Отговори: 1 – в) ; 2 - г) 16 и 4 ;3 - б) ;4 – а) ; 5 – б) ; 6 - а); 7 – г) -3 и 1 ; 8 - б) ; 9 – в) ; 10 – б) ;11 - б) ; 12 – в) ; 13 –в) ; 14 – а) ; 15 – г) 14 и 20
Решения:
1зад. Построяваме височините DH и CM. От ∠D = 120° ⇒ ∠A = 60° и ΔAHD ≅ ΔBMC са правоъгълни с
∠30° .
1 AB − CD AB − CD и ако P и Q са средите на диагоналите, то PQ = AD =6см. АH = 2 2 2 ⇒ PQ = AH = 6см. ⇒ AH =
2зад. Ако първото число е x, а второто е 20- x , то ⇒ x 2 + (20 − x ) = 272 с корени x1 = 16 и x2 = 4 . 3зад. От ΔABC правоъгълен, ⇒ AB 2 = BC 2 + AC 2 , ⇒ BC = 8 см. Ако CN = x то AN = 8 − x и от AN .BC (8 − 3).6 6 x свойството на ъглополовящата ⇒ ⇒ x=3. ⇒ S ABN = = = 15 см 2 . = 2 2 8 − x 10 2
16 5 1 2 2 2 ; x1 .x 2 = − ⇒ B = x1 − x1 − x 2 + x 2 = (x1 + x 2 ) − ( x1 + x 2 ) + 2 x1 x 2 = − . 9 3 3 x + xy = 3 5зад. Системата добива вида 2 ⇒ y 2 = 4 ⇒ y1/ 2 = ±2 ⇒ x1 = 1; y1 = 2; x2 = −3; y 2 = −2 . y (x + xy ) = 12
4зад. x1 + x 2 =
6зад. Ако броят на всичките яйца е x, то червените яйца са
⇒
x , едноцветните са 2
8 .x 9
x 8 + .x + 1 + 1 = x 2 9
Корените на уравнението са , като x1 = 72 ,
x2 =
18 не е решение, защото не е цяло число, ⇒ x1 = 72 4
е решение. 1⎞ ⎛ 7зад. I сл.ако x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ ⇒ − 2.(1 + 2 x ) − 2 + x = 5 ⇒ x1 = −3 е решение; 2⎠ ⎝ ⎡ 1 ⎤ II сл.ако x ∈ ⎢ − ;2⎥ ⇒ 2.(1 + 2 x ) − 2 + x = 5 ⇒ x2 = 1 е решение; ⎣ 2 ⎦ 1 не е решение. 3 8зад. Тъй като за 1 час часовата стрелка описва ∠30° , то за 1 мин. – ∠0,5° , а минутната стрелка за 1 4 минута описва ∠6° . ⇒ x. 6° − 0,5° = 90° ⇒ x = 16 . Първоначално двете стрелки са били в 12 часа, то 11 4 4 за първи път образуват прав ъгъл след 16 минути ⇒ n.16 = 24.60 ⇒ n = 88 , но така се броят и 11 11 всички изправени ъгли, ⇒ n = 44 пъти двете стрелки образуват прав ъгъл.
III сл.ако x ∈ (2;+∞ ) ⇒ 2.(1 + 2 x ) + 2 − x = 5 ⇒ x3 =
(
)
9зад. Допустимите стойности са x 2 − 5 x + 6 ≥ 0 ;
⇒ x ∈ (− ∞;2] ∪ [3;+∞) .От уравнението x 2 − 5 = 0 ⇒
корените са x1 = 5 и x2 = − 5 , но x2 ∉ ДС ⇒ уравнението има 3 корена. 10зад. A =
a2 −1 a2 −1 − a
=
(a
(
a 2 − 1. a 2 − 1 + a 2
)(
)
−1 − a . a2 −1 + a
)
=
(
)
a 2 − 1. a 2 − 1 + a = − a 2 + 1 − a. a 2 − 1 ; 2 2 a −1− a
1⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 2. 2 + 1 ⎞ 1 3 3. 2 ⎟= a= ⎜ 2+ ; = ⇒ = − A . ⎟ = .⎜⎜ ⎟ 2. 2 2⎝ 4 2 2 2⎠ 2 ⎝ ⎠