MATEMATICAS III PART.A by Brandon Alvarez

Matemรกticas III Parte A

Introducción

La asignatura de Matemáticas III parte A, te permitirá enlazar los contenidos de dos ramas de la matemática que son la base del componente de formación básica, el álgebra y la geometría, esto, mediante la modelación algebraica de las relaciones y formas geométricas que has explorado desde otros puntos de vista, así como identificar a partir de registros algebraicos formas geométricas con las que has convivido desde tu infancia como son las rectas y las circunferencias.

La presente asignatura tiene tendencia hacia el desarrollo de dos de las habilidades matemáticas clave que son la capacidad de abstracción y generalización, así como a la valoración del lenguaje algebraico como una potente herramienta para representar de manera matemática relaciones y propiedades de lugares geométricos.

Simbología La siguiente iconografía te permitirá identificar los momentos en que está dividido tu proceso de aprendizaje dentro del material didáctico.

El alumno al término del curso de Matemáticas III Parte A: • Identifica lugares geométricos y resuelve problemas de la geometría plana con coordenadas. • Determina la ecuación así como la representación gráfica de la recta y de la circunferencia en sus diferentes modalidades. • Representa los lugares geométricos y los aplica en el desarrollo de ejercicios y modelos matemáticos.

Al término del curso de Matemáticas III Parte A, serás capaz de: • Resolver problemas del sistema de ejes coordenados mediante el análisis de gráficas en los que se representen coordenadas de un punto y lugares geométricos. • Identificar las propiedades y las distintas modalidades de la ecuación de la recta analíticamente y mediante su interpretación gráfica. • Resolver problemas relativos a la circunferencia, a través del análisis descriptivo, aplicación y combinación de sus propiedades, gráficas y ecuaciones ordinarias y generales.

Geometría Analítica

Sistemas Coordenados

Lugares Geométricos

Rectangulares La recta •Puntos en el plano •Distancia entre dos puntos •División de un segmento en una razón dada •Punto medio •Perímetros y áreas

•Propiedades •Formas de la ecuación de una recta y transformaciones •Intersección de rectas •Relación entre rectas

Cónicas

Circunferencia

• Propiedades • Ecuaciones • Condiciones geométricas y analíticas

Guía de Estudios Matemáticas III Parte A Objetivo General • Resolver problemas del sistema de ejes coordenados mediante el análisis de gráficas en los que se representen coordenadas de un punto y lugares geométricos. • Identificar las propiedades y las distintas modalidades de la ecuación de la recta analíticamente y mediante su interpretación gráfica. • Resolver problemas relativos a la circunferencia a través del análisis descriptivo, aplicación y combinación de sus propiedades, gráficas y ecuaciones ordinarias y generales.

Semana 1 Bloque I: Reconoce lugares geométricos Unidades de competencia: • Analiza las relaciones entre las variables que conforman las parejas ordenadas que determinan un lugar geométrico. • Interpreta la información contenida en tablas, gráficas, mapas, diagramas, etc.; a partir de noción de parejas ordenadas. • Argumenta la relación inferida entre los elementos de conjuntos de parejas ordenadas para establecer que define un lugar geométrico. Calendario de Estudio Día Lunes

Temas 1 Sistemas coordenados rectangulares 1.1 Coordenadas cartesianas de un punto 1.1.1 Ejes coordenados 1.1.2 Parejas ordenadas 1.1.3 Identidad de parejas ordenadas 1.1.4 Punto en el plano

Martes

1.2 Lugares geométricos 1.2.1 Concepto de lugar geométrico 1.2.2 Tabulación de valores 1.2.3 Intersecciones con los ejes 1.2.4 Simetrías respecto al origen y los ejes 1.2.4.1 Simetría con respecto a los ejes 1.2.4.2 Simetría con respecto al origen

Evidencia de aprendizaje Identifica las coordenadas de un punto en el plano cartesiano mediante el análisis del mismo. Crea un sistema de ejes coordenados tomando un punto de referencia y asignando valores proporcionalmente a los ejes coordenados a través de un mapa. Asocia parejas ordenadas con puntos en el plano cartesiano mediante un problema real. Traza el lugar geométrico a partir de la condición expresada en forma verbal o algebraica de ejercicios que involucran rectas, circunferencias o parábolas con vértice en el origen. Identifica en la gráfica de una ecuación su intersección con los ejes y posibles simetrías mediante su estudio 9 analítico y geométrico.

Bloque II: Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos Unidades de competencia: • Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos y polígonos, al resolver problemas derivados de situaciones reales o teóricas. • Cuantifica y representa magnitudes en segmentos y polígonos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de segmentos y polígonos.

Calendario de Estudio Día

Miércoles

Temas

1.3 Segmentos rectilíneos 1.3.1 Segmentos dirigidos y no dirigidos 1.3.2 Longitud de un segmento 1.3.3 Distancia entre dos puntos 1.3.4 División de un segmento en una razón dada 1.3.5 Punto medio

Evidencia de aprendizaje

Calcula la distancia y punto medio entre dos puntos en el plano cartesiano mediante la aplicación de las fórmulas correspondientes. Determina la razón en que se divide un segmento rectilíneo a partir de las coordenadas de un punto en la recta. Divide un segmento rectilíneo de acuerdo con una razón dada.

Jueves

Viernes

1.4 Polígonos 1.4.1 Perímetros 1.4.2 Áreas Examen semana 1 Revisa la opción de proyecto modular 1

Utiliza el cálculo de distancias entre dos puntos para obtener perímetros y áreas de polígonos en el plano cartesiano. Realiza el examen de la semana 1.

1 Sistemas coordenados rectangulares 1.1 Coordenadas cartesianas de un punto 1.1.1 Ejes coordenados 1.1.2 Parejas ordenadas 1.1.3 Identidad de parejas ordenadas 1.1.4 Punto en el plano

Semana 1 / Sesi贸n 1 / Lunes

Al finalizar la sesión 1, serás capaz de: •

Localizar un punto en el sistema de ejes coordenados rectangulares a partir de una pareja ordenada.

•

Identificar las coordenadas de un punto en el plano mediante el análisis del mismo.

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Recuerda:

• Una de las propiedades de la línea recta es la sucesión continua de puntos en una Línea Recta

dimensión (longitud o extensión).

• Dos o más rectas se pueden clasificar en función de la posición que existe entre ellas. a) Paralelas b) Perpendiculares c) Secantes

• Entre los números reales existe un orden, éste puede ser representado en una recta, la cual se denomina recta numérica.



-8 -7

-6

-5 -4

-3 -2 -1



• Los símbolos que se utilizan para mostrar la relación entre dos números se llaman símbolos de desigualdad. a) “Menor que”

b) “Mayor que”

c) “Diferencia”

≠

Así, se puede usar el símbolo de desigualdad < para decir que 3 es menor que 12, (3 < 12). De la misma manera que – 3 es mayor que – 9, ( – 3 > – 9 ) Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios. 1. Identifica rectas perpendiculares y márcalas con un círculo en las siguientes figuras.

2. Coloca el signo de desigualdad según corresponda: a) 7 ___ 24 b) – 5 ___ 1 c) 13 ___ – 2 d) 32 ___ 23

e) 1/2 ___ 3/5 2

3. Localiza y marca en la recta los siguientes números: 3, 5, – 4, 6, – 5, – 1.



-8 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

 3. Ejemplo: 2. a) <, b) <, c) >, d) >, e) <

Respuestas: 1. Ejemplo

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

El circo “Alegría”

El circo “Alegría” hará una única presentación en el Parque Central de Guadalajara, Jalisco. Un grupo de amigos (Brandon, Jean, Rodrigo y Carlos) ya adquirieron sus boletos VIP para ellos y para sus amigas (Any, Ximena, Marie y Cyndi).

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

El día del evento, el grupo de amigos se encuentra en la Calle 10 y Avenida 14, sus amigas en la Calle 21 y Avenida 10.

En el siguiente mapa, marca con un círculo el lugar donde se encuentra el grupo de amigos y con un triángulo el grupo de amigas.

Para poder entrar al evento es requisito hacerlo por parejas. Si ambos grupos de amigos salen a la misma hora rumbo al Parque Central (suponer que no hay tráfico, viajan en el mismo medio y a la misma velocidad), ¿a quién le tocará esperar al otro grupo? Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

1 Sistemas coordenados rectangulares 1.1 Coordenadas cartesianas de un punto Para determinar las coordenadas de un punto es preciso crear un plano cartesiano a través de un punto de referencia, y en función de éste ubicar cualquier otro punto en el plano mediante valores proporcionados a los ejes coordenados y conforme a su posición se ubican sus valores correspondientes a cada eje para formar la pareja ordenada llamada también coordenada de un punto.

1.1.1 Ejes coordenados En la actividad de repaso has visto lo que son las rectas numéricas y las rectas perpendiculares. En este tema se toman dos rectas numéricas que se cortan entre sí perpendicularmente recibiendo el nombre de ejes coordenados, ya que se toman de referencia para situar puntos. Como habrás notado en la sección “Explora”, el plano de la ciudad de Guadalajara está trazado por calles y avenidas numéricas las cuales parten de un punto de origen o punto de referencia a partir del cual se comienza la numeración.

Lo mismo ocurre con los ejes coordenados, el punto de intersección es el punto de origen de donde parte la numeración de las rectas.

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Sabías que… El plano cartesiano recibe este nombre en honor a René Descartes

Los ejes coordenados parten al plano en cuatro espacios denominados cuadrantes. Cada uno se distingue por la posición que ocupa respecto a la numeración (positiva o negativa) de los ejes coordenados. (Ver figura 1) Nota: es muy importante que sepas que hablar de un sistema de ejes rectangulares o coordenados es hablar de un plano cartesiano.

•Al eje horizontal se le llama eje de las “x” •o “de las abscisas”. •Al eje vertical se le llama eje de las “y” • o “de las ordenadas” Figura 1 Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

1.1.2 Parejas ordenadas Para localizar en el plano de Guadalajara al grupo de amigos, estableciste un orden entre las referencias dadas y ubicaste primero una de ellas, luego lo hiciste con la segunda, hasta encontrar el punto donde ambas se juntan. Ese punto en el plano es la correspondencia de las referencias dadas, es decir, lo que en matem谩ticas se conoce como coordenada o pareja ordenada.

Calle 10

As铆 mismo, dados los grupos de amigos y de sus amigas, al establecer una relaci贸n entre los elementos de cada conjunto se crea una pareja ordenada. La coordenada o pareja ordenada del punto en el plano es (Calle 10, Av. 14)

Ejemplo: (Brandon, Any), (Jean, Ximena)

Av. 14 Calle Calle10 10 Semana 1 / Sesi贸n 1 / Lunes

Ejemplo: Camelia tiene que ir a una fiesta por la noche pero no sabe aún qué ponerse, entre las prendas que seleccionó como posibles casos para portar se encuentran, en un conjunto de pantalones de vestir, uno negro, otro azul, uno rojo y uno café, y dentro del conjunto de blusas una crema estampada, una blanca, otra amarilla y una rosa. Mediante un diagrama de flechas (diagrama sagital) representa las posibles combinaciones que podría hacer Camelia para ir a la fiesta en la noche y además integra en un solo conjunto mediante parejas ordenadas las combinaciones posibles de pantalones con blusas.

Solución: El conjunto de parejas ordenadas determinado de la siguiente manera:

queda

{(negro, crema), (negro, blanca), (negro, rosa), (azul, crema), (azul, blanca), (rojo, crema), (rojo, blanca), (rojo, rosa), (café, crema), (café, amarilla), (café, rosa)}.

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

1.1.3 Identidad de parejas ordenadas De la misma manera, un punto en el plano cartesiano es la correspondencia de un elemento en el eje “x” (abscisa) y otro en el eje “y” (ordenada), el cual es representado por la pareja ordenada (x, y).

Dos parejas ordenadas son idénticas solamente si cada uno de los elementos que la componen son exactamente iguales.

(a, b) = (x, y) si a = x y b = y Las letras pueden tomar cualquier valor de los números reales.

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

1.1.4 Punto en el plano

Localizar un punto en el plano dada las coordenadas

(1, 6)

El procedimiento para que localices un punto en el plano dada la pareja ordenada (x, y) es el siguiente:

6 5

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Identifica el eje de las “x”. Visualiza la abscisa y trasládate hacia ella. Traza una línea vertical punteada sobre la misma Identifica el eje de las “y”. Visualiza la ordenada y trasládate hacia ella. Traza una línea horizontal punteada sobre la misma. El punto en el plano es la intersección de las dos líneas punteadas.

(-4, 3)

3 2 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

A la distancia de un punto en el plano al eje “x” se le llama ordenada. A la distancia de un punto en el plano al eje “y” se le llama abscisa.

-2

(0, -2)

-3 -4

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Determinar las coordenadas de un punto en el plano

Dado el punto en el plano puedes obtener su pareja ordenada (x, y) siguiendo los pasos que a continuación se mencionan:

6 1) 2) 3) 4) 5)

P( -2, 4)

Traza una línea vertical sobre el punto dado. Identifica la abscisa donde cruza la línea trazada con el eje de las “x”. Traza una línea horizontal sobre el punto dado. Identifica la ordenada donde cruza la línea trazada con el eje de las “y”. Los elementos obtenidos forman la pareja ordenada correspondiente al punto dado.

3 2 1

-6

-5

-4

-3

- -22

-1

-2 -3 -4

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Ejemplo 1:

Solución:

Identifica en el plano cartesiano el siguiente conjunto de parejas ordenadas que muestran la relación entre los días de la semana y la temperatura ambiental.

{(Lunes, 38ºC), (Martes, 35ºC), (Miércoles, 39ºC), (Jueves, 41ºC), (Viernes, 33ºC), (Sábado, 31ºC), (Domingo, 29ºC)}

¿Qué día fue el más caluroso? y ¿qué día estuvo más baja la temperatura?

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Ejemplo 2: La semana siguiente las temperaturas cambiaron, en la gráfica se muestran las cantidades que corresponden a cada día, completa el conjunto de parejas ordenadas según corresponda.

{(Lunes, ______), (Martes, ______),

(Miércoles, _____), (Jueves, _____), (Viernes, _____), (Sábado, ______),

(Domingo, ______)}

¿Qué día fue el más caluroso? y ¿qué día estuvo más baja la temperatura? Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

A continuación se presentan los datos de algunas actividades volcánicas en el mundo (1800-2009): 1815 – volcán indonesio Tambora 1824 – Tao, Nuevo del Fuego y Tinguatón 1870 – volcán Ceboruco 1877 – volcán Cotopaxi 1883 – volcán Krakatoa 1883-1891 volcán Taal 1902 – volcán Martinica 1904 – volcán de Santa Ana 1909 – volcán de Chinyero 1913 – volcán de Colima 1917 / 1920 volcán San Salvador 1920 – volcán Popocatépetl 1922 – volcán Santiaguito 1929 – volcán Santiaguito 1932 – volcán en Chile 1941 – volcán Katmai 1946 – volcán en Costa Rica 1947 – volcán Cerro Negro 1961 – volcán Calbuco 1968 – volcán Arenal Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

1969 – volcán Irazú 1971 – volcán Teneguía 1973 – volcanes de Hengill, Vestmannaeyjar y Askja 1980 – volcán Popocatépetl y de Colima 1988 – volcán Lonquimay 1991 – volcán Hudson 1993 – volcán Láscar 1994 – volcán Popocatépetl 1995 – volcán “La Cumbre” 1997 – volcán San Cristóbal y Cerro Negro 1999 – volcán Tungurahua, Guagua Pichincha 2000 – volcán Cordillerano 2004 – volcán de Colima 2005 – volcán Paricutín 2006 – volcán San Cristóbal, Tungurahua, Telica 2007 – volcán Lopevi, volcán siciliano Etna 2008 – volcán Tungurahua, Llaima y Chaitén, Nevado del Huila, Peteroa, Cerro Azúl, Chaitén, Reventador 2009 – volcán Llaima, La Cumbre, Maico 26

Dados los datos anteriores construye un plano cartesiano y una gráfica de barras que represente la información.

20 18 16 14

10 9 8 7 6 5 4

Cantidad

12 10 8 6 4

3 2

Años por 100 Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

1800

1850

1900

1950

2000

Con este ejercicio, puedes observar la importancia y aplicación del plano cartesiano para ubicar eventos y representar datos. 27

Actividad 1

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios.

• Dados los puntos en el plano, identifica y escribe sobre el mismo su pareja ordenada. • Localiza los siguientes puntos en un nuevo plano cartesiano dadas sus coordenadas: a) b) c) d) e) f) g)

(2, 3) ( – 6, 1) (5, – 4) (0, 0) (0, 3) (1, – 2) (4, 0)

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Actividad 2 Instrucciones: toma como referencia la siguiente imagen y realiza lo que se te pide. • Escoge un punto de referencia dentro del mapa. • Sobre este punto traza los ejes coordenados y enuméralos proporcionalmente. • Identifica y obtén las coordenadas de los puntos marcados.

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Actividad 3 Instrucciones: analiza la siguiente información y realiza lo que se te indica posteriormente. Animales en Peligro de Extinción El koala, uno de los símbolos de Australia, corre el riesgo de extinguirse en menos de 30 años.

Estadísticas: • En 1788 había entre 7 y 10 millones • En 1924 había aproximadamente 100, 000 • En 2009 se estiman entre 43, 000 y 80, 000

Con los datos proporcionados: • Localiza en el plano la correspondencia entre los años y la cantidad de koalas.

Semana 1 / Sesión 1 / Lunes

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Al finalizar la sesión 2, serás capaz de: • Identificar lugares geométricos, intersección de estos con los ejes y simetrías en el sistema de ejes coordenados (plano cartesiano) mediante su estudio analítico y geométrico. • Construir a partir de un lenguaje numérico o verbal su lugar geométrico en el plano, e identificar la condición que lo caracteriza.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Recuerda:

• Para obtener las raíces de una ecuación cuadrática se utiliza el método de factorización o se resuelve mediante la fórmula general.

• El lenguaje verbal puede ser representado en forma algebraica, por ejemplo: Lenguaje verbal: Un número El doble de un número El triple de un número El cuádruple de un número El cuadrado de un número Es equivalente, es igual Más n unidades

Lenguaje algebraico x, y, z 2x 3x 4x x2 = +n

• Para determinar el valor de una variable en una ecuación, conociendo la otra, se sustituye dicho valor en la ecuación y se despeja la incógnita. Por ejemplo: Sea 3x + y = 7 con x = 2, obtener “y” Se despeja “y” Se sustituye x = 2 Se realizan las operaciones

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

y = 7 – 3x y = 7 – 3(2) (3 multiplica a 2) y=7–6 y=1 33

Instrucciones: lee, analiza y resuelve los ejercicios.

1. De las siguientes figuras identifica los puntos donde la gráfica corta a los ejes.

2. Obtén las raíces de la siguiente ecuación: x2 + x - 12 = 0 3. Expresa en su forma algebraica el siguiente enunciado: “el doble de un número más 13 unidades es equivalente al séxtuplo del mismo número menos una unidad”. 4. Dada la ecuación: 2y + 5 = 4x + 7, si x = 3, determina el valor correspondiente de “y”. 2. x1=-4, x2=3 3. 2x+13=6x-1 4. y=7 Respuestas: 1. Ejemplo.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Observa y analiza cada una de las siguientes imágenes: • ¿Habrá alguna manera de clasificarlas? • ¿Podrías relacionarlas con alguna figura geométrica? La relaciono con:

La relaciono con:

La relaciono con: La relaciono con: Semana 1 / Sesión 2 / Martes

La relaciono con:

1.2 Lugares geométricos En tu vida cotidiana y en tu entorno, si observas con atención cada situación o fenómeno descubrirás que pueden estar vinculados siempre a figuras geométricas, algunas de ellas con estética y armonía visual representada por simetrías y proporcionalidad.

En muchos casos la obtención de esta estética o armonía se logra en base a un detallado estudio matemático que involucra el lugar geométrico.

1.2.1 Concepto de lugar geométrico En la sección “Explora”, después de analizar cada una de las figuras, pudiste clasificarlas respecto a sus formas, las cuales reciben el nombre de lugar geométrico. El lugar geométrico es el conjunto de puntos en el plano que tienen una propiedad en común, la cual se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Al analizar las figuras de la sección “Explora” pudiste haberlas relacionado con respecto a su forma, como a continuación se muestra:

Recta

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Circunferencia

Elipse

Parábola

Ya conociste la forma de algunas figuras geométricas, has visto que las puedes encontrar en el mundo que nos rodea y que son de gran utilidad.

En la siguiente imagen se ilustran algunas formas geométricas con sus respectivos nombres, la cuestión ahora es saber ¿Cuál ecuación le corresponde a cada una de ellas? Puesto que a cada punto en el plano le corresponde una pareja ordenada, también a cada lugar geométrico le corresponde una ecuación específica.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

En la práctica adquirirás la facilidad para reconocer la ecuación de cada lugar geométrico en el plano, y también para identificar la ecuación correspondiente de cada lugar geométrico según sus características.

A continuación se muestran la forma general de las ecuaciones de las figuras geométricas indicadas en la imagen:

• Recta

y = ax + b

• Circunferencia

x2+y2 = r2

• Elipse

x2 + y2 = 1 b2x2 + a2y2 = a2b2 a2 b2

• Parábola

y = ax2

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

x = ay2

Para verificar que una ecuación corresponde a un lugar geométrico dado, y que el lugar geométrico corresponde a cierta ecuación, la geometría analítica posee el siguiente principio fundamental:

a) Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, el punto está en el lugar geométrico de la misma.

a) Si un punto está en el lugar geométrico de una ecuación, las coordenadas del mismo la satisfacen.

1.2.2 Tabulación de valores Se ha visto a grandes rasgos la ecuación general de algunas figuras geométricas en un sistema de ejes coordenados, pero ¿cómo representar el lugar geométrico o gráfica, cuando la ecuación dada tiene propiedades específicas? El principio fundamental de la Geometría Analítica es de gran utilidad para resolver dicho problema. Se necesita de varias parejas ordenadas para definir la forma de su lugar geométrico.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

El orden en matemáticas es de suma importancia para la obtención de resultados correctos, a partir de esta necesidad se creó la tabulación de valores (ver tabla 1 y 2).

