BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG ÑHBK -------------------------------------------------------------------------------------
TOAÙN 1 HK1 0708 • BAØI 4: VCBEÙ – VCLÔÙN. LIEÂN TUÏC (SINH VIEÂN)
•
TS . NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (11/2007)
VOÂ CUØNG BEÙ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ñaïi löôïng α(x) – voâ cuøng beù (VCB) lim α ( x ) = 0 khi x → x0:
VCB
cô
baûn
x→x0
(x
→
0): α ( x ) = sin x , 1 − cos x , tgx
x Löôïng − 1, ln(1 + x ) Luõy Muõ, egiaùc
(1 + x ) α − 1. VD : 1 + 3x − 1
ln: thöøa: 1 x0: Khoâng quan troïng. VCB VCB x → 1: sin(x– x 1) … x → ∞: α(x), β(x) – VCB khi x α(x) VCB, C(x) bò → 0 ⇒ xα(x) ± β(x) , α(x)β(x): π π VCB b / lim x sin VD: a / lim sin x →0 x →0 x x BT: lim ( sin x + 1 − sin x ) x →∞
chaën ⇒ C(x)α(x): π VCB c / lim x sin x →∞ x
SO SAÙNH VOÂ CUØNG BEÙ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
α ( x) = c ⇒ So saùnh α(x), β(x) – VCB, x → x0 lim x→x0 β ( x ) ñöôïc vaø ∃ 1/ c = 0 : α(x) – VCB caáp cao so vôùi β(x): α(x) = o(β(x)) Caùch noùi khaùc: β(x) – VCB caáp hôn laïi tröôøng hôïp c = 0 ⇒ 2/ c =thaáp ∞: Ngöôïc β(x) o(α(x)) 3/ c ≠= 0, c ≠ ∞ : voâ cuøng beù cuøng caáp VCB caáp thaáp: Chöùa ít “thöøa soá 0” hôn. 2 3 VD: x, xSo Aùp sin duïng: saùnh 2 voâ cuøng beù xm , xn (m,
n > 0) khi x → 0 sin x, 1 − cos x, tgx VD: So saùnh VCB:
VOÂ CUØNG BEÙ TÖÔNG ÑÖÔNG – (QUAN TROÏNG)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
α ( x) =1 α(x), β(x) – VCB töông ñöông khi x → lim x→x0 β ( x ) x0 ⇔ x2 VCB löôïng sin x ~ x , tgx ~ x, 1 − cos x ~ , x → 0 2 x giaùc: e VCB muõ, − 1 ~ x, ln (1 + x ) ~ x, x → 0 2x α 3 ln: VCB luõy thöøa (1 + x ) − 1 ~ αx, x → 0 VD: 1 + 2 x ~ 3 (caên): VCB töông ñöông: Ñöôïc pheùp thay thöøa soá töông ñöông vaøo tích & thöông (nhöng khoâng thay vaøo toång & hieäu!) α VD: Tìm haèng soá Ctgx − sin x ~ Cx , x → 0
DUØNG VOÂ CUØNG BEÙ TÍNH GIÔÙI HAÏN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aùp duïng: Duøng voâ cuøng beù töông ñöông tính giôùi haïn α ( x ) ~ α1 ( x ) , β ~ β1 ⇒ x →x0
x→x0
α ( x) α ( x) = lim 1 x→x0 β ( x ) x→x0 β1 ( x ) lim
Tìm lim: Coù theå thay VCB tñöông vaøo TÍCH (THÖÔNG) Nhöng khoâng thay tuøy tieän VCB tñöông vaøo TOÅNG (HIEÄU) 2 ln (1 + 2 tg x ) VD: Tìm1/ lim x →0 x sin x x coù theå → x0 kyø. VD: Tìm α ~β & α 1 ~ β 1
ln ( cos 3 x ) 2 / lim 2 x x →0 ( e − 1) sin x
x + 2x − 3 2 baát lim x →∞ x − x +1 2
x
sin x − tgx khi x → x0 ⇒ α ± α 1 ~ VD : lim x →0 x3
