Issuu on Google+

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 17 май 2010 г. – Вариант 1

УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ,

Тестът съдържа 28 задачи. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен. Отговорите на тези задачи отбелязвайте с черен цвят на химикалката в листа за отговори, а не върху тестовата книжка. За да отбележите верния отговор, зачертайте със знака кръгчето с буквата на съответния отговор. Например: А

Б

В

Г

Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и зачертайте буквата на друг отговор, който приемате за верен. Например: А

Б

В

Г

За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е зачертана със знака

.

Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете пълните решения с необходимите обосновки. Чертежите в теста са само за илюстрация. Те не са начертани в мащаб и не са предназначени за директно измерване на дължини на страни и мерки на ъгли.

ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!


Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Кое от посочените числа е най-голямо? 1

А)

4

32

Б)

2. Изразът А)

(

7 −2 2

−1

32

5 2

В) ( 25 ) 2

Г) 2

В) − 7 − 2 2

Г) 2 2 − 7

е равен на:

Б) 1 − 1 7 2 2

7 +2 2

3. Изразът

)

5

x − 4 x ( x − 1) : е дефиниран при: 16 − x 2 x 2 − 4

А) x ≠ ±4 Б) x ≠ ±4 , x ≠ ±2 В) x ≠ ±4 , x ≠ ±2 , x ≠ 1 Г) x ≠ ±4 , x ≠ ±2 , x ≠ 1 , x ≠ 0 4. Решенията на неравенството x 2 − 4 x + 3 < 0 са: А) x ∈ (− ∞;1) ∪ (3;+∞ )

Б) x ∈ (1;3)

Г) x ∈ (− ∞;+∞ )

В) x ∈ φ

5. Графиката на функцията y = 6 − x − x 2 е: y

y –2

3

А)

x

–2

y

y –3

3

x

Б)

В)

2

x

Г)

–3

2

x

6. Каква е функцията f ( x ) = x 2 − 7 x + 5 в интервала ( 3; 4 ) ? А) само растяща Б) само намаляваща В) константа

Г) намаляваща и растяща

7. Решенията на уравнението x + 1 x − 1 = 0 са: А) само 1

Б) само −1

В) −1 и 1

Г) x ∈ φ

8. Стойността на израза log 2 32 − log 1 9 + lg 0, 001 е равна на: 3

А) 0

Вариант 1

Б) 4

В) 6

Г) 10

1


9. Стойността на израза 1 + cos(180 − α ) + sin ( 90 + α ) + sin 2 75 + cos 2 75 е: А) 1

Б) 2

10. Стойността на израза

2 2

А)

В) 0

Г) 3

cos 30 cos15 − sin 30 sin15 е: sin 30 cos 75 − cos 30 sin 75

Б) 1

Г) −1

В) 0

11. Ако ÷a1 , a2 , a2 ,… и a4 + a13 = 49 , то сборът a1 + a6 + a11 + a16 е : А) 49

Б) 98

Г) 196

В) 147

12. Ако средноаритметичното на числата a1 , a2 ,… , a6 , a7

е равно на 1 , а

средноаритметичното на числата a1 , a2 ,… , a6 е равно на −1 , то числото a7 е равно на: А) 0

Б) 1

13. Решенията на системата

В) 8 x 2 + y 2 = 41 са: x+ y =9

А) ( −4; −5 ) ; ( −5; −4 )

Б) ( 4; −5) ; ( −5; 4 )

В) ( −4;5 ) ;

Г) ( 4;5) ;

( 5; −4 )

Г) 13

( 5; 4 )

А) 12 cm

Б) 15 cm

В) 20 cm

Г) 24 cm

C

D

14. В трапец ABCD ( AB || CD) диагоналите се пресичат в точка O и AC : OC = 5 : 2 . Ако AB = 30 cm, то CD е:

O A

B

C

15. Даден е  ABC със страни AB = 12 и AC = 15 . Построена е ъглополовящата AL ( L ∈ BC ) и през точка L е построена права LP( P ∈ AB) и LP  AC . Отношението S LPB : S ABC е равно на: L

А)

4 5

Вариант 1

Б)

4 9

В)

16 25

Г)

16 81

А

Р

B

2


C .