En la tabulación los valores se ordenan para obtener las parejas ordenadas, se asigna a la variable independiente o abscisa “x” un valor, dicho valor se sustituye en la ecuación para obtener el correspondiente valor de la variable dependiente u ordenada “y”. Ecuación: y = 3x -2

Tabla de Natalidad en Nuevo León en la última década Población Por 1,000 h

23.6

22.3

20.8

19.8

19.0

18.5

18.1

17.7

17.4

17.0

Año

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Tabla 1

Valores de “x”

Valores de “y”

-3

-11

-2

-8

-1

-5

-2

Tabla 2

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Ejemplo: En la ecuación: y = 3x -2 Si x = – 3 Obtén el valor de “y” 1) Sustituye el valor de “x” en la ecuación: 2) El 3 multiplica al valor de “x” : 3) Resuelve la operación: 4) Obtienes la pareja ordenada:

Ecuación: y = 3x -2

y = 3(–3) – 2 y=–9–2 y = – 11 (– 3, – 11)

Valores de “x”

Valores de “y”

-3

- 11 -8

-2 -1

Si x = – 2 Obtener el valor de “y” 1) Sustituye el valor de “x” en la ecuación: 2) El 3 multiplica al valor de “x”: 3) Resuelve la operación: 4) Obtienes la pareja ordenada:

0 y = 3(–2) – 2 y=–6–2 y=–8 (– 2, – 8)

2 3

Obtén el resto de los valores correspondientes de “y” dado el valor de “x”.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Solución: Obtenidas las parejas ordenadas localiza los puntos en el plano. Ecuación: y = 3x -2 Valores Valores de “x” de “y”

-3 -2 -1 0 1 2 3

-11 -8 -5 -2 1 4 7

Pareja Ordenada

( -3, -11) ( -2, -8) ( -1, -5) ( 0, -2) (1, 1) ( 2, 4) ( 3, 7)

¿Qué característica observas en la gráfica?

¡Correcto! La continuidad de los puntos. Como “x” puede seguir tomando más valores, los puntos van siguiendo la misma trayectoria, de tal manera que integran una línea recta en el plano. Semana 1 / Sesión 2 / Martes

1.2.3 Intersecciones con los ejes En la actividad de repaso identificaste el cruce de una gráfica con los ejes. A este cruce se le conoce con el nombre de intersección. La intersección puede ser con respecto al eje “x” (si corta al eje “x” ) o con respecto al eje “y” (si corta al eje “y”). En el ejemplo anterior, la recta graficada corta al eje “y” en el punto (0, – 2). Si recuerdas, este punto se obtuvo sustituyendo x = 0 en la ecuación y = 3x – 2. A partir de esto se puede concluir que cuando “x = 0” la gráfica corta al eje “y” Ahora, ¿en qué punto cortará la gráfica al eje “x”?

¡Muy bien! Tomar respectivamente y = 0 en la ecuación y obtener el valor correspondiente de la “x”. En este caso, si la ecuación es y = 3x – 2 y y = 0. Obtienes el valor de “x” como lo hiciste anteriormente en la tabulación.

y = 3x – 2 como y = 0, entonces

0 = 3x – 2 3x = 2 x = 2/3 = 0.66

Las coordenadas del punto de intersección de la recta con el eje “x” son (0.66, 0) Semana 1 / Sesión 2 / Martes

De lo anterior concluyes lo siguiente: Intersección de un gráfica con el eje “x”

Intersección de una gráfica con el eje “y”

Ocurre cuando la gráfica corta el eje de las “x” y cuyo valor de la ordenada es 0. Para obtener el valor de la abscisa sustituye y = 0 en la ecuación y despeja el valor de “x”.

Ocurre cuando la gráfica corta el eje de las “y” y cuyo valor de la abscisa es 0. Para obtener el valor de la ordenada sustituye x = 0 en la ecuación y despeja el valor de “y”.

x2 + y2 = 16

3 x3 y 2

Obtén las coordenadas faltantes de los puntos de intersección con respecto a los ejes. Semana 1 / Sesión 2 / Martes

1.2.4 Simetrías respecto al origen y los ejes En la sección “Explora” clasificaste las figuras con respecto a su forma. ¿Habrá alguna otra manera de clasificarlas?

Si tomas un punto de referencia sobre cada una y trazas un sistema de ejes coordenados sobre dicho punto, podrías advertir otra característica, una manera distinta de clasificarlas.

Recta

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Circunferencia

Elipse

Parábola

Si trazas una línea recta por la mitad de la figura y los puntos extremos (arriba/abajo o izquierda/derecha) se encuentran a la misma distancia de la recta trazada, las partes cortadas son iguales, es decir simétricas. Puntos de Intersección

Eje simétrico

d Eje d d

simétrico

Si las partes cortadas son iguales (simétricas) se puede decir que la línea recta que las divide es un eje simétrico y por lo tanto que la figura es simétrica. ¿Qué ocurre con el resto de las figuras? Semana 1 / Sesión 2 / Martes

De lo anterior concluyesr que dos puntos son simétricos en un plano si se encuentran a la misma distancia de otro punto (x0, y0). Los puntos simétricos equidistan del eje de simetría, y éste es una recta perpendicular a los segmentos de rectas que se forman al unir los puntos simétricos.

Existen dos tipos de simetría: • Con respecto a los ejes • Con respecto al origen Las siguientes figuras muestran al menos un tipo de simetría. ¿De qué tipo de simetría se trata?

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

1.2.4.1 Simetría con respecto a los ejes En el ejemplo de la figura de la naranja, se ilustra muy bien el tipo de simetría con respecto a los ejes. Tanto al eje “x” como al eje “y”. Si f(x) = f(-x) entonces, es simétrica respecto al eje y; es decir, a todo valor de “y” le corresponden dos valores de “x”, iguales en valor absoluto pero con diferente signo.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Si f(y) = f(-y) entonces, es simétrica respecto al eje x; es decir, a todo valor de “x” le corresponden dos valores de “y”, iguales en valor absoluto pero con diferente signo.

1.2.4.2 Simetría con respecto al origen Como en el ejemplo de la figura de la naranja es simétrica con respecto a los dos ejes, se puede decir que también es simétrica con respecto al origen. Si una ecuación no se altera al sustituir “x” por “–x” y “y” por “–y” entonces su representación gráfica es simétrica con respecto al origen.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Ejemplo: Para establecer los puntos de ubicación de una hamaca se considera la información proporcionada a continuación: • El lugar que ocupa en el plano está dado por “tres veces el cuadrado de un número aumentado en ocho es igual a otro número menos una unidad”.

De acuerdo a la información anterior realiza lo siguiente: • • • •

Convierte a texto simbólico. Realiza la tabulación. Interpreta su lugar geométrico. Identifica si posee simetría, y si la tuviera indica de qué tipo de simetría se trata.

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Solución La expresión algebraica para este ejemplo es la siguiente: 3x2 + 8 = y – 1 , al despejar “y”, se tiene la ecuación: 3x2 + 9 = y Para la tabulación se determinan los valores de “x” y se obtienen los de “y” y = 3x2 + 9 Valores de “x”

Valores de “y”

-3

-2

-1

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

La gráfica es simétrica con respecto al eje “y”

Con este ejercicio, puedes observar que cualquier objeto o fenómeno con forma parabólica puede ser representado mediante una ecuación.

Actividad 4 Instrucciones: revisa la información que se te proporciona y realiza lo que se te pide. • Convierte a texto simbólico en caso de que así lo requiera. • Traza su lugar geométrico e identifica la condición que la caracteriza. • Identifica si posee simetría, y si la tuviera indica de qué tipo de simetría se trata.

El doble del dinero que tiene ahorrado Luis es 10 veces mayor que el que tiene su hermana Mayela.

x – 2y = 6

El cuadrado de la medida de la patineta de Edgar es 100 unidades menos que el cuadrado de la bicicleta de su amigo Eduardo.

y2 – 4x = 0

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

Actividad 5 Instrucciones: revisa la información que se te proporciona y realiza lo que se te pide. • Convierte a texto simbólico en caso de que así lo requiera. • Traza su lugar geométrico e identifica la condición que la caracteriza. • Identifica si posee simetría, y si la tuviera indica de qué tipo de simetría se trata.

5y – 20 x = 15

El triple de la mitad del cuadrado de conejos que tiene Ángel es el triple de la cuarta parte de conejos que tiene Juan menos una unidad.

| 5x – 3| = y

Semana 1 / Sesión 2 / Martes

1.3 Segmentos rectilíneos 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Segmentos dirigidos y no dirigidos Longitud de un segmento Distancia entre dos puntos División de un segmento en una razón dada Punto medio

Al finalizar la sesión 3, serás capaz de: • Calcular la distancia y punto medio de un segmento de recta mediante sus puntos extremos. • Determinar la noción de razón en la división de un segmento rectilíneo a partir de las coordenadas de un punto en una recta o viceversa.

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Recuerda: • Un número elevado al cuadrado es la multiplicación del número por sí mismo. Por ejemplo: 62 = 6 x 6 = 36 • El valor absoluto es la distancia de un punto en la recta numérica al origen. Dicho valor siempre es positivo. Ejemplo: | – 3| = 3 y | 2 | = 2. • El método abreviado para encontrar la medida de uno de los lados (conocidos los otros dos) en un triángulo rectángulo es por el Teorema de Pitágoras, cuya fórmula es c2 = a2 + b2 , donde “a” y “b” representan los valores de los catetos y “c” el de la hipotenusa. • El Teorema de Pitágoras sólo puede ser aplicable a los triángulos rectángulos; es decir, a los triángulos que tienen un ángulo de 90º. El lado opuesto a éste ángulo recibe el nombre de hipotenusa.

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Ejemplo: Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyas medidas de los catetos son las siguientes: a = 4 y b = 3.

Solución: De la fórmula c2 = a2 + b2 se sustituyen los valores dados a=4 y b=3 c2 =(4)2 + (3)2 c2 = 16 + 9 = 25 c=5

Las fórmulas para obtener algunos de los catetos son: a2 = c2 – b2 b2 = c2 – a2

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Instrucciones: lee, analiza y resuelve los siguientes ejercicios.

1. Calcula el valor absoluto. a) | 519 | =

b) | 31 – 49 | =

c) | – 11 – 21| =

d) | 3 – 42 + 37 | =

2. Obtén la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.

Respuestas: 1. a) 519, b) 18, c) 32, d) 2 2. x = 25

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Plano de Monterrey

1 3

2 • ¿Qué trayectoria es más corta de tomar, si se respeta el sentido de las calles para llegar del punto 1 al 2? (Suponer que cada manzana mide lo mismo) • ¿Cuál es la mitad de camino entre los puntos 3 y 1? • ¿Por qué crees que las calles tienen en algunos casos doble sentido y otros uno solo? Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

1.3 Segmentos rectilíneos En los temas anteriores ya has visto una introducción de lo que es una línea recta y su utilidad. Ahora verás algunas de sus propiedades. En el plano de la sección “Explora” habrás notado que las calles tienen un sentido, también se podría hablar de dirección (vertical, horizontal o inclinada) si se define un punto de referencia en el plano, y de magnitud (ya que su longitud es medible).

1.3.1 Segmentos dirigidos y no dirigidos Recta: es una línea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos y en la misma dirección.

Recta

Segmento dirigido: segmento con magnitud, dirección y sentido. Su magnitud se define como positiva y su dirección opuesta como negativa.

Segmento Dirigido AB Segmento rectilíneo: es la porción de una línea recta comprendida entre dos puntos llamados extremos. Por ejemplo: en el plano de Monterrey los puntos 1 y 3 forman una porción de la calle Carlos Salazar.

A Segmento no dirigido: segmento con magnitud, sin prolongarse a ninguna dirección.

Segmento AB A Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Segmento No Dirigido AB B

1.3.2 Longitud de un segmento

¿Cómo calculas la distancia del punto 4 al punto 5? ¿Cuentas la cantidad de cuadras y lo multiplicas por su longitud? ¿Tardado no? Una herramienta útil para medir la distancia de manera más práctica y rápida consiste en establecer un punto de referencia en el plano y a partir de éste enumerar las calles, como lo viste en la primera sesión. Por ejemplo: establecida la recta numérica a cada punto le corresponde un número.

Ahora, para calcular la longitud del segmento obtienes el valor absoluto de la diferencia entre ellos.

d = |x2 – x1| = | x1 – x2| Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

| AB | = | x1 – x2 | = | (– 13) – (8) | = | – 21 | = 21 Longitud del segmento AB = 21 62

1.3.3 Distancia entre dos puntos Ya aprendiste a calcular la longitud entre dos puntos en una recta numérica, ahora ¿Cómo calcularías la distancia entre dos puntos dados en cualquier parte del plano?

Si se traza una recta uniendo los puntos dados, y dos rectas más a partir de los puntos para formar un triángulo rectángulo, se podrá calcular la distancia de dichos puntos a partir del Teorema de Pitágoras.

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

El procedimiento para obtener la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano es el siguiente: 1) Dados los puntos se traza el segmento rectilíneo entre ambos. 2) Se traza una recta vertical punteada sobre uno de los puntos que corte al eje “x”. 3) Se traza una recta horizontal punteada sobre el otro punto que corte al eje “y”. 4) Al identificar un triángulo rectángulo, se procede para obtener visualmente el punto de intersección de las líneas punteadas. 5) Se obtiene la longitud de cada una de éstas. 6) Se sustituyen los datos en la fórmula del Teorema de Pitágoras. c2 = a2 + b2 d2 = (|BC|)2 + (|CA|)2 B(x2, y2) d2 =(|x2 – x1|)2 + (|y2 – y1|)2 d2 =(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

A(x1, y1)

CA BC

C(x1, y2)

| BC | = | x1 – x2 | | CA | = | y1 – y2 |

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Ejemplo:

Solución:

Obtén la distancia existente entre los puntos A y B.

Al utilizar la fórmula de la Distancia

d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 d  [(5)  (2)]2  [(3)  (6)]2 d  (5  2) 2  (3  6) 2 d  (3) 2  (9) 2 d  9  81 d  90 d  9.4868

Obtén la distancia entre los puntos C y D Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

1.3.4 División de un segmento en una razón dada

6 Siguiendo con el ejemplo del plano de Monterrey, si Ángel se encuentra en el punto 6 e invita a Myriam que se encuentra en el punto 7 al teatro que se ubica en el punto 8, y todos estos puntos se encuentran sobre un mismo segmento trazado en el plano. ¿A qué distancia se encuentra Myriam de Ángel si se conocen las coordenadas de la ubicación de Ángel y del Teatro? Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Para resolver el ejercicio anterior de manera práctica y rápida existe la fórmula del punto de división que parte un segmento en una razón dada. ¿Cómo surge? Analiza detenidamente la demostración y sorpréndete. 1) Considerar los puntos A y B y la recta que determinan. AC 2) Se considera un tercer punto C (x, y) que corta al segmento en la relación: CB  r 3) Dado que AC y CB son en el mismo sentido, dicha relación es positiva. 4) Si el punto de división se presenta fuera de la prolongación del segmento, la relación dada anteriormente será negativa, ya que AC y CB tendrían sentidos opuestos. 5) Al identificar dos triángulos semejantes se tiene lo siguiente: AC M C AC AM   C B NB C B CN y  y1 x  x1 r  r y2  y x x B (x2, y2) 2

6) De la ecuación obtenida despejar “x” y “y” respectivamente

x

x1  rx2 1 r

r  1

y

Punto de División

y1  ry2 1 r

C (x, y) A (x1, y1) x – x1

y2 – y x2 – x y – y1 N M

 x  rx2 y1  ry2  P 1 ,  1  r 1  r   Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

1.3.5 Punto medio Cuando el punto de división es el punto medio entre los dos triángulos, entonces se deduce que:

r 1

x

x1  x2 2

y

y1  y2 2

Punto Medio

B (x2, y2)

C (x, y)

y – y1

A (x1, y1) x – x1

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

x2 – x

y2 – y

x x y y  P 1 2 , 1 2  2   2

Ejemplo: Obtén el punto de división y el punto medio del segmento trazado en la siguiente gráfica. Punto de División

 x  rx2 y1  ry2  P 1 ,  1 r   1 r

Punto Medio

x x y y  P 1 2 , 1 2  2   2

 x  rx2 y1  ry2  P 1 ,  1  r 1 r     2 2   2    5 6   (3)  3 3  P ,   2 2 1  1    3 3     2  10 6  6    16 12  3, 3 3, 3 P 5 5   5 5  3 3   3 3     16 12  P ,   P 3.2,2.4   5 5

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

 x  x y  y2  P 1 2 , 1  2 2    25 63 P ,  2 2   7 3 P ,   2 2 P (3.5,1.5)

Buri Khalifa – Buri Dubai

Dados los datos de la figura y al acoplar un sistema de ejes coordenados realiza lo siguiente: • Calcula la distancia que existe entre los puntos A y B • Localiza el punto C cuya relación es 2/3 • Calcula el punto medio del segmento AB.

Burj Khalifa es el edificio más alto del mundo con 828 metros de altura y 162 plantas.

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Con este ejercicio, puedes observar la gran utilidad de contar con una fórmula abreviada para calcular de igual manera pequeñas o grandes 70 distancias.

Actividad 6 Instrucciones: toma como referencia el siguiente plano cartesiano y realiza lo que se te pide.

• Un cazador desea tener un buen tino al tirar al pájaro, pero, el cazador solo conoce los puntos de ubicación de la flor y el árbol, entonces para lograr su objetivo necesita calcular lo siguiente: 1)

Calcular la distancia entre el árbol y la flor

Determinar el punto donde se encuentra el pájaro (P) dada la razón de 1/3

Calcular el punto medio entre el árbol y la flor.

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

Actividad 7 Instrucciones: toma como referencia el siguiente plano cartesiano y realiza lo que se te pide.

• El cazador del problema anterior no tuvo buen tino y ahora el ave se encuentra en el punto (P2), las referencias que tiene el cazador son los puntos de ubicación de la jirafa y de otra flor, para tener buen tino el cazador necesita obtener la siguiente información: 1)

Calcular la distancia entre la jirafa y la flor.

Determina el punto donde se encuentra el ave (P2) dada la razón de 3/5.

Calcular el punto medio entre la jirafa y la flor.

Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles

1.4 Polígonos 1.4.1 Perímetros 1.4.2 Áreas

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Al finalizar la sesión 4, serás capaz de: • Obtener el área y perímetro de un polígono en el plano cartesiano a partir del cálculo de la distancia entre dos puntos.

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios. 1. Localiza y une en el plano cartesiano los siguientes puntos.

A (2, -2)

B (4, 4)

C (-2, 2)

2. Obt茅n la distancia y el punto medio de cada segmento del ejercicio anterior.

2. Distancia AB=6.32, BC=6.32, AC=5.65 Punto medio AB(3,1), BC(1,3), AC(0,0) Respuestas: 1.

Semana 1 / Sesi贸n 4 / Jueves

Pista de hielo en el Zócalo de la Ciudad de México (Dic. 2009)

Medidas: 22 metros de largo por 18 de ancho ¿Cómo calcularías la suma de las medidas de todos sus lados?

¿Cuánta superficie crees que requirió ocupar esta pista en el Zócalo? ¿Cuántas personas caben paradas dentro de la pista de hielo si el espacio que ocupa cada una es de 2.5 m2? Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

1.4 Polígonos La pista de hielo se puede identificar con una figura geométrica llamada polígono, que es una figura cerrada formada por tres o más segmentos de recta no alineados que coinciden en sus extremos, llamados vértices.

1.4.1 Perímetros

En el ejercicio de la sección “Explora” obtuviste la suma de todos los lados de la pista de hielo, a dicha suma se le conoce con el nombre de perímetro.

Como la pista de hielo es un polígono, se puede concluir que el perímetro de una figura geométrica, regular o irregular, es la suma de las magnitudes de sus lados.

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Para calcular el perímetro de una figura geométrica se obtiene la longitud de cada uno de los segmentos mediante la fórmula de la distancia.

Ejemplo:

Se construyó una pista de baile con una figura original como la de la gráfica, con el fin de saber el número de personas que puede contener, es necesario conocer sus dimensiones, es decir, su perímetro.

Los únicos datos que se tienen son los puntos de apoyo de tres columnas, los cuales se muestran en la gráfica. Obtén la información requerida.

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Solución: Ubicados los puntos en la gráfica sólo es necesario usar la fórmula de la distancia para calcular cada lado de la pista de baile y al final hacer la suma total para obtener el número de personas que pueden ocupar la pista al mismo tiempo.

Distancia AB d  ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) 2

Distancia BC 2

d  [(5)  (7)]2  [(10)  (4)]2 d  (5  7) 2  (10  4) 2 d  (12)  (6) 2

d  144  36  180 d  13.4164

Distancia CA

d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 d  (3  5)  [(6)  (10)] 2

d  (2) 2  (16) 2 d  4  256  260

Calcula esta distancia y completa la suma para obtener el Perímetro

d  16.1245

Perímetro: AB + BC + CA = 13.4164 + 16.1245 + _________ = _________

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

1.4.2 Áreas En el ejercicio de la sección “Explora”, ¿cómo hiciste para calcular la superficie de la pista de hielo?

En ese caso, como la pista de hielo es un polígono rectangular, la superficie se puede medir al multiplicar ancho por largo, según las fórmulas que ya conoces sobre el área, de tal manera que el resultado es el siguiente: 22m x 18m = 396 m2.

Entonces, puedes concluir que el área o superficie es la región interior del plano delimitada por los lados de la figura.

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

En el caso de que se trate de un polígono formado con puntos en el plano, el área se obtiene de la siguiente manera:

Dado un triángulo con vértices en los puntos P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y P3(x3, y3), su área se deduce como: A = P1P2P3 = área del trapecio M1P1P3M3 + área del trapecio M3P3P2M2 – área del trapecio M1P1P2M2. El área A según las coordenadas de los vértices está dada por: A = ½ |(y1 + y2)(x3 – x1) + (y3 + y2)(x2 – x3) – ( y1 + y2) (x2 – x1)| Al simplificar:

A = ½ |x1y2 + x2y3 + x3y1 – x3y2 – x2y1 – x1y3|

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

En el caso de que se tengan polígonos con más de tres lados, se utiliza un determinante con las parejas ordenadas de los vértices como se muestra a continuación:

A



1 x2 2 x3

y2 y3



– – – + + +

1 x1 y2  x2 y3  x3 y1  x1 y3  x3 y2  x2 y1 2

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Ejemplo:

En la esquina de la colonia Roma se encuentra un terreno baldío, un arquitecto compró el terreno y desea construir un centro de diversión infantil con juegos mexicanos, para poder hacer la construcción el arquitecto necesita conocer el área que ocupa el terreno, la información que posee se encuentra sobre la gráfica de la figura, solamente conoce los puntos de ubicación de cada esquina del terreno.

Calcula el área a partir información proporcionada.