QUY TAÉC NGAÉT BOÛ VOÂ CUØNG BEÙ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
α, β
– VCB khaùc caáp ⇒ α + β töông ñöông VCB
caáp thaáp hôn Quy taéc ngaét boû VCB caáp cao: α(x), β(x)
–
toång VCB khaùc caáp ⇒ lim α/β = lim (tyû soá hai VCB caáp thaáp 1 3 cuûa töû & maãu) sin ( x + 2 − 2 ) + x 2 + 3tg 2 x ln ( cosx ) + 2 x lim VD: lim 2 x →0 x→0 ln (1 + x ) sin 3 x + 2 x Thay VCB töông ñöông vaøo toång: VCB daïng luyõ thöøa & αΣ ≡ 0 α ≠ β f ~ λx , x → a α β ⇒ f + g ~ λx + µx iff β α = β & λ + µ ≠ 0 g ~ µx , x → a sin x ± x 1 / lim 2 / lim x →0 x → +∞ x
(
x+ x+ x − x
)
ln (1 + x ) 1 lim − x →0 x( 1 + x ) x 2
VOÂ CUØNG LÔÙN – SO SAÙNH VCL- NGAÉT BOÛ VCL
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Haøm y = f(x) – voâ cuøng lôùn (VCL)lim f ( x ) = ∞ x→x0
khi x → x0 : So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x → x0 vaø ∃ giôùi haïn f/g c ≠ 0, ∞: f(x), g(x) – VCL f ( x) cuøng caáp lim =c c = 1: f, g – VCL töông ñöông : x → x0 g ( x ) f ~=g ∞: f – VCL caáp cao hôn g. c Vieát: f >> g x 2 a >> xα >> log β x ( a > 1, α > 0 ) VD: 3 x − 4 x + 1 ~ 3 x 2
x →∞
x →∞
x →∞
Toång voâ cuøng lôùn khaùc caáp töông ñöông VCL caáp cao nhaát Thay VCL töông ñöông vaøo TÍCH (THÖÔNG) khi
KEÁT LUAÄN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vôùi giôùi haïn chöùa Voâ Cuøng Beù (chaúng haïn daïng 0/0 …): Daïng tích (thöông) ⇒ Thay caùc THÖØA SOÁ baèng bieåu thöùc töông ñöông & ñôn giaûn f1 ( x ) g1 ( x ) hôn f ( x ) g ( x ) lim = lim vôùi f(x) ~ f1(x), g(x) ~ x → x0 x → x0 h( x ) h1 ( x ) g1(x) … Daïng toång VCB khaùc caáp ⇒ Thay baèng VCB caáptoång thaápVCB 1 toång quaùt Daïng
Σfi(x)
⇒ Thay
αi αi f ( x ) ~ C x & C x ≡0 ∑ i luyõ i i moãi fi(x) baèng VCB töông ñöông daïng
thöøa: Giôùi haïn chöùa Voâ Cuøng Beù (daïng ∞/∞ …): 1/ Thay töông ñöông vaøo tích (thöông) khi tìm lim 2/
HAØM LIEÂN TUÏC
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Haøm
f(x)
lieân Haøm lieân tuïc/[a, b] ⇔ (C):
tuïc taïi x0: ñònh f(x) xaùc
ñöôøng lieàn
limx0f ( x ) = f ( x0 ) taïi x →x 0
Giaù n
ñoaï Haøm sô caáp (ñònh nghóa qua 1 bieåu thöùc) n! lieân tuïc ⇔ xaùc ñònh VD: Khaûo saùt tính lieân tuïc cuûa 2 : caùc haøm tgx + xsoá: −1 x, x < 1 sin x a/ y = b/ y = c / f ( x) = 2 x +1 x 1 − x, x ≥ 1 Khoân
g sô sin x , x≠0 x VD: Tìm a ñeå haøm lieân tuïc y = caáp! a , x = 0 taïi x = 0:
LIEÂN TUÏC MOÄT PHÍA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Töông töï giôùi haïn 1 phía: Haøm gheùp, chöùa trò tuyeät … ⇒ Khaûo saùt f(x) lieân tuïc traùi taïi x0
