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Numero 8, 08 Maggio 2012. Licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA.

Editoriale

In questo numero:

Eccoci con un nuovo numero di CaoStabile! In questo numero faremo qualche passo nel mondo dei calcolatori e continueremo il nostro viaggio nello spazio, questa volta diretti verso Saturno. Non solo, vedremo come il caos a volte nasconda qualcosa di ordinato e possa essere spiegato da una legge fisica, per finire ci occuperemo di politica, un argomento tanto attuale e legato alla teoria dei giochi! Non mancherà come al solito l’angolo per gli studenti, vedremo alcuni esempi di problemi che possono essere risolti in modo semplice con le equazioni (e quindi con il calcolatore!), la pausa caffè ed una recensione! Ti ricordiamo che da qualche mese abbiamo creato una newsletter, iscriviti e sarai sempre informato sulle nuove uscite, la creazione di nuovi contenuti e su tutto quel che succede attorno al progetto CaoStabile! Buona lettura e vieni a trovarci presto sulla nostra pagina Facebook, lasciaci un commento, un tuo parere o quel che ti passa per la testa...sapere che ci stai leggendo e che apprezzi il nostro sforzo è la ricompensa più grande!

Primi passi nella programmazione In viaggio verso Saturno Dal caso alla legge fisica Un po’ di politica

Chiedi alla Ga’: Problemi risolubili con le equazioni Pausa caffè: Somma dei cubi Somma numeri dispari Somme consecutive Recensioni: “Il teorema del pappagallo”

Il Team CaoStabile

P RIMI PASSI NELLA PROGRAMMAZIONE Nel primo numero di CaoStabile abbiamo parlato di sistemi dinamici, introducendo alcuni concetti di base. Come ti ho già detto un sistema dinamico è un modello matematico che descrive l’evoluzione temporale di un sistema secondo

opportune equazioni matematiche. Modelli matematici sono utilizzati ogni giorno per descrivere svariati fenomeni, dalle previsioni del tempo agli studi di aerodinamica per la progettazione di aeroplani e macchine di formula uno. In par1


Ora ti faccio una semplice domanda: sapresti scrivere un programma che faccia scrivere “Ciao!” al tuo computer? No, aprire un editor di testi e scriverlo non è la risposta giusta! Ecco quel che ti serve è capire come fare ad interagire con il tuo computer per fargli fare quel che vuoi tu! Quello che ti serve è un linguaggio di programmazione, ed un programma che sia in grado di convertire il tuo programma in qualcosa che il computer sia in grado di capire ed eseguire, sembra complicato (ed in effetti in parte lo è), ma non è più complicato che spiegare in tutti i dettagli quel che vuoi fare, il computer è veloce, ma è dotato di una scarsissima capacità di immaginazione! Per mia deformazione professionale il linguaggio scelto è il C e il sistema operativo GNU/Linux. Sei libero di provare ad utilizzare il sistema operativo GNU/Linux attraverso una delle sue numerose distribuzioni (Debian, Ubuntu, OpenSuse e Fedora giusto per fare qualche nome), si tratta di un sistema completamente libero e gratuito che ti incoraggio vivamente a provare (se hai dubbi o domande ti consiglio i forum italiani: http://ildn.net), ma puoi naturalmente scrivere dei programmi in C ed eseguirli anche in ambiente Windows (vedi ad esempio: http://www.codeblocks.org). Ecco un programma che ti permette di far scrivere “Ciao!” al tuo computer:

