МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА
ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 17 май 2010 г. – Вариант 1
УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ,
Тестът съдържа 28 задачи. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте с черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. За да отбележите верния отговор, зачертайте със знака кръгчето с буквата на съответния отговор. Например: А
Б
В
Г
Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и зачертайте буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например: А
Б
В
Г
За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е зачертана със знака
.
Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълните решения с необходимите обосновки. Чертежите в теста са само за илюстрация. Те не са начертани в мащаб и не са предназначени за директно измерване на дължини на страни и мерки на ъгли.
ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!
Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Кое от посочените числа е най-голямо? 1
А)
4
32
Б)
2. Изразът А)
(
7 −2 2
−1
32
−
5 2
В) ( 25 ) 2
Г) 2
В) − 7 − 2 2
Г) 2 2 − 7
е равен на:
Б) 1 − 1 7 2 2
7 +2 2
3. Изразът
)
5
x − 4 x ( x − 1) : е дефиниран при: 16 − x 2 x 2 − 4
А) x ≠ ±4 Б) x ≠ ±4 , x ≠ ±2 В) x ≠ ±4 , x ≠ ±2 , x ≠ 1 Г) x ≠ ±4 , x ≠ ±2 , x ≠ 1 , x ≠ 0 4. Решенията на неравенството x 2 − 4 x + 3 < 0 са: А) x ∈ (− ∞;1) ∪ (3;+∞ )
Б) x ∈ (1;3)
Г) x ∈ (− ∞;+∞ )
В) x ∈ φ
5. Графиката на функцията y = 6 − x − x 2 е: y
y –2
3
А)
x
–2
y
y –3
3
x
Б)
В)
2
x
Г)
–3
2
x
6. Каква е функцията f ( x ) = x 2 − 7 x + 5 в интервала ( 3; 4 ) ? А) само растяща Б) само намаляваща В) константа
Г) намаляваща и растяща
7. Решенията на уравнението x + 1 x − 1 = 0 са: А) само 1
Б) само −1
В) −1 и 1
Г) x ∈ φ
8. Стойността на израза log 2 32 − log 1 9 + lg 0, 001 е равна на: 3
А) 0
Вариант 1
Б) 4
В) 6
Г) 10
1
9. Стойността на израза 1 + cos(180 − α ) + sin ( 90 + α ) + sin 2 75 + cos 2 75 е: А) 1
Б) 2
10. Стойността на израза
2 2
А)
В) 0
Г) 3
cos 30 cos15 − sin 30 sin15 е: sin 30 cos 75 − cos 30 sin 75
Б) 1
Г) −1
В) 0
11. Ако ÷a1 , a2 , a2 ,… и a4 + a13 = 49 , то сборът a1 + a6 + a11 + a16 е : А) 49
Б) 98
Г) 196
В) 147
12. Ако средноаритметичното на числата a1 , a2 ,… , a6 , a7
е равно на 1 , а
средноаритметичното на числата a1 , a2 ,… , a6 е равно на −1 , то числото a7 е равно на: А) 0
Б) 1
13. Решенията на системата
В) 8 x 2 + y 2 = 41 са: x+ y =9
А) ( −4; −5 ) ; ( −5; −4 )
Б) ( 4; −5) ; ( −5; 4 )
В) ( −4;5 ) ;
Г) ( 4;5) ;
( 5; −4 )
Г) 13
( 5; 4 )
А) 12 cm
Б) 15 cm
В) 20 cm
Г) 24 cm
C
D
14. В трапец ABCD ( AB || CD) диагоналите се пресичат в точка O и AC : OC = 5 : 2 . Ако AB = 30 cm, то CD е:
O A
B
C
15. Даден е ABC със страни AB = 12 и AC = 15 . Построена е ъглополовящата AL ( L ∈ BC ) и през точка L е построена права LP( P ∈ AB) и LP AC . Отношението S LPB : S ABC е равно на: L
А)
4 5
Вариант 1
Б)
4 9
В)
16 25
Г)
16 81
А
Р
B
2
C .
