ˆ ˜ 10.2. CONTINUIDADE, INTEGRAL E DERIVADA DE SEQUENCIAS DE FUNC ¸ OES. 165
10.2
Continuidade, integral e derivada de sequˆ encias de fun¸c˜ oes.
No Exemplo 10.2 apresentamos uma sequˆencia de fun¸c˜oes cont´ınuas que converge simplesmente para uma fun¸c˜ao descont´ınua. A pr´oxima proposi¸c˜ao diz que este inconveniente n˜ao ocorre se a convergˆencia for uniforme. ˜ 10.5. Seja (fn )n∈N uma sequˆencia de fun¸c˜oes de A ⊂ R em R convergente PROPOSIC ¸ AO uniformemente para f : A → R. Se fn ´e cont´ınua em x0 ∈ A para todo n ∈ N, ent˜ao f ´e cont´ınua em x0 . Demonstra¸c˜ ao. Seja x0 ∈ A. Dado ε > 0, existe n ∈ N tal que x∈A
=⇒
|fn (x) − f (x)| < ε.
Como fn ´e cont´ınua em x0 , existe δ > 0 tal que x ∈ A,
|x − x0 | < δ
=⇒
|fn (x) − fn (x0 )| < ε.
Destas duas rela¸c˜oes obtemos que se x ∈ A e |x − x0 | < δ, ent˜ao |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| < 3ε. Segue que f ´e cont´ınua em x0 . Exemplo 10.5. Da proposi¸c˜ao anterior podemos concluir que a convergˆencia do Exemplo 10.2 n˜ao ´e uniforme, pois, sen˜ao, o limite seria cont´ınuo em x0 = 1. Entretanto, se a ∈ (0, 1), ent˜ao a sequˆencia (fn |[0,a] )n∈N ´e uniformemente convergente. Isto pode ser verificado diretamente ou usando o pr´oximo teorema (ver exerc´ıcio 4, p.179). TEOREMA 10.6. (Dini1 ) Sejam K ⊂ R compacto e (fn )n∈N ⊂ C(K). Se (fn )n∈N ´e mon´otona e convergente simplesmente para f ∈ C(K), ent˜ao a convergˆencia ´e uniforme.
Demonstra¸c˜ ao. Suponhamos que (fn )n∈N seja decrescente (se for crescente, procedemos de modo an´alogo), ou seja, f ≤ fn+1 ≤ fn para todo n ∈ N. Para cada n ∈ N, fn − f ∈ C(K) e, como K ´e compacto, existe xn ∈ K tal que ´ f´acil ver que (Mn )n∈N ´e decrescente e Mn = fn (xn ) − f (xn ) ´e o valor m´aximo de fn − f . E positiva e, portanto, convergente para c ≥ 0. Mostremos que c = 0. Da compacidade de K, obtemos subsequˆencia (xnk )k∈N convergente para x0 ∈ K. Para k, m ∈ N com nk ≥ m, temos Mnk = fnk (xnk ) − f (xnk ) ≤ fm (xnk ) − f (xnk ). Fazendo k → +∞, obtemos c ≤ fm (x0 ) − f (x0 ). Tomando o limite quando m → +∞, conclu´ımos que c ≤ 0 e, portanto, c = 0. Dado ε > 0, tomemos N ∈ N tal que MN < ε. Assim, se n ≥ N e x ∈ K, ent˜ao 0 ≤ fn (x) − f (x) ≤ fN (x) − f (x) ≤ MN < ε. 1
Ulisse Dini: ⋆ 14/11/1845, Pisa, It´alia - † 28/10/1918, Pisa, It´alia