6.5. CONJUNTOS DENSOS.
95
primeiro e para o segundo intervalo, respectivamente, ent˜ao C ′ ∪ C ′′ seria uma subcobertura finita de C para [a, b]. Aplicamos o procedimento anterior ao intervalo [a1 , b1 ]. Continuando indefinidamente este processo constru´ımos uma sequˆencia [an , bn ] n∈N de intervalos encaixantes. Al´em disto, qualquer que seja n ∈ N, bn − an = (a − b)/2n e n˜ao existe subcobertura finita de C para [an , bn ]. T Gra¸cas ao Teorema dos Intervalos Encaixantes, temos que +∞ n=1 [an , bn ] 6= ∅. Mais precisamente, esta interse¸c˜ao s´o tem um elemento x. De fato, suponhamos que exista y 6= x tal que y ∈ [an , bn ] para todo n ∈ N. Segue 0 < |x − y| ≤ bn − an para todo n ∈ N. Isto ´e absurdo j´a que bn − an → 0. Ora, x ∈ [a, b], logo, existe A ∈ C tal que x ∈ A. Como A ´e aberto, existe ε > 0 tal que Bε (x) ⊂ A. Tomando N ∈ N, suficientemente grande, de modo que bN − aN < ε temos [aN , bN ] ⊂ Bε (x) ⊂ A. Portanto, tomando C ′ = {A}, temos que C ′ ´e uma subcobertura finita de C para [aN , bN ]. Absurdo! Demonstra¸c˜ ao. (do Teorema 6.16) Suponhamos que K seja compacto (portanto limitado e fechado). Seja C uma cobertura aberta de K. Como K ´e limitado podemos tomar a, b ∈ R tais que K ⊂ [a, b]. Como K ´e fechado, o conjunto K ∁ ´e aberto. Temos claramente que C ∪ {K ∁ } ´e uma cobertura [ aberta de [a, b]. Pelo Teorema de Borel-Lebesgue, existe C ′ ⊂ C [ A. A ∪ {K ∁ }. Da´ı, conclu´ımos que K ⊂ finita tal que K ⊂ [a, b] ⊂ A∈C ′
A∈C ′
Suponhamos agora que toda cobertura aberta de K possua subcobertura finita. Para todo x ∈ K definimos Ax = B1 (x). A cole¸c˜ao {Ax ; x ∈ K} ´e uma cobertura aberta de K. Por hip´otese, existem x1 < · · · < xn ∈ K tais que K ⊂ Ax1 ∪ · · · ∪ Axn . Logo, K ⊂ (x1 − 1, xn + 1) e, portanto, K ´e limitado. Vamos mostrar que K ∁ ´e aberto para concluir que K ´e fechado e, portanto, compacto (pois j´a sabemos que ele ´e limitado). Seja y ∈ K ∁ . Para todo x ∈ K definimos |x − y| |x − y| Ax = x − . ,x+ 2 2
Temos que (Ax )x∈K ´e uma cobertura aberta de K tal que y ∈ / Ax qualquer que seja x ∈ K. Por hip´otese, existem x1 , . . . , xn ∈ K tais que K ⊂ Ax1 ∪ · · · ∪ Axn . Tomando ε=
1 min{|x1 − y|, . . . , |xn − y|}, 2
´e f´acil ver que Bε (y) ⊂ K ∁ . Mostramos que y ∈ (K ∁ )◦ e, portanto, K ∁ ´e aberto.
6.5
Conjuntos densos.
˜ 6.18. Sejam A, B ⊂ R com A ⊂ B. Dizemos que A ´e denso em B se DEFINIC ¸ AO B ⊂ A.
Em outros termos, se A ⊂ B, ent˜ao A ´e denso em B se, e somente se, para todo x ∈ B, existe (xn )n∈N ⊂ A tal que xn → x. A pr´oxima proposi¸c˜ao nos fornece uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a densidade.