16. На чертежа CH е височината към хипотенузата AB на правоъгълен триъгълник ABC . Ако AH = 36 и HB = 64 , дължината на катета AC е равна на: А) 80
Б) 60
В) 48
Г) 30
. H
A
B
C
17. За триъгълника на чертежа е дадено, че sin α : sin β = 2 : 2 . b
За дължините на страните a и b е изпълнено: А) a = 2b
Б) a = 2b
В) a =
2 b 2
1 Г) a = b 2
A
α
a
β
B
18. В успоредник ABCD AB = 8 cm, AD = 7 cm. Ако BAD = 60° , то дължината на диагонала АС е: А)
57 cm
Б) 13 cm
В) 15 cm
Г)
337 cm
BAC = 60° , а AB = 3 cm. Ако радиусът на описаната около триъгълника окръжност е 7 3 cm, дължината на страната AC е равна на: 3
19. В ABC
А) 5 cm
Б) 7 cm
В) 8 cm
Г)
79 cm
20. Окръжност с радиус 4 cm е вписана в равнобедрен трапец. Ако малката основа на трапеца е равна на радиуса на окръжността, лицето на трапеца е: А) 80 cm2
Б) 96 cm2
В) 160 cm2
Г) 192 cm2
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. За членовете на геометрична прогресия е дадено, че a3 .a4 .a5 = 29 . Намерете четвъртия член на прогресията. 22. В равнобедрен ABC ( AC = BC ) , за който cos BAC =
1 , е вписана окръжност с 5
радиус r = 1 cm. Намерете лицето на ABC .
Вариант 1
3
23. Да се намери лицето на успоредник със страни 3 cm и 5 cm и ъгъл между диагоналите 45o . 24. Намерете номера n на най-големия член на редицата, зададена с формулата an 6n n 2 5 . 25. На една полица има 20 книги, като между тях са и два тома от събрани съчинения на един автор. Намерете вероятността, при случайно подреждане на книгите, двата тома да са един до друг.
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Да се намерят сборът и произведението на реалните корени на уравнението x2 1 x 1
2
9
x2 1 x 1
10 .
27. Иван е забравил паролата на компютъра на брат си. Той помни, че тя се записва само с първите две букви на азбуката и съдържа шест, седем или осем символа. Ако всеки път Иван опитва различна парола, то колко най-много опити може да направи той, за да открие паролата на брат си? 28. Даден е равнобедрен ABC ( AC BC ). Построена е височината AK ( K BC ). Нека точката O е центърът на описаната около триъгълника окръжност. Да се намери S AOK , ако AB 6 , а BAC
C
75 . O K B
А
Вариант 1
4
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c Формули на Виет x1 + x2 = − x1 x2 = a a
ax 2 + bx + c = 0
x1,2 =
Квадратна функция
Графиката на y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 е парабола с връх точката (−
b D ;− ) 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
2 k +1
a 2k = a
m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b
nk
a 2 k +1 = a ;
a mk = n a m
log a a x = x
при k ∈
a = nk a ; при a > 0 , n ≥ 2 , k ≥ 2 и n, m, k ∈ a loga b = b ; при b > 0, a > 0, a ≠ 1 n k
Комбинаторика
Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk = Вероятност
P ( A) =
Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k
брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи
0 ≤ P( A) ≤ 1
Прогресии
Аритметична прогресия:
an = a1 + ( n − 1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n −1
p ⎞ ⎛ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n
2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1
Sn =
n
Зависимости в триъгълник
1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 a + b − c a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β Произволен триъгълник: a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 Формула за медиана: ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n Формула за ъглополовяща: = lc2 = ab − nm b m Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2
S=
Формули за лице
1 S = chc 2
1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α Успоредник: S = aha 1 Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Триъгълник:
S=
S=
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Тригонометрични функции
α0
00
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
300
450
600
900
π
π
π
π
6 1 2
4 2 2 2 2
3 3 2 1 2
2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
1 0
−α − sin α cos α − tgα −cotgα
sin cos tg cotg
900 − α cos α sin α cotgα tgα
sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α 2tgα cotg 2α − 1 α tg2α = cotg2 = 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =
sin α + sin β = 2sin
α +β
cos
α −β
2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =
1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2
900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα
1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =
sin α − sin β = 2sin
α −β 2
cos
α +β
2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО математика– 17 май 2010 г. ВАРИАНТ № 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
Верен отговор
Брой точки
Въпрос №
Верен отговор
Брой точки
2
26.