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Solución: Con la fórmula del área es muy fácil determinar la superficie del terreno, sólo tienes que distinguir cada elemento. Se sustituyen los valores de cada pareja ordenada según corresponda:

1 x1 y2  x2 y3  x3 y 4  x4 y1  x1 y4  x4 y3  x3 y2  x2 y1 2 1 A  11  4  4  4 2   41  1 2   4 4  41  41 2 1 A  1  16  8  4  2  16  4  4 2 1 A   49 2 A  24.5u 2 A

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Pirámide Keops

¿Cómo harías para calcular la altura de esta pirámide? Sabías que… Thales de Mileto en uno de sus viajes a Egipto determinó la altura de la pirámide de Keops, aprovechó la sombra que ésta producía en un determinado momento, aquel en el que la longitud de la sombra sea igual a la de la pirámide (los rayos del Sol deben tener una inclinación de 45º), y además perpendicular a la base. La altura de la pirámide es: 146. 6 m La base mide de ancho 230 m

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

• Calcula el perímetro y el área de la 85 pirámide

La altura de la pirámide es: 146. 6 m La base mide de ancho 230 m

Para calcular el Perímetro es necesario conocer la medida de todos sus lados, para obtener la longitud de la lateral es necesaria la obtención de la apotema lateral.

Con los datos de la altura y la base se puede calcular, a partir del Teorema de Pitágoras, la línea punteada verde.

Con los datos de la altura y la base se puede calcular, a partir del Teorema de Pitágoras, la línea punteada morada.

c  (115) 2  (146.6) 2

c  (115) 2  (186.3238) 2

c  13,225  21,491.56

c  13,225  34,716.56

c  34,716.56

c  47,941.56

c  186.3238

c  218.9556

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Entonces, el perímetro de la pirámide es la suma de las magnitudes de sus lados, las cuales ya se conocen.

Perímetro de la base: 230 m x 4 = 920 m Perímetro de las laterales : 218.9556 m x 4 = 875.8224 m

Perímetro Total: 920 m + 875.8224 m = 1795.8224 m

Área de la base: 230 m x 230 m = 52, 900 m2 Área lateral: Perímetro de la base por la apotema entre 2 (920 m x 186. 3238 m)/ 2 = 85, 708.948 m2 Área Total: área de la base + área lateral: 52, 900 m2 + 85, 708.948 m2 = 138, 608.948 m2

Con este ejercicio, puedes darte cuenta de la gran utilidad de las fórmulas del perímetro y área para calcular las dimensiones de una gran estructura geométrica. Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Actividad 8 Instrucciones: resuelve el siguiente problema.

Se desea construir un kiosco en el centro de una plaza rectangular, para determinar precisamente el centro de la misma es necesario calcular su perímetro y área. Si las columnas del kiosco se ubican en los puntos marcados en la gráfica, obtén el perímetro y el área del siguiente polígono mediante el cálculo de la distancia entre los puntos dados.

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Actividad 9 Instrucciones: resuelve el siguiente problema.

Como el kiosco anterior no era proporcional con el tamaño de la plaza tuvieron que cambiar las dimensiones del mismo, para construirlo exactamente en el centro necesitan conocer el perímetro y el área del mismo. Si las columnas del kiosco se ubican en los puntos marcados en la gráfica, obtén el perímetro y el área del siguiente polígono mediante el cálculo de la distancia entre los puntos dados.

Semana 1 / Sesión 4 / Jueves

Proyecto Modular Opci贸n 1

Debe contener en esencia los siguientes puntos:

a) Presentaci贸n. Limpieza, orden y estructura. b) Investigaci贸n. Informaci贸n actual y real, empleo de fuentes seguras. c) Procedimientos. Resolver los ejercicios personalmente, si es necesario con apoyo del Repaso Integral.

Universidad CNCI de México, S.C. Plantel Ajusco

El proceso de la comunicación Taller de lectura y redacción II

Leticia Gómez Rodríguez Grupo: 205 Módulo 3

Maestra: Nora Montes Martínez

Ejemplo de portada para cada una de las actividades: Nombre de la escuela Logo de la Universidad

Nombre del tema en el que se va a trabajar Nombre de la asignatura (materia)

Nombre del alumno, grupo y módulo en que se encuentra.

Nombre del maestro (a)

México D.F., a 28 de Enero 2010 Fecha de entrega

Proyecto modular 1 La chimenea Requisitos para la entrega: • Realizarlas en hojas milimétricas, tamaño carta. • Anexar portada a cada una de las actividades, para su identificación.

• Distinguir con colores los ejercicios y el procedimiento de los mismos. • Las actividades se anexarán en un fólder para su entrega.

Actividad 1 Resuelve: Un albañil tiene la tarea de construir una chimenea en ladrillo rojo, bajo la forma de la figura de la gráfica, para que el trabajo esté correctamente hecho, necesita determinar lo siguiente:

a) b) c) d)

Identificar las coordenadas de los puntos que están en el plano Determinar la distancia y punto medio de cada segmento formado por los puntos Calcular su perímetro y área para la cantidad de material requerido. Encontrar la razón R del segmento AB

Glosario Semana 1

Álgebra: representación de los números en forma más general a través de letras. Alineados: que se encuentran sobre una misma línea. Apotema lateral de una pirámide: es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Conjunto: es una agrupación de elementos u objetos. Despejar: dejar sola de un lado del signo de igualdad una variable y enviar el resto de los elementos de la ecuación al otro lado, sin alterar la igualdad. Dimensión: longitud, extensión o volumen de una figura. Dirección: según su dirección una recta puede ser horizontal, vertical o inclinada.

Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Ecuación cuadrática: es una ecuación con un máximo grado de 2, la variable tiene un exponente cuadrado. Ejes coordenados: rectas numéricas perpendiculares que se toman de referencia para encontrar un punto. Semana 1

Elemento: es un miembro de algún conjunto o grupo. Equidistan: del verbo equidistar (que dos puntos o más se encuentran a la misma distancia entre sí, o a la misma distancia respecto a otro punto). Gráfica: representación de datos numéricos en un sistema de ejes coordenados. Gráfica de barras o gráfica de columnas: es un diagrama con barras rectangulares y cuyas longitudes son proporcionales a los valores que representan. Las barras pueden ser horizontales o verticales. Identidad: una igualdad que es verdadera para cualquier valor que se le asigne a la variable. Incógnita: la variable cuyo valor es desconocido.

Intersección: es el punto de encuentro de dos rectas que se cortan. Magnitud: propiedad física que puede medirse, como la altura, la longitud, la superficie, el peso, etc. Números reales: conjunto de todos los números, positivos, negativos, fraccionarios, raíces, decimales.

Semana 1

Pareja ordenada (x, y): representa la correspondencia de un elemento del eje de las “x” con un elemento del eje de las “y”. Plano: Un plano es una superficie imaginaria limitada o ilimitada que sólo posee dos dimensiones (ancho y largo) conteniendo una infinidad de puntos y rectas. Proporción: la misma medida. Proporcionalmente: que tiene proporción. Raíces: soluciones de una ecuación, conjunto de valores que satisfacen una ecuación. Razón: división o cociente de dos números o cantidades. Recta horizontal: recta paralela al horizonte, perpendicular a la recta vertical (recta acostada). Recta vertical: recta perpendicular al horizonte, recta perpendicular a la recta horizontal (recta parada). Rectas paralelas: rectas que nunca se cortan entre sí. Rectas perpendiculares: rectas que se cortan formando ángulos de 90º. Semana 1

Rectas secantes: se cortan sin forman un ángulo de 90º. René Descartes: filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento en la necesidad de tomar un “punto de partida” para edificar todo el conocimiento. Satisfacer: cumplir con la igualdad sin alterarla.

Segmento: fragmento de recta comprendido por dos puntos extremos. Superficie: extensión en la que se consideran dos dimensiones (ancho y altura). Sustituir: reemplazar una variable por su valor numérico.

Texto simbólico: texto algebraico, en función de letras. Valor absoluto: distancia de un punto en la recta numérica al origen. Dicho valor siempre es positivo. Ejemplo: | – 3| = 3 y | 2 | = 2 Variable: letra que puede tomar cualquier valor numérico real.

Semana 1

100

101

Guía de Estudios Matemáticas III Parte A Semana 2 Bloque III: Integra los elementos de una recta como lugar geométrico Unidades de competencia: • Construye e interpreta modelos sobre la línea recta como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la recta. Calendario de Estudio Día

Lunes

Temas

2 La línea recta 2.1 Propiedades de la recta 2.1.1 Ecuación de la recta como lugar geométrico 2.1.2 Ángulo de inclinación y pendiente de una recta

Evidencia de aprendizaje

Determina la pendiente de una recta a partir de las coordenadas de dos de sus puntos obtenidos en la tabla de valores. Obtiene el ángulo de inclinación mediante la pendiente de la recta. Obtiene la razón de cambio en un fenómeno real.

Martes

2.1.4 Paralelismo entre rectas 2.1.5 Perpendicularidad entre rectas

Establece mediante la identificación de los puntos en el plano cartesiano si las rectas que les corresponden son paralelas o perpendiculares a partir de sus pendientes.

102

Guía de Estudios Matemáticas III Parte A Bloque IV: Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta Unidades de competencia: • Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la recta al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la recta. • Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la recta, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio. Calendario de Estudio

Día Miércoles

Jueves

Temas

Evidencia de aprendizaje

2.2 Formas de la ecuación de la recta 2.2.1 Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos 2.2.2 Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos

Obtiene mediante dos puntos la pendiente y ecuación de una recta en su forma punto-pendiente.

2.2.3 Forma pendiente-ordenada al origen 2.2.3.1 Intersección de una recta con el eje “y” 2.2.3.2 Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje “y”

Determina la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen a través de la pendiente y la intersección con el eje de las “y”.

2.2.4 Forma simétrica 2.2.4.1 Intersecciones de una recta con los ejes coordenados 2.2.4.2 Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados Viernes

Examen semana 2 Revisa la opción de proyecto modular 2

Determina la ecuación de una recta en su forma puntopendiente mediante un punto dado y su pendiente.

Encuentra el valor de la pendiente y de la ordenada al origen a partir de su ecuación. Obtiene la expresión de la recta en su forma simétrica a partir de la presentación gráfica de la intersección de dicha recta con los ejes cartesianos. Realiza el examen de la semana 2.

103

2 La línea recta 2.1 Propiedades de la recta 2.1.1 Ecuación de la recta como lugar geométrico 2.1.2 Ángulo de inclinación y pendiente de una recta 2.1.3 Pendiente como razón de cambio

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

104

Al finalizar la sesión 5, serás capaz de: • Determinar la pendiente y la razón de cambio de una recta en el plano cartesiano a partir de las coordenadas de dos de sus puntos. • Obtener el ángulo de inclinación a partir de la pendiente de una recta.

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

105

Recuerda: Mediante el triángulo rectángulo se obtienen las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. En esta sesión se toma como elemento útil a la tangente como introducción a los temas de este bloque.

En el triángulo rectángulo: • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud. • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo desconocido. • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo desconocido.

La razón trigonométrica de interés en esta sección es la tangente, a partir de la cual se obtiene el ángulo a:

tan a 

c. opuesto c. adyacente

a b a a  tan 1 b tan a 

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

106

Instrucciones: encuentra el ángulo a en los siguientes triángulos rectángulos y en caso de ser necesario utiliza el Teorema de Pitágoras para obtener los valores requeridos.

Respuestas: 1) a = 48.18º 2) a = 63.43º

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

107

El volcán Pico de Orizaba tiene una altura de 5,750 m, su elevación inicial es de 10º sobre la superficie terrestre y al acercarse al cráter su grado de inclinación promedio fuerte es de 40º. Si un alpinista desea subir hasta el cráter del volcán, ¿en qué parte del volcán se esforzará más subiendo? Volcán Pico de Orizaba Se ubica en los límites territoriales de Puebla y Veracruz en la República Mexicana. Es el volcán y la montaña más alta de México con una altura de 5,750 m.

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

108

2 La línea recta 2.1 Propiedades de la recta Las propiedades de una recta pueden ser distinguidas analíticamente mediante su ecuación representativa y geométricamente mediante su interpretación gráfica según sea la situación bajo estudio. En esta sección se consideran los dos aspectos de estudio sobre la línea recta.

2.1.1 Ecuación de la recta como lugar geométrico La silueta del volcán Pico de Orizaba se puede representar en forma gráfica y compararla con alguna figura geométrica. En el bloque II aprendiste que un lugar geométrico es un conjunto de puntos en el plano con una propiedad en común.

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

109

y 14

y = 3x -2

12 10

(3, 7)

La gráfica de la ecuación de la recta por ejemplo, está formada por un conjunto infinito de puntos que mantiene siempre la misma dirección o inclinación y cuyo lugar geométrico en el plano se representa como el de la siguiente figura:

(2, 4)

(1, 2 1) -3

-1 -2 -2) 0 (0,

-2

(-1, -5)

-4 -6

(-2, -8) (-3, -11)

-8 -10 -12

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

110

2.1.2 Ángulo de inclinación y pendiente de una recta En la sección “Explora” se explicó que el volcán Pico de Orizaba varía en su grado de inclinación, conforme se desplaza sobre la horizontal la elevación de la recta se incrementa. A este ángulo se le conoce como ángulo de inclinación, y a la razón de cambio que es la elevación entre el desplazamiento se le denomina pendiente, pero ¿cómo se obtienen?

Al representar gráficamente la inclinación del volcán sobre un plano cartesiano, se trazan dos líneas punteadas para formar un triángulo rectángulo. Si observas bien en cada una de las dos rectas, la inclinación está dada por la razón del cambio en “y” (elevación) con respecto al cambio en “x” (desplazamiento).

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

111

Por lo tanto, la pendiente de la recta la puedes definir como la razón del cambio en “y” con respecto al cambio en “x” y se denota con la letra “m”:

m

y2  y1 elevación  x2  x1 desplazamiento

x2  x1

A partir de la misma gráfica puedes obtener la función trigonométrica tangente:

tan a 

(1)

y y c. opuesto  2 1 c. adyacente x2  x1

(2)

De las ecuaciones (1) y (2) observas que la pendiente (m) y la función trigonométrica tangente tienen la misma igualdad, por lo tanto: Pendiente de una recta

m

y2  y1  tan a x2  x1

x2  x1

Ángulo de inclinación Despeja el ángulo, y te resulta:

m  tan a

a  tan 1 m

Con estas fórmulas puedes calcular la pendiente de una recta, dados los puntos de la recta en el plano o dado su ángulo de inclinación. Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

112

Ejemplo 1: Obtén la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano.

De la ecuación de la pendiente de la recta:

7 6

A( x1, y1)

(3, 4.8)

m

4 3

a -3

-2

-1

B( x2, y2)

(-2, -3.2)

 3. 2  4. 8 23 8 m 5 m  1. 6

m

y2  y1 x2  x1

De la ecuación del ángulo de inclinación:

a  tan 1 m a  tan 1 1.6 a  57.9946º

-2 -3 -4 -5

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

5y = 8x

Características de la recta en el plano: Pendiente positiva, Ángulo menor que 90º La recta pasa por el origen Ecuación de la recta que pasa por el origen: y = mx 113

Ejemplo 2: Obtén la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano.

Obtén la pendiente de la recta:

7 6

A( x1, y1)

m

(3, 4)

y2  y1 x2  x1

Obtén el ángulo de inclinación:

a  tan 1 m

-3

-2

-1

Características de la recta en el plano:

-1 -2 -3

(-2, -4) B( x2, y2)

Pendiente positiva, Ángulo menor que 90º La recta no pasa por el origen Ecuación de la recta que no pasa por el origen: y =mx+b

5y = 8x – 4

-4 -5

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

114

Ejemplo 3: Obtén la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano.

De la ecuación de la pendiente de la recta:

6 5

m

8y = - 5x

A( x1, y1) 3 (-3, 1.875)

m

2 1

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

(3, -1.875) B( x2, y2)

y2  y1 x2  x1

 1.875  1.875 3  (3)  3.75 m 6 m  0.625

De la ecuación del ángulo de inclinación:

a  tan 1 m a  tan 1 (0.625) a  32.0054º Para que el ángulo sea positivo es necesario que le sumes 180º. a = 180º – 32.0054 = 147.9946º

Características de la recta en el plano: Pendiente negativa, Ángulo mayor que 90º y menor que 180º La recta pasa por el origen Ecuación de la recta que pasa por el origen: y = mx 115

Ejemplo 4: Obtén la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano.

Obtén la pendiente de la recta:

A( x1, y15 )

m

8y = -5x + 10

(-3, 3.125)

y2  y1 x2  x1

Obtén el ángulo de inclinación:

a  tan 1 m

Características de la recta en el plano:

2 1

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4

(5, -1.875)

Pendiente negativa, Ángulo mayor que 90º y menor que 180º La recta no pasa por el origen Ecuación de la recta que no pasa por el origen: y =mx+b

B( x2, y2)

-5 -6

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

116

Ejemplo 5: Obtén la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano. De la ecuación de la pendiente de la recta:

y 7

m

y=2

22 5  (3) 0 m 8 m0

m

5 4

A( x1, y1)

B( x2, y2)

(-3, 2)

(5, 2)

2 1

-3

-2

-1

y2  y1 x2  x1

De la ecuación del ángulo de inclinación:

a  tan 1 m a  tan 1 (0) a  0º

Características de la recta en el plano:

-1

Pendiente igual a cero Ángulo igual a 0º Ecuación de la recta horizontal: y = b

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

117

Ejemplo 6: Obtén la pendiente y ángulo de inclinación de la recta dada en el plano cartesiano.

De la ecuación de la pendiente de la recta:

A( x1, y1)

y y m 2 1 x2  x1

(3, 6)

6 5

1 6 33 7 m 0 m

m

x=3

3 2 1

-3

-2

-1

De la ecuación del ángulo de inclinación:

a  tan 1 m a  tan 1 () a  90º

Características de la recta en el plano:

-1

(3, -1) B( x2, y2)

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

No tiene pendiente Ángulo igual a 90º Ecuación de la recta vertical: x = b 118

De los ejemplos anteriores concluyes las siguientes características de una recta en el plano, según su pendiente y ángulo de inclinación:

Pendiente positiva Ángulo < 90º La recta crece porque al aumentar los valores de “x” aumentan los de “y”.

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

Pendiente negativa Ángulo > 90º y < 180º La recta decrece porque al aumentar los valores de “x” los de “y” disminuyen.

Pendiente = cero Ángulo = 0º

La pendiente no está determinada Ángulo = 90º

119

Deforestación en México

Resuelve: a)

Interpreta gráficamente el comportamiento de la información proporcionada en el recuadro de la deforestación en México.

Determina la pendiente y ángulo de inclinación de la recta en el plano cartesiano.

Determina la razón de cambio y lo que representa, además completa el recuadro.

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

120

Solución: a)

Las parejas ordenadas proporcionadas para trazar la gráfica son: (1990, 38 775) (2000, 34 825) y (2005, 32 850)

Unidades por 1; 000, 000

Cantidad

b) Toma dos de los tres puntos y sustitúyelos en la fórmula de la pendiente: y2  y1

m

(1990, 38, 775)

38 37 36 35 34 33 32 31

x2  x1

34,825  38,775 2000  1990  3950 m  395mil 10 m

(2000, 34, 825)

a  tan 1 m

(2005, 32, 850)

a  tan 1 (395mil ) a  75.96º por

0 1990 Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

1995

2000

2005

Años

ser

negativo

le sumas 180º a  180º 75.96º

a  104.04º

121

c) La razón de cambio en el periodo 1990 – 2000 es la siguiente: •Toma los puntos correspondientes a dicho periodo: (1990, 38 775) y (2000, 34 825) • Sustitúyelos en la fórmula de la razón de cambio:

x y2  y1 34,825  38,775   y x2  x1 2000  1990 x  3950   395mil y 10

La razón de cambio en el periodo 2000 – 2005 es la siguiente: •Toma los puntos correspondientes a dicho periodo: (2000, 34 825) y (2005, 32 850) •Sustitúyelos en la fórmula de la razón de cambio:

x y2  y1 32,850  34,825   y x2  x1 2005  2000 x  1950   395mil y 5

La razón de cambio representa una perdida anual de 395 mil hectáreas de área de bosques primarios en México, del año 1990 al 2005.

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

A través de este ejemplo puedes observar como el comportamiento gráfico y analítico del problema advierte la gravedad de la situación.122

Actividad 10 Instrucciones: determina la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas, utiliza una tabla de valores y asigna a la variable independiente cuatro valores obteniendo su respectivo valor de “y”. 1)

2y + 6x – 4 = 0

3x + 5 = y

6x – 2y = 9

x–y=–2

7x + y = 3

x – 4y = 2

3x – 2y = 8

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

123

Actividad 11

Instrucciones: interpreta gráficamente la siguiente tabla de valores y obtén la razón de cambio en el periodo 2004-2009.

Tabla de Natalidad en Nuevo León en la última década

Semana 2 / Sesión 5 / Lunes

124

2.1.4 Paralelismo entre rectas 2.1.5 Perpendicularidad entre rectas

Semana 2 / Sesi贸n 6 / Martes

125

Al finalizar la sesión 6, serás capaz de: • Establecer mediante la pendiente de las rectas si éstas son paralelas o perpendiculares.

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

126

Recuerda: En la actividad de repaso del bloque I identificaste las propiedades de las rectas en función de la posición que existe entre ellas, por ejemplo: a) Rectas paralelas: rectas en el plano cartesiano que nunca se cortan entre sí. b) Rectas perpendiculares: rectas en el plano cartesiano que se cortan y forman un ángulo de 90º. c) Rectas secantes: rectas en el plano cartesiano que se cortan sin formar un ángulo de 90º entre ellas. a

Instrucciones: grafica y compara si las rectas siguientes son paralelas, perpendiculares u oblicuas. a) b) c)

x+y–3=0 y 4x + y + 18 = 0 y -3x + y – 5 = 0 y

2x + 2y - 2 = 0 4x + y – 2 = 0 3x – 4y – 1 = 0 Respuestas: Ejemplo a) Rectas paralelas

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

127

La vialidad Si los caminos fueran siempre curvas o si los caminos rectos no tuvieran un orden o secuencia, ¿crees que sería posible tener una vialidad segura y rápida?

Vía Appia, primera autopista del mundo construida por los romanos (312 a.C.) Semana 2 / Sesión 6 / Martes

128

2.1.4 Paralelismo entre rectas Habrás identificado en las imágenes de la sección “Explora” las líneas rectas que forman la Vía Appia, las vías del tren y la pista para despegue, se caracterizan por los extremos siempre paralelos, ya que nunca se juntan y permiten una vialidad óptima. Sabes que una característica de las rectas paralelas es que nunca se cortan, ¿qué otra característica describe a las rectas paralelas?

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

129

En el ejemplo 1 y 2 de la sesión anterior las rectas nunca se cortan entre sí, por lo tanto son paralelas, y si analizas tanto su pendiente como su ángulo de inclinación descubres que ambas son iguales.

y (3, 4.8)

(3, 4)

4 3

5y = 8x

5y = 8x – 4

2 1

-3

-2

-1 -1 -2

(-2, -3.2)

-3

m1  1.6  m2

a1  57.9946º  a 2

-4 -4) (-2, -5

De lo anterior concluyes que otra característica de las rectas paralelas es que poseen el mismo ángulo de inclinación y la misma pendiente.