ticolare avrai spesso sentito parlare di simulazioni numeriche, ma cosa sono esattamente? La risposta è abbastanza semplice, una simulazione numerica altro non è che un modello matematico che viene utilizzato per descrivere un fenomeno reale, ma poiché i conti sono noiosi e complessi, sfruttiamo la potenza (e la stupidità) di un calcolatore per l’esecuzione dei calcoli! Facile no? Certo la domanda sorge spontanea. . .e come faccio a dire al computer di fare i conti al posto mio? Ecco qui la risposta è un poco più complessa, ed è quanto voglio cercare di spiegarti in questo articolo. Lungi da me l’idea di essere esauriente in queste poche righe, quel che voglio fare, come al solito, è togliere il primo strato e svelarti qualche possibilità, per approfondire l’argomento ci sono i libri! Partiamo dal principio, è abbastanza probabile che tu abbia a disposizione lo strumento: il calcolatore, il tuo computer è perfetto, è molto più potente dei calcolatori che ci hanno permesso nel non troppo lontano 20 Luglio 1969 di raggiungere la Luna! Una piccola nota storica: le prime calcolatrici tascabili risalgono al 1970 e a quel tempo i computer avevano le dimensioni di una stanza, per questo gli astronauti che andarono sulla Luna erano dotati di un potentissimo regolo calcolatore per fare i calcoli necessari durante la missione, ma questa è un’altra storia e ne parleremo un’altra volta! Probabilmente usare il computer per navigare in Internet, mandare email e guardare le fotografie scattate durante le vacanze è un’operazione naturale per te, i motivi sono essenzialmente due: primo sei stato abituato sin da piccolo ad avere un computer in casa, secondo esistono sofisticati programmi che fanno il lavoro sporco e ti permettono di eseguire determinate operazioni con pochi click del mouse (prova ad accendere il mio vecchio Commodore 64 e fare lo stesso. . ., ops! il mouse non esisteva ancora!).

#include <stdio.h> int main() { printf(“Ciao!\n”); return 0; } La prima riga è un’istruzione che ti permette di utilizzare alcune funzioni per dialogare con il computer, scrivere qualcosa sullo schermo o leggere dati dalla tastiera. Il main è la funzione principale, quella che viene eseguita per prima dal computer una volta che il programma viene 2


compilato (tra poco ti dirò come!) e l’istruzione printf è effettivamente quella che ti permette di far scrivere al computer sullo schermo (l’istruzione \n indica semplicemente il carattere di a capo)! Non ti resta che aprire un editor di testo (per me il migliore resta sempre Emacs!) e copiare per bene il programma, o andare sul nostro sito Internet e scaricarlo direttamente, e salvarlo ad esempio con il nome ciao.c. Per poter eseguire il programma dovrai prima compilarlo, si tratta semplicemente di tradurlo in qualcosa che il tuo computer sia in grado di eseguire, per questo apri un terminale e digitare gcc -o ciao ciao.c otterrai un nuovo file chiamato ciao, questo file è un file eseguibile, che il tuo computer è in grado di eseguire, prova a digitare ./ciao e vedrai che il tuo computer “magicamente” scriverà quel che ormai ti aspetti, complimenti hai scritto il tuo primo programma! Naturalmente puoi utilizzare quel che ti mette a disposizione il tuo programma, ad esempio se utilizzi CodeBlocks troverai da qualche parte un tastino per compilare direttamente il tutto ed eseguirlo! Ma non avevamo parlato di modelli matematici? Certamente, quel che ti manca è capire come far fare dei conti al calcolatore, ancora un attimo di pazienza! Tagliamo corto ed omettiamo parte della verità (se sei interessato esistono sempre i manuali!), possiamo dividere i numeri in interi (di tipo int) e reali (di tipo double). Supponiamo ora di voler risolvere un’equazione di secondo grado, la formula la sai, ma come spiegarla al computer? Ecco il programma, i commenti li facciamo dopo: #include <stdio.h> #include <math.h>

double rad_delta, x1, x2; a = 1.2; b = 3.1; c = -0.5; rad_delta = sqrt(b*b-4*a*c); if(rad_delta < 0) printf(“No soluzioni reali.\n”); else { x1 = (-b+rad_delta)/(2.0*a); x2 = (-b-rad_delta)/(2.0*a); printf(“Le soluzioni sono:\n”); printf(“x1 = %le\n”, x1); printf(“x2 = %le\n”, x2); } return 0; } ancora una volta copia il programma o scaricalo dal sito e passa alla compilazione (chiamiamolo eq_sec_gr.c): gcc -o eq_sec_gr eq_sec_gr.c -lm il “-lm” è fondamentale, dice al computer dove trovare la funzione “sqrt” che serve per calcolare la radice quadrata di un numero! Come vedi si tratta di spiegare al computer come fare quel che con molta pazienza saresti perfettamente in grado di fare da solo con carta e penna, l’unica cosa che ha in più il computer rispetto a te è la velocità (e la precisione ad esser sinceri!), immagina di dover compiere milioni di calcoli con carta e penna, un errore errore di calcolo o di trascrizione è sempre dietro l’angolo, per non parlare del tempo necessario. . .ecco in questi casi un computer è estremamente utile, ma devi spiegargli esattamente cosa fare, la mente resta sempre la tua! Facciamo un ultimo esempio per chiarire il concetto: come calcolare la somma dei primi 1000 numeri naturali? Semplice dirai, devo solo spiegarlo al computer, ecco la risposta: #include <stdio.h>

