МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 30.08.2013 Г. – ВАРИАНТ 2 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори!
1. Кое от числата е най-голямо? А) 8
−0,01
2. Стойността на израза
А) −8 3
1 Б) 8
1
0,1
1 2 В) 8
2 xy − y 2 при x = 3 и y = −2 3 е равна на: 5 y + 2x Б)
−2 3 3
В)
3. Всичките допустими стойности на израза А) ( −∞; + ∞ )
Г) 0,125
3 2
Б) [ 0; + ∞ )
3 3
Г)
3
x са: В) ( −∞; 0 ) ∪ ( 0; +∞ )
Г) ( −∞; 0]
4. Стойността на израза log 1 1 − log 3 1 + lg 0,1 е равна на: 16 27 2 А) –2
Б) –1
В) 0
Г) 6
5. Кое от уравненията има реални корени, чийто сбор е равен на 5 ? А) x 2 + 5 x + 5 = 0
Б) x 2 − 5 x + 7 = 0
В) x 2 − 5 x − 3 = 0
Г) x 2 + 5 x + 6 = 0
6. Решенията на неравенството x − 1 < 2 са: x+4 А) x ∈ ( −9; +∞ )
Б) x ∈ ( −∞; −9 ) ∪ ( −4; +∞ )
В) x ∈ ( −9; −4 )
Г) x ∈ ( −∞; −4 ) ∪ ( 3; +∞ )
1
7. Стойността на израза cos105 − cos165 е: 2 2 А) − 3 Б) − В) 2 2
Г)
3
8. Основата и бедрото на равнобедрен триъгълник са съответно 12 cm и 10 cm. Радиусът на вписаната му окръжност е равен на: А) 1,5 cm
Б) 3 cm
В) 5 cm
Г) 8 cm
9. Произведението от дължините на диагоналите АC и ВD на
D
четириъгълника АВCD е 24, ∠CAB = 55° и ∠ABD = 65° .
C
Лицето на ABCD е равно на: А) 12 3
Б) 12
В) 6 3
Г) 6 55° 65°
A
B
10. Ако за геометрична прогресия a2 = −2 3 и a5 = 18 , то частното на прогресията е равно на: А) − 1 3
Б) − 1 3
В) − 3
Г) 3 3
an 11. Формулата на общия член an = an 2 + bn + c на числовата
4
редица, първите пет члена от която са изобразени
3
графично на фигурата, е: А) an = − n 2 + 6n − 7 Б) an = n 2 − 6n + 3 В) an = − n 2 − 6n + 15 Г) an = − n − 6n + 29 2
5
2 1
−1
−1 O 1 −2
−3
2 3
4
5
n
12. Наредената двойката числа (1; − 1) е решение на системата: А)
( x − 1) y = 1
Б)
x2 + y2 = 2
13.
Кръговата
представя
( x − 1) y = 0 x2 − y2 = 2
В)
( x − 1) y = 1 x2 − y 2 = 2
Г)
( x − 1) y = 0 x2 + y 2 = 2
диаграма
в
проценти
разпределението на месечния бюджет на едно семейство. Определете
по
диаграмата
колко са средствата (в лева), отделяни
за
изплащане
на
жилищния заем. А) 156
Б) 228
В) 312
Г) 396
C
14. Даден е △ ABC , за който AB = 8 cm, BC = 5 cm и AC = 10 cm. Ако М е средата на АВ и ∠AMN = ∠ACB, намерете дължината на MN. А) 2 cm
Б) 2,5 cm
В) 3,2 cm
Г) 6,4 cm
N A
M
B
15. За △ ABC е дадено, че sin ∠BAC : BC = 1: 4 7 . Ако AB = 2 21 , където AB < BC , то мярката на ∠ACB е: А) 60°
Б) 60° или 120°
В) 30°
Г) 30° или 150° C
D
16. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност.
2
Ако ∠ADC = 135° , AB = 3 2 сm и BC = 2 сm, да се намери дължината на радиуса на описаната около
А
3 2
B
четириъгълника окръжност.
А) 2 5 сm
Б) 10 сm
В) 5 сm
Г)
5 сm 2 3
17. За правоъгълния трапец ABCD ( ∠A = 90°, AB CD ) е дадено, че AВ = 10 cm, CD = 4 cm , BC = 6 2 cm. Дължината на диагонала BD е: А) 6 cm
Б) 2 13 cm
В) 8 cm
Г) 2 34 cm
18. Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник има дължина 3 cm и сключва с един от катетите ъгъл 60°. Лицето на триъгълника е: А) 4,5 cm2
Б) 9 cm2
В) 6 3 cm2
Г) 12 3 cm2
19. Даден е успоредник ABCD със страни AB = 18 сm, BC = 12 сm и диагонал BD = 15 сm. Дължината на по-късата височина на успоредника е равна на: 15 7 сm 2 3 7 В) сm 2
15 7 сm 4 5 7 Г) сm 4
А)
Б)
20. Дванадесет различни точки лежат върху окръжност. Колко хорди могат да се построят с краища тези точки ? А) 33
Б) 54
В) 66
Г) 132
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
21. Намерете решенията на неравенството
22. Да се реши уравнението
( x + 1)(2 − x)( x − 3) 2 >0. x2 + 6x + 5
5 1 10 x + = . x − 3x − 4 x + 1 4 − x 2
23. Числата 2 x 2 ; 1,5 и 5 x са последователни членове на намаляваща аритметична прогресия. Намерете x . 4
24. С цифрите 1, 2, 3, 4 и 5 са записани всички трицифрени числа с неповтарящи се цифри. Каква е вероятността случайно избрано от тях число да се дели на пет? C
D
25. Двата ромба АВCD и ВFEC на чертежа имат обща страна BC = 10 cm, AB ⊥ BF , ∠BAD е остър и sin ∠BAD =
4 . Намерете 5
лицето на петоъгълника АFEСD.
