma escalonada por linhas e forma escalonada reduzida Uma matriz na forma escalonada por linhas tem as propriedades abaixo. 1. Qualquer linha constituída inteiramente de zeros ocorre na parte de baixo da matriz. 2. Para cada linha que não consiste inteiramente de zeros, o primeiro elemento diferente de zero é 1 (chamado de 1 principal). 3. Para duas linhas sucessivas (diferentes de zero), o 1 principal na linha mais acima está mais para a esquerda do que o 1 principal na linha inferior. Uma matriz na forma escalonada por linhas está na forma escalonada reduzida quando cada coluna que tem um 1 principal tem zeros em todas as posições acima e abaixo de seu 1 principal.