int main() { double a, b, c;

int main() 3


te l’ho già detto, e te lo ripeto, il calcolatore è veloce a fare i conti, ma la mente resti sempre tu! Naturalmente questo è solo l’inizio, se sono riuscito a stimolare la tua curiosità e a metterti un po’ di confusione in testa metà del mio scopo è riuscito, se poi andrai a cercare maggiori informazioni su qualche manuale e inizierai a criticare quanto ho scritto sarò riuscito nell’altra metà! Nei prossimi numeri vedremo come scrivere un programma per calcolare effettivamente l’evoluzione di un sistema dinamico, anche se gli ingredienti fondamentali li hai e puoi già provarci!

{ int n, somma; for(n=1,somma=0;n<=1000;++n) somma += n; printf(“Somma =”); printf(“%d\n”, somma); return 0; } Semplice no? Certamente, ma quante operazioni inutili, esiste una formula molto semplice per calcolare la somma dei primi n numeri naturali: somma(n) =

n(n + 1) , 2

Marco Sansottera

I N VIAGGIO VERSO S ATURNO Capitolo secondo.

ti più importanti della dinamica di Cassini, sia nel viaggio dalla Terra a Saturno, sia nel suo giro in orbita intorno a Saturno (che si ripete da ben 8 anni). Il flyby può essere facilmente spiegato grazie a semplici modelli matematici, ma prima di introdurre le formule che lo descrivono e lo spiegano, vediamo una descrizione qualitativa di questo fenomeno. Ripercorriamo ora il viaggio dalla Terra a Saturno. La navicella ha effettuato molti incontri ravvicinati con vari pianeti, in particolare due volte con Venere, una volta con la Terra, una volta con Giove; in questo modo, la navicella Cassini ha aumentato la sua velocità e ha accumulato sufficiente energia per arrivare fino a Saturno. Ricordiamoci che un satellite artificiale segue le stesse leggi dei corpi celesti e perciò si muove seguendo le tre leggi di Keplero (vedi CaoStabile, Numero 4). La navicella pertanto, dopo essere stata lanciata dalla Terra, inizia a ruotare intorno al Sole su un’orbita ellittica (ovvero la traiettoria è un’ellissi), dove il Sole occupa uno

In questo numero continuiamo il viaggio verso Saturno iniziato in CaoStabile, Numero 6. Racconteremo la traiettoria che la navicella Cassini-Huygens ha percorso per 7 anni nello spazio, tra i pianeti del sistema solare, prima di giungere, finalmente, nelle vicinanze di Saturno. Nel pianificare le missioni interplanetarie, gli scienziati possono contare su una tecnica chiamata “assistenza gravitazionale”. Questa tecnica consiste in una manovra naturale della navicella spaziale che permette di modificare la sua velocità sia nella direzione che nell’intensità. Questa manovra, in inglese, prende il nome di flyby e avviene quando la navicella si avvicina ad un pianeta o ad un satellite naturale di un pianeta, e risente fortemente dell’attrazione gravitazionale di questo. In italiano, questo fenomeno prende anche il nome di effetto fionda, perché il pianeta agisce sulla navicella proprio come una fionda che lancia un oggetto facendo aumentare la sua velocità. Come abbiamo già detto nel capitolo precedente, i flybys sono uno degli elemen4


Saturno e non più il Sole.

dei due fuochi. L’ellisse è caratterizzata da un semiasse maggiore che dà informazioni sulla distanza tra il satellite e il Sole e inizialmente è simile a quello della Terra. L’obiettivo è quello di modificare l’ellissi e quindi il semiasse maggiore, in modo tale che alla fine la navicella CassiniHuygens si trovi su un’ellissi con un semiasse simile a quello di Saturno, così da potersi avvicinare a Saturno e immettersi in orbita intorno al pianeta. Ciò può accadere grazie agli incontri ravvicinati della navicella con i pianeti, i quali riescono a modificare la direzione e la velocità della navicella facendo aumentare il semiasse delle ellissi.

Figura 1. La traiettoria di Cassini-Huygens dalla Terra a Saturno (immagine NASA).