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

130

Ejemplo 1: Una manada de cebras por cada 20 minutos recorre 13 metros de distancia siempre en línea recta, y por su parte una manada de leones desea alimentarse de ellas por lo que tratan de mantener un ritmo más acelerado pero por un camino más largo y siempre en línea recta, los leones por cada hora recorren 39 metros, ¿lograrán los leones interceptar a la cebras?

Solución: Para solucionar este ejercicio es necesario que encuentres las ecuaciones de la relación tiempodistancia que ejercen tanto las cebras como los leones y obtener sus pendientes respectivas. Cebras:

Leones:

Despejas “y”

20x = 13y y =20x / 13

Pendiente:

m1 = 20/13

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

Despejas “y” Simplificas (divide entre 3)

60x = 39y y = 60x/39 y = 20x/13

m2 =20/13

Como las pendientes son iguales, las trayectorias de ambas manadas nunca logran interceptarse porque son paralelas. 131

Ejemplo 2:

Soluci贸n:

Identifica y marca en la siguiente imagen las rectas que son paralelas.

Las rectas paralelas son: B, D y F AyG CyM

Para verificar que lo anterior es correcto puedes apoyarte de un transportador y comparar los 谩ngulos de cada recta.

Semana 2 / Sesi贸n 6 / Martes

132

2.1.4 Perpendicularidad entre rectas Sobre las vías del tren se encuentran los rieles y los durmientes, si observas bien, cada durmiente es perpendicular al riel ya que la posición de los durmientes forma un ángulo recto (90º) con respecto a los rieles.

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

133

En el ejemplo 1 y 3 de la sesión anterior, si empalmas las rectas en un mismo plano, forman un ángulo recto, por lo tanto son perpendiculares, y si analizas tanto su pendiente como su ángulo de inclinación descubres que:

1 1 m2  0.626    1.6 m1

a 2  147.9946º  90º 57.9946  90º a1

(3, 4.8)

m2  0.625

a 2  147.9946º

(-3, 1.875)

m1  1.6

a1  57.9946º

3 2

5y = 8x 1

90º -3

8y = - 5x

-2

-1

-1 -2

(-2, -3.2)

(3, -1.875)

-3

De lo anterior concluyes que otra característica de las rectas perpendiculares es que la multiplicación de sus pendientes es igual a – 1. Semana 2 / Sesión 6 / Martes

134

Ejemplo 1: Dos automóviles, uno rojo y otro amarillo, van conduciendo a baja velocidad, cada uno por distintas calles, ambos se dirigen al mismo sitio, al estudiar el movimiento de los coches, se encontró que el carro rojo tiene una trayectoria que se representa mediante la ecuación 6x – y = 8 y el carro amarillo su trayectoria la describe la ecuación 2x + y = 4. ¿Qué ocurre con los carros si ambos continúan siempre derecho? ¿Cómo es la trayectoria de uno respecto de la del otro? Solución: Obtén la pendiente de la ecuación que describen ambos carros y al final compáralas para determinar la relación entre las trayectorias de ambos coches. Carro rojo: Despeja

Carro amarillo: “y”

Pendiente:

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

6x – y = 8 – y = 8 – 6x y = 6x – 8

m1 = 6

Despeja

“y”

2x + 12y = 5 12y = 5 – 2x y = (5 – 2x)/12 y = 5/12 – x/6 m2 = – 1/6

Por lo tanto los coches se cruzan y la trayectoria que hace uno es perpendicular a la trayectoria del otro. 135

Ejemplo 2: Identifica y marca en la siguiente imagen las rectas que son perpendiculares.

Soluci贸n:

Las rectas paralelas son: GyF GyB GyD AyB AyD AyF Para verificar que lo anterior es correcto puedes apoyarte de un trasportador y comparar los 谩ngulos de cada recta.

Semana 2 / Sesi贸n 6 / Martes

136

Mapa de Aguascalientes

Resuelve: 1) Jorge vive en la calle Soleado cruz con Alborada, para ir de su casa a la escuela toma la vía rápida Arqueros, luego toma la calle 1821 hasta llegar a su destino. Esta mañana al tomar Jorge la Av. Arqueros se encontró con un embotellamiento. ¿Qué vía alterna puede tomar Jorge para llegar temprano a su escuela? 2) Si se traza un sistema de ejes coordenados, ¿qué relación existe analíticamente entre la vía alterna y la calle Arqueros? Semana 2 / Sesión 6 / Martes

137

Solución: En la práctica, la calle alterna es aquella que tiene la misma dirección que la vía rápida y que permite llegar sin desviarse mucho al punto de destino. Conforme al mapa la calle alterna de la Av. Arqueros es la calle Mariano Escobedo.

Para identificar la relación entre las calles es necesario conocer sus pendientes. En el plano cartesiano se identifican los puntos que pertenecen a cada una: • Arqueros ( 3, 1.5) y (3.5, 3.5) • Mariano Escobedo (-1, 2) y ( -1.5, 0)

ma 

y2  y1 x2  x1

mb 

3. 5  1 . 5 ma  3 .5  3 2 ma  4 0 .5

6 5 4

y2  y1 x2  x1

02 mb   1.5  (1) 2 mb  4  0. 5

3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

Obtenidas las pendientes se comparan entre sí para determinar la relación existente entre las calles: La calle Arqueros y Mariano Escobedo son paralelas ya que sus pendientes son iguales.

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

A través de este ejemplo se muestra una de tantas aplicaciones que existen sobre la relación que puede haber entre las rectas y las calles que 138 diariamente usas.

Actividad 12 Mapa de Aguascalientes

6 5 4 3 2 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1

-2 -3 -4 -5

Instrucciones: establece la relaci贸n (paralelas o perpendiculares) entre las calles Aguascalientes sur, Arqueros y Cenit mediante los puntos dados en el mapa de Aguascalientes, utiliza la f贸rmula de la pendiente. Semana 2 / Sesi贸n 6 / Martes

139

Actividad 13 Instrucciones: toma como referencia la siguiente imagen y realiza lo que se te pide.

Identifica los puntos de intersección de cada recta.

Determina la ecuación de cada recta.

Obtén la pendiente de cada una de las rectas.

Establece la relación (paralelas o perpendiculares) entre ellas a partir de sus pendientes.

Semana 2 / Sesión 6 / Martes

140

2.2 Formas de la ecuación de la recta 2.2.1 Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos 2.2.2 Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

141

Al finalizar la sesión 7, serás capaz de: • Determinar la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente mediante un punto dado y su pendiente. • Obtener la ecuación de la recta a través de dos de sus puntos.

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

142

Recuerda: •Para obtener la pendiente de una recta son necesarios dos de sus puntos, los cuales con facilidad puedes sustituir y obtener su resultado. Ejemplo: Obtén la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (2, - 1) y ( 0, 4) Establece un orden entre las parejas ordenadas: (x1, y1) = ( 2, - 1 ) Identifica las ordenadas y abscisas respectivamente: x1 = 2 y y1 = - 1 Sustituye los valores en la fórmula y se resuelve: y y m 2 1 x2  x1 4  (1) 02 5 m 2 Instrucciones: obtén la pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos. a) ( 5, - 3) y ( 0, -3) b) ( 6, 2) y ( 3, - 5) c) ( 4, 1) y ( - 3, 7)

(x2, y2) = ( 0, 4) x2 = 0 y y2 = 4

m

Respuestas: a) m = 0 b) m = 2.33 c) m = -0.857

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

143

Pulmonías en Mazatlán

Para realizar un detallado y preciso análisis de los gastos generados al usar como transporte las pulmonías en Mazatlán, ¿cómo crees que se pudiera representar analíticamente la relación entre los kilómetros recorridos de las pulmonías y su costo? Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

144

2.2 Formas de la ecuación de la recta Como lo pudiste observar en la sección “Explora”, el estudio analítico de eventos, situaciones, fenómenos, etc., es de suma importancia para establecer una interpretación general del suceso y facilitar su estudio y transmisión. A continuación se presenta la determinación de la línea recta con distintos tipos de ecuaciones pero equivalentes.

2.2.1 Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos Ya aprendiste a identificar algunas características de una recta según su lugar geométrico en el plano, conforme a eso puedes decir que una recta queda determinada a partir de dos condiciones; por ejemplo: dos de sus puntos, un punto y su ángulo de inclinación, y en este caso, de la pendiente y uno de sus puntos.

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

145

Si analizas las condiciones de la recta por la pendiente y un punto dado, y consideras la fórmula de la pendiente, obtienes la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta como se muestra a continuación:

m

y2  y1 x2  x1

A(x1, y1 )

( x2  x1 )m  y2  y1

Forma punto-pendiente

y  y1  m( x  x1 )

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

B(x2, y2)

146

Ejemplo 1: Si la pendiente está dada como m= 6 y la recta pasa por el punto (-2, -4), obtén la ecuación de la recta.

Al tomar la ecuación: Forma punto-pendiente

y  y1  m( x  x1 )

Sustituye la pendiente y el punto dado:

y  y1  m( x  x1 ) y  (4)  6[ x  (2)] y  4  6( x  2) Resuelve: Si la pendiente está dada por m= 2/5 y la recta pasa por el punto (-3, 0), obtén la ecuación de la recta.

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

147

Ejemplo 2: Gustavo desciende de una montaña en coche, la montaña tiene una pendiente negativa de 1/3, y tiene que pasar a recoger a su mamá que se encuentra de la tienda de ropa en el punto (2, - 1), un poco más abajo esperándolo, describe la trayectoria que tiene que hacer Gustavo para pasar a recoger a su mamá y traza su gráfica si la tienda de ropa está al origen.

Solución:

Para obtener la ecuación, sólo tienes que sustituir los valores en la ecuación punto-pendiente, recuerda que en el texto marca que la pendiente es negativa, resultándote lo siguiente:

y  y1  m( x  x1 ) 1 y  (1)   ( x  2) 3 1 y  1   ( x  2) 3

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

148

La gráfica correspondiente a la trayectoria que hace Gustavo al bajar por la montaña e ir a recoger a su mamá es la siguiente:

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

149

2.2.2 Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos Otra forma distinta de la ecuación de la recta la puedes obtener a partir de dos puntos pertenecientes a la misma. Si conoces dos puntos de la recta y consideras tanto la fórmula de la pendiente como la ecuación forma punto-pendiente, la ecuación de la recta en su forma punto- punto queda determinada de la siguiente manera:

Forma punto-pendiente

y  y1  m( x  x1 )

y y m 2 1 x2  x1

y x2  x1 A(x1, y1 )

Sustituye la fórmula de la pendiente en la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente y te resulta:

B(x2, y2)

Forma punto-punto

y  y1 y2  y1  x  x1 x2  x1 Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

x2  x1 150

Ejemplo 1: Determina la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente que pasa por los puntos: (-3, -5) y (0, 7) De la ecuación:

Forma punto-punto

Sustituye los puntos dados:

y  y1 y2  y1  x  x1 x2  x1 A( x1, y1) = (-3, -5) y B( x2, y2) = ( 0, 7)

y  (5) 7  (5)  x  (3) 0  (3) y5 75  x3 3 y  5 12  x3 3 y  5  4( x  3) Resuelve: • Determina la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente dados sus puntos: (2, -4) y (6, 3) Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

151

Ejemplo: Juan y Pedro juegan al balón pie en el patio de su casa, si respecto a la casa, Juan se encuentra en el punto (7, -5) y Pedro en el punto (-2, -4) respecto de la casa, ¿cuál es la trayectoria recta que tiene que hacer el balón para llegar de Pedro a Juan? Representa la trayectoria mediante una ecuación. Solución: Para obtener la ecuación de la trayectoria recta que tiene que hacer el balón de fútbol, ya que los datos proporcionados son dos puntos tomando como punto de referencia la casa, utiliza la fórmula de la recta en su forma punto – punto y sustituye los puntos dados: A( x1, y1) = (7, - 5) y B( x2, y2) = ( - 2, - 4)

y  (5)  4  (5)  x7 27 y5 45  x7 9 y5 1  x7 9 9( y  5)  ( x  7) Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

152

Torre Avalanz

En la Torre Avalanz se pretende cambiar el cable de uno de los elevadores del edificio. La torre mide 167 metros de altura y cuenta con 43 pisos. La cantidad en metros del cable depende del número de pisos. Suponer c = 8p – 4, donde “c” es la cantidad de cable en metros y “p” el número de pisos de la torre.

Presentado el proyecto de la Torre Avalanz: a) b) c)

d) e)

¿Qué cantidad de cable se necesita para los 43 pisos? Y si sólo hay 22 pisos en servicio, ¿cuánto cable se ocupa? Representa gráficamente la relación entre cantidad de cable y número de pisos Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta ¿Cuál es la razón de cambio entre el cable y los pisos?¿Qué representa?

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

153

Solución:

a) ¿Qué cantidad de cable se necesita para los 43 pisos? Si la relación entre cantidad de cable y número de pisos está dada por la ecuación lineal: c = 8p – 4, se sustituye el número de pisos de la torre en la ecuación y resulta: c = 8(43) – 4 = 340. La cantidad de cable es de 340 m. A( c1, p1)

(2, 12)

b) Y si sólo hay 22 pisos en servicio, ¿cuánto cable se ocupa? Se procede de la misma manera: c = 8(22) – 4 = 172 La cantidad de cable es de 172 m.

c) Representa gráficamente la relación entre cantidad de cable y Ecuación: número de pisos.

Cable

10 8 6

B( c2, p2)

(1, 4)

c = 8p - 4

0 -2

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

Número pisos

Cantidad cable

a 2

Pisos

-4 -6

154

A( c1, p1)

d) Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta.

4  12 m 1 2 8 m 8 1

a  tan 1 m a  tan 1 (8) a  82.87º

e) ¿Cuál es la razón de cambio entre el cable y los pisos?

c c2  c1 4  12  8 8     p p2  p1 1  2 1 1

(2, 12)

12 10

Cable

c c m 2 1 p2  p1

8 6

B( c2, p2)

(1, 4)

0 -2

Pisos

-4 -6

La razón de cambio indica que por cada piso se ocupan 8 metros de cable.

Este ejemplo muestra la facilidad de manejar, a través de una fórmula, la relación dependiente y cambiante de una variante con respecto a otra. Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

155

Actividad 14 Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • Obtén la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente dados los datos que a continuación se te proporcionan. • Representa en el plano cartesiano el lugar geométrico de cada una de las ecuaciones de la recta obtenidas en el punto anterior. 1) m = 2.5 y pasa por (3, -1) 2) Pasa por los puntos (2, -5) y (2, 2) 3) Pasa por (2, 9) y m = 4 4) Pasa por los puntos (0, 3) y (1, -3) 5) m = - 1.5 y pasa por (-4, 0) 6) Pasa por los puntos (4, 3) y (-2, -3)

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

156

Actividad 15 Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • Obtén la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente dados los datos que a continuación se te proporcionan. • Representa en el plano cartesiano el lugar geométrico de cada una de las ecuaciones de la recta obtenidas en el punto anterior. 1)

m = 1.3 y pasa por (2, -4)

Pasa por los puntos (2, -3) y (-1, 0)

Pasa por (3, 5) y m = 2

Pasa por los puntos (-1, -3) y (0, 6)

m = - 1.5 y pasa por (2, 1)

Pasa por los puntos (4, 1) y (-1, -1)

Semana 2 / Sesión 7 / Miércoles

157

2.2.3 Forma pendiente-ordenada al origen 2.2.3.1 Intersección de una recta con el eje “y” 2.2.3.2 Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje “y” 2.2.4 Forma simétrica 2.2.4.1 Intersecciones de una recta con los ejes coordenados 2.2.4.2 Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

158

Al finalizar la sesión 8, serás capaz de: • Determinar la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada al origen mediante su pendiente y su intersección con el eje “y” y viceversa. • Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica a través de la gráfica o de las intersecciones con los ejes.

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

159

Recuerda: La intersección entre dos rectas es el punto de cruce de ambas, o de una recta con algún punto de los ejes coordenados. Por ejemplo:

Intersección en el eje de las “x”

y6 5 4

(-2, 0) -6

-5

-4

-3

-2

6 5 4

-1 -1

-6

-5

-4

-3

Q(-2, 0)

-2

-1 -1

-2

-3

-4

-5

P(0, 3)

Intersección en el eje de las “y”

-6

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

160

Instrucciones: identifica y marca en la siguiente gráfica los puntos de intersección de las rectas entre sí y los puntos de intersección de las rectas con los ejes coordenados.

6 5 4 3 2 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1

-2 -3 -4 -5

Respuesta:

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

161

En arquitectura, para una construcción es importante considerar un drenaje pluvial fluido a fin de evitar que el agua haga charco y se infiltre por la placa. Para lograr dicho objetivo han propuesto diferentes tipos de techo como los de la figura.

¿Cuál crees que sea el tipo de techo más eficaz para un óptimo drenaje pluvial? Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

162

2.2.3 Forma pendiente-ordenada al origen

Para resolver el problema de la sección “Explora” es importante que conozcas algunas otras características de la línea recta que te ayudarán a resolver dicha cuestión, dentro de estas características se encuentra otra forma distinta de representar a una línea recta y es a través de su pendiente y la intersección de la misma con el eje de las “y”, este tipo de ecuación es llamada también forma simplificada de la línea recta. Es posible obtener la ecuación bajo esta forma a través de su interpretación gráfica o determinados la pendiente y ordenada al origen de la misma.

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

163

2.2.3.1 Intersección de una recta con el eje “y” Sabías que… En los techos de tipo plano, el grado de inclinación debe ser 2% proporcional al ancho de la construcción para un óptimo drenaje pluvial. Para calcular la inclinación es necesario que establezcas un marco de referencia sobre la construcción y en función de los datos resolverlo.

Si la casa de la figura mide 4 metros de ancho y 5 metros de alto, ¿cómo encontrar la ecuación de la recta del techo?

6 5

0.08m

En la sesión anterior clasificaste algunas rectas en función de sus características, y según sus características era su ecuación. Ahora, al incluir la intersección de la recta con el eje “y” se concluye que:

4 3

• Cuando la recta pasa por el origen su ecuación es de la siguiente forma: y = mx

2 1

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

• La ecuación de la recta que no pasa por el origen es de la forma: y = mx + b, en donde “b” se le conoce como la ordenada al origen ya que es la distancia desde el origen hasta la ordenada donde la recta corta al eje de las “y”. 164

En los ejemplos 1 y 2 de la sesión 5, si analizas la ecuación de la recta que no pasa por el origen, observarás que la recta en el plano está recorrida del origen sobre el eje de las “y” (-4/5), dicho valor corresponde al de la ordenada al origen (b) de la ecuación. Por lo tanto, para el tipo de recta que no pasa por el origen, concluyes que el punto de intersección con el eje de las “y” es la ordenada al origen b, y cuya coordenada es (0, b)

8 y x 5

8 4 y  x 5 5

2 1

-3

-2

-1

-1 -2 -3

0.08m

4 3 2 1

-4 -5

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

En el caso del techo plano, a partir del sistema de ejes coordenados se ubica el punto de intersección del techo con el eje de las “y” y corresponde al punto (0, 5). 165

2.2.3.2 Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje “y” Otra manera distinta de obtener la ecuación de la recta del techo de la construcción es a partir de la pendiente (m) de la recta y su intersección con el eje de las “y” , la cual está dada bajo la forma pendiente-ordenada al origen: y = mx + b.

Para obtener su ecuación correspondiente sustituye los valores en: y = mx + b. Para representar la ecuación en el plano cartesiano: 1) Toma el valor de la ordenada, la cual forma el punto (0,b) en el plano. 2) Dada la pendiente (y/x), considera por separado los valores de desplazamiento (x) y de elevación (y). 3) A partir del punto (0, b) se desplaza (se traslada horizontalmente) hasta el valor (x). 4) Sobre tal posición se eleva (se traslada verticalmente) el valor (y). 5) El punto de término forma parte de la ecuación de la recta. 6) Traza la línea recta sobre (0, b) y el punto de término de la operación anterior.

Nota: si el valor de la pendiente es negativo, el signo se puede aplicar ya sea al numerador o al denominador. Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

166

Ejemplo: Si la ordenada al origen es 4 y la pendiente de la recta es -2/3, ¿cuál es la ecuación y representación gráfica de la misma? (-3, 6)

Al sustituir los valores de la ordenada al origen y de la pendiente en la ecuación de la recta que no pasa por el origen queda: y = (-2/3) x + 4.

Para representar la recta en el plano, con b = 4 obtienes la coordenada de intersección con el eje “y” que es (0, 4) y la pendiente en este caso, con una elevación correspondiente de 2 y desplazamiento de -3, el signo negativo se le puede asignar ya sea al numerador o denominador.

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

(0, 4)

-3

3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

y = (-2/3) x + 4 A partir del punto de intersección con el eje “y” desplaza sobre el eje “x” el valor correspondiente dado por la pendiente y sobre esta posición traslada verticalmente el valor de elevación dado por la pendiente.

-2 -3 -4 -5

167

Para determinar la ecuación de la recta del techo plano es necesario que conozcas otro punto para obtener la pendiente.

Si la inclinación del techo debe ser el 2% del ancho de la construcción, entonces, a esta casa hay que levantarle el techo ese 2%, para resolverlo puedes usar la regla de tres: 4m ?

son son

100% 2%

x 2% 8m   0.08m  8cm 100% 100

El punto de elevación en el plano es (4, 5.08) Obtenidas las parejas ordenadas de la recta del techo: (0, 5) y (4, 5.08), calcula la pendiente.

m

y2  y1 5.08  5 0.08 1    0.02  x2  x1 40 4 50

Al encontrar los puntos y la pendiente, ambos los sustituyes en la ecuación pendiente-ordenada al origen. 1

y  mx  b

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

y

x5

168

2.2.4 Forma simétrica

Otra de las distintas formas de representar la línea recta es a través de su intersección con los ejes coordenados “x” y “y”. Es posible obtener la ecuación bajo esta forma a través de su interpretación gráfica o determinadas las coordenadas de intersección de la recta con los ejes, la abscisa al origen (a, 0) o la ordenada al origen (0, b).

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

169

2.2.4.1 Intersecciones de una recta con los ejes coordenados En el bloque I analizaste la intersección de una gráfica con los ejes. Si una recta corta al eje de las “y” el punto de intersección es (0, y) y si corta al eje de las “x” el punto de intersección es (x, 0). A través de estos datos es fácil que obtengas la forma de la ecuación de la recta.

Ejemplo: grafica la recta de la ecuación y = - 3x + 4 Sabes que cuando la recta se intersecta con el eje de las “y”, x=0, entonces, sustituyes en la ecuación x = 0 para obtener el valor de la ordenada “y”.

