PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA 1º.- Entre dos pueblos A y B hay una distancia de 3,12 km y entre B y C hay 1,82 km. Sabiendo que el ángulo <ABC es de 67º, ¿qué distancia separa los pueblos A y C?
h ⇒ h = sen 67 º ×3120 metros =0,9205×3120 = 2871,97 metros 3120 x cos 67 º = ⇒ x = cos 67 º ×3120 metros = 0,3907 ×3120 =1219,08 metros 3120 sen 67 º =
1820 −x =1820 −1219,08 =600,92 metros AC = 2871,97 2 +600,92 2 = 8248211,68 +361103,50 = 8609315,18 =2934,16 metros
=2,93 Km
2º.- Dado un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 6 cm, ¿cuánto miden sus ángulos y todos sus lados?. Calcula también su área.
Sea
a la hipotenusa
a = 6 2 + 6 2 = 2 × 6 2 = 6 2 . Area =
6×6 =18 cm 2 2
3º.- Halla el área de un pentágono regular inscrito en un circunferencia de radio 15 cm.
360º 180º −72º = 72º β =γ = = 54º 5 2 h sen 54º = ⇒ h =15 × sen 54º =15 ×0,8090 =12,135 15
α=
AH = 15 2 −h 2 = 225 −147,26 = 77,74 =8,817 cm.
Área =
5 ×8,817 × 2 ×12,135 = 534,97 cm 2 2
4º.- Halla el área de un hexágono regular de 4 cm de lado.
sen 60º = Área =
3 h 4 3 = ⇒h = =2 3 2 4 2
6 ×4 ×2 3 = 24 3 cm 2 2
5º.- Calcula el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 20 y 30 m, y que los ángulos distintos al comprendido entre ellos miden 80º y 70º.
El 3º ángulo tiene que valer 30º pues 180º −(80º +70º ) =180º −150º = 30º Trazamos una de las alturas Por tanto el área será igual A =
sen 30º =
1 h = ⇒ h =10 m. 2 20
30 ×10 =150 m 2 2
6º.- ¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si la hipotenusa mide 10 cm.?
7º Calcula el valor de la apotema de un decágono regular de lado 20 cm. ¿Cuál es su área?.
h tg 72º = ⇒ h =10 ×tg 72º =10 ×3,0777 = 30,777 10 10 ×30,777 × 20 Área = = 3077,7 cm 2 2
8º.- Halla el área de un decágono regular y de un octógono regular, si ambos tienen de lado 6 cm. ¿Cuál es mayor?.
h = 3 ×tg 72º = 3 ×3,0777 = 9,2330
Área del decágono =
10 ×9,2330 ×6 = 276,99 cm 2 2
h =3 ×tg 67,5º =3 ×2,4142 = 7,2426
Área del octógono =
8 × 7,2426 × 6 =173,82 cm 2 2
9º.- Determina el área sombreada de este octógono regular:
Se puede hacer de varias maneras pero el problema radica en encontrar el valor del segmento AD : a) Observa la figura superior derecha, ¿cuánto valen los ángulos <FDC y <DCF?. El segmento AD =AG +GF +FD Área =
14 × AD 2
b) Otra forma es calculando los ángulos del octógono y del triángulo pedido; observa la figura y averigua porqué valen lo que pone
cos 67,5º =
7 7 7 ⇒OE = = =18,29 cos 67,5º 0,3826 OE
AE =2 ×OE =2 ×18,29 =36,58
sen 67,5º =
AD ⇒ AD = 36,58 ×sen 67,5 = 33,7989 AE
Y se calcula el área como en el apartado anterior.
10º.- Halla el área de un triángulo isósceles de lados iguales 5 cm y el ángulo
desigual 30º sen 75º = cos 75º = Área =
h ⇒ h = 5 × sen 75º =5 ×0,9659 = 4,8296 5
AH ⇒ AH = 5 ×cos 75º = 5 ×0,2588 =1,2940 5
AC ×h 2 ×1,2940 ×4,8296 = = 6,2499 cm 2 2 2
11º.- En un acantilado, situado a 50 m sobre el nivel del mar, se encuentran dos amigos. Uno de ellos observa un barco con un ángulo de depresión de 60º, y el otro mira un avión con un ángulo de elevación de 45º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de la costa?. ¿A qué altura vuela el avión?.
tg 30º =
50 50 ⇒BD = =86,60 m qué es la distancia a la que se encuentra el tg 30 º BD
barco de la costa y como DB =CE = AE también es la altura a la que vuela el avión.
12º.- El piloto de un avión observa un punto del terreno con un ángulo de depresión de 30º; 180 segundos más tarde, el ángulo de depresión obtenido es de 55º. Si vuela horizontalmente y a una velocidad de 400 millas/hora, halla la altitud del vuelo.
400
millas 1 hora 1min 400 ×180 × × ×180 seg = = 20 millas hora 60 min 60 seg 60 ×60
h tg 30º= 20 + x h = ( 20 + x) tg 30º 20 tg 30º 11,547 ⇒ x = = = 13,572 ⇒ tg 55º = h h = x tg 55º tg 55º− tg 30º ,0 8508 x 1,609344 km h = x tg 55º =13,572 ×1,4281 =19,3828 millas × =31,19 km 1 milla