Nella Figura 1 possiamo visualizzare la traiettoria di Cassini-Huygens; il tratto in verde rappresenta la prima parte del viaggio dal lancio dalla Terra al primo incontro con Venere; successivamente la navicella inizia a percorrere un’ellisse più schiacciata, raffigurata in arancione, fino a quando incontra nuovamente Venere; poi la traiettoria in blu mostra i successivi incontri con Terra e Giove fino all’arrivo a Saturno; possiamo notare che la navicella percorre dei tratti di ellissi che hanno sempre uno dei due fuochi nel Sole. È importante ricordare che, mentre la navicella viaggia, anche i pianeti proseguono nel loro viaggio intorno al Sole (moto di rivoluzione dei pianeti), perciò bisogna assicurarsi che nel momento in cui Cassini-Huygens attraversa l’orbita del pianeta, il pianeta si trovi proprio in quel punto dell’orbita. Per questo devono essere eseguiti accurati calcoli per far verificare l’incontro tra il pianeta e la navicella.

Vediamo nel dettaglio questi incontri. La navicella Cassini-Huygens è stata lanciata dalla Terra il 15 ottobre 1997; il 26 aprile 1998 avviene il primo incontro con Venere ad una distanza dal pianeta di 287 km, e il 24 giugno 1999 avviene un secondo incontro con Venere ad una distanza di 600 km. Il 18 Agosto del 1999 Cassini-Huygens si avvicina alla Terra ad un’altezza di 1171 km. Un’ora e venti minuti prima di questo avvicinamento, la navicella passa anche vicino alla Luna restituendoci molte immagini del nostro satellite naturale. Proseguendo il suo viaggio, il 30 dicembre 2000, la navicella è arrivata nel punto più vicino a Giove, cioè 9, 7 milioni di chilometri e in quel punto essa accumula l’ultima spinta necessaria per arrivare fino a Saturno. Nei mesi precedenti e successivi l’incontro con Giove, CassiniHuygens ha acquisito molti dati e molte immagini su Giove, fornendoci importanti informazioni sul pianeta più grande del nostro sistema solare. Finalmente il primo luglio 2004, la navicella incontra Saturno. A questo punto, vengono azionati dei motori per 96 minuti che permettono alla navicella di iniziare il suo viaggio intorno a Saturno e iniziare a percorrere delle orbite ellittiche intorno a questo pianeta. Da adesso in poi, Cassini-Huygens si muove ancora seguendo le leggi di Keplero, ma percorrendo delle ellissi in cui uno dei fuochi è

Figura 2. La traiettoria di Cassini in orbita intorno a Saturno (immagine NASA).

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cisa!) della navicella Cassini dopo essere entrata nell’orbita di Saturno. Vediamo che la navicella percorre diverse ellissi che si modificano continuamente, ma hanno tutte in comune un fuoco che corrisponde a Saturno, che si trova al centro della figura. Gli incontri con Titano, ma in generale con i vari satelliti, rappresentano un momento critico per questa missione a causa della loro importanza dovuta alla duplice funzione che hanno, ovvero dirigere la navicella e effettuare esperimenti scientifici. Nei prossimi capitoli, analizzeremo la tecnica del flyby con un po’ più di formule di matematica e di fisica, vedendo che, in fondo, anche un fenomeno tanto complicato e affascinante può essere spiegato in maniera semplice.

Dal 2004 ad oggi, Cassini continua ad orbitare intorno Saturno e continua ad effettuare manovre di flyby per cambiare direzione e dirigersi verso nuovi satelliti. Ricordiamo che Saturno è simile ad un sistema solare: esistono decine di satelliti naturali (finora ne sono stati scoperti più di 60) che ruotano intorno a Saturno seguendo le leggi di Keplero. Orbitando intorno a Saturno, la navicella effettua numerosi incontri ravvicinati con i vari satelliti cosicché la sua orbita viene modificata e può avvicinarsi ogni volta ad un nuovo satellite per esplorarlo e acquisire nuove informazioni. Il satellite più grande di Saturno è Titano, e questo rappresenta un vero e proprio motore nel viaggio di Cassini intorno a Saturno. Nella Figura 2 vediamo la traiettoria (molto disordinata ma ben pre-

Sara Di Ruzza

D AL CASO ALLA LEGGE FISICA In natura un gran numero di fenomeni paiono comportarsi in modo casuale. Il fumo che esce da un camino, l’oscillazione della fiamma di un fiammifero acceso, la fila di persone che aspetta di trovare un posto per sedersi al bar. . .

facendo cadere dei granelli minuscoli (ad esempio le particelle più piccole di pepe macinato) in un bicchiere o una bacinella d’acqua, ed osservandoli con una lente di ingrandimento (o meglio ancora con un microscopio). Dovreste riuscire a vedere come, di tanto in tanto, queste cambiano direzione, senza alcun motivo evidente (come potrebbe ad esempio essere l’urto tra due di esse).

