Geometri Formülleri 6. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü
ÜÇGEN ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ
z=
m( A ) 2
ı
A
x
A
D
x
ı
y
z
z
y
C ı
B
z
B
1. Üçgenin iç açıları ölçüleri toplamı 180° dir.
7. Üçgenin bir kenarı içe büküldüğünde oluşan açının ölçüsü
x + y + z = 180°
x=a+b+c
2. Üçgenin dış açıları ölçüleri toplamı 360° dir. ı
ı
C
A
ı
x + y + z = 360° a
3. Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. ı
ı
x =y+z
y =x+z
ı
D
z =x+y b
4. İki açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü
c
x
B
m( A ) (BDC) (geniş açı) x = 90 + 2
C
ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI
A
1. Bir üçgende açılar arasındaki sıralama ile bu açıların karşısındaki kenarlar arasındaki sıralama doğru orantılıdır.
D
m(A) ≥ m(B) ≥ m(C) ise a ≥ b ≥c dir.
x A B
C
5. İki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü
c
b
m( A ) (BDC) (dar açı) y = 90 + 2
A
B
B
a
C
2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluğunu farkının mutlak değerinden büyük toplamlarından ise küçüktür.
C
|b – c| < a < b + c |a – c| < b < a + c
y
|a – b| < c < a + b D
2
Geometri Formülleri 3. ABC üçgeninde
ÖKLİD BAĞINTILARI 2
2
2
2
2
2
A
m(B) > 90° ise, b > a + c dir. m(B) < 90° ise, b < a + c dir.
b
c
4. Bir üçgenin sınırladığı alan içindeki herhangi bir nokta ile köşeler birleştirildiğinde, ABC üçgeninin çevresi verilirse ve çevreye 2u denirse
h
p
B
k
H
C
a
u < |PA| + |PB| + |PC| < 2u dur.
2
a) h = p ⋅ k
A
2
b) b = k ⋅ a 2
c) c = p ⋅ a d) A(ABC) = P B
b ⋅c a⋅h = 2 2
İKİZKENAR ÜÇGEN
C
1. İki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir. Diğer kenara taban denir.
DİK ÜÇGEN
[BC]: Taban, PİSAGOR BAĞINTISI
B ve C: Taban açıları,
ABC dik üçgeninde [AC] kenarına hipotenüs 2 2 2 denir ve b = a + c dir.
A : Tepe açısı |AB| = |AC| ⇔ m(B) = m(C)
A A
b
c
B
a
B
C
C
2. A, B ve H noktaları doğrusal F, B ve C noktaları doğrusal [FH] ⊥ [HB]
Bir dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısıdır.
|AB| = |AC| ise, |FE| – |FH| = hb – hc dir. A
A
E D hb B
D
F
C
B H
3
C
Geometri Formülleri 3. P herhangi bir nokta
A
[PR] // [AB], [PS] // [AC] ve |AB| = |AC| olmak üzere |PR| + |PS| = |AB| = |AC|
E
h
D
A
P R
B
S
B
P
H F
C
4. Eşkenar üçgenin içinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı, eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.
C
ABC eşkenar üçgen, P herhangi bir nokta ise |PR| + |PS| + |PT| = a
EŞKENAR ÜÇGEN
A
1. Üç kenar uzunluğu da birbirine eşit olan üçgendir. İç açıları eşit ve 60 ar derecedir.
R
A
a
60°
S
a
P
a B
60° B
T
C
60° a
ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
C
1. ABC üçgeninde [AN], iç açıortay olmak üzere (nA)
2. Eşkenar üçgende yükseklik hem açıortay hem de kenarortaydır.
A
(ha = hb = hc = Va = Vb = Vc = nA = nB = nC) A 30° 30°
nA
B
B
a 2
a 2
C
| AB | | BN | A( ABN) = = | AC | | NC | A( ANC)
30° 30°
30° 30°
N
C
2
ve | AN | =| AB | ⋅ | AC | − | BN | ⋅ | CN | ı
3. Eşkenar üçgenin üzerinden veya içinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.
2. ABC üçgeninde [AN ] dış açıortay olmak ı
üzere,
ABC eşkenar üçgen, |AH| = h
| AC | | N C | = | AB | | NıB |
| ANı |2 =| NıC | ⋅ | NıB | − | AC | ⋅ | AB | şeklindedir.