A
27.
Ако
α, β
и
γ
sin α + sin β + sin γ = 4 cos
E
F
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
26. Решете уравнението
B
x 2 − 10 x + 32 + 2 x = 2 2 . са
α 2
ъгли
cos
β 2
cos
в
триъгълник,
да
се
докаже
тъждеството:
γ 2
28. В △ ABC е дадено, че AC = 15 cm, BC = 12 cm. Ъглополовящата през върха С пресича описаната
около триъгълника окръжност в точка L и CL = 18 cm. Да се намери
страната АВ.
5
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
Формули на Виет:
−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =
Квадратна функция b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
a2k = a
2 k +1
a 2 k +1 = a
1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x
m n
при k ∈ ℕ n k
a = nk a
a log a b = b
nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ
log a a x = x
при a > 0, b > 0 и a ≠ 1
Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =
n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1
Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1
Аритметична прогресия:
an = a1 + (n −1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
Формула за сложна лихва:
p K n = K .q = K .1 + 100
Sn =
n
n
Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2
Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1
r=
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
sin α =
a c
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c
a 2 = a1c tg α =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4
mc 2 =
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
a b
b 2 = b1c cotg α =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4
lc = ab − mn 2
Формула за ъглополовяща:
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице Триъгълник:
1 S = chc 2 S = pr
Успоредник:
S = aha
1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R
S=
S = ab sin α
p ( p − a )( p − b)( p − c )
S=
Трапец:
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
b a
1 0
−α − sin α cosα − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
90°−α cosα sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2
sin α + sin β = 2 sin
180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α
α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2
sin α − sin β = 2sin
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 30.08. 2013 г. ВАРИАНТ 2 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор
Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Верен отговор А Г А Г В Б В Б В В А Г Г А А В Г В Б В x ∈ ( −5; −1) ∪ ( −1; 2 )
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
22
− 1 = −0,1 10 x1 = −3
4
23 24 25 26 27 28
S AFECD
1 5 = 190 cm 2
x1 = −6 AB = 18 cm
4 4 4 10 10 10
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване: 1. За прехвърляне на
2x в дясната страна
x 2 − 10 x + 32 = 2 2 − 2 x
(0,5 т.)
2. За повдигане на квадрат
(0,5 т.)
3. За получаване на уравнението x 2 + 2 x − 24 = 0
(3 т.)
4. За решаване на уравнението и намиране на корените x1 = −6 и x2 = 4
(3 т.)
5. За проверка дали x1 = −6 е решение на уравнението
(1 т.)
6. За проверка дали x2 = 4 е решение на уравнението
(1 т.)
7. За определяне на отговора x = −6
(1 т.)
З а б ел е ж к a *: Ако са определени допустими стойности и е направена проверка чрез тях
(2 т.)
27. Критерии за оценяване: 1. За изразяване на sin γ = sin (α + β )
(2 т.)
2. За прилагане на формулата sin α + sin β = 2sin
α +β
cos
α −β
(1 т.)
2 2 α +β α +β 3. За прилагане на формулата sin (α + β ) = 2sin cos 2 2 α +β 4. За изнасяне на общия множител 2 sin пред скоби 2 α −β α +β α β 5. За прилагане на формула за cos + cos = 2 cos cos 2 2 2 2 α+β γ 6. За изразяване на sin = cos 2 2 7. За доказване на тъждеството
(2 т.) (1 т.) (2 т.) (1,5 т.) (0,5 т.)
28. Критерии за оценяване: I начин: C
⇒ AL = BL 1. От ∠ACL = ∠BCL ⇒ AL = BL γ 2
(2 т.).
2. Нека AL = BL = x и ∠ACL = ∠BCL = . От косинусова теорема γ
за △ ACL и △ BCL имаме x 2 = 152 + 182 − 2.15.18cos 2 и
A
B L
x 2 = 182 + 122 − 2.18.12.cos
γ 2
(2 т.).
3. Като извадим от първото уравнение второто, последователно намираме γ γ 152 − 122 − ( 2.15.18 − 2.12.18 ) cos = 0 и cos = 3
(2 т.)
γ 4. Оттук cos γ = 2 cos 2 − 1 = 2. 9 − 1 = 1
(2 т.)
2
2
16
2
4
8
C
5. От косинусова теорема за △ ABC имаме AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2. AC.BC cos γ , AB 2 = 152 + 122 − 2.15.12. 1 = 324 , откъдето AB = 18 cm 8
(2 т.) O
II начин:
A
1. За доказване, че △ AOC ∼△ LBC
(3 т.)
AO OC AC 2. За правилно съставени пропорции = = LB BC LC 3. За намиране на OC = 10 от пропорцията
B
OC 15 = 12 18
4. За намиране на OL = 8
L
(1 т.)
(1 т.) (1 т.)
5. За вярно прилагане свойството на ъглополовящата и изразяване на AO = 5 x и OB = 4 x , както правилно съставено уравнение за ъглополовящата 102 = 15.12 − 5 x.4 x (2 т.) 6. За правилно намиране на x = 2 и AB = 18cm
(2 т.)