f ( x ) = f ( x0 ) khi xaùcxlim →x0−
f ( x0 − ) ñònh taïi x0 vaø f ( x ) = f ( x0 ) f(x) lieân tuïc phaûi taïi x0 khi xaùcxlim → x0 + f ( x0 + ) ñònh taïi x0 vaø
Haøm f(x) lieân tuïc taïi x0 ⇔ Lieân tuïc traùi & lieân tuïc phaûi taïi x0
1 , x ≠1 1 x VD: Khaûo saùt tính f ( x ) = 1 + e x −1 Chuù lim a = ? x →∞ lieân tuïc: yù: 1, x = 1
PHAÂN LOAÏI ÑIEÅM GIAÙN ÑOAÏN
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f ( x ) = f ( x0 ) Haøm f xaùc ñònh & giaùn ñoaïn taïi x0 xlim →x 0
⇔ Khoâng Hoaëc ∃ limcoù f ≠ f(x0), hoaëc lim– ≠ lim+, hoaëc ∃ lim f: 3 tröôøng hôïp!
Loaïi 1: Ñieåm khöû ∃ lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) x→ x 0
ñöôïc: Ñieåm lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) f(x) giaùn ñoaïn taïi x0
x → x0 −
nhaûy: Böôùc
lim f ( x ) − lim f ( x )
nhaûy: Loaïi
x → x0 +
x → x0 +
x → x0 −
∃ lim f ( x ) hoaëc ∃ lim f ( x ) x → x0 −
x → x0 +
2: (Hoaëc khoâng toàn taïi caû 2
VÍ DUÏ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ñieåm
x0 = 0 coù phaûi ñieåm giaùn
x ñoaïn? Haõy phaân loaïi sin , x≠0 f ( x) = x , x=0 a
VÍ DUÏ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ñieåm
x0 = 0 coù phaûi ñieåm giaùn
x ñoaïn? Haõy phaân loaïi sin , x ≠0 x f ( x) = 1 , x=0
VÍ DUÏ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bieän luaän tính chaát ñieåm giaùn ñoaïn cuûa haøm soá1sau theo a sin , x ≠ 0 f ( x) = x , x=0 a
f ( 0) = a
f ( 0) = a
TÍNH CHAÁT HAØM LIEÂN TUÏC TREÂN MOÄT ÑOAÏN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f bò chaën treân [a, b]:
f ñaït GTLN, BN treân
∃ m, & mM ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈
[a, ∃ xb]: 0, x1 ∈ [a, b]: f(x0) =
[a, b]
m, … Haøm y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b]
Chuù
yù:
Khoâng theå
thay
ñoaïn
trung gian: ∀ k & GTBN
baèngÑònh (Hay söû duïng) lyù giaù tròkhoaûng! hai ñaàu
≤ k ≤ GTLN ⇒ ∃ c ∈ [a,
traùi daáu: f(a).f(b) < 0
f nhaän moïi giaù trò
VÍ DUÏ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
( x − 1) 2 , x ≤ 0 1/ Tìm a, b ñeå f ( x ) = ax + b , 0 < x < 1 haøm soá sau x , x ≥1 lieân tuïc treân R
f
lieân
tuïc
taïi 0 & 2/ Chöùng minh phöông trình sau coù ít nhaát 1 1 nghieäm aâm x5 = 1 − x f(x) lieân tuïc treân (0, 3). Ñeå pt f(x) = 0 coù nghieäm (a, b) b):= (2, 3) a/ f(2)f(3)treân < 0, (a,
b/ f(1)f(2) < 0,
(a, b) = (1, 2) a/ Bao nhieâu haøm soá f(x) xaùc ñònh treân R: f2(x)
=
1
∀
x
∈
R