SOLUCION DE SISTEMAS HOMOGÉNEOS Y NO HOMOGÉNEOS
Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas. Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Pueden escribirse en la forma canónica o normal. El conjunto de todas las soluciones particulares se llama conjunto solución.
El punto donde se cortan dichas rectas es la solución al sistema.
Una ecuación lineal con variables es lineal si puede escribirse en la forma:
a x +a x 1
1
2
2
+ + a n xn = b
Las a son los coeficientes, y es el termino constante de la ecuación las variables también se b llaman incógnitas o indeterminadas. Si , la ecuación se denomina homogénea. b= 0 i
Ejemplo: La ecuación x1 + x2 + 4 x3 − 6 x4 −1 = x1 − x2 + 2 es lineal porque puede escribirse en la forma canónica o normal: 0 x + 2 x + 4 x − 6 x = 3 1
2
3
4
a , Si la variables se ordenan x x x de es la variable delantera y x , x , y x son libres. Los coeficientes son 0, 2,4 y -6, el término constante es 3. Las ecuaciones siguientes no son lineales o no lineales: 1
4
2
1
3
4
El conjunto de todas las soluciones particulares se llama conjunto solución.
Con esto se llega a un elemento genérico del conjunto solución, al cual se le llama solución
general.
Determine la solución general de la ecuación:
- Solución: Despejaremos la variable delantera, , para obtener las variables libres y pueden tomar cualquier valor, por ejemplo . Por consiguiente la ecuación general se expresa como: Las letras y utilizadas para representar las variables libres se llaman parámetros.
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales, por ejemplo:
3 x + 2 y + z = 39 2 x + 3 y + z = 34 x + 2 y + 3 z = 26
Un sistema lineal de m ecuaciones con n variables (o incógnita) es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma:
x , , x 1
a x +a x 11
1
12
2
+ + a1n xn = b1
a x +a x 21
1
22
a x +a x m1
1
n2
n
2
2
+ + a 2 n x n = b2
+ + amn xn = bm
Los números a11, a12 , , a1n , a21 , , a2 n , , am1 , amn son los coeficientes del sistema, y de b1 , b2 , , bn son dos términos constantes. Si todos los términos contantes son 0, el sistema se llama homogéneo. Cuando esto último tiene los mismos coeficientes que el sistema anterior se dice que esta asociado con:
a x +a x 11
1
12
a x +a x 21
1
22
2
a x +a x m1
1
n2
+ + a1n xn = b1
2
2
+ + a 2 n x n = b2 + + a mn xn = bm
Considérese el sistema:
x + 2 x = −3 2 x + 3x − 2 x − x + 6x = 9 1
2
1
2
1
3
3
= −10
Sus coeficientes son en orden, 1, 2, 0, 2, 3,-2,-1, 0,6. Los términos constantes son -3,-10,9. El sistema asociado homogéneo es:
x + 2x = 0 2 x + 3x − 2 x − x + 6x = 0 1
2
1
2
1
3
3
=0
Se puede abreviar la escritura de un sistema lineal anotando solo sus coeficientes y términos constantes, siempre que estén especificando sus nombres y el orden de las variables. El arreglo rectangular de los coeficientes y términos constantes de un sistema es su matriz aumentada. Por ejemplo, la matriz aumentada de las ecuaciones anteriores es:
La segunda forma implica el uso de un separador para indicar donde está, la columna de los términos constantes. En general una matriz es un arreglo rectangular de números. La matriz de coeficientes esta formado por los coeficientes de un sistema. La matriz de una columna que muestra los términos constantes es el vector constante la matriz de coeficientes y el vector de constantes del sistema anterior son respectivamente:
Escriba un sistema a partir de la siguiente matriz aumentada:
Como la matriz aumentada tiene 4 columnas, el sistema tiene tres variables x ,x ,x . Si asignamos a las variables entonces se forman 2 ecuaciones lineales que conforman el sistema: 1
2
3
x + 2 x = −4 3 x − 2 x = −1 1
2
2
3
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución
Los sistemas de ecuaciones se clasifican en 3 tipos: Tienen soluciones infinitas cuando las rectas del sistema de ecuaciones son paralelas. Tienen una solución cuando las rectas del sistema de ecuaciones se intersectan. No tienen solución cuando están una sobre otra en las rectas del sistema de ecuaciones.
Una sucesión r , r , , r de escalares es una solución (particular) del sistema: 1
2
n
a x +a x 11
1
2
+ + a1n xn = b1
2
+ + a 2 n x n = b2
2
+ + a mn xn = bm
12
a x +a x 21
1
22
a x +a x m1
1
n2
= , , = Si todas las ecuaciones se satisfacen al sustituir x r x r . El conjunto de todas las soluciones posibles es el conjunto solución. Cualquier elemento genérico del conjunto solución se llama solución general. 1
1
n
n
Interpretación geométrica de las soluciones
En términos geométricos es el estudio de las posiciones relativas de dos planos, casos que se presentan: Planos paralelos. Sin puntos comunes, cuando el sistema sea incompatible.
Planos que se cortan en una recta. Si el sistema es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad.
Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.
