ПРИМЕРНА ИЗПИТНА ТЕМА ПО МАТЕМАТИКА ЗА КАНДИДАТСТВАНЕ В СУ ‘СВ.КЛ. ОХРИДСКИ’ ПРЕЗ 2006г. Задача 1. Да се реши уравнението
3 2x − 1 2x + 1 − = . 2 x + 2 x + 1 x + 3x + 2 Задача 2. Да се реши уравнението
2x + 2 + x = 3 .
Задача 3. Даден е правоъгълен ΔABC с ∠ACB = 90 0 . Точките M и N са средите съответно на катетите BC и AC , като AM = 2 2 и BN = 17 . Да се намери лицето на ΔABC . Задача 4. Даден е ромб ABCD с ∠DAB = 60 0 . Точките M и N са средите съответно на страните BC и CD . Да се намери косинусът на ∠MAN .
(
)
Задача 5. Да се реши неравенството x + lg 5 x − 1 < x lg 2 + lg 20 . Задача 6. Да се намери първият член на аритметична прогресия, членовете на която са цели числа, ако сумата S6 на първите шест члена се отличава от сумата на следващите шест члена с не повече от 450, а сумата S5 е по-голяма поне с 6 както от S6 , така и от S 4 . Задача 7. В остроъгълен ΔABC с ортоцентър H окръжността, описана около ΔABH минава през средите на страните AC и BC и има радиус с дължина 2 . Да се намерят дължините на страните на ΔABC . Задача 8. Дадена е триъгълна пирамида ABCD . През върха A e построена равнина λ , успоредна на ръба CD , която пресича ръба BD в точка M . Да се намери отношението BM : DM , при което равнината λ разделя пирамидата на две части с равни обеми. Задача 9. Да се намерят стойностите на реалния параметър a , за които наймалката стойност на функцията f ( x) = 2 x 3 − 3ax 2 в интервала [0,1] е равна на найголямата стойност на f (x) в интервала [1,2] .
Задача 10. Нека a, b, c са реални числа, такива че уравнението ax 2 + bx + c = 0 има реални корени. Да се докаже, че ако α е такова реално число, че aα 2 + bα + c < a , то уравнението има корен в интервала (α − 1, α + 1) .
Скицирани решения на задачите от първата примерна тема
Задaча 1. Тъй като x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), уравнението има смисъл при x≠-1 и x≠-2 и е еквивалентно на 3(x + 1) - (2x - 1)(x + 2) - 2x - 1 = 0 или x² + x – 2 = 0, откъдето намираме x=1. Задача 2.
(2x + 2) + x =3 ⇒ 2x + 2 = (3 - x )2 ⇒ 6 x = 7 – x ⇒ 36x = (7- x)2 ⇒ x2 - 50x + 49 = 0 ⇒ x = 1 или x = 49. Проверката показва, че само x = 1 е решение на даденото уравнение.
Задача 3. C b N b
a M a
A
B
Означаваме катетите AC = 2b и BC = 2a. Тогава SABC = 2ab. От правоъгълните триъгълници AMC и BNC имаме: а2 + 4b2 = 8 b2 + 4a2 = 17 Оттук намираме: a = 2, b = 1 и следователно SABC = 4.
Задача 4.
N
D
C
M
А
B
Нека страната на ромба има дължина 2x. Тогава BM = MC = x. От ∠DAB = 60° следва, че ∠BCD = 60° и ∠ABC = ∠ADC = 120°. От триъгълниците MCN, ABM и AND намираме:
4 x 2 +x 2 +2 x 2 = x 7
MN = x , АМ = AN =
7 x 2 + 7 x 2 − x 2 13 = Сега от Δ AMN намираме cos ∠MAN = 14 14 x 2 Задача 5. x
Неравенството има смисъл при 5 – 1 > 0, т.е. при x > 0. То е равносилно с: x
x
x
lg10 + lg(5 -1) < lg2 + lg20, x
x
x
lg(10 (5 -1)) < lg(2 . 20), x
x
x
x
x
10X(5 -1) < 2 . 20, 5 (5 -1) < 20 (понеже 2 > 0). x
Полагаме 5 = y, y > 0 и достигаме до неравенството y² - y – 20 < 0, откъдето x
y < 5. От 5 < 5 получаваме x < 1. Тъй като x > 0, решенията на даденото неравенство са x ∈ (0,1). Задача 6.