Alcuni dei fenomeni che sembrano essere governati dal caso lo sono veramente (come la fila di persone), altri sono “guidati” da leggi ben definite, ma talmente complesse e dipendenti da un tale numero di variabili da non poter essere espresse o risolte senza approssimazioni. In alcuni casi invece é possibile sfruttare la dinamica casuale del fenomeno per estrarne una legge che lo governa. Uno dei primi esempi, o per lo meno uno degli esempi più famosi é il moto browniano.

La prima osservazione di questo comportamento risale al 1785, ma ma venne considerata come fatto di poco conto fina alla “riscoperta” nel 1827 per merito di Robert Brown. Studiando il moto di particelle di polline immerse nell’acqua Brown osservò come queste si muovevano in modo disordinato, cambiando continuamente direzione. La prima ipotesi fu che queste particelle fossero “vive”, o per lo meno dotate di un sistema di locomozione proprio. Per verificare tale teoria ripeté l’esperimento con particelle di materiale

Il moto browniano é il moto disordinato di piccole particelle (per intenderci: con piccole intendo aventi diametro nell’ordine del micrometro, ossia 10−6 metri) presenti nei fluidi. Con un po’ di impegno potreste riuscire ad osservare tale moto 6


Indicando con h·iξ il valore medio su differenti successione di variabili ξ, le due condizioni si scrivono:

inorganico. Il fenomeno era ancora presente: l’ipotesi che fosse dovuto ad una qualche “forza vitale” non era quindi più accettabile, ma Brown non seppe trarre altre conclusioni.

1. hξ(t)iξ = 0; 2. hξ(t)ξ(t0 )iξ = gδ(t − t0 ). Nella seconda condizione g é l’intensità della forza stocastica e δ(t − t0 ) é una funzione che vale 1 se t = t0 e zero altrimenti. In fig. 1 sono mostrate tre differenti traiettorie di una particella soggetta ad una forza stocastica. Come si può osservare la particella oscilla avanti e indietro intorno all’asse x=0 (cioé ha spostamento nullo).

Esempio di colloide: particelle lipidiche del latte sospese in acqua.

L’era moderna del moto browniano ebbe inizio con Albert Einstein. Questi, inizialmente inconsapevole della gran mole di osservazioni sul fenomeno, stava cercando fenomeni a conferma della natura atomica della materia. Consideriamo il caso più semplice: una particella immersa nel fluido risente solamente della forza “casuale” (il termine preferito in linguaggio scientifico é stocastica) e di una forza viscosa (che dipende dalla velocità della particella), inoltre supponiamo il moto in una sola direzione. Indicando con ξ(t) la forza stocastica che agisce al tempo t possiamo scrivere la legge di Newton che determina il moto della particella:

Esempio di tre traiettorie indipendenti (corrispondenti ai tre differenti colori) della particella.

Trascurando la matematica necessaria alla risoluzione delle equazioni del moto, che inizia a diventare complessa, otteniamo un risultato interessante per quanto riguarda la distanza (quadratica) media percorsa da una particella:

g (x(t) − x0 )2 ξ = 2 t, γ

1 γ a(t) = − v(t) + ξ(t). m m In questa formula m é la massa della particella e γ é il coefficiente di attrito viscoso (pensate alla differenza nel lasciar cadere qualcosa in un bicchiere d’acqua o di olio. . . ). Non facciamo richieste troppo restrittive sulla variabile stocastica ξ, ma semplicemente che:

dove x0 é la posizione all’istante iniziale. Potrebbe apparivi strano il fatto che si prenda il quadrato di x(t) − x0 , ma se ne prendete la radice quadrata é esattamente quello che fate quando calcolate la distanza tra due punti A e B nel piano cartesiano: p d(A, B) = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 .