P, herhangi bir nokta |PD| + |PF| + |PE| = h
4
Geometri Formülleri A
A ı
nA c B
C
N
ı
a 2
B
3. Bir üçgende iki dış açıortayı ile bir iç açıortayı bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir.
a 2
D
C
2. [AD] kenarortay, [AH] yükseklik,
O, ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir. 4. D, ABC üçgeninin iç merkezi ise,
b
Va
2
2
|HD| = x ise, 2 ⋅ a ⋅ x =| b − c | dir. A
teğet çemberinin
A(CDB) A( ADC) A( ABD) = = dir. a b c
b
c
Va
ha
A B c
H x D
C
a
b
3. G, ABC üçgeninin ağırlık merkezi
D
2
2
2
m(BAC) = 90° ise, 5 ⋅ Va = Vb + Vc B
a
C A
ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI c E
1. Kenarortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin ağırlık merkezidir.
Vb
Va
F
G
Vc
b
A B
D
C
a D
E G
2
2
2
4. [BD] ⊥ [CE] ⇒ Va = Vb + Vc A B
F
C
G, ağırlık merkezi olmak üzere,
Va
E
|AG| = 2|GF|, |BG| = 2|GD| ve
D
Vb
|CG| = 2|GE| dir. 2
Kenarortay teoremi, 2 ⋅ Va +
Vc
2
2 2 a =b +c 2
B
5
F
C
Geometri Formülleri ÜÇGENDE ALAN
A
Yükseklik: Bir üçgende herhangi bir köşeden karşısındaki kenara (veya kenarın uzantısına) indirilen dikmeye denir. A( ABC) =
a ⋅ ha
=
2
b ⋅ hb 2
=
c
2 B
A
hb
c
hc
A( ABC) =
C
O, iç teğet çemberinin merkezi r, çemberin yarıçapı ve C
a
u=
Herhangi İki Kenar ve Bu İki Kenar Arasındaki Açısı Verilen Üçgenin Alanı A( ABC) =
a
Çevresi ve İç Teğet Çemberinin Yarıçapı Verilen Üçgenin Alanı
b
ha B
b
c ⋅ hc
a+b+c olmak üzere 2
A(ABC) = u ⋅ r şeklindedir.
1 b ⋅ c sin( A ) 2
A
1 a ⋅ c sin(B) 2
b
c r
1 A( ABC) = a ⋅ b sin(C) 2
r O
r
A B
C a
c
b
Çevresel Çemberin Yarıçapı ve Kenar Uzunlukları Verilen Üçgenin Alanı B
a
|OC| = R (çevrel çemberin yarıçapı)
C
A( ABC) = Üç Kenar Uzunluğu Verilen Üçgenin Alanı
a⋅b⋅c 4R
şeklindedir.
ABC üçgeninin çevresi
A
Ç(ABC) = a + b + c olmak üzere, u=
a + b + c Ç( ABC) = 2 2
c
b O
R
A ( ABC)= u ⋅ (u − a) ⋅ (u − b ) ⋅ (u − c ) B
şeklindedir.