5 4 3

De: y = - 3x + 4 x = 0 entonces y = -3 (0) + 4= 0 + 4 = 4 Por lo tanto, x=0 y y=4, la coordenada de intersección en “y” es (0, 4)

2 1

De la misma manera, el punto de intersección de la recta con el eje de las “x” es cuando y = 0, este valor lo sustituyes en la ecuación y resulta:

-2

-1

-1 -2

De: y = - 3x + 4 y = 0 entonces 0 = -3 x + 4 -3x = - 4 Por lo tanto, x = 4/3 y y = 0, la coordenada de intersección en “x” es (4/3, 0) Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

-3 -4

170

2.2.4.2 Ecuación de una recta conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados Si una recta corta al eje de las “y”, el punto de intersección es (0, y) y el punto de intersección con el eje de las “x” es el punto (x, 0), al considerar la ecuación punto-punto, la forma de la recta queda:

Al sustituir los puntos en la ecuación: Se simplifica:

(0, y)

(x, 0) 0

y  y1 y2  y1  x  x1 x2  x1 y b 0b  x0 a0 y b b  x a a ( y  b )  b ( x ) ay  ab  bx ay  bx  ab

Al dividir la ecuación entre “ab” queda: Forma simétrica: Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

ay bx ab   ab ab ab x y  1 a b

171

Ejemplo: Si los puntos de intersección con los ejes de una recta son (–2, 0) y (0, –3), ¿cuál es su ecuación simétrica? Forma simétrica

x y  1 a b

7 6 5 4

Con los datos proporcionados, se identifica que el valor de a = –2 y el de b= –3. Éstos se sustituyen en la ecuación de la recta en su forma simétrica:

B (x2, y2)

(-2, 0)

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4

(0, -3) A (x1, y1)

x y  1 2 3 x y   1 2 3

-5 -6

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

172

Para obtener la ecuación en la forma simétrica del techo plano de la construcción hace falta el punto de intersección de la recta con el eje de las “x”, recuerda que cuando esto ocurre el valor de “y” es 0, entonces en la ecuación anterior se sustituye y = 0 y se obtiene el valor correspondiente de x.

1 x5 50 1 0 x5 50 0  x  250

x  250

y

6 5

0.08m

2 Ahora se sustituyen los valores a = -250 y b = 5 en la ecuación de la forma simétrica:

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

x y  1 a b x y  1  250 5

173

Información obtenida de la SIAP (Servicio de Información Agropecuario y Pesquera) Producción de todos los tipos de grano de maíz en Oaxaca, México.

Año

1995

1996

1997

1998 1999

2000

2001 2002

2003

Sembrada (Ha) 583,846 577,516 600,006 583,757 595,896 596,266 596,543 599,257 586,987 Cosechada (Ha) 541,183 547,513 487,603 546,982 566,968 552,280 577,615 445,615 494,350

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

2004

2005

2006

2007 2008

604,742 577,365 565,680 596,610 604,692 536,080 485,977 478,712 561,032 597,535

174

Con la información proporcionada resuelve lo siguiente: a) b) c)

Obtén el promedio de cosecha de maíz en el periodo 2000 – 2005 Calcula la razón de cambio en el mismo periodo. ¿Qué representa respecto a la cosecha de maíz en dichos años? Traza una línea recta sobre los puntos extremos en dicho periodo, calcula su pendiente y ángulo de inclinación. Determina la ecuación de la recta en dicho periodo en su forma punto-pendiente, pendienteordenada al origen y en su forma simétrica.

Solución:

Para obtener el promedio de la cosecha de maíz en el periodo 2000 – 2005, suma las cantidades cosechadas y divídelas entre el número de años transcurridos:

Año

1995

Sembrada (Ha) 583,846

1996

1998 1999

2000

2001 2002

2003

577,516 600,006 583,757 595,896 596,266 596,543 599,257 586,987

Cosechada (Ha) 541,183 547,513

Promedio 

1997

2004

2005

2006

2007 2008

604,742 577,365 565,680 596,610 604,692

487,603 546,982 566,968 552,280 577,615 445,615 494,350 536,080 485,977 478,712 561,032 597,535

552,280  577,615  445,615  494,350  536,080  485,977  515,319.5 6 175

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

Calcula la razón de cambio en el mismo periodo. ¿Qué representa respecto a la cosecha de maíz en dichos años?

Los puntos extremos en la gráfica son: (5, 5.52) y (10, 4.86). Al sustituirlos en la fórmula de la razón de cambio obtienes:

y y2  y1 4.86  5.52  0.66     0.132 x x2  x1 10  5 5

Traza una línea recta sobre los puntos extremos en dicho periodo, calcula su pendiente y ángulo de inclinación.

La pendiente corresponde con la razón de cambio obtenida en el inciso anterior. Dicha pendiente se sustituye en la fórmula para obtener el ángulo de inclinación:

a  tan 1 m a  tan 1 (0.132) a  7.52 Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

Para que el ángulo sea positivo le sumas 180º.

Hectáreas por 100, 000

La razón de cambio negativa indica que la cosecha en este periodo decreció 0.132 (Ha) por año.

5 4 3 2 1 0

95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08

a =180º – 7.52 = 172.48º

Sembrada

Años

Cosechada

176

Determina la ecuación de la recta en dicho periodo en su forma punto-pendiente, pendienteordenada al origen y en su forma simétrica.

Para obtener la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente, sustituye los valores de la pendiente y de cualquiera de los dos puntos extremos en la fórmula. Forma punto-pendiente

y  y1  m( x  x1 )

Se toma el punto: (5, 5.52) y m = – 0. 132

y  y1  m( x  x1 ) y  5.52  0.132( x  5)

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

Forma pendiente-ordenada al origen

y  mx  b

Para obtener el valor de la ordenada se calcula el punto de intersección de la recta con el eje de las “y”, cuando x = 0. Sustituye x = 0 en la ecuación de la forma punto-pendiente:

y  5.52  0.132( x  5) x0 y  5.52  0.132(0  5) y  0.66  5.52  6.18 y  6.18 y  mx  b y  0.132 x  6.18

Forma simétrica

x y  1 a b Se sustituye y = 0 en la ecuación punto-pendiente para obtener “a”:

y  5.52  0.132( x  5) y0 0  5.52  0.132( x  5)  0.66  5.52  0.132 x  6.18 x  46.82  0.132 x y  1 46.82 6.18

El ejemplo anterior ilustra muy bien que una misma situación o fenómeno puede ser representado a conveniencia dependiendo de la naturaleza de 177 la tarea que se tenga que realizar.

Actividad 16 Instrucciones: determina la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen dados los siguientes datos. 1) m = – 3/5 y b = – 4 2) m = 0 y b = 3

3) m = – 1 y b = 8

Actividad 17 Instrucciones: a partir de las ecuaciones dadas encuentra el valor de la pendiente, de la ordenada al origen y realiza la gráfica correspondiente. 1) y = – 2 x – 5 2) 4x – 6y = 8 3) 7 + 2y = 3x

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

178

Actividad 18 Instrucciones: obtén la ecuación de la recta en su forma simétrica a partir de la intersección de la recta con los ejes de las siguientes gráficas.

Semana 2 / Sesión 8 / Jueves

179

180

Proyecto Modular Opci贸n 2

181

Debe contener en esencia los siguientes puntos:

a) Presentaci贸n. Limpieza, orden y estructura. b) Investigaci贸n. Informaci贸n actual y real, empleo de fuentes seguras. c) Procedimientos. Resolver los ejercicios personalmente.

182

Universidad CNCI de México, S.C. Plantel Ajusco

El proceso de la comunicación Taller de lectura y redacción II

Leticia Gómez Rodríguez Grupo: 205 Módulo 3

Maestra: Nora Montes Martínez

Ejemplo de portada para cada una de las actividades: Nombre de la escuela Logo de la Universidad

Nombre del tema en el que se va a trabajar Nombre de la asignatura (materia)

Nombre del alumno, grupo y módulo en que se encuentra.

Nombre del maestro (a)

México D.F., a 28 de Enero 2010 Fecha de entrega

183

Proyecto modular 2 Teléfonos Peluche Requisitos para la entrega: • Realizarlas en hojas milimétricas, tamaño carta. • Anexar portada a cada una de las actividades, para su identificación.

• Distinguir con colores los ejercicios y el procedimiento de los mismos. • Las actividades se anexarán en un fólder para su entrega.

184

Actividad 2 •Regularmente, la compañía de teléfonos cobra una cuota fija mensualmente por la renta del servicio, además se incrementa el cobro según el plan que has contratado en tu casa, investiga la cuota fija que te cobra la compañía de teléfonos y según el plan que tienes contratado, el costo por llamada realizada y con esos datos resuelve lo siguiente:

1)Describe la ecuación de la línea recta del ejemplo 2)Encuentra su pendiente 3)Obtén su ángulo de inclinación 4)Traza su gráfica en el plano cartesiano 5)Convierte la ecuación de la recta a su forma punto – pendiente 6)Convierte la ecuación de la recta a su forma punto – punto 7)Convierte la ecuación de la recta a su forma pendiente – ordenada al origen 8)Convierte la ecuación de la recta a su forma simétrica 185

Glosario Semana 2

186

Adyacente: que estรก contiguo. ร ngulo recto: รกngulo cuya medida angular es de 90ยบ. Decrece (decreciente): Una funciรณn es decreciente cuando los valores de la variable dependiente aumentan si la variable independiente disminuye. Denominador: expresa las partes iguales en que se considera dividida la unidad (a/b = numerador/denominador). Drenaje pluvial: sistema de tubos para controlar el fluido del agua de la lluvia. Grado uno: cuando el exponente de la variable es 1.

Semana 2

187

Inclinación: es el ángulo positivo que forma la recta con respecto al eje “x”. Numerador: señala el número de partes iguales de la unidad que contiene una fracción (a/b = numerador/denominador). Óptimo: bueno, que no puede ser mejor. Proporcional: que aumenta o disminuye de igual forma o de manera inversa a otra que se relaciona. Razón de cambio: es el cociente de cambio entre dos valores de una variable. Razones Trigonométricas: son las relaciones de razón que se obtienen al comparar la medida de los lados del triángulo rectángulo. Regla de tres: es una manera de resolver los problemas a partir de la proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita.

Semana 2

188

189

Guía de Estudios Matemáticas III Parte A Semana 3 Bloque IV: Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta Unidades de competencia: • Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la recta al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la recta. • Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la recta, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio. Calendario de Estudio Día

Lunes

Temas

2.2.5 Forma general de la ecuación de una recta 2.2.5.1 Conversión de la ecuación de una recta de la forma simplificada a la forma general y viceversa 2.2.5.2 La línea recta y la ecuación general de primer grado

Evidencia de aprendizaje

Obtiene la ecuación de una recta en su forma general, a partir de la determinación de la ecuación de una recta en su forma punto-pendiente, pendiente-ordenada al origen o simétrica. Convierte la ecuación de una recta en su forma normal a partir de la ecuación en su forma general y viceversa.

2.2.6 Forma normal de la ecuación de la recta 2.2.6.1 Obtención de la ecuación de una recta en su forma normal a partir de su forma general Martes

2.3 Distancias que involucran la recta 2.3.1 Distancia de una recta al origen 2.3.2 Distancia entre una recta y un punto 2.3.3 Distancia entre rectas paralelas

Calcula la distancia de una recta al origen y de una recta a cualquier punto dado a partir de la fórmula de la distancia. Determina la distancia entre rectas paralelas a partir de un punto dado de una de ellas.

190

Bloque V: Emplea la ecuación de la circunferencia con centro en el origen Unidades de competencia: • Construye e interpreta modelos sobre la circunferencia como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas representaciones de la circunferencia. Calendario de Estudio Día Miércoles

Temas 3 La circunferencia 3.1 Caracterización geométrica 3.1.1 Secciones cónicas 3.1.2 La circunferencia como lugar geométrico 3.1.3 Elementos asociados con una circunferencia

Jueves

Viernes

3.2 Circunferencia con centro en el origen 3.2.1 Obtención de la ecuación de una circunferencia a partir del centro y radio 3.2.2 Obtención del centro y del radio a partir de la ecuación.

Examen semana 3 Revisa la opción de proyecto modular 3

Evidencia de aprendizaje Identifica tipos de secciones cónicas que se forman al realizar cortes a un cono mediante un plano en su entorno. Determina los elementos de la circunferencia. Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia a partir de su ecuación y viceversa. Traza la gráfica de una circunferencia a partir del radio y centro de la misma. Realiza el examen de la semana 3.

191

2.2.5 Forma general de la ecuación de una recta 2.2.5.1 Conversión de la ecuación de una recta de la forma simplificada a la forma general y viceversa. 2.2.5.2 La línea recta y la ecuación general de primer grado. 2.2.6 Forma normal de la ecuación de la recta. 2.2.6.1 Obtención de la ecuación de una recta en su forma normal a partir de su forma general.

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

192

Al finalizar la sesión 9, serás capaz de: • Obtener la ecuación de una recta en su forma general a partir de ecuaciones en su forma punto-pendiente, pendiente-ordenada al origen o simétrica.

• Convertir la ecuación de una recta en su forma normal a partir de la ecuación en su forma general y viceversa.

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

193

Recuerda: • En el bloque III revisaste las propiedades del triángulo rectángulo y la función trigonométrica de la tangente, para el aprendizaje actual es necesario conocer la función trigonométrica del seno y coseno.

hip o

ten

c. adyacente hipotenusa b cos   c

cos  



cateto adyacente

cateto opuesto

c. opuesto sen  hipotenusa a sen  c

• Una ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables distintas de grado uno y las cuales están relacionadas mediante sumas o restas. Por ejemplo: 3x + 2y = 6, 7x – 4y + 5 = 0. Las ecuaciones anteriores pueden ser representadas gráficamente otorgándole valores a la variable independiente “x” y obteniendo el valor correspondiente de “y”. Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

194

Instrucciones: resuelve los siguientes ejercicios. 1.

Dadas las siguientes ecuaciones, indica la figura que representan en el plano cartesiano (recta, circunferencia, parábola, elipse o alguna otra). a) y = 4x – 7

b) 2 + 4y =8x

c) 4x + 2y = 0

Encuentra el seno y coseno de los siguientes triángulos rectángulos, recuerda que el ángulo ya lo encontraste en el boque III. Utiliza las funciones trigonométricas de tangente. a)

2. a) sen a= 0.896, cos a = 0.444 b) sen a= 0.538, cos a = 0.842

Respuestas: 1. Ejemplo, a) Recta

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

195

Colinas misteriosas En Patulul, Guatemala, pasa algo aparentemente anormal. Avanzas en coche por una carretera y adviertes claramente que te encuentras subiendo por una colina. Si el coche se detiene en medio de la carretera en punto muerto, ¿qué ocurre?

Según la descripción anterior, el coche tendría que bajar por la pendiente; pero, en esta colina ocurre lo contrario. ¿Por qué? Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

196

2.2.5 Forma general de la ecuación de la recta. Siguiendo con el caso mencionado en la sección “Explora”, un equipo de investigadores se comprometió a analizar este fenómeno a través de un estudio topográfico. La conclusión obtenida fue la siguiente ecuación:

y  0.00197 x  1.289 La respuesta está en la ecuación de la recta. Gracias al estudio de la recta y sus propiedades se descubre que la aparente subida es en realidad una ligera pendiente descendente insertada en una gran pendiente de subida.

El Paso Misterioso, Guatemala Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

197

El engaño se debe a una ilusión óptica pues el descenso es seguido de una gran pendiente de subida, para el observador es una referencia engañosa, el entorno favorece la percepción distorsionada de la pendiente. Como las siluetas de las personas en la imagen, según las perspectivas del entorno parecen una más pequeña que otra cuando en realidad las tres son del mismo tamaño.

Siguiendo con el análisis de la ecuación de la recta de la colina observas que se trata de una ecuación lineal porque la variable independiente “x” es de grado uno. Has aprendido que existen distintas maneras de representar la ecuación de una recta, ¿cuál es la forma general de representarla e identificarla?

Es muy sencillo, sólo tienes que igualar a cero la ecuación y obtienes la ecuación general de la recta. De tal manera que la ecuación general de la línea recta es del tipo: Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números constantes.

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

198

A partir de la forma general de la ecuación de la recta se analizan los posibles casos de ecuaciones para valores propios de las letras A ,B y C:

A0 B0 C 0

a) Cuando

d) Cuando

Ax B

b

C B

A0 B0 C 0

Ax  By  C  0 si A  0 y C 0 By  0

y0

m0

b0

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

B0

C 0

c) Cuando

si C  0 Ax  By  0 m

e) Cuando

Ax B

b0

A0 B0 C 0

Ax  By  C  0 si B  0 Ax  (0) y  C  0 A( x)  C  0

A0 B0 C 0

Ax  By  C  0

m

b) Cuando A  0

A0

(0) x  By  C  0 By  C  0 m0 f) Cuando

b

C B

A0 B0 C 0

Ax  By  C  0 si B  0 y C 0 Ax  (0) y  0  0 x0 199

Si la ecuación de la carretera en la colina de Guatemala está dada por y = – 0.00197x + 1.289, la ecuación en su forma general es:

y  0.00197 x  1.289 0.00197 x  y  1.289  0 Los resultados cuantitativos obtenidos en el estudio topográfico realizado en el tramo de carretera denominado El Paso Misterioso indican que la cuesta desciende en forma constante en dirección San Lucas Tolimán-Patulul aunque visualmente se observe una inclinación hacia arriba.

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

200

2.2.5.1 Conversión de la ecuación de una recta de la forma simplificada a la forma general y viceversa. De la forma simplificada a la forma general. Forma Simplificada: y = mx + b

Forma General: Ax + By + C = 0

Ejemplo. Dada la pendiente de la recta m = 2/3 y la ordenada al origen b = - 2 se obtiene la forma simplificada de la recta a través del siguiente procedimiento: Se sustituyen los valores de la pendiente y de la ordenada al origen en la Forma simplificada de la ecuación de la recta: y = mx + b = (2/3) x + (- 2)

y

2 x  2 Forma Simplificada de la Recta 3

A partir de la forma simplificada de la ecuación de la recta, para transformarla a la forma general se iguala a cero la ecuación: Se multiplica toda la ecuación por 3 Se iguala a 0

2    y  x  2  (3) 3   3y  2x  6 2x  3 y  6  0

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

Forma General de la Recta

201

Ejemplo: dada la ecuación general de la recta 4x – 6y = 8, convertirla a la forma simplificada.

Se despeja “y”

4x  6 y  8  0

Entre 2:

2x  3y  4  0

Se simplifica:

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

y

4  2x 3

y

2 4 x 3 3

Forma General de la Recta

Forma Simplificada de la Recta

202

2.2.5.2 La línea recta y la ecuación general de primer grado. En la vida diaria existen muchas situaciones en las que se usan las funciones, por ejemplo: a) b) c) d) e)

El salario de un empleado está en función del tiempo trabajado. El grado de inclinación del volcán en función del desplazamiento. La fluidez del drenaje pluvial en función de la inclinación del techo. La cantidad de maíz cosechada en función del tiempo. Los chirridos de un grillo están en función de la temperatura.

De los ejemplos anteriores se puede decir que una función matemática es una relación entre dos conjuntos definida una regla de correspondencia en la que a cada elemento del primer conjunto (variable independiente) le corresponde un único elemento del segundo conjunto (variable dependiente). Las letras con las que se representa una función son: f, g, h, y las variables se denotan con las letras t, p, x, y, z. Si la función se escribe de la forma: y = f(x), “x” es la variable independiente y “y” es la variable dependiente.

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

203

La función f(x) es lineal si en su modelo algebraico expresa la relación entre la variable independiente “x” de grado (exponente) uno y la variable dependiente “y”. La forma de la función lineal es: f(x) = mx + b

m  0 “m” y “b” son números constantes

La gráfica de una función lineal es una línea recta, cuando la función se iguala a cero se obtiene una ecuación lineal o ecuación de primer grado.

Ejemplo: Graficar la función f(x)= 3x + 5 cuando y = 0 y cuando y = 1. Si y = 0 Si y = 1

0 = 3x + 5 1 = 3x + 5

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

x=–5/3 x=–4/3

204

2.2.6 Forma normal de la ecuación de una recta. En la sección “Explora” habrás notado que la vegetación sobre la carretera crece perpendicularmente respecto a la superficie de la Tierra, esa línea recta perpendicular a la superficie de la Tierra se llama recta normal. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal correspondiente a la recta de inclinación de la carretera? Para resolver esta cuestión es necesario hacer un análisis sobre la línea recta y su normal.

Al considerar una recta L se traza su recta normal (N) correspondiente, que pase por el origen y perpendicular a L. Dichas rectas se intersectan en un punto P1(x1, y1), de tal manera que el segmento de recta que se forma del origen al punto P1 es P, y  el ángulo formado por la recta normal N con respecto al eje de las “x”.

L N

De acuerdo con la gráfica, la pendiente de la recta normal está dada por: Por fórmula trigonométrica

senθ mN  tan   cos θ

Puesto que N y L son perpendiculares ya que forman un ángulo de 90º entre sí, se concluye que: La pendiente de la recta L es: Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

cos θ mL   senθ

y1 0

(1 x1 P 90º P 

) 1 y ,

x 205

Al tomar la ecuación de la recta en su forma punto – pendiente se determina lo siguiente:

y  y1  m( x  x1 )

si mL  

cos  sen

y  y1  

cos  ( x  x1 ) (1) sen

Según las funciones trigonométricas vistas en la actividad de repaso:

y sen  1 P

Psen  y1

x cos   1 P

P cos   x1

En la ecuación (1) se sustituye “x1” y “y1”:

cos  x  ( P cos  ) sen ysen  Psen 2   x cos   P cos 2  y  Psen  

Al desarrollar:

ysen  x cos   Psen   P cos  2

Se simplifica:

ysen  x cos   P( sen 2  cos 2  )

Identidad Trigonométrica

sen 2  cos 2   1 ysen  x cos   P

Forma normal de la recta

x cos   ysen  P  0

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

y1 0

90º

P 

(x1

) 1 y ,

x 206

Ejemplo: Traza la recta AB para los valores de P y  que se indican y determina su ecuación.