• il suo valore medio sia zero; • la forza che agisce in ogni momento non dipenda dalla forza che ha agito negli istanti precedenti.

La distanza percorsa é quindi descritta da una legge oraria “non usuale”, ossia non é 7


descritta da uno dei moti che usualmente si studiando (moto rettilineo uniforme o uniformemente accelerato), ma √ rqm (t) ∝ t

Quanto mostrato sinora per una sola direzione vale anche nel caso di moto browniano in più dimensioni: senza addentrarci in ulteriori discussioni, che porterebbero a risultati identici a quanto già discusso, in fig. 4 vi presento alcune traiettorie stocastiche: in modo analogo al caso monodimensionale dopo qualche istante lo spostamento √ quadratico medio é proporzionale a t, come mostrato in fig. 5.

ossia la distanza (il pedice qm significa quadratica media) percorsa cresce con la radice quadrata del tempo! In fig. 2 é mostrata la distanza quadratica media percorsa da un numero elevato di particelle (tre delle quali hanno le√traiettorie di fig. 1) confrontata con t. Si può osservare l’ottimo accordo tra le due curve.

Differenti traiettorie percorse da particelle con moto browniano.

In blu la distanza quadratica media percorsa rqm (t) nel √ moto browniano, in rosso la curva r(t) = t.

Questo risultato, in accordo con i dati sperimentali, viene generalmente espresso nella forma

r(t)2 ξ = 2Dt, dove D é una quantità detta diffusività, e la sua espressione é D=

kB T 6πµr

Differenza tra lo spostamento quadratico medio rqm (t) nel moto browniano in due dimensioni (in blu), e in la √ curva r(t) ∝ t (in rosso).

kB essendo la costante di Boltzmann, T la temperatura, r il raggio della particella in sospensione e µ la viscosità del fluido.

Questo risultato ci mostra come utilizzando una descrizione con un contributo “casuale” possiamo arrivare a previsioni in perfetto accordo con gli esperimenti. Michele Brambilla

U N PO ’ DI POLITICA Il Consiglio di Sicurezza delle Nazioni Unite è composto da 5 membri perma-

nenti (Cina, Francia, Russia, Regno Unito e Stati Uniti) e da 10 membri non permanen8


osservare che i membri permanenti sono “più importanti”, quindi avranno un peso maggiore nel gioco, mentre gli altri hanno un ruolo meno rilevante. Il corrispondente gioco di maggioranza pesata è quindi dato da [39; 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], dove abbiamo dato peso 7 ai membri permanenti e peso 1 a tutti gli altri. Potete adesso verificare che se tutti e 5 i membri permanenti più altri 4 votano a favore, il provvedimento verrà approvato dal Consiglio, mentre se uno solo dei membri permanenti è contrario, tutti gli altri insieme potranno raggiungere al più la quota di 38, che non è sufficiente per prendere una decisione!

ti che rimangono in carica per un periodo di 2 anni (al momento Colombia, Germania, India, Portogallo e Sudafrica, in carica fino a fine 2012, e Azerbaijan, Guatemala, Marocco, Pakistan e Togo, in carica fino a fine 2013). Perchè vengano approvate decisioni non sostanziali è necessaria una maggioranza di 9 membri su 15, mentre per decisioni sostanziali è ancora necessaria la stessa maggioranza, ma con in più la condizione che tra i favorevoli vi siano tutti i 5 membri permanenti; si dice quindi che essi hanno diritto di veto, in quanto un solo “no” di uno di loro impedirebbe al provvedimento di passare, anche se vi fosse il consenso di tutti gli altri membri del Consiglio. Come rappresentiamo la situazione di voto per decisioni non sostanziali attraverso un modello matematico? La risposta è molto semplice: attraverso un gioco di maggioranza pesata! Un gioco di maggioranza pesata è descritto come [q; w1 , . . . , wn ], dove w1 , . . . , wn sono i pesi dei giocatori in N = {1, . . . , n} e q è la quota di maggioranza necessaria perchè un provvedimento possa passare. Nel nostro modello supponiamo che sia sufficiente raggiungere q e non sorpassarlo, ma bisogna fare attenzione che molta letteratura utilizza una notazione differente. Diciamo che una coalizione S ⊆ N di giocatori è vincente se la somma dei singoli pesi raggiunge o supera q, quindi se P i∈S wi ≥ q, ovvero se l’insieme di giocatori considerati può fare passare un provvedimento. Indichiamo con W l’insieme delle coalizioni vincenti. In caso contrario diremo che la coalizione è perdente. Quindi, in caso di decisioni non sostanziali è sufficiente rappresentare il tutto attraverso il seguente gioco di maggioranza pesata: [9; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], dove ogni membro del consiglio ha peso 1 e 9 membri sono sufficienti per raggiungere la quota di maggioranza, ovvero bastano a far passare una decisione. Ma come ce la caviamo nel caso di decisioni sostanziali? La situazione è un poco più complicata, ma non molto. È abbastanza ovvio