6
a
C
Geometri Formülleri ÜÇGENDE ALAN İLE İLGİLİ BAZI ÖZEL DURUMLAR
Benzerlik oranı: | AB | | BC | | AC | ha hb hc = = = = = =k | DE | | EF | | DF | hd he hf
1. Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı ile tabanları oranı eşittir. d1 // d2 ise h, ABC ve DEF üçgenlerinin ortak yüksekliğidir.
nA nD
a⋅h a = 2 = d⋅h d A(DEF) 2
=
nB nE
nC
=
nF
=
Va Vd
=
Vb Ve
Vc
=
Vf
=
Ç( ABC)
=k
Ç(DEF)
A( ABC)
ve
=
A(DEF)
ABC üçgeninde [ED] // [BC] | AE | | AD | | ED | = = | AB | | AC | | BC |
| AB | ⋅ | AC | ⋅ | BC | şeklindedir. a ⋅c ⋅e + b ⋅ d⋅ f
A
A
E
f
a
2
TEMEL BENZERLİK TEOREMİ
a ⋅ ha h A( ABC) a = d ise = 2 = a olur. d ⋅ hd hd A(DEF) 2 A( ABC)
=k
A(DEF)
2. Taban uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanları oranı, (eşit olan tabanlara ait) yüksekliklerinin oranına eşittir.
3.
A( ABC)
D
D B
E
C
e
b
temel benzerlik teoremi denir. c
B
d
F
C
THALES (TALES) TEOREMİ BENZERLİK ORANI VE BENZER ÜÇGENLERİN ALANLARI ORANI
1. [AD] // [BE] // [CF] | AB | | DE | | AB | | DE | ve şeklindedir. = = | BC | | EF | | AC | | DF |
ABC ∼ DEF dir. | AB | | BC | | AC | = = = k oranına benzerlik | DE | | EF | | DF | oranı denir.
A B
A
c
C
a
E F
D
b f
B
D
C
E
e d
2. [AC] // [DE] olmak üzere | AB | | CB | | AC | şeklindedir. = = | BE | | BD | | DE |
F
7
Geometri Formülleri A
C
2
x =
2
2
b ⋅m + c ⋅n − m ⋅ n şeklindedir. a A
B
c
b x
D
E k
B
MENELAUS TEOREMİ
n
P
C
a
Şekildeki ABC üçgeninin BC kenarının uzantısı ile, [AB] ve [AC] nı kesen d doğrusu verildiğinde;
CARNOT TEOREMİ P, herhangi bir nokta olmak üzere;
| PC | | BS | | AR | ⋅ ⋅ = 1 olur. | PB | | AS | | CR |
2
2
2
2
2
a +c +e =b +d +f
2
şeklindedir.
A
A d
f
a
S
R S
R b B
C
P
c
B
SEVA TEOREMİ
e
P
T
d
C
ÇOKGENLER
Şekildeki ABC üçgeninde,
Konveks Çokgenin Özellikleri | AS | | BT | | CR | ⋅ ⋅ = 1 şeklindedir. | BS | | CT | | AR |
n kenarlı bir konveks çokgenin; 1. İç açılarının ölçülerinin toplamı: (n – 2) ⋅ 180° dir.
A
2. Dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir. 3. Bir köşesinden çizilen köşegenlerle çokgen, R
(n – 2) tane üçgene ayrılır.
S
4. Bir köşesinden çizilen tüm köşegenlerin sayısı, (n – 3) tür.
P B
T
5. Bir çokgenin tüm köşegenlerinin sayısı;
C
n(n − 3) dir. 2
STEWART TEOREMİ
6. Kenar sayısı n olan bir konveks çokgenin çizilebilmesi için (2n – 3) tane elemanı bilinmelidir. Bu elemanların en az (n – 2) tanesi uzunluk, en çok (n – 1) tanesi açı olmalıdır.
Şekildeki ABC üçgeninde a, b ve c kenar uzunlukları P, [BC] nın üzerinden alınan herhangi bir nokta olmak üzere,
8
Geometri Formülleri DÜZGÜN ÇOKGENLER
DÖRTGENLER
Kenarları eşit uzunlukta ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.