Forma normal de la recta

x cos   ysen  P  0

a) P = 5 y  = 120º

Se sustituyen los valores en la ecuación de la forma normal de la recta, y con la ayuda de la tabla de valores de las funciones trigonométricas (ver material de apoyo) se realiza lo siguiente:

x cos(120º )  ysen (120º )  5  0 1 3 x( )  y ( )  5  0 2 2 x(0.5)  y (0.866)  5  0

5 A

120º

 0.5 x  0.866 y  5  0 Resuelve: • Traza la recta AB para los valores de P = 4 y  = 240º y determina su ecuación. Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

207

2.2.6.1 Obtención de la ecuación de la recta en su forma normal a partir de su forma general. Para obtener la ecuación de la recta en su forma normal a partir de su forma general, hay que suponer la ecuación de la recta en su forma general: Ax + By + C = 0 y la ecuación de la misma recta en su forma normal: xcos + ysen + P = 0, como las ecuaciones determinan la misma recta sus coeficientes son proporcionales:

K

cos  A

K

sen B

K 

P C

En donde K es la constante de proporcionalidad A partir de lo anterior se tiene:

(1) cos   KA

(2) sen  KB

(3) P  KC

Al elevar al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y al sumarlas se obtiene:

cos 2   K 2 A2 Identidad Trigonométrica

sen 2  K 2 B 2

sen2  cos 2   1

cos 2   sen 2  K 2 A2  K 2 B 2 1  K 2 A2  K 2 B 2

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

208

Al despejar K de la ecuación se tiene:

1  K 2 ( A2  B 2 ) K2  K

1 A  B2 1 2

 A2  B 2

Obtenida K se sustituye en :

(1) cos   KA A cos    A2  B 2

(2) sen  KB B sen   A2  B 2

(3) P   KC C P  A2  B 2

Por lo tanto la forma normal de la ecuación Ax + By +C = 0 es:

A  A B 2

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

x

B  A B 2

y

C  A B 2

0

(4) 209

La ecuación obtenida de la recta de su forma general convertida a su forma normal es mucho más simple que la que depende de las funciones trigonométricas. ¿Qué diferencia encuentras entre la forma general de la ecuación de una recta y la obtenida en su forma normal? Al observar la ecuación en la forma general de la recta y la ecuación (4), lograste darte cuenta que la única diferencia es el radical que divide a cada término de la ecuación (4). Ese radical es clave para obtener la conversión de la ecuación de la recta de su forma general a su forma normal.

Ax + By + C = 0

A  A B 2

x

B  A B 2

y

C  A B 2

0

El signo del radical se determina mediante los siguientes criterios:

A2  B 2 es de signo contrario a C.

Si C ≠ 0 el radical

Si C=0 y B ≠ 0, el radical

Si C=B=0, el radical

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

A2  B 2 y B tienen el mismo signo.

A2  B 2 y A tienen el mismo signo.

210

Ejemplo: Convertir a la forma normal la ecuación: – 2x + 8y – 7 = 0 A=–2 B= 8 C= – 7

 A2  B 2   (2) 2  (8) 2   4  64   68

El signo del radical es positivo, ya que C está dado como negativo. Al dividir término a término de la ecuación general de la recta se obtiene:



2 8 7 x y 0 68 68 68

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

211

Chirridos del grillo

Los biólogos han observado que el número de chirridos de un grillo está dado en relación con la temperatura y ésta resulta casi lineal. Se sabe que a 21 ºC el grillo produce 113 chirridos por minuto y que a 27ºC producen 173 chirridos por minuto . Dado lo anterior: a)

b) c)

Determina la ecuación de la recta de la temperatura como función de la cantidad de chirridos por minuto que produce el grillo. Grafica la ecuación y calcula la pendiente y ángulo de inclinación. ¿Qué representa la pendiente? Obtén la ecuación en su forma punto – pendiente, pendiente – ordenada al origen, forma general y reducirla a la forma normal.

Solución: a)

Dada la relación anterior se obtienen los puntos: (21, 113) y (27, 173) y con la fórmula punto-punto se obtiene la ecuación de la recta simplificada:

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

y  y1 

y2  y1 ( x  x1 ) x2  x1

173  113 ( x  21) 27  21 60 y  113  ( x  21) 6 y  10 x  210  113

y  113 

y  10 x  97

212

Determinada la ecuación de la recta se identifica la pendiente como m= 10. Indica que cuando la temperatura aumenta el grillo produce más chirridos.

El ángulo de la ecuación es:

a  tan 1 m a  tan 1 10 a  84.29º

c) Forma punto – pendiente

y  y1  m( x  x1 ) y  113  10( x  21)

Forma pendiente – ordenada al origen

y  113  10( x  21) y  10 x  210  113 y  10 x  97

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

213

Forma General

10 x  y  97  0

Forma Normal

A  10

 A2  B 2

B  1

 (10)  (1)

C  113

 100  1   101

El signo del radical es positivo, ya que C está dado como negativo.

10 1 97 x y 0 101 101 101

A través de este ejemplo puedes apreciar la importancia de la interpretación de las diferentes modalidades de la línea recta, así como su gran utilidad en fenómenos naturales o problemas teóricos.

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

214

Actividad 19

Instrucciones: realiza lo que se te indica a continuación. • A partir de la recta que pasa por los puntos (1, 6) y (-2, - 4.5), determina la ecuación según las siguientes formas: 1) 2) 3)

Punto – pendiente; considera el punto (1, 6). Punto – pendiente; considera el punto (-2, -4.5) Pendiente – ordenada al origen

• A partir de la ecuación de la recta determinada en su forma pendiente-ordenada al origen en el ejercicio anterior, realiza la siguiente conversión: 1) 2) 3) 4)

A su forma general A su forma simétrica A partir de la ecuación obtenida en su forma general, conviértela a su forma normal Traza la gráfica

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

215

Actividad 20

Instrucciones: realiza lo que se te indica a continuación. • A partir de la recta que pasa por los puntos (– 7 , 3) y (6, 10), determina la ecuación según las siguientes formas: 1) 2) 3)

Punto – pendiente; considera el punto (– 7 , 3). Punto – pendiente considera el punto (6, 10) Pendiente – ordenada al origen

• A partir de la ecuación de la recta determinada en su forma pendiente-ordenada al origen en el ejercicio anterior, realiza la siguiente conversión : 1) 2) 3) 4)

A su forma general A su forma simétrica A partir de la ecuación obtenida en su forma general, conviértela a su forma normal Traza la gráfica

Semana 3 / Sesión 9 / Lunes

216

2.3 Distancias que involucran la recta 2.3.1 Distancia de una recta al origen 2.3.2 Distancia entre una recta y un punto 2.3.3 Distancia entre rectas paralelas

Semana 3 / Sesi贸n 10 / Martes

217

Al finalizar la sesión 10, serás capaz de: • Calcular la distancia de una recta al origen y de una recta a cualquier punto dado a partir de la fórmula de la distancia. • Determinar la distancia entre dos rectas paralelas a partir de un punto dado de una de ellas.

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

218

Recuerda:

•

El valor absoluto de un número, es la distancia al origen a partir de dicho número, cuyo valor siempre es positivo. Se denota con las barras | |. Por ejemplo: | 3| = 3

| - 5| = 5

| 4 – 6 + 7 -1| = | 4| = 4

• Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y perpendiculares cuando una es la inversa negativa de la otra. Rectas Paralelas

m2  m1

Rectas Perpendiculares

m2  

1 m1

Instrucciones: realiza lo que se te indica a continuación. • Determinar la relación (paralelas o perpendiculares) entre los siguientes conjuntos de rectas a partir de la pendiente correspondiente a cada ecuación: 3x – y + 1 = 0 6x – 2y – 5 = 0

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

b) 2x + 2y – 3 = 0 8x + 8y – 12 = 0

c) – x + 3y – 2 = 0 9x + 3y + 15 = 0

Respuestas: a) Paralelas b) Paralelas c) Perpendiculares

219

¿Rectas?

Imagen 3 Imagen 1

• Observa la imagen 1. ¿Cómo son las rectas entre sí? ¿Paralelas o torcidas? • Observa la imagen 2. ¿A cuál punto entre A, B y C corresponde la recta que sale del rectángulo del lado izquierdo? • Observa la imagen 3. ¿Las rectas son paralelas, perpendiculares o torcidas? Imagen 2 Semana 3 / Sesión 10 / Martes

220

2.3 Distancias que involucran la recta. En el bloque II aprendiste a calcular la distancia existente entre dos puntos, en esta sesión descubrirás un método abreviado para calcular la distancia de una recta al origen, a un punto o a otra recta.

2.3.1 Distancia de una recta al origen.

Los sentidos no son del todo precisos, ya has visto algunos ejemplos que lo demuestran. ¿Cómo evitar caer en el engaño? Las matemáticas aportan certeza al analizar cuantitativamente los posibles casos ambiguos y al dar resultados precisos y creíbles.

6 5 4 3 2 1

En la imagen 3 de la sección “Explora”, para determinar cómo son las rectas entre sí, se toma un punto de referencia y se traza un plano cartesiano.

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1

-2

Al analizar las rectas grises, se calcula la distancia de cada una de ellas al origen y si las distancias son proporcionales, las rectas son paralelas.

-3 -4 -5

Para calcular la distancia de la recta al origen se procede de la siguiente manera: Semana 3 / Sesión 10 / Martes

221

La recta intersecta al eje “x” en el punto A y al eje “y” en el punto B. La longitud del segmento OB = b, la longitud del segmento OA = a. Según la figura de la gráfica, se forma un triángulo rectángulo OBA, con catetos a y b, y como hipotenusa el segmento AB. Según la fórmula del Teorema de Pitágoras, lo anterior queda de la forma:

AB  a 2  b 2 Una propiedad del triángulo rectángulo establece que el producto de sus catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura:

ab  ABd Al juntar las dos ecuaciones se obtiene:

ab  ABd

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

Fórmula de la distancia entre una recta y el origen

ab  d a 2  b 2 ab d a 2  b 2 222

Para encontrar entonces la distancia de la recta de la imagen 3 de la sección “Explora” al origen, basta saber los puntos donde la recta corta con los ejes.

d

a 2  b2

Al sustituir los valores a= 2 y b= 1 en la ecuación resulta que la distancia del origen a la recta es de:

3 2

(0, 1)1 -6

-5

-4

-3

-2

(2, 0)

-1 -1 -2 -3 -4 -5

d

(2)(1) (2) 2  (1) 2

2 4 1 2 d 5 d  0.8928 d

Si otra recta cortara en los puntos(1, 0) y (0, 0.5), ¿cuál sería la distancia de la recta al origen? Semana 3 / Sesión 10 / Martes

223

2.3.2 Distancia entre una recta y un punto. Para determinar la relación entre las rectas de la imagen 1 de la sección “Explora”, se elige un punto de referencia y se traza un plano cartesiano sobre éste. Se elige una de las rectas y se crea una recta paralela (L1) punteada a ésta.

La ecuación de la recta L está dada por:

x cos a  ysena  p  0

La ecuación de la recta L1 está dada por:

A( x1, y1)

x cos a  ysena  ( p  d )  0

-4

-3

-2

-1 -2

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

a 0

-1

Como el punto A satisface la recta L1 entonces:

x1 cos a  y1sena  ( p  d )  0 al despejar d d  x1 cos a  y1sena  p

224

Para facilitar la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se sustituyen las equivalencias de las funciones trigonométricas:

cos  

sen 

 A2  B 2

Se simplifica:

P

 A2  B 2

C  A2  B 2

d  x1 cos a  y1sena  p

Al sustituir en la ecuación:

d

A  A2  B 2

x1 

d

B  A2  B 2

y1 

C  A2  B 2

Ax1  By1  C  A2  B 2

Fórmula para calcular la distancia entre una recta y un punto Semana 3 / Sesión 10 / Martes

225

Distancia dirigida de una recta a un punto. Si la distancia se calcula con la fórmula obtenida, el signo del radical se determina a través de los siguientes criterios: a)

Será positivo si el punto P1 está situado por encima de la recta y negativa si está por debajo de ella. Es posible determinar lo anterior al considerar que el signo del radical es el mismo que tiene B, o sea, el coeficiente de la variable “y”.

Distancia no dirigida de una recta a un punto. Si el signo de la distancia no es de interés entonces solamente se obtiene el valor absoluto de la distancia entre el punto y la recta dada.

d

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

Ax  By  C  A2  B 2

226

2.3.3 Distancia entre dos rectas paralelas. Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, solamente se toma una de las dos ecuaciones, se hace cero una de las dos variables y se procede a calcular el valor correspondiente de la segunda variable, una vez obtenido el punto, se calcula la distancia entre un punto y una recta.

Ejemplo:

6 5

Para desengañarnos de la vista, se va a calcular la distancia entre las rectas M y N en dos puntos distintos.

3 2

Según el plano cartesiano, la recta M pasa por los puntos (-2, 1) y (1, 1), su ecuación está dada por: y = 1 Un punto de la recta N es (2, 3). Al calcular la distancia entre la ecuación de la recta M y=1 y el punto que pasa por N (2, 3) se tiene:

1 -6

-5

-4

-3

-2

-1 -1

-2 -3 -4 -5

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

227

Distancia de la recta M a la recta N es:

d

Otro punto de N es (-3, 3)

d

Ax1  By1  C  A2  B 2 Ax1  By1  C  A2  B 2



(0)(2)  (1)(3)  0  (0) 2  (1) 2 (0)(3)  (1)(3)  0  (0) 2  (1) 2

y Por los resultados obtenidos se concluye que las rectas M y N son paralelas.

Resuelve:

Obtén la distancia entre las rectas M y O, toma dos puntos diferentes por donde pasa la recta O y verifica si son paralelas M y O.



3 3 1



3 3 1

6 5 4

3 2

1 -6

-5

-4

-3

-2

-1 -1

-2 -3 -4 -5

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

228

Tabla de billar En el tabla de billar el ángulo con que choca una bola de billar contra el borde de la mesa y el ángulo con que se desvía son iguales.

4 5

3 1 2

Considerando lo anterior, toma el centro de la tabla de billar como punto de referencia y crea un plano cartesiano. De acuerdo a los puntos en los que se encuentran localizadas las bolas, realiza lo siguiente:

6 8

a) Traza la recta y encuentra la ecuación de las bolas 5 y 7 b) Traza la recta y encuentra la ecuación de las bolas 1 y 8 c) Calcula la distancia entre las rectas formadas por las bolas (5 y 7) y (1 y 8) d) Calcula la distancia de la bola blanca a la recta formada por las bolas 5 y 7. Si la bola blanca golpea a la 7, ¿entrará al hoyo?

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

229

Solución:

6 5 4

-4

-3

-2

-1 -1

1 -5

(-4, 0.5) -6

(5, 1.5) 6

-2

(-3, -4)

-3

-4 -5

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

  3  1.5  y  1.5   ( x  5)  65  y  1.5  4.5( x  5) y  4.5 x  24

Ecuación de la recta formada por las bolas 5y7 y y y  y1  2 1 ( x  x1 ) x2  x1

(6, -3)

Ecuación de la recta formada por las bolas 1y8 y y y  y1  2 1 ( x  x1 ) x2  x1

  4  0.5  x  (4) y  0.5    3  (  4 )   y  0.5  4.5( x  4) y  4.5 x  17.5 230

Obtenidas las ecuaciones de las rectas, se identifica que las pendientes de las dos son iguales, por lo tanto son rectas paralelas. Para calcular la distancia entre las dos, se toma una ecuación y se hace x = 0 para obtener el valor correspondiente de “y”:

y  4.5 x  24 si x  0 y  4.5(0)  24 y  24

Un punto de la recta formada por las bolas 5 y 8 es (0, 24)

La recta y  4.5 x  17.5 4.5 x  y  17.5  0 A  4.5 B 1 C  17.5

Fórmula para encontrar la distancia entre un punto y una recta:

Ax1  By1  C  A2  B 2 (4.5)(0)  (1)(24)  (17.5) d (4.5) 2  (1) 2 d

d

41.5 41.5   8.94 21.5 4.64

La bola blanca se encuentra en el punto (- 3.5, -1) y la recta es 4.5x + y – 24 = 0

d

Ax1  By1  C (4.5)(3.5)  (1)(1)  (24)  2 2  A B (4.5) 2  (1) 2 d

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

 15.75  1  24  40.75   8.78 21.5 4.64

231

6 5 4 3

(-4, 1 0.5) -6

-5

-4

-3

-2

-1 -1

(5, 1.5) 6 5

-2 -3

(-3, -4)

-4

(6, 3)

-5

Si la recta entra al hoyo o no se resuelve mediante el ángulo de la recta que forma el trayecto de la bola blanca, y al considerar el dato sobre los ángulos en la tabla de billar, es posible resolver la cuestión. Seguramente habrás descubierto con este ejercicio la presencia de la línea recta y sus propiedades hasta en el juego, que aunque reclama algo de conocimientos matemáticos y práctica, no le quita lo divertido.

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

232

Actividad 21

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. •

•

Calcula la distancia entre los siguiente elementos: 1)

La recta -2x + y – 11 = 0 y el origen .

La recta 2x – 3y + 6 = 0 y un punto:(2, - 1).

Las rectas paralelas y = 4x – 6 y

y = 4x + 2

Grafica cada una de las rectas de los ejercicios anteriores.

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

233

Actividad 22

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. •

•

Calcula la distancia entre los siguiente elementos: 1)

La recta 9 – 3x – 5y = 0 y el origen.

La recta y – x + 7y = 6 y el punto (0, -4).

Las rectas paralelas 3x – 2y + 6 = 0 y la recta que pasa por los puntos (0, - 5) y (2, 6).

Grafica cada una de las rectas de los ejercicios anteriores.

Semana 3 / Sesión 10 / Martes

234

3 La circunferencia 3.1 Caracterización geométrica 3.1.1 Secciones cónicas 3.1.2 La circunferencia como lugar geométrico 3.1.3 Elementos asociados con una circunferencia

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

235

Al finalizar la sesión 11, serás capaz de: • Describir las curvas que se obtienen al realizar cortes en un cono mediante un plano. • Determinar los elementos asociados a una circunferencia a partir de cualquier objeto, fenómeno o gráfica.

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

236

Recuerda: • El diámetro de una circunferencia corresponde al doble del radio, de tal manera que si “r” representa al radio, y “d” al diámetro, d = 2r. • Al lugar geométrico de cada figura obtenida a partir de un cono mediante un plano le corresponde un tipo de ecuación, la cual posee las características especificas de la gráfica. • Para obtener la gráfica de una ecuación se le asignan valores a la variable independiente “x” y se obtiene su respectivo valor de “y” mediante una tabla de valores, cuyos puntos se localizan en el plano cartesiano. Formas generales de las ecuaciones de algunas figuras cónicas:

• Circunferencia

x2+y2 = r2

• Elipse

x2 + y2 = 1 b2x2 + a2y2 = a2b2 a2 b2

• Parábola

y = ax2

x = ay2

Instrucciones: obtén el lugar geométrico de las siguientes ecuaciones.

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

b) y2 = 4 – x2

Respuestas: a) Circunferencia b) Circunferencia

a) 3x2 + 3y2 = 27

237

Locomotora

El invento del tren de vapor fue de gran utilidad en la Revolución Industrial porque podía transportar cargas pesadas y en grandes cantidades, además que con mayor velocidad. Una de las velocidades máximas alcanzadas fue de 200 Km./h.

Para evitar el descarrilamiento de un tren es necesario verificar el desgaste de sus ruedas, si éste ha hecho un recorrido superior a los 150,000 Km. Las ruedas son fundamentales para el funcionamiento del tren; pero, ¿qué es lo que se inspecciona en una rueda de tren para garantizar la seguridad de su uso?

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

238

3.1 Caracterización Geométrica Es preciso distinguir el círculo de la circunferencia. La circunferencia es el conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de otro punto dado, mientras que el círculo es el área encerrada por la circunferencia.

3.1.1 Secciones cónicas

Si las ruedas del tren se unen por medio de un fierro recto, con el movimiento de las ruedas, el fierro recto forma un cono de dos mantos, ya que el cono se forma cuando rota una recta alrededor de un círculo al girar sobre un punto fijo. Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

239

En el bloque II aprendiste de manera general las formas de algunas figuras geométricas y su lugar geométrico en el plano cartesiano, ahora se analizan a detalle tanto propiedades como elementos de cada una de ellas.

Las figuras que aprendiste a identificar surgen de la intersección de un plano con un cono circular recto de dos mantos y se les conoce como secciones cónicas.

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

240

Circunferencia

Eje

Si el plano corta los dos mantos de un cono la intersección forma una hipérbola

Si el plano corta oblicuamente al cono, la intersección forma una elipse.

Eje

Parábola

Si el plano corta horizontalmente al cono, y forma un ángulo recto con el eje, la intersección forma una circunferencia.

Si el plano corta sólo a uno de los conos sin cruzarlo la intersección forma una parábola.

Elipse Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

Hipérbola 241

3.1.2 La circunferencia como lugar geométrico. La silueta de la rueda del tren se puede representar en forma gráfica y compararla con alguna figura geométrica, en el bloque II aprendiste lo que es un lugar geométrico, es el conjunto de puntos en el plano con una propiedad en común.

La circunferencia tiene la particularidad de estar formada por un conjunto de puntos los cuales se encuentran a la misma distancia (equidistan) llamado centro de la circunferencia y su lugar geométrico en el plano se representa como sigue:

y 6 5 4 3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

242

3.1.3 Elementos asociados con una circunferencia. Al analizar la rueda del tren se observa que no está sola, varios elementos intervienen y se clasifican de acuerdo a su posición respecto a ésta.

secante radio

rda e u c

tangente Las ruedas de los ferrocarriles se verifican geométricamente; es decir, que haya proporción en cuanto al diámetro de la misma. Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

243

En general se concluye:

Radio (r): es la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro, siempre es un valor constante para cada uno de los puntos. Diámetro (d): segmento de recta que pasa por el centro y la divide en forma simétrica. Equivale al doble de la medida del radio. Cuerda: segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

Tangente: recta que corta un sólo punto de la circunferencia y el radio es siempre perpendicular a ésta. Secante: recta que corta en dos puntos a la circunferencia.

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

244

Formas circulares a)

¿Por qué los CD y DVD tienen forma circular?

¿Por qué los balones y pelotas usados en los deportes tienen forma circular?

Solución: a) Los CD y DVD son de forma circular para optimizar espacios para la información. b) Las pelotas y balones son de forma circular porque de otra manera no podrían rodar uniformemente. ¿Cómo lo viste? ¿Acaso la circunferencia en cuanto a su forma no es muy práctica y divertida? Este ejercicio te responde. Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

245

Actividad 23 Instrucciones: resuelve el siguiente ejercicio.

•

Observa el lugar donde te encuentras y describe al menos dos figuras geométricas obtenidas mediante la intersección de un plano con un cono de dos mantos y anota en tu libreta otros tres ejemplos de las figuras que reconociste.

Actividad 24 Instrucciones: resuelve el siguiente ejercicio. •

Identifica algunos de los elementos asociados a una circunferencia en la siguiente imagen y distínguelos marcándolos con colores distintos escribiendo sobre cada uno su nombre.

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

246

Actividad 25 Instrucciones: identifica algunos de los elementos asociados a una circunferencia en la siguiente imagen y distínguelos marcándolos con colores distintos escribiendo sobre cada uno su nombre.

Semana 3 / Sesión 11 / Miércoles

247

3.2 Circunferencia con centro en el origen

3.2.1 Obtenciรณn de la ecuaciรณn de una circunferencia a partir del centro y radio 3.2.2 Obtenciรณn del centro y el radio a partir de la ecuaciรณn

Semana 3 / Sesiรณn 12 / Jueves

248

Al finalizar la sesión 12, serás capaz de: • Obtener la ecuación de una circunferencia con centro en el origen a partir de su radio y viceversa. • Trazar la gráfica de la circunferencia dada su ecuación.