A quale scopo rappresentare in questo modo un organo come il Conisiglio di Sicurezza delle Nazioni Unite? Alcuni ricercatori che lavorano con la Teoria dei Giochi tentano da anni di lavorare con questo tipo di modelli, con il solo scopo di analizzare come il potere viene diviso all’interno di organi decisionali quali parlamenti e assemblee. Nel caso di un parlamento, ad esempio, possiamo assumere che i partiti siano i giocatori e che il peso a loro attribuito sia dato dal numero di seggi che vengono assegnati ad ognuno di essi in seguito ad una consultazione elettorale. Ovviamente alcuni partiti, unendosi, potranno ottenere la maggioranza necessaria a permettere il passaggio di una legge, formando quindi una coalizione vincente, altre alleanze invece non potranno riuscire in questo scopo. Sono stati definiti alcuni indici proprio per valutare il potere attribuito ai singoli giocatori, ma prima di vederne un esempio ricordiamo che non tutte le situazioni decisionali possono essere rappresentate come gioco di maggioranza pesata; noi, per comodità, ci siam messi in un caso molto semplice, che però viene spesso utilizzato perchè comunque ben si adatta a descrivere una gran quantità di esempi. Consideriamo un potere totale unitario e vediamo come questo viene suddiviso tra i vari giocatori. Gli indici di pote9


Unite nel caso di decisioni non sostanziali otteniamo che ogni giocatore ha potere uguale a 1/15, ovvero il potere unitario viene equamente diviso tra i 15 stati membri; questo è ovvio in quanto i giocatori sono simmetrici (non diamo una definizione formale, ma lasciamo al lettore il significato intuitivo del termine). Nel caso di decisioni sostanziali, invece, otteniamo che ogni membro permanente ha un potere di 421/2145, mentre ogni membro non permanente di 4/2145. In questo caso i giocatori non sono tutti simmetrici tra di loro e in particolare i giocatori di veto hanno un potere più di 100 volte superiore a quello dei membri non permanenti!

re attribuiscono ad ogni giocatore i una P quantità ψi ≥ 0 con i∈N ψi = 1 (siamo nel caso non banale nel quale nessun giocatore può ottenere la maggioranza da solo). L’indice di potere più famoso tra i vari esistenti e quello che applicheremo nelle prossime righe è da attribuire a Shapley e Shubik ed è dato dalla formula seguente X

φi =

S⊆N,S∈W,S\{i}∈W /

(|S| − 1)!(n − |S|)! n!

dove k! rappresenta il fattoriale del numero naturale k e |S| la cardinalità della coalizione S. Applicando questa definizione al Consiglio di Sicurezza delle Nazioni

Michela Chessa

C HIEDI R UBRICA

ALLA

G A’

DI AIUTO AGLI STUDENTI

- P ROBLEMI RISOLUBILI CON LE EQUAZIONI -

l’altra, conviene indicare con x la diagonale minore, in modo che l’altra diagonale possa essere scritta come 2x (mi raccomando, non x2 !!). Il secondo passaggio consiste nell’impostare un’equazione: l’unico dato numerico che abbiamo è l’area, quindi siamo obbligati a usare quella. Ma qual è la formula per l’area del rombo? diagonalemaggioreperdiagonaleminoredivisodue, direttamente dalle scuole elementari. Ma quanto misurano le diagonali del nostro rombo? x e 2x. Otteniamo quindi

