TRABAJO FINAL CALCULO DIFERENCIAL
CENELIA ÁLVAREZ ECHEVERRI 41871953
UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL CALCULO DIFERENCIA ARMENIA, QUINDÍO 2013 TRABAJO FINAL
CENELIA ALVAREZ ECHEVERRI 41871953
APLICACIÓN DE FUNCIONES MATEMATICAS EN UN NEGOCIO
UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL CALCULO DIFERENCIAL ARMENIA, QUINDÍO 2013
OBJETIVOS
Aplicar por medio de un caso real, para una empresa las temáticas
relacionadas con derivación e integración. Hallar las ecuaciones ingreso y costos desde las ecuaciones de ingreso y
costo marginal. Entender la diferencia entre una función de costos total y una de costo
marginal. Analizar la información obtenida.
INTRODUCCIÓN
El poder aplicar conceptos básicos de derivación e integración a problemas de la vida empresarial da fortalezas para enfrentar la vida laboral; además que por medio de dichos procedimientos se da solución teórica a situaciones que ayudan a formar las bases para la toma de decisiones. Para desarrollar estas situaciones se tomarán datos hipotéticos para con ellos dar realismo, es de resaltar que los análisis realizados se hacen en base a los conocimientos adquirido hasta el momento dentro de nuestro proceso de formación.
1. PLANTEAMIENTO DEL EJERCICIO
AEROLINEA X
1.1 Enunciado N° 1. COSTO PROMEDIO En cierta empresa de aviación, el costo total c en pesos de un viaje Bogotá – Armenia de q personas; entonces el costo promedio de cada tiquete para el viaje de q personas está dado por c=270.000+30.000 q ; entonces
c q
; así, si la ecuación de costo total es
C=
30.000 + 270.000 . ¿Cuál es el valor límite q
C=
de costo promedio? Haga un bosquejo de la gráfica de la función de costo promedio. Para desarrollar el problema se plante el siguiente límite.
lim
q→∞
lim
q→∞
30.000 + 270.000 Cuando q → ά q
30.000 30.000 + 270.000= +270.000=270.000 q ά
Por ejemplo, el costo total del viaje para 7 personas es de:
c=30.000+ ( 270.000∗7 )
c=30.000+1.890 .000=1.920 .000
Y el costo promedio es de $ 1.920.000.
Grafica 1: Costo promedio enunciado 1 Por medio de la determinación del limite
C , se demuestra que el costo
promedio se aproxima a un nivel de estabilidad se la empresa aumenta de manera continua la producción.
1.2 Enunciado N° 2. COSTO MARGINAL La ecuación de costo promedio de un viaje Armenia – Medellín es:
C=17,5∗q 3−0,2∗q+1
30.000 q
Encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se generan 11 tiquetes? Grafique la función de costo marginal para un número de pasajeros mayor 11. La función de costo total está dada por: c=q C
Dónde: C : costo total
Q: Número de pasajeros C
: Costo promedio
dc 30.000 =52,5 q 2−0,2− dq q2
dc 30.000 =52,5 ¿ 112−0,2− =6104.36 2 dq 11
Grafica 2: Enunciado 2 Por medio de la gráfica que compara el costo total y el costo marginal y se puede concluir que el costo marginal está muy por debajo del costo total y su comportamiento es casi lineal, mientras que el costo total no se aproxima a una línea.
1.3 Enunciado N° 3 INGRESO MARGINAL La Aerolínea vende cada tiquete a $ 285.000; si se venden q unidades, el ingreso total está dado por: r =285.000 q+17000
Se deriva la función de ingreso total y se obtiene la función de ingreso marginal: dr =285.000 dq
Grafica 3: Enunciado 3
El ingreso marginal es igual a $ 285.000 sin importar el número de unidades vendidas. Esto es lo que recibe la aerolínea por cada tiquete vendido.
1.4Enunciado N°4DIFERENCIALES Usar diferenciales para estimar el valor de una función. La función demanda de tiquetes para la aerolínea está dada por: 3
P= f ( q ) =279000−√ q2 Donde P es el precio en pesos por q tiquetes. Por medio de diferenciales, estime el precio cuando se demandan 99 tiquetes.
f ( q+ dq ) ≈ f ( q ) + dp Para dar solución al problema se copia la ecuación:
3
P ( 99 )=279000−√ q 2
Se reemplaza en la ecuación para q= 99
P=278978.60 Se asume un dq=−1
Se deriva la ecuación de demanda
(
dp −2 = ∗q dq 3
−1 3
)
∗(−1)
Se reemplaza en la derivada por q= 11 y me multiplica por el diferencial
dp =0.1441 dq
Se aplica que
f ( q+ dq ) ≈ f ( q ) + dp y se obtiene:
p ( 99 )=278978.74
Cuando se demandan 99 tiquetes el precio de cada tiquete es: 278978.74
1.5Enunciado N°5 FLUJO CONTINUO DE INGRESOS.
El valor presente en pesos de un flujo continuo de ingreso es de $ 340.000.000 al año durante 12 años al 3% compuesto continuamente está dado por: 12
∫ 340000000 e−0.03 t 0
12
340000000∫ e−0.03t 0
; además grafique para periodos de 4 años.
340000000 −0.03 t ∗( e ) evaluado entre 12 y 0 −0.03 340000000 −0.03∗12 −0.03∗0 ∗( e −e ) −0.06 3.426 .334.971,2
t 0
VPN
4 8 12
0 1281568 384 2418217 575 3426334 971
Grafica 4: Enunciado 5
Los ingresos de la compañía se han incrementado de una forma constante durante los 12 años evaluados; por lo que se puede concluir que a manejado estrategias de mercadeo y publicidad que le han ayudado a equilibrar crisis económicas y la llegada de competencia. BIBLIOGRAFIA
HAEUSSLER, Ernest F; PAUL S, Richard; WOOD, Richard… MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA; Editorial PEARSON. Decimosegunda edición 2008.