16. На чертежа CH е височината към хипотенузата AB на правоъгълен триъгълник ABC . Ако AH = 36 и HB = 64 , дължината на катета AC е равна на: А) 80

Б) 60

В) 48

Г) 30

. H

A

B

C

17. За триъгълника на чертежа е дадено, че sin α : sin β = 2 : 2 . b

За дължините на страните a и b е изпълнено: А) a = 2b

Б) a = 2b

В) a =

2 b 2

1 Г) a = b 2

A

α

a

β

B

18. В успоредник ABCD AB = 8 cm, AD = 7 cm. Ако BAD = 60° , то дължината на диагонала АС е: А)

57 cm

Б) 13 cm

В) 15 cm

Г)

337 cm

BAC = 60° , а AB = 3 cm. Ако радиусът на описаната около триъгълника окръжност е 7 3 cm, дължината на страната AC е равна на: 3

19. В  ABC

А) 5 cm

Б) 7 cm

В) 8 cm

Г)

79 cm

20. Окръжност с радиус 4 cm е вписана в равнобедрен трапец. Ако малката основа на трапеца е равна на радиуса на окръжността, лицето на трапеца е: А) 80 cm2

Б) 96 cm2

В) 160 cm2

Г) 192 cm2

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. За членовете на геометрична прогресия е дадено, че a3 .a4 .a5 = 29 . Намерете четвъртия член на прогресията. 22. В равнобедрен  ABC ( AC = BC ) , за който cos BAC =

1 , е вписана окръжност с 5

радиус r = 1 cm. Намерете лицето на  ABC .

Вариант 1

3


23. Да се намери лицето на успоредник със страни 3 cm и 5 cm и ъгъл между диагоналите 45o . 24. Намерете номера n на най-големия член на редицата, зададена с формулата an 6n n 2 5 . 25. На една полица има 20 книги, като между тях са и два тома от събрани съчинения на един автор. Намерете вероятността, при случайно подреждане на книгите, двата тома да са един до друг.

Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. Да се намерят сборът и произведението на реалните корени на уравнението x2 1 x 1

2

9

x2 1 x 1

10 .

27. Иван е забравил паролата на компютъра на брат си. Той помни, че тя се записва само с първите две букви на азбуката и съдържа шест, седем или осем символа. Ако всеки път Иван опитва различна парола, то колко най-много опити може да направи той, за да открие паролата на брат си? 28. Даден е равнобедрен  ABC ( AC BC ). Построена е височината AK ( K BC ). Нека точката O е центърът на описаната около триъгълника окръжност. Да се намери S AOK , ако AB 6 , а BAC

C

75 . O K B

А

Вариант 1

4


ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± b 2 − 4ac ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) 2a b c Формули на Виет x1 + x2 = − x1 x2 = a a

ax 2 + bx + c = 0

x1,2 =

Квадратна функция

Графиката на y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 е парабола с връх точката (−

b D ;− ) 2a 4a

Корен. Степен и логаритъм 2k

2 k +1

a 2k = a

m n m a =an log a b = x ⇔ a x = b

nk

a 2 k +1 = a ;

a mk = n a m

log a a x = x

при k ∈

a = nk a ; при a > 0 , n ≥ 2 , k ≥ 2 и n, m, k ∈ a loga b = b ; при b > 0, a > 0, a ≠ 1 n k

Комбинаторика

Брой на пермутациите на n елемента:

Pn = 1.2.3... ( n − 1) n = n !

Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:

Vnk = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1)

Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk = Вероятност

P ( A) =

Vn k n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = Pk 1.2.3...(k − 1)k

брой на благоприятните случаи брой на възможните случаи

0 ≤ P( A) ≤ 1

Прогресии

Аритметична прогресия:

an = a1 + ( n − 1) d

Геометрична прогресия:

an = a1.q n −1

p ⎞ ⎛ Формула за сложна лихва: K n = K .q = K . ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ n

2a + ( n − 1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 a q − a1 qn −1 Sn = n = a1 ⋅ q −1 q −1

Sn =

n


Зависимости в триъгълник

1 1 ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 a + b − c a b a b 2 hc = a1.b1 r= sin α = cos α = tgα = cotgα = 2 c c b a 2 2 2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β Произволен триъгълник: a = b + c − 2bc cos α a b c c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ = = = 2R sin α sin β sin γ 1 1 2 Формула за медиана: ma = ( 2b 2 + 2c 2 − a 2 ) mb 2 = ( 2a 2 + 2c 2 − b 2 ) 4 4 1 mc 2 = ( 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) 4 a n Формула за ъглополовяща: = lc2 = ab − nm b m Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2

S=

Формули за лице

1 S = chc 2

1 ab sin γ 2 abc S = pr S= 4R S = ab sin α Успоредник: S = aha 1 Четириъгълник: S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr Триъгълник:

S=

S=

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Тригонометрични функции

α0

00

α rad

0

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

300

450

600

900

π

π

π

π

6 1 2

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

1

3 3

0

3 2 3 3 3

1 0


−α − sin α cos α − tgα −cotgα

sin cos tg cotg

900 − α cos α sin α cotgα tgα

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

tgα ± tg β 1 ∓ tgα tgβ sin 2α = 2sin α cos α 2tgα cotg 2α − 1 α tg2α = cotg2 = 2cotgα 1 − tg 2α tg (α ± β ) =

sin α + sin β = 2sin

α +β

cos

α −β

2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 1 sin α sin β = ( cos (α − β ) − cos (α + β ) ) 2 sin α cosβ =

1 ( sin (α + β ) + sin (α − β ) ) 2

900 + α cos α − sin α −cotgα − tgα

1800 − α sin α − cos α − tgα −cotgα

cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

cotgα cotgβ ∓ 1 cotgβ ± cotgα 2 2 cos 2α = cos α − sin α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α 1 1 sin 2 α = (1 − cos 2α ) cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2 2 cotg (α ± β ) =

sin α − sin β = 2sin

α −β 2

cos

α +β

2 α +β α −β cosα − cosβ = −2sin sin 2 2 1 cosα cosβ = ( cos (α − β ) + cos (α + β ) ) 2


МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО математика– 17 май 2010 г. ВАРИАНТ № 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

Верен отговор

Брой точки

Въпрос №

Верен отговор

Брой точки

2

26.

х1+х2+х3+х4=7 х1х2х3х4 = –18

15

В Г

2

27.

26 + 27 + 28 = 64 + 128 + 256 = 448

15

2

28.

Б Г Г А Б Б Г Б Г Г В Г Б В Б В А 8 3 6 cm 2 8 cm 2 n=3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

В

9 2

(

)

3 +1

15

3 3 3

P2 .P19 2!.19! 2.19! 1 = = = P20 20! 20.19! 10

3

Въпроси със свободен отговор

26. Критерии за оценяване на задача 26. x2 1. Полагане t = + 1, x ≠ 1 . x −1

(2 т.)

9


2. Получаване на квадратно уравнение спрямо t : t 2 − 9t − 10 = 0 с корени t1 = −1 и t 2 = 10 .

(2 т.)

x2 x2 3. Получаване на уравненията + 1 = −1 и + 1 = 10 , x −1 x −1 т.е. x 2 + 2 x − 2 = 0 и x 2 − 9 x + 9 = 0 .

(2 т.)

4. Нека x1 и x 2 са реалните корени на уравнението x 2 + 2 x − 2 = 0 ( D > 0, x1,2 ≠ 1) . Тогава x1 + x 2 = −2 и x1 x 2 = −2 .

(3 т.)

5. Нека x3 и x 4 са реалните корени на уравнението x 2 − 9x + 9 = 0

( D > 0, x

3,4

≠ 1) Тогава x3 + x 4 = 9 и x3 x 4 = 9 .

(3 т.)

6. Тогава x1 + x 2 + x3 + x 4 = −2 + 9 = 7 и x1 x 2 x3 x 4 = −2.9 = −18 .

(3 т.)

Забележка: За намерени само корените x1 , x2 , x3 и x4

(4 т.)

27. Критерии за оценяване на задача 27.

1. Всички шестсимволни пароли са 2.2.2.2.2.2 = 26 на брой

(4 т.)

2. Всички седемсимволни пароли са 2.2.2.2.2.2.2 = 27 на брой

(4 т.)

3. Всички осемсимволни пароли са 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 на брой

(4 т.)

4. Броят на всички възможности е 26 + 27 + 28 = 64 + 128 + 256 = 448

(3 т.)

28. Критерии за оценяване на задача 28.

 

1. Определяне на дължината на височината AK в правоъгълния + ABK , AK = 6sin 75° ( 2 т.) 2 3 +1 ( 3 т.) 2. Определяне на sin 75D = sin ( 45D + 30D ) = 4 3. Намиране на отсечката AO като радиус на описаната 1 AB окръжност около + ABC , AO = ( 3 т) =6 2 sin 30D

(

)

O  K B

А 

4. Обосновка, че + AOC е равнобедрен и )CAO = 15°

( 2 т.)

5. Определяне на мярката на (OAK = 45D 1 9 6.Определяне на S+ AOK = AO. AK sin (OAK = 2 2

( 3 т.)

(

)

3 +1

( 2 т.)

Забележка: Ако е прескочена стъпка 2 и лицето е изразено S+ AOK =

1 9 S+ AOK = 6.6.sin 75°.sin 45° = 9 ( cos 30° − cos120° ) = 2 2

(

)

3 +1

1 AO. AK sin (OAK 2 ( 5 т.)

10


2010.17.05 ДЗИ по математика