Нека a1 и d са съответно първият член и разликата на прогресията. По условие: | S6 – (S12 – S6)| ≤ 450, S5 – S6 ≥ 6 и S5 – S4 ≥ 6. От първото неравенство получаваме |d| ≤ 25/2 или, понеже d е цяло число,
|d| ≤ 12 ⇔ -12 ≤ d ≤ 12; от второто a 6 ≤ -6; oт третото a5 ≥ 6. Тогава –12 ≤ d = а6 – а5 ≤ -6 - 6 = -12, откъдето d = -12, а5 = 6 и а6 = -6. Следователно a1= a5 – 4d = 54. Задача 7.
C
H 2α
M
N
2α
α А
B
Нека M и N са средите съответно на страните AC и BC. От свойството на 1 1 секущите имаме, че CM . CA = CN . CB ⇔ CA2 = CB2, откъдето CA = CB. 2 2 Следователно ABC е равнобедрен триъгълник. Нека ∠BAC = α. Тогава ∠ACB = 180° - 2α и ∠AHB = 180° - ∠ACB = 2α. От синусовата теорема за ΔABM, в който ∠ABM = ∠AHB = 2α, имаме
AM AB AB sin 2α AB . От друга страна = ⇔ = = 2 cos α . От тези sin 3α sin 2α AC 2 sin 3α AC равенства получаваме 2sin3α = sinα. Оттук, предвид sin3α = 3sinα-4sin3α, 5 3 15 намираме sinα= . Тогава cosα = и sin2α= . Накрая от синусовата 8 8 4 AB теорема за ΔABH пресмятаме AB= 15 и тогава AC = = 10 . 2 cos α
Задача 8.
D
M C А
N
B
Нека λ ∩ BC = N. Понеже λ || CD, to MN || CD. Пирамидите BMNA и MNCDA с връх А имат една и съща височина hA. Тогава VBMNA =
VMNCDA =
1 SBMN hA 3 1 SMNCD hA 3
От VBMNA = VMNCDA следва, че SBMN = SMNCD 1 SBCD 2 Но ΔBMN ∼ ΔBCD. Така, че
Тогава SBMN =
2
S BMN 1 ⎛ BM ⎞ = . ⎜ ⎟ = S BCD 2 ⎝ BD ⎠
Оттук
BM BM 1 = .и = 2 − 1. MD BD 2
Задача 9.
Да означим с m и M най-малката и най-голямата стойност на f(x) съответно в интервалите [0,1] и [1,2]. Имаме f ’(x) = 6x(x-a). Ако a ≤ 0, функцията е растяща и в двата интервала и m < M . Ako 0 < a < 1, то m = f (a) < f (1) < f (2) = M, т.е. отново m < M. Нека а ∈ [1,2]. Сега m = f (1), M = max {f (1), f (2)} и равенството m = M e 14 равносилно с f (1) ≥ f (2), откъдето а ∈ [ , 2]. 9 Накрая, при а > 2 имаме m = f(1) = M и условието е изпълнено. Следователно търсените стойности на а са: а ∈ [
14 , + ∞). 9
Задача 10.
Нека x1 и x2 са корените на уравнението: f(x) = ax² + bx + c = 0. Допускаме, че уравнението f (x) = 0 няма корени в интервала (α - 1, α + 1). Тогава: |x1- α | ≥ 1 и |x2 - α | ≥ 1. Следователно | f (α) | = | a(α – x1) (α – x2) | ≥ | a | Противоречие с условието.