Sabemos que la grafica de la ecuación
es una recta (excepto en los casos extremos y ). Entonces, en general, la gráfica del + 0 yun = 0 sistema 0 x + 0 y de = c ≠dos 0 conjunto solución0 xde variables es la intersección de varias líneas rectas. ax + by = c
Debemos mencionar que la grafica de la ecuación es un plano (excepto en los casos extremos y ). Por consiguiente, la grafica del conjunto solución de un sistema de tres variables es, por lo común, la intersección de varios planos. Observe que siempre es una solución de un sistema homogéneo. Se le llama solución trivial o solución cero. A cualquier otra solución se le llama solución no trivial.
Unidad de la for ma de escalón reducida: Pivotes TEOREMA 1 (Unicidad de la forma de escalón reducida) Toda matriz es equivalente a una, y solo a una matriz en forma de escalón reducida. Sean y en la forma de escalón reducida. Se dice que es una forma de escalón de . De acuerdo don el Teorema 1, se dice que es la forma de escalón reducida de Observe que en cualquier forma de escalón de una matriz , los elementos delanteros se encuentran en las mismas columnas. Esto es consecuencia de la unicidad de la forma de escalón reducida, y del hecho que después del paso 4 no se modifican las posiciones de los delanteros. Se llaman posiciones pivote, o de pivoteo, de . Un pivote es cualquier elemento no cero de una posición pivote.
RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS EN LA PIZARRA
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES:
El proceso se aplica a la matriz aumentada del sistema. Produce una matriz en forma de escalón reducida, cuyo sistema correspondiente es equivalente al sistema dado y además fácil de resolver: Primero se separan las variables en delanteras y libres. Las variables delanteras son las que corresponden a las posiciones pivote. Las variables restantes, si las hay, son libres. A continuación se escriben las variables delanteras en función de las variables libres, de las constantes o de ambas. Se acostumbra a asignar nuevos nombres a las variables libres y llamarlas parámetros. Los parámetros pueden asumir cualquier valor escalar.
EJEMPLO (Soluciones infinitas) Resolución de problema en la pizarra:
ALGORITMO 2 (Solución de un sistema lineal) Para resolver cualquier sistema lineal Paso 1. Aplica la eliminación de Gauss a la matriz aumentada del sistema 8 paso directo). Si durante cualquier etapa de este proceso nota que la ultima columna es de pivote, deténgase. En este caso, el sistema es inconsistente. En caso contrario, continúe con el caso 2. Paso 2. Termine la eliminación de Gauss. Escriba el sistema que corresponde a la forma de escalón reducida de la matriz aumentada, sin tener en cuenta las ecuaciones con ceros. Paso 3. Separe las variables del sistema reducido en delanteras y libres (si las hay). Escriba las delanteras en función de las variables libres o de constantes. Ahora sacaremos algunas conclusiones importantes del estudio del algoritmo 2.
TEOREMA 2 (Existencia de soluciones) Un sistema lineal es consistente si y solo si la ultima columna de una matriz aumentada no es columna pivote, o bien si cualquier forma de escalón de la matriz no tiene un renglón de la forma En la que El paso 1 no solo nos indica si el sistema es consistente o no, si no también la cantidad de soluciones. Si un sistema consistente tiene variables libres, entonces el paso 3 señala que hay soluciones infinitas (dejando que los parámetros asuman cualquier valor). Si no hay variables libres, entonces las variables delanteras serán constantes, y únicamente obtendremos una solución. Como dichas variables corresponden a columnas pivote, vemos que un sistema consistente tiene solo una solución si todas las columnas, con excepción de la ultima, son pivote. Todo lo anterior se resume como sigue:
Teorema 3 Un sistema lineal consistente tiene solamente una soluci贸n siempre y cuando cada columna de la matriz aumentada, excepto la ultima, sea de pivote, y la ultima no sea columna pivote.
TEOREMA 4
TEOREMA 4 Para cualquier sistema lineal, solo es valida una de las propiedades siguientes: 1.- El sistema tiene solamente. 2.- El sistema posee soluciones infinitas. 3.- El sistema no tiene soluciones.
EJEMPLO Demuestre que el sistema tiene soluciones no triviales SOLUCIÓN. Como es un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones, entonces muestra soluciones infinitas: por consiguiente, el sistema tiene un número infinito de soluciones no triviales.
TEOREMA 5 Un sistema lineal homogéneo tiene solo la solución trivial, o bien un numero infinito de soluciones. Un sistema lineal homogéneo tiene una gran cantidad de soluciones, siempre y cuando posea variables libres.
Aplicaciones ď śEn este tema se describen algunas aplicaciones de sistemas lineales a problemas antiguos y modernos
Ejemplo: (Manufactura) R.S.C.L.S y asociados fabrica tres tipos de computadora personal: ciclón, ciclope y cicloide. Para armar un ciclón se necesita 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la cíclope es de 12 horas en su ensamble, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba u 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes?
Solución: Sea las cantidades de ciclones, cíclopes y cicloides producidas cada mes. Entonces se necesitan horas para armar las computadoras. Por consiguiente . En esta misma forma se obtienen ecuaciones para la prueba y la instalación. El sistema que resulta es:
Solución: Sea las cantidades de ciclones, cíclopes y cicloides producidas cada mes. Entonces se necesitan horas para armar las computadoras. Por consiguiente En esta misma forma se obtienen ecuaciones para la prueba y la instalación. El sistema que resulta es:
Cuya solución es por lo consiguiente cada mes puede fabricar 60 ciclones, 40 ciclopes y 80 cicloides.