In questa rubrica mi sono sempre ritrovata a scrivere consigli che ho utilizzato nelle mie spiegazioni: l’argomento di oggi è stato oggetto dell’ultima verifica di seconda. In questo articolo intendo risolvere due semplici problemi che facevano parte del testo del compito in classe, cercando di spiegare il metodo da utilizzare. Purtroppo non ho ottenuto grandi risultati, ma devo dire che spesso gli studenti si arrendono prima ancora di cominciare: mettere insieme la geometria e l’algebra rappresenta un ostacolo insormontabile. Devo anche aggiungere, peró, che dopo aver visto la correzione piú di un alunno ha ammesso che non erano poi cosí difficili. Problema 1: L’area di un rombo misura 400 cm2 e una diagonale è il doppio dell’altra. Calcola le due diagonali. Il primo passaggio consiste nello scegliere l’incognita da utilizzare: indicheremo con x uno degli elementi del problema e ricaveremo gli altri utilizzando questo elemento. Dato che una diagonale è il doppio del-

x · 2x = 400 2 Ora si risolve l’equazione di secondo grado e si ottengono due soluzioni x=+20 (la prima diagonale) e x=-20, che non è accettabile perché negativa, infine l’altra diagonale misura 40 cm. Problema 2: Uno dei cateti di un triangolo rettangolo misura 15 cm e l’ipotenusa supera l’altro cateto di 5 cm. Trova perimetro e area del triangolo. Il metodo da utilizzare è lo stesso proposto per il problema precedente: cominciamo con lo sceglie10


da cui si ottiene x=20 (il cateto) e da cui si ricava la misura dell’ipotenusa, 25. Vi lascio il perimetro e l’area per compito.

re x. Indico con x il cateto di cui non si conosce la misura, cosí posso indicare con x+5 l’ipotenusa. A questo punto posso impostare un’equazione di secondo grado utilizzando il teorema di Pitagora: (x + 5)2 = x2 + 152

Gabriella Pina

PAUSA R UBRICA

CAFFÈ DI

E NIGMI

E

G IOCHI M ATEMATICI

- S OMMA DEI CUBI -

mento: prova a cercare un legame con i quadrati! Naturalmente esistono diversi modi per trovare questa relazione, e dimostrarla, quale sia il migliore è questione di gusti!

Sapresti trovare una formula che ti permetta di calcolare la somma dei primi N numeri naturali (1, 2, . . . , N )? Suggeri-

Marco Sansottera

- S OMMA NUMERI DISPARI -

carta e penna non ti sarà difficile intuirlo, ma sapresti anche dimostrarlo?

Sapresti dire quanto vale la somma dei primi N numeri dispari? Naturalmente con

Marco Sansottera

- S OMME CONSECUTIVE -

dei due numeri successivi è il cubo di 2 (3 + 5 = 8), la somma dei tre numeri successivi è il cubo di 3 (7 + 9 + 11 = 27), etc.. Sapresti dimostrarlo anche tu?

Nicomaco ha dimostrato che se consideriamo i numeri dispari consecutivi, il primo (1) non è altro che il cubo di 1, la somma

Marco Sansottera

R ECENSIONI S CELTI

DA NOI

- “I L TEOREMA DEL PAPPAGALLO ” -

zo leggero da portare sotto l’ombrellone. “Il teorema del pappagallo”, uscito nelle librerie piú di dieci anni fa, è stato molto apprezzato dal pubblico per l’esposizione chiara dei vari argomenti matematici che vi compaionono e quasi per lo stesso motivo è stato anche molto criticato.

Devo ammettere di aver impiegato quattro mesi e forse piú a leggere questo libro: è vero che il tempo da dedicare alla lettura è sempre poco, ma è anche vero che non si tratta, a mio avviso, di un roman11


lettura è impossibile non provare un gran desiderio di visitare i luoghi descritti, Parigi innanzitutto. La cittá è grande protagonista di questo romanzo e i luoghi citati sono sempre significativi: tra questi la Pyramide du Louvre, la Bibliothèque Nationale, l’Institut du Monde Arabe e la Salle Pi del Palais de la Découverte.

In effetti, la vicenda a sfondo giallo che fa da pretesto per le varie spiegazioni risulta prevedibile, poco convincente e in essa rimangono dei punti irrisolti (le circostanze che hanno portato alla nascita dei gemelli, ad esempio), ma il romanzo presenta comunque degli spunti piacevoli e interessanti: la matematica riportata risulta davvero accessibile e durante tutta la

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CaoStabile N.8 [08.05.2012]  

La rivista di divulgazione scientifica libera.

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