2.1 Notaciones y definiciones
31
Integrando entre O y T( E lR+) se obtiene:
-l
T
V(T,:z:(T),z(T),h(T)) - V(O,:z:(O),z(O),h(O)) =
:Z:(TfQ:Z:(T) dr
la cual empleando V(O, :z:(0) , z(O),h(O)) ~ V(T, :z:(T) , z(T), h(T)) conduce a la desigual dad:
Por otro lado, usando el teorema de Rayleigh-Ritz: :z:TK:z: ~ Amin {K}:z:T:z: donde K es cualquier matriz simétrica y Amin {K} denota el valor propio mínimo de K, se tiene:
V(O, :z:(0) , z(O),h(O)) {T ()T ( ) d Amin{Q} ~ :z: T :z: T T
Jo
donde Amin{Q} > O porque Q = QT es por hipótesis una matriz definida positiva. El lado izquierdo de la última desigualdad es finito, lo cual significa que :z: E L 2. Finalmente, como :z: E L 2 Y por hipótesis :i: E L~, del Lema 2.1 se concluye que limt-->oo :z:(t) = O.
O Considérese ahora un sistema dinámico lineal descrito por las siguientes ecuaciones: :i:
y
A:z: =
+ Bu
C:z:
donde :z: E lR m es el estado del sistema, u E lR n es la entrada, y E lR n es la salida y A E lR m x m , B E lR m xn y C E lR n xm son matrices con coeficientes reales constantes. La matriz de transferencia H(s) del sistema se define como H(s) = C(sI - A)-l B donde sE
C.
El siguiente resultado" permite obtener conclusiones sobre la pertenencia de y e L 2 o L~ dependiendo de si u pertenece a L 2 o a L~.
iJ
a
Lema 2.3 Considérese la matriz cuadrada de dimensión n, H(s) E lRnxn(s) cuyos elementos son funciones racionales estrictamente propias de la variable compleja s. Su póngase que los denominadores de sus elementos tienen todas sus raíces en el semiplano complejo izquierdo. • Si u E L 2 entonces y E L 2 n L~, • Si u E
L~
entonces y E
L~,
iJ E
iJ E L 2 e
y(t) ---+ O cuando t ---+ oo.
L~.
6Este resultado ha sido tomado de Desoer, C. A., Vidyasagar, M., 1975, "Feedback systems: Input output properties", Academic Press, pág. 59.