CAP´ITULO 8. DERIVADA
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Como exemplo de aplica¸c˜ao da F´ormula de Taylor temos a seguinte proposi¸c˜ao sobre extremos locais. ˜ 8.18. Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo I e n vezes deriv´avel em PROPOSIC ¸ AO x0 ∈ I com f ′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 e f (n) (x0 ) 6= 0. Temos: i. se n ´e par e f (n) (x0 ) > 0, ent˜ao x0 ´e m´ınimo local de f ; ii. se n ´e par e f (n) (x0 ) < 0, ent˜ao x0 ´e m´aximo local de f ; iii. se n ´e ´ımpar, ent˜ao x0 n˜ao ´e extremo local de f . Demonstra¸c˜ ao. Seja x ∈ I. Como as derivadas de f se anulam at´e a ordem n − 1, tomando h = x − x0 na F´ormula de Taylor com resto de Peano obtemos f (n) (x0 ) n h + r(h) f (x) − f (x0 ) = pn (x) − f (x0 ) + r(h) = n!
com
lim
h→0
r(h) = 0. hn (8.2)
Deste modo, existe δ > 0 tal que se x ∈ I com 0 < |x − x0 | < δ, ent˜ao
(n)
f (x0 ) n
h
. |r(h)| <
n!
(8.3)
De (8.2) e (8.3), obtemos que o sinal de f (x) − f (x0 ) ´e o mesmo de f (n) (x0 ) n f (n) (x0 ) h = (x − x0 )n . n! n!
Da´ı seguem imediatamente as trˆes afirma¸c˜oes da proposi¸c˜ao.
8.4
⋆ M´ etodo de Newton.
No exerc´ıcio 39, p.75 mostramos que, dados m ∈ N e a ≥ 0, existe x ≥ 0 tal que x = a, ou de modo equivalente, que existe raiz para a fun¸c˜ao f : [0, +∞) → R dada por f (x) = xm − a para todo x ≥ 0. Nosso m´etodo consistiu em definir recursivamente uma sequˆencia (xn )n∈N que era convergente para a raiz da fun¸c˜ao f acima. O m´etodo empregado ´e um caso particular do chamado M´ etodo de Newton1 , muito usado para calcular aproxima¸c˜oes (t˜ao boa quanto quisermos) de ra´ızes de fun¸c˜oes. A Figura 8.2 d´a uma ideia geom´etrica do m´etodo. O pr´oximo teorema garante o seu funcionamento. m
TEOREMA 8.19. (m´ etodo de Newton) Seja f : A ⊂ R → R e a ∈ A com f (a) = 0. Suponhamos que exista ε > 0 tal que i. f ´e duas vezes diferenci´avel em (a − ε, a + ε) e f ′′ ´e cont´ınua em a; ii. f ′ n˜ao se anula em (a − ε, a + ε). Ent˜ao, existe δ > 0 tal que para qualquer x0 ∈ [a − δ, a + δ], a sequˆencia definida recursivaf (xn−1 ) mente por xn = xn−1 − ′ ∀n ∈ N. ´e convergente para a. f (xn−1 ) 1
Sir Isaac Newton: ⋆ 04/05/1643, Woolsthorpe, Inglaterra - † 31/03/1727, Londres, Inglaterra.