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

249

Recuerda: • Para determinar la distancia entre dos puntos P1, P2 en el plano cartesiano es necesario conocer la pareja ordenada de cada punto P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y emplear la fórmula de la distancia:

d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 Ejemplo: Para calcular la distancia entre los puntos A y B dados en el siguiente plano:

y 6

Identificados los puntos (1, 2) y ( -4, -3) se sustituyen en la fórmula:

5 4

d  ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) 2

d  (4  1)  (3  2) 2

2 2

2 -6

-5

d  (5) 2  (5) 2  25  25

-4

-3

-2

-1

-1 -2

d  50  7.07

-3

-4

-5

Instrucciones: determina la distancia que existe entre los puntos C y D en el plano. Respuesta: d = 5.83

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

-6

250

Ángel de la Independencia

La rotonda del Ángel de la Independencia en el D.F. fue inaugurada el 16 de Septiembre de 1910 para celebrar el primer centenario de nuestra Independencia. El diámetro de la rotonda mide aproximadamente 200 m. ¿Una estructura circular (rotondas) en el cruce (intersección) de algunas calles (rectas) representa alguna utilidad en la vialidad? Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

251

3.2.1 Ecuaciรณn de la circunferencia a partir del centro y radio. Para trazar la forma de la rotonda del ร ngel de la Independencia en el plano cartesiano es necesario conocer sus dimensiones y trazar su forma circular en la posiciรณn precisa. Basta conocer su centro y radio para representarla grรกficamente.

Semana 3 / Sesiรณn 12 / Jueves

252

La representación gráfica de la rotonda del Ángel de la Independencia en el DF tomado éste como referencia y con un diámetro de 200 metros queda como está en la figura.

Desde el origen se mide la distancia del radio (la mitad del diámetro) que es 100 y resulta que los puntos de intersección de la curva con los ejes coordenados son (0, 100), (0, -100), (100, 0) y (0, -100). Para fines de ingeniería analítica, ¿cómo quedaría la ecuación de la circunferencia de la rotonda si se considera el Ángel de la Independencia como el punto de origen del plano cartesiano y con diámetro de 200 metros?

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

253

Para calcular la ecuación de cualquier circunferencia en el plano cartesiano dado su radio y centro en el origen, se determina la distancia del centro a cualquiera de sus puntos.

d  r  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 r  ( x  0) 2  ( y  0) 2 r  x2  y2 r 2  x2  y2 x2  y2  r 2 Ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

254

Imagen 1

La ecuación de la rotonda del Ángel de la Independencia, con centro en el origen y radio 100 m queda de la forma:

x 2  y 2  (100) 2 x 2  y 2  10,000 Ejemplo:

Obtén la ecuación de la circunferencia y su gráfica si su radio es igual a 3 y su centro está en el origen.

x 2  y 2  (3) 2

P(0, 3)

x  y 9 2

Imagen 2

3 2 1

Como el radio es 3, a partir del origen se cuentan tres unidades a todos lados, como se puede observar en la imagen 2.

-6

-5

-4

P(-3, 0)

-3

-2

P(3, 0) 0

-1

-1 -2 -3 -4

P(0, -3)

-5 -6

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

255

3.2.2 Obtención del radio y centro de un circunferencia a partir de la ecuación. Habrás identificado en la ecuación de la circunferencia algunas características particulares, por ejemplo:

1) 2) 3)

Las variables “x” y “y” tienen siempre como coeficiente el número 1 y ambas están elevadas al cuadrado. Las dos tienen siempre signo positivo. El valor del radio no es negativo porque la distancia siempre es positiva.

Y específicamente en la ecuación con centro en el origen y radio r: x2 + y2 = r2 4)

Los únicos elementos que integran la ecuación son las variables “x” , “y” y r, ningún otro elemento acompaña las variables “x” y “y”.

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

256

Ejemplo: Dada la ecuación 4x2 + 4y2 = 25, determina el radio, centro de la circunferencia y representación gráfica. Ya que la ecuación está dada de la siguiente forma:

4x2 + 4y2 = 25

Según las características de la ecuación de la circunferencia el coeficiente de las variables “x” y “y” debe ser 1. Entonces: Se divide toda la ecuación entre el coeficiente que acompaña a las variables:

Y como la forma general de la ecuación con centro en el origen de la circunferencia es de la forma: Se concluye que:

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

4 x 2  4 y 2  25 x2  y 2 

(4) 25 4

x2  y 2  r 2 25 4 r 5 2

r2 

257

A partir de los datos obtenidos anteriormente se determina la gr谩fica de la circunferencia:

y 6 5 4

P(0, 2.5)3 2 1 -6

-5

-4

-3

P(-2.5, 0)

-2

P(2.5, 0) 0

-1

-1 -2 -3

P(0, -2.5)

-4 -5 -6

Nota: Los valores tanto de la abscisa como de la ordenada de cada punto de la circunferencia nunca son mayores que el valor del radio. Semana 3 / Sesi贸n 12 / Jueves

258

Velocípedo

Si el diámetro de la rueda delantera del velocípedo mide 2.5 metros y la rueda trasera mide 0.72 metros. Determina la ecuación de la circunferencia de la rueda tanto delantera como trasera con sus respectivos diámetros.

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

259

Solución: Para obtener la ecuación de cada una de las ruedas del velocípedo, es necesario calcular el radio de cada una de ellas. Se considera el centro de la rueda como el origen.

Rueda delantera:

Rueda trasera:

d= 2.5 m r = 1.25 m

d= 0.72 m r = 0.36 m

Ecuación:

x2  y2  r 2

x 2  y 2  (1.25) 2

x 2  y 2  (0.36) 2

x 2  y 2  1.6

x 2  y 2  0.13

La circunferencia representada en forma algebraica a través de una ecuación, como lo ilustra el ejercicio anterior, permite la posible reproducción de objetos bajo las mismas características que lo condicionan mediante la ecuación. Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

260

Actividad 26

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • Obtén la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es: 1) r = 8 2) r = 5 3) r = la raíz cuadrada de 7 • A partir de la ecuación, obtén el radio y centro de la misma: 1) 5x2 + 5y2 = 45 2) 4x2 = 100 – 4y2

• Traza la gráfica de cada uno de los ejercicios anteriores a través de su ecuación.

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

261

Actividad 27

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • Obtén la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es: 1) r = 9 2) r = 6 3) r = la raíz cuadrada de 8 • A partir de la ecuación, obtén el radio y centro de la misma: 1) 6x2 + 6y2 = 96 2) 3x2 = 75 – 3y2

• Traza la gráfica de cada uno de los ejercicios anteriores a través de su ecuación.

Semana 3 / Sesión 12 / Jueves

262

263

264

Proyecto Modular Opci贸n 3

265

Debe contener en esencia los siguientes puntos:

a) Presentaci贸n. Limpieza, orden y estructura. b) Investigaci贸n. Informaci贸n actual y real, empleo de fuentes seguras. c) Procedimientos. Resolver los ejercicios personalmente.

266

Universidad CNCI de México, S.C. Plantel Ajusco

El proceso de la comunicación Taller de lectura y redacción II

Leticia Gómez Rodríguez Grupo: 205 Módulo 3

Maestra: Nora Montes Martínez

Ejemplo de portada para cada una de las actividades: Nombre de la escuela Logo de la Universidad

Nombre del tema en el que se va a trabajar Nombre de la asignatura (materia)

Nombre del alumno, grupo y módulo en que se encuentra.

Nombre del maestro (a)

México D.F., 28 de Enero 2010 Fecha de entrega

267

Proyecto modular 3 El techo de dos aguas Requisitos para la entrega: • Realizarlas en hojas milimétricas, tamaño carta. • Anexar portada a cada una de las actividades, para su identificación.

• Distinguir con colores los ejercicios y el procedimiento de los mismos. • Las actividades se anexarán en un fólder para su entrega.

268

Actividad 3 • A partir de la figura que se ilustra incrustada en el plano cartesiano resuelve lo siguiente: 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Si el punto de cruce del techo lateral derecho con la casa es (3, 5). ¿Cuál es la pendiente de la línea recta que representa a este techo? Describe la ecuación de la línea recta del techo Convierte la ecuación de la recta a su forma general Convierte la ecuación de la recta a su forma simplificada Convierte la ecuación de la recta a su forma normal Calcula la distancia de la recta al punto de origen. Calcula la distancia de la recta al punto (2, 2)

269

Glosario Semana 3

270

Ángulo recto: ángulo cuya medida es de 90º. Coeficiente: es el número o factor que multiplica a una variable en un término de una expresión algebraica . Constantes: letras con un valor fijo. Proporcionales: que aumentan o disminuyen de igual forma o de manera inversa a otras que se relacionan. Topográfico: de la topografía o relativa a ella. La topografía es la ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos que tienen por objeto la representación gráfica de la superficie de la Tierra con sus formas y detalles.

Semana 3

271

272

Guía de Estudios Matemáticas III Parte A Semana 4 Bloque VI: Utiliza distintas ecuaciones de la circunferencia Unidades de competencia: • Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas formas de la ecuación de la circunferencia. • Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio. Calendario de Estudio Día Lunes

Temas 3.3 Circunferencia con centro fuera del origen 3.3.1 Obtención de la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir del centro y radio

Evidencia de aprendizaje Determina la ecuación de una circunferencia en su forma ordinaria a partir del centro y la longitud de su radio. Traza la gráfica de una circunferencia a partir de su ecuación.

Martes

3.3.2 Obtención del centro y radio de una circunferencia a partir de su ecuación ordinaria

Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia a partir de la ecuación en su forma ordinaria. Traza la gráfica de una circunferencia a partir del radio y centro de la misma.

273

Bloque VI: Utiliza distintas ecuaciones de la circunferencia Unidades de competencia: • Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas formas de la ecuación de la circunferencia. • Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio. Calendario de Estudio Día

Temas

Evidencia de aprendizaje

Miércoles

3.4 Ecuación general de la circunferencia 3.4.1 Conversión de la ecuación en su forma ordinaria a su forma general 3.4.2 Conversión de la ecuación en su forma general a su forma ordinaria

Realiza la transformación de la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia a la forma general y viceversa.

Jueves

3.5 Circunferencia que pasa por tres puntos 3.5.1 Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia 3.5.2 Obtención de la ecuación de una circunferencia dados tres de sus puntos

Obtiene la ecuación de una circunferencia dados tres de sus puntos mediante diversos métodos.

Viernes

Examen semana 4 Revisa la opción de proyecto modular 4

Traza la gráfica de una circunferencia a partir de su ecuación.

Realiza el examen de la semana 4.

274

3.3 Circunferencia con centro fuera del origen 3.3.1 Obtenci贸n de la ecuaci贸n ordinaria de una circunferencia a partir del centro y radio

Semana 4/ Sesi贸n 13 / Lunes

275

Al finalizar la sesión 13, serás capaz de: • Determinar la ecuación de una circunferencia en su forma ordinaria a partir del centro y de la longitud de su radio. • Trazar la gráfica de una circunferencia a partir de la ecuación.

Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

276

Recuerda: • Para determinar el punto de corte o intersección entre dos rectas se resuelve mediante el sistema de ecuaciones simultáneas. Ejemplo: Para calcular el punto de intersección de las rectas: x – 3y = 5 y 4x – 2y = 6 puedes utilizar el siguiente método:

x  3y  5

Método de resta: Se iguala el coeficiente de la “x”:

(4)  4 x  12 y  20

4x  2 y  6

4x  2 y  6 10 y  14

Se resuelve:

10 y  14  14 y 10 y  7 5

Se toma cualquiera de las dos ecuaciones y se sustituye el valor obtenido de “y”: x  3y  5

7 21 x  3( )  5 x 5 5 5 21 4 x  5 x 5 5

El punto de intersección es: (4/5, - 7/5)

Instrucciones: determina el punto de intersección de las rectas 3x - 6y = 5 y 4x + 3y = −1. Respuesta: Punto de intersección: (3/11, -23/33)

Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

277

Desastres naturales

Un ciclón se aproxima al Golfo de México con una trayectoria lineal. Para prevenir desastres es necesario calcular las coordenadas y dimensión del ciclón a fin de poner sobre aviso a la población. Si el ciclón conserva siempre las mismas dimensiones, ¿qué pueblos se verán afectados? Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

278

3.3 Circunferencia con centro fuera del origen En este bloque se analiza la circunferencia fuera del origen localizada en cualquier punto del plano cartesiano. Se consideran las coordenadas de la circunferencia como “h” para “x” y como “k” para “y”.

3.3.1 Obtención de la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir del centro y radio

Para saber qué pueblos se verán afectados por el ciclón que se acerca al Golfo de México del ejemplo de la sección “Explora”, es necesario conocer las dimensiones del mismo.

Este ejemplo está basado en la circunferencia con centro fuera del origen, suponer que el centro del ciclón es C(h, k) y su radio “r”.

Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

279

Para calcular la ecuación de cualquier circunferencia en el plano cartesiano dado su radio y centro en C(h, k), se determina la distancia del centro a cualquiera de sus puntos.

d  r  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 r  ( x  h) 2  ( y  k ) 2 r 2  ( x  h) 2  ( y  k ) 2 Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen y radio r y también llamada ecuación ordinaria de la circunferencia

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

280

A partir de las coordenadas del plano cartesiano incrustado en el radar, es posible identificar el centro del ciclón (3, 2) y el radio se obtiene a través de una de las intersecciones del ciclón con los ejes del plano cartesiano sustituyéndolos en la ecuación. La ecuación de la circunferencia está da por:

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 A través de la gráfica se identifica un punto de intersección del ciclón con el eje de las “x” en (1,0). Tanto el centro como el punto se sustituyen en la ecuación y se obtiene el radio:

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 (1  3) 2  (0  2) 2  r 2 (2) 2  (2) 2  r 2 4  4  r2 r  8  2.83 Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

281

Ejemplo: Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 2) y tiene centro en el punto común a las rectas: x – 4y = 5 y - 3x + 2y = -5 El punto común a las dos rectas es el punto de intersección entre éstas, para obtener el punto de intersección se resuelve a través del sistema de ecuaciones simultáneas: Método de Resta:

Se iguala el coeficiente de la “y”: Se resuelve:

x  4y  5  3x  2 y  5

x  4y  5 (2)

 6 x  4 y  10  5 x  5

 5 x  5 5 x 5 x 1

Se toma cualquiera de las dos ecuaciones y se sustituye el valor obtenido de “x”: x  4 y  5 1 4 y  5  4 y  5 1 El punto de cruce de ambas rectas es (1, -1) que corresponde al  4y  4 centro de la circunferencia. 4 y  1  4 Para obtener el radio se toma la ecuación ordinaria de la circunferencia y se sustituye su centro y el punto que le pertenece. Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

282

El centro de la circunferencia es C(1, -1) y un punto que le pertenece es (5, 2), entonces:

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

h=1 k = -1 x=5 y=2

(5  1) 2  [2  (1)]2  r 2 (4) 2  (3) 2  r 2 16  9  r 2 r  25  5 r 5

Obtenido el radio de la circunferencia, y con su centro se sustituyen en la ecuación ordinaria de la misma:

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 ( x  1) 2  [ y  (1)]2  (5) 2 ( x  1) 2  ( y  1) 2  25

Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

283

Plaza Redonda

Valencia, España

Resuelve:

• Determina la ecuación de la circunferencia de la Plaza Redonda en Valencia, España, si su diámetro es de 37 metros y si se toma como origen la intersección de las avenidas “calle de los derechos” y “calle de San Vicente Mártir”. Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

284

Según el plano cartesiano, el centro de la Plaza Redonda se localiza en el punto (-3, 3), con diámetro igual a 37 m , siendo así su radio de 18.5 m.

Se sustituyen los valores en la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia:

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 [ x  (3)]2  ( y  3) 2  (18.5) 2 ( x  3) 2  ( y  3) 2  342.25

Mediante este ejemplo puedes observar como la circunferencia es útil a la arquitectura para la construcción de grandes estructuras. Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

285

Actividad 28

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • Determina la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria tomando como referencia los datos proporcionados: 1) 2) 3) 4)

Los puntos extremos de la circunferencia (-2, -3) y (1 , 4) Centro (0, -4) y es tangente a la recta 4x – y = 7 Radio = 4 y centro ( -5, 4) Centro de la circunferencia (0, -2) y pasa por el punto (4, 2)

• Traza la gráfica de la ecuación de la circunferencia obtenida en los ejercicios anteriores.

Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

286

Actividad 29

Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • Determina la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria tomando como referencia los datos proporcionados : 1) 2) 3) 4)

Los puntos extremos de la circunferencia (5, 2) y (0 , 8) Centro (1, 2) y es tangente a la recta 4x – 2y = 3 Radio = 2 y centro ( -3, 1) Centro de la circunferencia (1, -1) y pasa por el punto (2 2)

• Traza la gráfica de la ecuación de la circunferencia obtenida en los ejercicios anteriores.

Semana 4/ Sesión 13 / Lunes

287

3.3.2 Obtenci贸n del centro y radio de una circunferencia a partir de su ecuaci贸n ordinaria

Semana 4 / Sesi贸n 14 / Martes

288

Al finalizar la sesión 14, serás capaz de: • Determinar las coordenadas del centro y la longitud del radio de una circunferencia a partir de la ecuación en su forma ordinaria. • Trazar la gráfica de una circunferencia a partir del radio y centro de la misma.

Semana 4 / Sesión 14 / Martes

289

Recuerda: •

Ejemplo:

b) •

m n

x  x el exponente m se coloca como numerador y el exponente del Leyes de exponentes: radical n como denominador del nuevo exponente de x. n

4 6

x x x 4

2 3

5 5

x  x  x1  x 5

Ecuación lineal con una incógnita: para determinar el valor de una variable en una ecuación, conociendo la otra, se sustituye dicho valor en la ecuación y se despeja la incógnita. Ejemplo: Sea 3x + y = 7 con x = 2, obtener “y” Se despeja “y” Se sustituye x = 2 Se realizan las operaciones

y = 7 – 3x y = 7 – 3(2) (3 multiplica a 2) y=7–6 y=1

Instrucciones: encuentra el valor de la incógnita o aplica las leyes de los exponentes según sea el caso. a) x  2  5x – 3 c) 4 x 8

Semana 4 / Sesión 14 / Martes

( x  y) 2

Respuestas: a) x = 5/4 b) x = -11 c) x2 d) (x – y)

b) 2 x  4  7  3x

290

Cocodrilos

Los cocodrilos tienen unos nódulos con fibras nerviosas que detectan el más leve movimiento en el agua, esto les permite detectar a sus presas, intrusos y peligros.

¿Cómo medirías el tiempo que tardará un cocodrilo en recibir los disturbios circulares del agua creados por los peces, si los anillos circulares que se van extendiendo lo hacen incrementándose la misma cantidad de diámetro que el inicial? Semana 4 / Sesión 14 / Martes

291

3.3.2 Obtención del centro y radio de una circunferencia a partir de su ecuación ordinaria Si uno de los peces produce una onda circular inicial que se va extendiendo, en qué punto se encuentra el pez respecto al cocodrilo si se toma éste como punto de origen y con qué diámetro se irá extendiendo la onda hasta llegar a ser detectada por el cocodrilo si la ecuación de la onda inicial es igual a (x – 3.5)2 + (y + 2.5)2 = 1.

A partir de la ecuación proporcionada es posible obtener el centro y radio de la circunferencia, así como el lugar donde se ubica el inicio de la onda producida por el pez.

Semana 4 / Sesión 14 / Martes

292

Ejemplo: Determina el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación ordinaria está dada por:

( x  1) 2  ( y  3) 2  36 Si la forma general de la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es:

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 Entonces, al identificar e igualar término a término los elementos de cada ecuación se obtiene:

( x  h) 2  ( x  1) 2

( y  k ) 2  ( y  3) 2

r 2  36

x  h  x 1

y k  y 3

x  x  h 1 0  h 1

y  y  k 3 0  k 3

r  36

h  1

k 3

r 6

Obtenidos los datos se concluye que el centro y radio de la circunferencia con ecuación (x + 1)2 + (y – 3)2 = 36, son: C( –1 , 3) y r = 6

Semana 4 / Sesión 14 / Martes

293

Lanzamiento de disco Supón que un joven lanza el disco fuera del círculo de lanzamiento, resuelve lo siguiente: a) Encuentra las coordenadas donde cayó el disco (centro) y radio del mismo, si la ecuación del disco quedó determina por: ( x  7) 2  ( y  1) 2  0.05 b) Determina la ecuación de la circunferencia del círculo de lanzamiento. c) Obtén la distancia recorrida por el disco.

Figura 1

Solución: a) Entonces, como en el ejemplo anterior, ( x  h)  ( x  7) xh  x7 2

h7

( y  k )  ( y  1) y  k  y 1 2

k  1

r 2  0.05 r  0.05 r  0.22

Obtenidos los datos se concluye que el centro y radio de la circunferencia del disco son: C( 7 , -1) y r = 0.22 Sabías que… El disco es de madera, con un reborde metálico e interior lastrado. En la modalidad masculina, el diámetro del disco es de 22 cm. En la femenina, el diámetro es de 18 cm. Semana 4 / Sesión 14 / Martes

294

Como el circulo de lanzamiento se encuentra en el origen, su centro es (0, 0), y como el diámetro es de 2.5m entonces el radio es de 1.25m (ver Figura 1). A partir de estos datos la ecuación de la circunferencia queda de la forma:

x 2  y 2  1.56 c)

La distancia recorrida por el disco se obtiene a partir de los puntos 0,0 y la ubicación del disco (7, -1)

d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2 d  (7  0) 2  (1  0) 2 d  7 2  (1) 2  49  1 d  50  7.07 Sabías que… En los Juegos Olímpicos de Beijing 2008 la medalla de oro en el lanzamiento de disco fue para Gerd Kanter de Estonia, con una distancia de 68,82 m. Ahora te puedes dar cuenta que en este tipo de deportes es muy importante calcular las distancias para nombrar a un ganador. La distancia obtenida en el ejercicio es muy corta comparada con la que obtuvo Gerd Kanter en los juegos olímpicos de Beijing. Semana 4 / Sesión 14 / Martes

295

Actividad 30 Instrucciones: determina las coordenadas del centro y la longitud del radio a partir de las siguientes ecuaciones, después traza la gráfica de cada una de las circunferencias.

1) (x – 5) 2  (y  3) 2  6 2) (x  2) 2  (y – 1) 2  49 3) (x – 1 2) 2  (y  4) 2  32 4) (x  7) 2  (y  6) 2  4.5 5) (x  4) 2  (y – 2) 2  64

Semana 4 / Sesión 14 / Martes

296

Actividad 31 Instrucciones: determina las coordenadas del centro y la longitud del radio a partir de las siguientes ecuaciones, después traza la gráfica de cada una de las circunferencias.

