BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG ÑHBK -------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1 HK1 0708 • BAØI 4: VCBEÙ – VCLÔÙN. LIEÂN TUÏC (SINH VIEÂN)

TS . NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (11/2007)

VOÂ CUØNG BEÙ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ñaïi löôïng α(x) – voâ cuøng beù (VCB) lim α ( x ) = 0 khi x → x0:

VCB

baûn

x→x0

(x

0): α ( x ) = sin x , 1 − cos x , tgx

x Löôïng − 1, ln(1 + x ) Luõy Muõ, egiaùc

(1 + x ) α − 1. VD : 1 + 3x − 1

ln: thöøa: 1 x0: Khoâng quan troïng. VCB VCB x → 1: sin(x– x 1) … x → ∞: α(x), β(x) – VCB khi x α(x) VCB, C(x) bò → 0 ⇒ xα(x) ± β(x) , α(x)β(x): π π VCB b / lim x sin VD: a / lim sin x →0 x →0 x x BT: lim ( sin x + 1 − sin x ) x →∞

chaën ⇒ C(x)α(x): π VCB c / lim x sin x →∞ x

SO SAÙNH VOÂ CUØNG BEÙ

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

α ( x) = c ⇒ So saùnh α(x), β(x) – VCB, x → x0 lim x→x0 β ( x ) ñöôïc vaø ∃ 1/ c = 0 : α(x) – VCB caáp cao so vôùi β(x): α(x) = o(β(x)) Caùch noùi khaùc: β(x) – VCB caáp hôn laïi tröôøng hôïp c = 0 ⇒ 2/ c =thaáp ∞: Ngöôïc β(x) o(α(x)) 3/ c ≠= 0, c ≠ ∞ : voâ cuøng beù cuøng caáp VCB caáp thaáp: Chöùa ít “thöøa soá 0” hôn. 2 3 VD: x, xSo Aùp sin duïng: saùnh 2 voâ cuøng beù xm , xn (m,

n > 0) khi x → 0 sin x, 1 − cos x, tgx VD: So saùnh VCB:

VOÂ CUØNG BEÙ TÖÔNG ÑÖÔNG – (QUAN TROÏNG)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

α ( x) =1 α(x), β(x) – VCB töông ñöông khi x → lim x→x0 β ( x ) x0 ⇔ x2 VCB löôïng sin x ~ x , tgx ~ x, 1 − cos x ~ , x → 0 2 x giaùc: e VCB muõ, − 1 ~ x, ln (1 + x ) ~ x, x → 0 2x α 3 ln: VCB luõy thöøa (1 + x ) − 1 ~ αx, x → 0 VD: 1 + 2 x ~ 3 (caên): VCB töông ñöông: Ñöôïc pheùp thay thöøa soá töông ñöông vaøo tích & thöông (nhöng khoâng thay vaøo toång & hieäu!) α VD: Tìm haèng soá Ctgx − sin x ~ Cx , x → 0

DUØNG VOÂ CUØNG BEÙ TÍNH GIÔÙI HAÏN

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Aùp duïng: Duøng voâ cuøng beù töông ñöông tính giôùi haïn α ( x ) ~ α1 ( x ) , β ~ β1 ⇒ x →x0

x→x0

α ( x) α ( x) = lim 1 x→x0 β ( x ) x→x0 β1 ( x ) lim

Tìm lim: Coù theå thay VCB tñöông vaøo TÍCH (THÖÔNG) Nhöng khoâng thay tuøy tieän VCB tñöông vaøo TOÅNG (HIEÄU) 2 ln (1 + 2 tg x ) VD: Tìm1/ lim x →0 x sin x x coù theå → x0 kyø. VD: Tìm α ~β & α 1 ~ β 1

ln ( cos 3 x ) 2 / lim 2 x x →0 ( e − 1) sin x

 x + 2x − 3   2  baát lim x →∞  x − x +1  2

x

sin x − tgx khi x → x0 ⇒ α ± α 1 ~ VD : lim x →0 x3

QUY TAÉC NGAÉT BOÛ VOÂ CUØNG BEÙ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