Konveks Dörtgenin Genel Özellikleri 1. İç açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
Düzgün Çokgenin Özellikleri 2. A(ABCD) =
1. n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü:
1 ⋅ |AC| ⋅ |BD| ⋅ sinα dır. 2 C
360° dir. n
D K
2. n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü: (n − 2) ⋅ 180° 360° veya 180° − dir. n n
α
A
Düzgün Çokgenin Alanı
B
3. Köşegenleri dik kesişen bir dörtgende
1. Bir kenarının uzunluğu a, iç teğet çemberinin yarıçapı r olan n kenarlı düzgün çokgenin alanı:
2
2
2
2
a) a + c = b + d b)
n⋅a⋅r A= dir. 2
A( ABCD) =
| AC | ⋅ | BD | 2 D
d
O
c
A r
a
C
a a
b
a B
2. Çevrel çemberinin yarıçapı R olan n kenarlı düzgün çokgenin alanı A=
4. [AC] ve [BD] köşegen
360° 1 ) dir. ⋅ n ⋅ R ⋅ sin α (α = n 2
S1 ⋅ S3 = S2 ⋅ S4 tür.
2
D
C
O R
α
α
R
α
S3 S4
R
R
K
S2
S1 A
9
B
Geometri Formülleri PARALELKENAR
A
D
a α
Karşılıklı kenarları parelel ve eşit olan dörtgene paralelkenar denir. Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir.
b b
[AB] // [DC] ve [AD] // [BC] dir.
θ
α + θ = 180° olur.
a
B
A
C
D
4. K, paralelkenarın üzerinde herhangi bir nokta
α
θ
ise A(BKC) = S1 + S2 ve A( ABCD) = 2 ⋅ A(BKC) dir.
θ
α B
C
A
1. Köşegen uzunlukları, birbirlerini eşit iki parçaya bölerler. Alan dört eşit parçaya bölünür. E noktası parelelkenarın ağırlık merkezi veya simetri merkezidir. A
S2
B
S E
D
S1
D
S
K
C
5. P, paralelkenarın içerisinde herhangi bir nokta ise S1 + S3 = S2 + S 4
S
S A B
D
C
S4 S1
2. Paralelkenarın a kenarına ait yüksekliği ha ve b kenarına ait yüksekliği hb olsun.
S3
P S2
ha ≠ hb dir. Paralelkenarın alanı;
B
C
A ( ABCD ) = a ⋅ ha = b ⋅ hb
6. B, H, F, E noktaları ve E, D, C noktaları A
2
D
doğrusal ise | BH | =| HF | ⋅ | HE |
hb E b
ha
A B
F
D
C a
H
3. Paralelkenarın kenar uzunlukları ile bir açısı veriliyor ise alanı; A( ABCD) = a ⋅ b sin α = a ⋅ b ⋅ sinθ
10
B
C
Geometri Formülleri 7. A(ABCD) = S ise A(BEF) = A( ABE) = A(BCF) = A(DEF) =
2
3 ⋅S 8
2
2
A(APD) + A(BPC) = A(APB) + A(CPD) şeklindedir.
1 ⋅S 4
A
1 ⋅ S olur. 8 A
2
|AP| + |CP| = |BF| + |DP| ve
E
D
P
D S 8
S 4
3S 8
F
B
S 4
B
C
4. P, dikdörtgenin dışında herhangi bir nokta olmak üzere P yi köşelerle birleştirdiğimizde;
C
2
2
2
2
|AP| + |CP| = |BP| + |DP| şeklindedir.
DİKDÖRTGEN
P
Köşe açılarının ölçüleri 90° dir. Karşılıklı kenarları ve köşegen uzunlukları eşittir.
A
D
B
C
1. Köşegenler alanı dört eşit parçaya böler. Köşegenler birbirini ortalar. A
D
a S
b
S
S
b
KARE
S a
B
Köşegenleri dik kesişen ve köşegenleri açıortay olan dikdörtgene kare denir.
C
Dikdörtgenin özellikleri kare için de geçerlidir. 2. Dikdörtgenin çevresi,
ABCD karesinde |AC| = |BD| = a 2 dir.