1) (x – 3) 2  (y  1) 2  3.4 2) (x – 8) 2  (y  3) 2  1.3 3) (x  2) 2  (y  3) 2  1 4) (x – 1) 2  (y  1) 2  25 5) (x – 5) 2  (y  7) 2  2.6

Semana 4 / Sesión 14 / Martes

297

3.4 Ecuación general de la circunferencia 3.4.1 Conversión de la ecuación de una circunferencia de su forma ordinaria a su forma general 3.4.2 Conversión de la ecuación de una circunferencia de su forma general a su forma ordinaria

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

298

Al finalizar la sesión 15, serás capaz de: • Realizar la transformación de la ecuación de la circunferencia a la forma general a partir de su forma ordinaria y viceversa.

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

299

Recuerda: • Binomio al Cuadrado:

(a  b) 2  a 2  2ab  b 2

Se lee: El cuadrado del primer término más, el doble del producto de los dos términos más, el cuadrado del segundo término. Ejemplo:

2 x  y 

 (2x)2  2(2x)(y)  (y)2  4x2  4xy  y2

Instrucciones: desarrolla los siguientes binomios. a)

(5x – 3)2 =

(2x + 7)2 =

Respuestas: a) 25x2 - 30x +9 b) 4x2 + 28x + 49

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

300

• Completar Cuadrados: Para completar cuadrados a partir de una ecuación, se realizan los siguientes pasos: Ejemplo:

4 x 2  16 x  2  0

1)Se hace 1 el coeficiente de “x2”, en este caso se divide toda la ecuación entre 4: 2)Se simplifica:

4 x2 4

 164x  24  04

x 2  4 x  12  0

2 1 3)Se agrupan los términos que posean alguna literal: x  4 x   2

4)El coeficiente de “x” se divide entre 2 y se eleva al cuadrado: 5)Se suma el resultado a ambos lados de la igualdad: 6)Se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto:

 42 2  4 x 2  4 x  4   12  4

x  22  72

Instrucciones: completa el cuadrado perfecto de la siguiente ecuación. a)

6x 2 + 24x – 8 =0 Respuesta: a) (x + 2)2 = 16/3

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

301

Agroglifos

Seguramente ya has escuchado hablar acerca de los círculos creados en el pasto. Si observas bien notarás que una obra realizada con precisión puede ser bella. ¿Sin las matemáticas sería posible realizar grandes obras en todos los ámbitos y que sean bellas? Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

302

3.4 Ecuación general de la circunferencia Como has visto, las matemáticas no sólo son de gran utilidad para las necesidades básicas del hombre (construir un lugar apto para vivir, construir medios de transporte para su traslado seguro y rápido , herramientas de trabajo más útiles y eficaces como la computadora, entre otros), también se usan mucho para el aspecto estético, para el arte, la belleza, causan admiración y te adentran a la contemplación de las obras.

El estudio tanto analítico como geométrico de cada objeto o fenómeno encontrado en la naturaleza es tomado por el hombre como modelo para sus propios intereses.

En el caso de la circunferencia, a partir de los datos analíticos de la misma has logrado obtener los elementos esenciales que la integran, en este caso el centro y el radio de la misma. Si la ecuación de la circunferencia está dada en su forma ordinaria (x – h)2 + (y – k )2 = r2 , entonces su centro corresponde a la pareja ordenada C(h, k) y la longitud de su radio es r.

Para estudios analíticos es útil presentar la ecuación de la circunferencia en otra forma que la ordinaria, en esta sesión se muestra una nueva forma de presentar la ecuación de la circunferencia. Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

303

3.4.1 Conversión de la ecuación de una circunferencia de su forma ordinaria a su forma general Si uno de los círculos hechos en un cultivo de maíz tiene un diámetro de 20 m y su centro respecto a la casa es de ( 35, – 20) la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es:

( x  35) 2  ( y  20) 2  400 ¿Cuál será la ecuación de la circunferencia del agroglifo en su forma general?

Se desarrollan los binomios y se simplifica:

Se desarrollan los binomios:

( x  35) 2  ( y  20) 2  400

Se ordena en forma descendente:

x 2  70 x  1225  y 2  40 y  400  400

Se agrupan términos semejantes:

x 2  y 2  70 x  40 y  1225  400  400  0

Forma general de la circunferencia: Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

x 2  y 2  70 x  40 y  1225  0 304

La ecuación en su forma general de la circunferencia del agroglifo es:

x 2  y 2  70 x  40 y  1225  0

En un caso más general, suponer que se tiene la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria con centro fuera del origen, al desarrollar los binomios contenidos en ella resulta:

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 x 2  hx  h 2  y 2  ky  k 2  r 2 x 2  y 2  hx  ky  h 2  k 2  r 2  0 • El coeficiente de la x se determina con la letra D • El coeficiente de la y se determina con la letra E, • El término independiente se determina con la letra F Quedaría de la siguiente manera: D=–h E=–k F = h2 + k2 – r2 Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

305

De lo anterior se concluye que:

Ecuación general de la circunferencia x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 D h

Ek

F  h2  k 2  r 2

Si la circunferencia tiene centro en el origen h = k=0, la ecuación queda como sigue:

h0 D 0

E  0

k 0 F  0  0  r2

x2  y2  r 2  0

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

306

3.4.2 Conversión de la forma general a la forma ordinaria ¿Cómo expresar en su forma ordinaria la ecuación de la circunferencia cuando está dada en su forma general?

x 2  y 2  70 x  40 y  1225  0 La ecuación del agroglifo está expresada en su forma general , para convertirla a su forma ordinaria es necesario realizar los siguientes pasos:

Agrupar los términos semejantes:

Completar el cuadrado de cada variable:

Factorizar:

Forma ordinaria:

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

x 2  y 2  70 x  40 y  1225  0 x 2  70 x  y 2  40 y  1225

( x 2  70 x  1225)  ( y 2  40 y  400)  1225  1225  400 ( x  35) 2  ( y  20) 2  400

307

De manera más general: Al tomar la ecuación de la circunferencia en su forma general:

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 1) Agrupar los términos semejantes :

x

x 2  Dx  y 2  Ey   F 2) Completar el cuadrado de cada variable : 2





 Dx   D2   y 2  Ey   E2    F   D2    E2  2

3) Factorizar :

x  D2 2   y  E2 2   F   D2 2   E2 2 4) Simplifica r :

x  D2 2   y  E2 2  4 F  D4  E 2

Al comparar con la ecuación ordinaria : ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 Se obtiene : h   D2 Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

k   E2

r2 

4 F  D2  E 2 4

r

1 2

D 2  E 2  4F 308

Pueden darse los siguientes tres casos al hacer un análisis de la longitud del radio r: 1)

Si (D2 + E2 – 4F) < 0, el valor de “r” no es un número real entonces la ecuación no tiene representación geométrica.

Si (D2 + E2 – 4F) > 0, el valor de “r” es un número real y le ecuación general de la circunferencia tiene como centro

C  D2 , E2 

2 2 y longitud del radio r  12 D  E  4F

Si (D2 + E2 – 4F) = 0, el valor del radio es cero y la ecuación representa un punto

 D2 , E2 

Entonces, a partir de los datos obtenidos anteriormente se facilita la conversión de la ecuación general de la circunferencia a la forma general . Ejemplo: Determina si la ecuación x2 + y2 – 14x + 6y – 6 = 0 representa una circunferencia y si así es, encontrar su radio y centro, y traza su gráfica. Se verifica que la ecuación sea una circunferencia:

D  14

E 6

F  6

D 2  E 2  4F (14) 2  (6) 2  4(6)  196  36  24  256  0 Como es mayor que cero entonces se trata de una circunferencia. Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

309

Con los datos obtenidos se procede a determinar el centro y radio de la circunferencia: Se sustituyen los valores respectivamente:

D  14

E6

Se simplifican:

h   D2   14 2 7

F  6

k   E2   62  3 r

1 2

D 2  E 2  4F 

1 2

256  12 (16)  8

Obtenidos los valores se concluye que el centro de la circunferencia es: C(7, – 3) y radio: r=8

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

310

Toulouse, Francia

B A

C Si la ecuación de la circunferencia de la rotonda A en su forma general está dada por: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 Convierte la ecuación a su forma ordinaria y obtén la ecuación de la rotonda B en su forma general cuyo radio es de 5 metros y su centro está en (8, – 3). Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

311

x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 D= – 6 E= 4 y F = – 12

A partir de la ecuación: Se obtiene:

h   210  102  5

Se sustituyen los valores respectivamente:

k   82  4

Se simplifican:

r  12 D 2  E 2  4 F  12 (6) 2  (4) 2  4(12)  12 100  5 El centro es C(5, – 4) y el radio es r = 5 A partir de los siguientes datos C(8, – 3) y r = 5 se obtienen los respectivos valores para la ecuación en su forma general. Ecuación general de la circunferencia:

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0

Fórmulas de sus elementos:

D h

Ek

F  h2  k 2  r 2

Sustitución de los valores:

D  8

E3

F  (8) 2  (3) 2  (5) 2  48

Forma general de la ecuación de la circunferencia:

x 2  y 2  8 x  3 y  48  0

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

Es importante que sepas que la forma circular de la rotonda favorece la vialidad para que sea más segura y fluida, y para realizar un buen diseño de éstas se requiere un estudio analítico de la circunferencia. 312

Actividad 32 Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • A partir de las siguientes ecuaciones realiza la transformación de la ecuación a su forma ordinaria o general, según sea el caso:

1) 2) 3) 4)

x2 + y2 – 8x + 5y – 11 = 0 (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25 x2 + y2 + 14x + 8y + 6= 0 (x – 5)2 + (y + 7)2 = 9

•

Traza la gráfica de las circunferencias anteriores.

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

313

Actividad 33 Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. • A partir de las siguientes ecuaciones realiza la transformación de la ecuación a su forma ordinaria o general, según sea el caso:

1) 2) 3) 4)

x2 + y2 – 11x + 16y + 22 = 0 (x + 7)2 + (y – 8)2 = 49 x2 + y2 + 4x + 16y + 4= 0 (x – 3)2 + (y + 5)2 = 1

•

Traza la gráfica de las circunferencias anteriores.

Semana 4 / Sesión 15 / Miércoles

314

3.5 Circunferencia que pasa por tres puntos

3.5.1 Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia. 3.5.2 Obtención de la ecuación de la circunferencia dados tres de sus puntos.

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

315

Al finalizar la sesión 16, serás capaz de:

• Obtener la ecuación de una circunferencia dados tres de sus puntos mediante diversos métodos. • Trazar la gráfica de una circunferencia a partir de su ecuación.

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

316

Recuerda: • Para obtener la solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es posible utilizar el determinante como se muestra a continuación:

2 x  3 y  5z  7 x  4 y  7z  1 3x  2 y  5 z  2

El determinante se compone con los coeficientes de cada variable como sigue:

– – 2 3 5 2 3   1 4 7 1 4 3 2 5 3 2

  (2)(4)(5)  (3)(7)(3)  (5)(1)(2)  (3)(4)(5)  (2)(7)(2)  (5)(1)(3)   40  63  10  60  28  15   20

–

Obtenido el determinante, se procede a obtener mediante el mismo procedimiento los determinantes para cada ecuación, se considera: A: coeficientes de la letra x B: coeficientes de la letra y C: coeficientes de la letra z

Según sea el determinante a obtener, se sustituyen los resultados de las ecuaciones en su lugar. Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

317

Comprueba y resuelve la determinante de cada una, toma como ejemplo el procedimiento del determinante anterior. 7 3 5

 A  1  4 7  1  4  49 2 2 5 2 2

2 7 5 2 7 B  1 1 7  1 1 149 3 2 5

2 3 7 2 3  C  1  4 1  1  4  81 3

3 2

Para obtener los valores de “x”, “y” y “z” se dividen los determinantes A,

x

 A 49   2 209  20

y

 B 149   7 209  20

2 2

B, C entre : z

 C 81   4 201  20

Instrucciones: verifica si los resultados obtenidos son correctos. (Sustituye los valores en cualquiera de las ecuaciones y verifica que satisface la igualdad).

Respuesta: Ejemplo: 2(49/20) + 3 (149/20) – 5(81/20) = 7

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

318

Volantes

¿Por qué los volantes son de forma circular? ¿Sería útil conducir con un volante cuadrado?

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

319

3.5. Circunferencia que pasa por tres puntos En los bloques anteriores aprendiste a identificar el lugar geométrico de un punto, de una recta, de una circunferencia, etc. A partir de la representación gráfica habrás notado que al localizar un punto en el plano, sobre éste puede pasar cualquier tipo de gráfica, una recta, varias rectas, una circunferencia, una parábola, etc. Dos puntos bastan para trazar una recta, y por tales puntos pueden pasar varias circunferencias, etc., para tres puntos, ¿cuántas gráficas pueden pasar por éstos?

3.5.1. Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia En el estudio que hasta ahora has hecho sobre la circunferencia, analíticamente la ecuación de ésta puede determinarse mediante tres condiciones (constantes): • Para la ecuación ordinaria, por las constantes independientes son: h, k, y r. • Para la ecuación general, por las constantes independientes son: D, E, y F.

Ahora, si observas bien, el volante de la sección “Explora”, tiene tres soportes (según sea su utilidad o estética), que en su caso podrían servir como base o condición para construir su circunferencia. En el tema siguiente se presenta la obtención de la ecuación de la circunferencia a partir de tres puntos dados.

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

320

3.5.2. Obtención de la ecuación de la circunferencia dados tres de sus puntos Para obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos se procede de la siguiente manera: • Suponer que los soportes del volante se encuentran en los puntos: (– 0.05, – 5.5), (–5.5, –0.5) y (4.5, –0.5). Estos puntos se sustituyen en la ecuación general de la circunferencia: Punto (– 0.5, – 5.5)

Punto (– 5.5, – 0.5)

x  y  Dx  Ey  F  0

x  y 2  Dx  Ey  F  0

(0.5) 2  (5.5) 2  D(0.5)  E (5.5)  F  0

(5.5) 2  (0.5) 2  D(5.5)  E (0.5)  F  0

0.25  30.25  0.5D  5.5E  F  0 0.5D  5.5E  F  30.5 (1)

30.25  0.25  5.5D  0.5E  F  0 5.5D  0.5E  F  30.5 (2)

Punto (4.5, – 0.5)

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 (4.5) 2  (0.5) 2  D(4.5)  E (0.5)  F  0 20.25  0.25  4.5D  0.5E  F  0 4.5D  0.5E  F  20.5 (3) Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

321

Se obtienen tres ecuaciones, con tres incógnitas que puede ser resuelto por el método de suma y resta o mediante el determinante de tres renglones por tres columnas. A continuación se desarrollan ambos métodos:

0.5D  5.5E  F  30.5

Las ecuaciones 1 y 2 se restan:

5.5D  0.5E  F  30.5

4.5D  0.5E  F  20.5

0.5D  5.5E  F  30.5

Se obtiene:

Las ecuaciones 2 y 3 se restan:

Se obtiene:

 5D  5E  0 DE 5.5D  0.5E  F  30.5 4.5D  0.5E  F  20.5 10 D  10 D 1

D=1, como D=E, entonces E=1 y F se obtiene sustituyendo D y E en cualquiera de las tres ecuaciones:

0.5D  5.5E  F  30.5 0.5(1)  5.5(1)  F  30.5 F  0.5  5.5  30.5  24.5 Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

322

Otra manera de resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es por medio de un determinante.

0.5D  5.5E  F  30.5 5.5D  0.5E  F  30.5

4.5D  0.5E  F  20.5

– 0.5 5.5  1 0.5   5.5 0.5  1  5.5 4.5  0.5 1 4.5

– – 5.5 0.5  0.5 +

  (1)(5.5)(0.5)  (5.5)(1)(4.5)  (0.5)(0.5)(1)  (4.5)(0.5)(1)  (0.5)(1)(0.5)  (1)(5.5)(5.5)   2.75  24.75  0.25  2.25  0.25  30.25   50 Obtenido el determinante del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se procede a obtener mediante el mismo procedimiento los determinantes para cada ecuación, se considera: A: coeficientes de la letra D B: coeficientes de la letra E C: coeficientes de la letra F Según sea el determinante a obtener, se sustituyen los resultados de las ecuaciones en su lugar. Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

323

Comprueba y resuelve la determinante de cada una, toma como ejemplo el procedimiento del determinante anterior. 0.5  B  5.5

30.5  1 0.5 30.5  1  5.5

4.5  20.5

A 

5.5  1 30.5 0.5  1  30.5

30.5 30.5

 20.5  0.5 0.5  C  5.5

30.5 30.5   50

5.5 0.5

 A  50  1   50

E

 B  50  1   50

 20.5

30.5 0.5 30.5  5.5

4.5  0.5  20.5

4.5  20.5

Para obtener los valores de D, E y F se dividen los determinantes A,

D

4.5

5.5 0.5   50  0.5

5.5 0.5 1225  0.5

B, C entre : F

 C 1225   24.5   50

El resultado es el mismo que se obtuvo en la solución del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de suma y resta.

Por lo tanto la ecuación general del volante es:

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

x 2  y 2  x  y  24.5  0

324

La brújula

Suponer que tres puntos por donde pasa la aguja magnética de la brújula son: (– 4, 6.8), (0, –1) y (–5, 1.76). Encontrar la ecuación de la circunferencia en su forma general de la trayectoria que van marcando las agujas de la brújula.

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

325

Solución: Punto (0, – 1)

Se obtienen las ecuaciones: Punto (– 4, 6.8)

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 (0) 2  (1) 2  D(0)  E (1)  F  0

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 (4) 2  (6.8) 2  D(4)  E (6.8)  F  0

1 E  F  0 E  F  1 (2)

Punto (-5, 1.76)

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 (5) 2  (1.76) 2  D(5)  E (1.76)  F  0 25  3.1  5D  1.76 E  F  0 (3) 5D  1.76 E  F  28.1

16  46.2  4 D  6.8E  F  0 4 D  6.8E  F  62.2 (1) Se resuelve usando determinantes:

4D  6.8E  F  62.2 E  F 1 5D 1.76E  F  28.1

 6.8

 0 5

1

1  0

 6.8 1

 1.76  1 5  1.76

  (4)(1)(1)  (6.8)(1)(5)  (1)(0)(1.76)  (5)(1)(1)  (1.76)(1)(4)  (1)(0)(6.8)   4  34  0  5  7.04  0 Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

  27.96 326

62.2  6.8  1 62.2 A  1 1 1  1 28.1  1.76  1

4 B  0 5

28.1

62.2

1

1  0

28.1

1

 6.8 1

 42.49

 1.76

4 62.2 5

  197.6

C  0 5

28.1

 6.8 62.2 1

1 0

E

 225.56

 1.76 28.1 5  1.76

Para obtener los valores de D, E y F se dividen los determinantes A,

 42.49 D A   1.52  27.96

 6.8

 B  197.6   7.07  27.96

B, C entre :

F

C  225.56   8.07  27.96

El resultado es el mismo que se obtuvo en la solución del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de suma y resta.

Por lo tanto la ecuación general del volante es:

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

x 2  y 2  1.52 x  7.07 y  8.07  0

Hasta en los detalles mínimos de tu vida cotidiana puedes encontrarte con la circunferencia, en este caso, en el ejemplo anterior se refiere a una brújula pero pudo haber sido tu reloj.327

Actividad 34 Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios.

• Obtén la ecuación de la circunferencia dados los siguientes puntos mediante el uso de determinantes: 1) (– 4, –1), (12, 7) y (–10, 11) 2) (10, 2), (7, –5) y (0,3) • Traza la gráfica de cada uno de los ejercicios anteriores.

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

328

Actividad 35 Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios.

• Obtén la ecuación de la circunferencia dados los siguientes puntos mediante la resolución de suma y resta de ecuaciones: 1) (– 8, 9), (5, 3) y (7, –9) 2) (2, 0), (0, –2) y (–2,0) • Traza la gráfica de cada uno de los ejercicios anteriores.

Semana 4 / Sesión 16 / Jueves

329

330

Proyecto Modular Opci贸n 4

331

Debe contener en esencia los siguientes puntos:

a) Presentaci贸n. Limpieza, orden y estructura. b) Investigaci贸n. Informaci贸n actual y real, empleo de fuentes seguras. c) Procedimientos. Resolver los ejercicios personalmente.

332

Universidad CNCI de México, S.C. Plantel Ajusco

El proceso de la comunicación Taller de lectura y redacción II

Leticia Gómez Rodríguez Grupo: 205 Módulo 3

Maestra: Nora Montes Martínez

Ejemplo de portada para cada una de las actividades: Nombre de la escuela Logo de la Universidad

Nombre del tema en el que se va a trabajar Nombre de la asignatura (materia)

Nombre del alumno, grupo y módulo en que se encuentra.

Nombre del maestro (a)

México D.F., 28 de Enero 2010 Fecha de entrega

333

Proyecto modular 4 La circunferencia Requisitos para la entrega: • Realizarlas en hojas milimétricas, tamaño carta. • Anexar portada a cada una de las actividades, para su identificación.

• Distinguir con colores los ejercicios y el procedimiento de los mismos. • Las actividades se anexarán en un fólder para su entrega.

334

Actividad 4 • Una circunferencia pasa por lo puntos (3, –8.75), (12, –5.8) y (10, –7.5). A partir de estos datos realiza lo siguiente: 1)

Determina la ecuación de la circunferencia en su forma general.

Obtén el centro y radio de la circunferencia.

Convierte la ecuación a su forma ordinaria.

Traza su gráfica y marca con colores diferentes los puntos dados, el radio y el centro.

¿Cómo sería la ecuación de la circunferencia si tuviera centro en el origen y radio igual a 8?

Traza su gráfica.

335

Glosario Semana 4

336

Agroglifos: círculos en el pasto o círculos en las cosechas. Lastrado: del verbo lastrar (afirmar una cosa cargándola de peso). Nódulos: agrupaciones celulares o fibrosas en forma de nudo Radar: sistema que permite descubrir la presencia y posición en el espacio de un cuerpo que no se ve mediante la emisión de ondas radioeléctricas.

Reborde: franja estrecha que sobresale del borde de algo.

Semana 4

337

• Cuéllar, J. A. (2008). Matemáticas III Geometría Analítica. México D.F.: Mc Graw Hill. • Ibáñez, P. García, G. (2006). Matemáticas III Geometría Analítica. México D.F.: Thomson.

• Méndez, A. (2007). Matemáticas 3. México D.F.: Santillana. • García, M. (2008). Matemáticas 3 para la construcción del aprendizaje. México D.F.: Fernández editores. • Ortiz, F. (2004). Matemáticas – 4 Geometría Analítica. México D.F.: Publicaciones cultural.

338