х1+х2+х3+х4=7 х1х2х3х4 = –18
15
В Г
2
27.
26 + 27 + 28 = 64 + 128 + 256 = 448
15
2
28.
Б Г Г А Б Б Г Б Г Г В Г Б В Б В А 8 3 6 cm 2 8 cm 2 n=3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
В
9 2
(
)
3 +1
15
3 3 3
P2 .P19 2!.19! 2.19! 1 = = = P20 20! 20.19! 10
3
Въпроси със свободен отговор
26. Критерии за оценяване на задача 26. x2 1. Полагане t = + 1, x ≠ 1 . x −1
(2 т.)
9
2. Получаване на квадратно уравнение спрямо t : t 2 − 9t − 10 = 0 с корени t1 = −1 и t 2 = 10 .
(2 т.)
x2 x2 3. Получаване на уравненията + 1 = −1 и + 1 = 10 , x −1 x −1 т.е. x 2 + 2 x − 2 = 0 и x 2 − 9 x + 9 = 0 .
(2 т.)
4. Нека x1 и x 2 са реалните корени на уравнението x 2 + 2 x − 2 = 0 ( D > 0, x1,2 ≠ 1) . Тогава x1 + x 2 = −2 и x1 x 2 = −2 .
(3 т.)
5. Нека x3 и x 4 са реалните корени на уравнението x 2 − 9x + 9 = 0
( D > 0, x
3,4
≠ 1) Тогава x3 + x 4 = 9 и x3 x 4 = 9 .
(3 т.)
6. Тогава x1 + x 2 + x3 + x 4 = −2 + 9 = 7 и x1 x 2 x3 x 4 = −2.9 = −18 .
(3 т.)
Забележка: За намерени само корените x1 , x2 , x3 и x4
(4 т.)
27. Критерии за оценяване на задача 27.
1. Всички шестсимволни пароли са 2.2.2.2.2.2 = 26 на брой
(4 т.)
2. Всички седемсимволни пароли са 2.2.2.2.2.2.2 = 27 на брой
(4 т.)
3. Всички осемсимволни пароли са 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 на брой
(4 т.)
4. Броят на всички възможности е 26 + 27 + 28 = 64 + 128 + 256 = 448
(3 т.)
28. Критерии за оценяване на задача 28.
1. Определяне на дължината на височината AK в правоъгълния + ABK , AK = 6sin 75° ( 2 т.) 2 3 +1 ( 3 т.) 2. Определяне на sin 75D = sin ( 45D + 30D ) = 4 3. Намиране на отсечката AO като радиус на описаната 1 AB окръжност около + ABC , AO = ( 3 т) =6 2 sin 30D
(
C
)
O K B
А
4. Обосновка, че + AOC е равнобедрен и )CAO = 15°
( 2 т.)
5. Определяне на мярката на (OAK = 45D 1 9 6.Определяне на S+ AOK = AO. AK sin (OAK = 2 2
( 3 т.)
(
)
3 +1
( 2 т.)
Забележка: Ако е прескочена стъпка 2 и лицето е изразено S+ AOK =
1 9 S+ AOK = 6.6.sin 75°.sin 45° = 9 ( cos 30° − cos120° ) = 2 2
(
)
3 +1
1 AO. AK sin (OAK 2 ( 5 т.)
10