Ç(ABCD) = 2⋅⋅(a + b)
2
A(ABCD) = a ⋅ a = a ve
Dikdörtgenin alanı, A(ABCD) = a ⋅ b şeklindedir. A
a
b
A(ABCD) = D
| AC | ⋅ | BD | 2
A
a
45° 45°
b
D 45° 45°
E B
a
a
a
C
3. P, herhangi bir nokta olmak üzere P yi köşelerle birleştirdiğimizde;
45° 45° B
11
45° 45° a
C
Geometri Formülleri 2. [EF] orta taban,
DELTOİD Taban uzunlukları ortak iki ikizkenar üçgenden oluşan şekle deltoid denir. Tepe azçılarını birleştiren köşegen açıortaydır. Ayrıca diğer köşegenin uzunluğunu dik ortalar.
|AB| = a, |CD| = c ise |EF| = D
a+c dir. 2
C
c
m(ADC) = m(ABC) ve A(ABCD) =
| AC | ⋅ | BD | 2
a+c 2
E
F
D α θ
A
C
E
B
3. ABCD yamuğunda [AC] ve [DB] köşegen
α θ
A(KAD) = S1, A(KAB) = S2
B
A(KBC) = S3, A(KCD) = S4 ise
YAMUK
S1 = S3 ve S1 =
İki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir.
S2 ⋅ S 4 tür.
A(ABCD) = ( S2 + S 4 )
Paralel olan kenarlara yamuğun tabanları, diğer kenarlara yamuğun yan kenarları denir. [AD] nın orta noktası E, [BC] nın orta noktası F ise [EF] na orta taban denir ve
2
dir.
D
C S4 S1
[EF] // [AB] / [CD] dır. D
a
A
C
S3
K S2
A E
B
F
YAMUĞUN ALANI A
ABCD yamuk, [KH] ⊥ [AB],
B
|AB| = a, |DC| = c, |KH| = h ise
Özellikler
a+c Alan(ABCD) = ⋅ h 2
1. [AB] // [DC], m(A) + m(D) = m(B) + m(C) = 180° dir. D
♦
C
ABCD yamuk, |KC| = |KB| ise A(AKD) = A(ABCD) = |KH| ⋅ |AD| dır.
A
B
12
A( ABCD) ve 2
Geometri Formülleri D
C
D
c
C
A a–c H 2
c
K a–c B 2
H K
A
♦
B
a
ABCD yamuk, [EF] // [AB],
4. ABCD ikizkenar yamuk, [AC] ⊥ [BD] ve yamuğun yüksekliği ise
|EF| = x, A(EDCF) = S1, A(AEFB) = S2 ve 2
a +c 2
S1 = S2 ise x =
2
h=
dir.
2 a+c ve A(ABCD) = h dir. 2
D D
c
C
c
C
H
K
S1
h
x
E
F
S2 A
a
A
a
B
B
DİK YAMUK Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.
İKİZKENAR YAMUK Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. D
c
C
C
c β
D
β
h
b
b
α
α a
A
a
A B
♦
B
Bir dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa h = a ⋅ c dir.
Özellikler 1. Taban açıları eşittir.
D
c
C
m(A) = m(B) = α, m(C) = m(D) = β dir. 2. Köşegenleri eşit uzunluktadır. h
3. [DH] ⊥ [AB], [CK] ⊥ [AB] |AH| = |KB| = |
a−c | 2 A
13
a
B
Geometri Formülleri ÇEMBER
A
Teğet : Çember ile bir ortak noktası olan doğruya teğet denir. Kesen : Çember ile iki ortak doğruya kesen denir. Kiriş
Yay
2α
noktası olan α
: İki ucu da çember üzerinde olan doğru parçasına kiriş denir. Merkezden geçen kirişe çap denir. En büyük kiriş çaptır. : Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan parçaya yay denir.