α, β

– VCB khaùc caáp ⇒ α + β töông ñöông VCB

caáp thaáp hôn Quy taéc ngaét boû VCB caáp cao: α(x), β(x)

toång VCB khaùc caáp ⇒ lim α/β = lim (tyû soá hai VCB caáp thaáp 1 3 cuûa töû & maãu) sin ( x + 2 − 2 ) + x 2 + 3tg 2 x ln ( cosx ) + 2 x lim VD: lim 2 x →0 x→0 ln (1 + x ) sin 3 x + 2 x Thay VCB töông ñöông vaøo toång: VCB daïng luyõ thöøa & αΣ ≡ 0  α ≠ β  f ~ λx , x → a α β ⇒ f + g ~ λx + µx iff   β  α = β & λ + µ ≠ 0  g ~ µx , x → a sin x ± x 1 / lim 2 / lim x →0 x → +∞ x

(

x+ x+ x − x

)

ln (1 + x )   1 lim  − x →0 x( 1 + x ) x 2  

VOÂ CUØNG LÔÙN – SO SAÙNH VCL- NGAÉT BOÛ VCL

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Haøm y = f(x) – voâ cuøng lôùn (VCL)lim f ( x ) = ∞ x→x0

khi x → x0 : So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x → x0 vaø ∃ giôùi haïn f/g c ≠ 0, ∞: f(x), g(x) – VCL f ( x) cuøng caáp lim =c c = 1: f, g – VCL töông ñöông : x → x0 g ( x ) f ~=g ∞: f – VCL caáp cao hôn g. c Vieát: f >> g x 2 a >> xα >> log β x ( a > 1, α > 0 ) VD: 3 x − 4 x + 1 ~ 3 x 2

x →∞

x →∞

x →∞

 Toång voâ cuøng lôùn khaùc caáp töông ñöông VCL caáp cao nhaát  Thay VCL töông ñöông vaøo TÍCH (THÖÔNG) khi

KEÁT LUAÄN

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vôùi giôùi haïn chöùa Voâ Cuøng Beù (chaúng haïn daïng 0/0 …):  Daïng tích (thöông) ⇒ Thay caùc THÖØA SOÁ baèng bieåu thöùc töông ñöông & ñôn giaûn f1 ( x ) g1 ( x ) hôn f ( x ) g ( x ) lim = lim vôùi f(x) ~ f1(x), g(x) ~ x → x0 x → x0 h( x ) h1 ( x ) g1(x) …  Daïng toång VCB khaùc caáp ⇒ Thay baèng VCB caáptoång thaápVCB 1 toång quaùt  Daïng

Σfi(x)

⇒ Thay

αi αi f ( x ) ~ C x & C x ≡0 ∑ i luyõ i i moãi fi(x) baèng VCB töông ñöông daïng

thöøa: Giôùi haïn chöùa Voâ Cuøng Beù (daïng ∞/∞ …): 1/ Thay töông ñöông vaøo tích (thöông) khi tìm lim 2/

HAØM LIEÂN TUÏC

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Haøm

f(x)

lieân Haøm lieân tuïc/[a, b] ⇔ (C):

tuïc taïi x0: ñònh  f(x) xaùc

ñöôøng lieàn

limx0f ( x ) = f ( x0 )  taïi x →x 0

Giaù n

ñoaï Haøm sô caáp (ñònh nghóa qua 1 bieåu thöùc) n! lieân tuïc ⇔ xaùc ñònh VD: Khaûo saùt tính lieân tuïc cuûa 2 : caùc haøm tgx + xsoá: −1  x, x < 1 sin x a/ y = b/ y = c / f ( x) =  2 x +1 x 1 − x, x ≥ 1 Khoân

g sô sin x  , x≠0  x VD: Tìm a ñeå haøm lieân tuïc y =  caáp!  a , x = 0 taïi x = 0:

LIEÂN TUÏC MOÄT PHÍA

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Töông töï giôùi haïn 1 phía: Haøm gheùp, chöùa trò tuyeät … ⇒ Khaûo saùt f(x) lieân tuïc traùi taïi x0

f ( x ) = f ( x0 ) khi xaùcxlim →x0− 

f ( x0 − ) ñònh taïi x0 vaø f ( x ) = f ( x0 ) f(x) lieân tuïc phaûi taïi x0 khi xaùcxlim → x0 +     f ( x0 + ) ñònh taïi x0 vaø

Haøm f(x) lieân tuïc taïi x0 ⇔ Lieân tuïc traùi & lieân tuïc phaûi taïi x0

 1 , x ≠1 1  x VD: Khaûo saùt tính f ( x ) = 1 + e x −1 Chuù lim a = ? x →∞  lieân tuïc: yù: 1, x = 1

PHAÂN LOAÏI ÑIEÅM GIAÙN ÑOAÏN

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f ( x ) = f ( x0 ) Haøm f xaùc ñònh & giaùn ñoaïn taïi x0 xlim →x 0

⇔ Khoâng Hoaëc ∃ limcoù f ≠ f(x0), hoaëc lim– ≠ lim+, hoaëc ∃ lim f: 3 tröôøng hôïp!

Loaïi 1: Ñieåm khöû ∃ lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) x→ x 0

ñöôïc:  Ñieåm lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) f(x) giaùn ñoaïn taïi x0

x → x0 −

nhaûy: Böôùc

lim f ( x ) − lim f ( x )

nhaûy: Loaïi

x → x0 +

x → x0 +

x → x0 −

∃ lim f ( x ) hoaëc ∃ lim f ( x ) x → x0 −

x → x0 +

2: (Hoaëc khoâng toàn taïi caû 2

VÍ DUÏ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ñieåm

x0 = 0 coù phaûi ñieåm giaùn

x ñoaïn? Haõy phaân loaïi sin , x≠0  f ( x) =  x  , x=0 a

VÍ DUÏ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ñieåm

x0 = 0 coù phaûi ñieåm giaùn

x ñoaïn? Haõy phaân loaïi sin , x ≠0  x f ( x) =  1 , x=0 

VÍ DUÏ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bieän luaän tính chaát ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm soá1sau theo a sin , x ≠ 0 f ( x) =  x  , x=0 a

f ( 0) = a

f ( 0) = a

TÍNH CHAÁT HAØM LIEÂN TUÏC TREÂN MOÄT ÑOAÏN

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f bò chaën treân [a, b]:

f ñaït GTLN, BN treân

∃ m, & mM ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈

[a, ∃ xb]: 0, x1 ∈ [a, b]: f(x0) =

[a, b]

m, … Haøm y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b]

Chuù

yù:

Khoâng theå

thay

ñoaïn

trung gian: ∀ k & GTBN

baèngÑònh (Hay söû duïng) lyù giaù tròkhoaûng! hai ñaàu

≤ k ≤ GTLN ⇒ ∃ c ∈ [a,

traùi daáu: f(a).f(b) < 0

f nhaän moïi giaù trò

VÍ DUÏ

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( x − 1) 2 , x ≤ 0 1/ Tìm a, b ñeå  f ( x ) = ax + b , 0 < x < 1 haøm soá sau  x , x ≥1  lieân tuïc treân R

f

lieân

tuïc

taïi 0 & 2/ Chöùng minh phöông trình sau coù ít nhaát 1 1 nghieäm aâm x5 = 1 − x f(x) lieân tuïc treân (0, 3). Ñeå pt f(x) = 0 coù nghieäm (a, b) b):= (2, 3) a/ f(2)f(3)treân < 0, (a,

b/ f(1)f(2) < 0,

(a, b) = (1, 2) a/ Bao nhieâu haøm soá f(x) xaùc ñònh treân R: f2(x)

=

1

x

R

toan_1_Bai_4_vô cùng bé liên tục - bookbooming