B
m(AC) = 2⋅m(ABC) = 2α 3. Teğet-Kiriş Açı Çember üzerinde teğet ile kirişin oluşturduğu açıya teğet-kiriş açı denir.
T teğer
Teğet-kiriş açının ölçüsü gördüğü yayın yarısına eşittir.
kesen O
A
B
D kiriş
A
C
α 2α
B
C
AB yayı, AB şeklinde gösterilir. AB yayının ölçüsü ise m(AB) şeklinde gösterilir.
m(BC) = 2⋅m(ABC) = 2α 4. Çapı Gören Çevre Açı
ÇEMBERDE AÇI, TEĞET, KİRİŞ, KESEN ÖZELLİKLERİ
Çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir.
1. Merkez Açı İki yarıçapın oluşturduğu açıya merkez açı denir.
A
B O
Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. A r O
α
5. Merkezle teğetin değme noktasını birleştiren yarıçap, teğete diktir.
α
T, teğet noktası ise d ⊥ [TO]
r
T
B
d
m(AB) = m(AOB) = α r
2. Çevre Açı Bir ucu ortak olan iki kriş arasındaki açıya çevre açı denir. Çevre açı gördüğü yayın yarısına eşittir.
14
O
Geometri Formülleri 6. Çemberin sınırladığı alan içerisinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açı
B D
A
m( AB) + m(CD) a + b α= = 2 2
F
C E
P A
O
K a α
K
D
L
Bu kesenler arasındaki bağıntı; B
α
P, çemberin dışındaki bir nokta olduğuna göre
b
|PA| ⋅ |PB| = |PC| ⋅ |PD| = |PE| ⋅ |PF| = ...
C
7. Çemberin sınırladığı alan dışında kesişen iki kesenin oluşturduğu açı m(BPC) = α=
şeklindedir. 3. Noktanın çembere göre kuvveti alındığında; A, teğet noktası olmak üzere
m(BC) − m( AD) 2
2
|PA| = |PB| ⋅ |PC| = |PD| ⋅ |PE| şeklindedir.
x−y şeklindedir. 2
C A B
A B P
α
x
y
P
D
D C
E
4. Çemberin içindeki bir P noktasından sonsuz sayıda kiriş çizilir. P noktasının bu kirişlerden ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı eşittir.
ÇEMBERDE UZUNLUK
|PA| ⋅ |PE| = |PB| ⋅ |PF| = |PC| ⋅ |PH| =
1. Çembere dışındaki bir P noktasından iki tane teğet çizilirse bu uzunlukları birbirine eşittir.
|PD| ⋅ |PK| = ... şeklindedir. P noktasının çembere göre kuvveti;
A P
Kuvvet = |PA| ⋅ |PE| = |PB| ⋅ |PF| = ... şeklindedir. A
B C
B
K H
P O
[PA ve [PB teğet |PA| = |PB| şeklindedir.
D
2. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere sonsuz sayıda kesen çizilir.
15
F
E
Geometri Formülleri 5. Merkezden, uzunlukları eşit olan kirişlere çizilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. |AB| = |CD| ise |AH1| = |BH1| = |CH2| = |DH2| ve |OH1| = |OH2| şeklindedir.
DAİRENİN ALANI VE ÇEVRESİ 1. Bir çember ve çemberin iç bölgesini oluşturan noktaların kümesinin oluşturduğu şekle daire denir. 2
A
Dairenin alanı = π ⋅ r
C
2
A( AOB)Daire di limi = H1
π ⋅ r ⋅ α | AB | ⋅r = 360° 2
H2 O
2. Çemberin çevre uzunluğu = 2 ⋅ π ⋅ r
B
AB yayının uzunluğu | AB |=
D
şeklindedir.
6. [AB] // |[CD] ise |AC| = |BD| dir. |AB| = |CD| ise |AB| = |CD| A A
B
C
D
C
B
D
16
2⋅ π⋅r ⋅α 360°