ВИСШЕ СТРОИТЕЛНО УЧИЛИЩЕ “ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ” - СОФИЯ
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 20. 07. 2005 г. ПЪРВА ТЕМА Задача 1. а) Да се реши уравнението
5 log 2 (− x ) = log 2 (− x ) .
б) Да се намерят стойностите на реалния параметър m (m ≠ 3) , за които корените на уравнението
(3 − m )x 2 − 4mx − 5m = 0
удовлетворяват неравенството
2 2 + + x1 + x2 ≥ 0 . x1 x2 Задача 2. Дадена е функцията
f (x ) = x 2 −
1 x + cos 2 α , където α е реален sin α
параметър (α ≠ kπ ) . а) Да се реши уравнението f (1) + sin 2 α = 0 . б) Ако α =
π 6
, да се намерят интервалите на растене и намаляване и локалните
екстремуми на функцията g ( x ) =
f (x ) . x
Задача 3. Даден е равнобедрен триъгълник ABC с бедра AC = BC = a . Върху основата е взета вътрешна точка M , така че CM =
a и ∠MCB = 2∠MCA . Да се 2
намерят: а) косинусът на ∠ACB ; б) лицето на триъгълника. Задача 4. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM с основен ръб с дължина a и ъгъл между две съседни околни стени с големина ϕ . Да се намерят: а) обемът на пирамидата; б) радиусът на описаната около пирамидата сфера.
ПОЖЕЛАВАМЕ УСПЕХ НА ВСИЧКИ КАНДИДАТ СТУДЕНТИ!
ВИСШЕ СТРОИТЕЛНО УЧИЛИЩЕ „ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ” - СОФИЯ
РЕШЕНИЯ на задачите от конкурсния изпит по Математика, проведен на 20.07.2005 г. Задача 1. а) (2,5 точки) ДM:
x<0 −x > 0 x<0 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ ( −∞; − 1] . 0 log 2 ( − x ) ≥ 0 x ≤ −1 −x ≥ 2
5log 2 ( − x ) = ( log 2 ( − x ) ) ⇔ 5 − log 2 ( − x ) log 2 ( − x ) = 0 . Тогава, log 2 ( − x ) = 0 , т.е. x = −1 ∈ ДМ или log 2 ( − x ) = 5 , т.е. x = −32 ∈ ДМ. 2
4m −5m ; x1x2 = . 3− m 3− m Тъй като в условието на задачата не се иска корените на уравнението да са реални, не е необходимо да се разглежда D ≥ 0 . Лявата страна на неравенството има смисъл при x1 ≠ 0 и x2 ≠ 0 , т.е. при m ≠ 0 . 2 ( x1 + x2 ) 2 2 8m 4m 7m − 6 6 + + x1 + x2 ≥ 0 ⇔ + x1 + x2 ≥ 0 ⇒ + ≥0⇔ ≥ 0 ⇔ m ∈ ;3 . x1 x2 x1x2 − 5m 3 − m 5 (3 − m) 7 6 6 Като вземем предвид, че m ≠ 0 и m ∈ ; 3 , получаваме m ∈ ; 3 . 7 7
б) (2,5 точки) x1 + x2 =
Задача 2. 1 1 + cos 2 α ⇒ уравнението е 1 − + cos 2 α + sin 2 α = 0 ⇔ sin α sin α π α = + 2kπ 1 1 6 2− = 0 ⇔ sin α = ⇔ , k = 0,±1,±2,… 5π 2 sin α α = + 2kπ 6 б) (3 точки) 3 x2 − 2x + π 3 4 . ДМ за g ( x ) : x ≠ 0 . При α = ⇒ f ( x ) = x 2 − 2 x + ⇒ g ( x ) = 6 4 x 3 3 x1 = − 2 ( 2 x − 2) x − x2 + 2 x − 2 (критични точки). 4 = 4 x − 3 . Тогава g ′ ( x ) = 0 ⇔ g′ ( x) = 2 2 x 4x x = 3 2 2
a) (2 точки) f (1) = 1 −
+
+
+
+
-
+ −
3 2
-
0
-
+
+
+
+
3 2
3 3 ∪ и g ( x ) e строго Следователно, g ( x ) e строго растяща при x ∈ − ∞; − ; + ∞ 2 2 3 3 3 3 = − 3 − 2 и g min = g намаляваща при x ∈ − ; 0 ∪ 0; ; g max = g − 2 = 3 −2. 2 2 2
Задача 3. C
A
B
M
π а) (4 точки) Означаваме ∠МСА = γ ⇒ ∠МСВ = 2γ ; ∠АСВ = 3γ , γ ∈ 0; . 3
Тогава ∠МАС = 900 − АС
γ sin 900 + 2 cos
=
3γ γ ; ∠АМС = 900 + . По синусова теорема за ∆АМС ⇒ 2 2
MС 3γ sin 900 − 2
a
⇒
cos
=
γ 2
a 3γ 2 cos 2
⇒ cos
γ 2
= 2 cos
3γ ⇒ 2
γ
γ γ γ γ = 2 4 cos3 − 3cos ⇒ 8cos3 − 7 cos = 0. 2 2 2 2 2
Тъй като при cos
cos γ = 2 cos 2
γ 2
≠ 0 при
γ 7 γ 14 π ⇒ ∈ 0; ⇒ cos 2 = ⇒ cos = 2 8 2 4 2 6
γ
γ
3 9 − 1 = , откъдето намираме cos 3γ = 4 cos3 γ − 3cos γ = − . 2 4 16
б) (1 точка) S ABC
1 a2 a2 5 7 2 = AC.BC.sin 3γ = sin 3γ = 1 − cos 2 3γ = a . 2 2 2 32 Задача 4.
M
а) (3 точки) Построяваме равнина през DB, перпендикулярна на MC и означаваме прободната й точка с Р. Тогава
P D
C O
A
B
BP ⊥ MC ⇒ ϕ = ∠ ( BCM , DCM ) = ∠BPD . DP ⊥ MC 1 V = B.h, където B = a 2 , h = OM . Означаваме 3
γ = ∠OCМ . От ∆OPC ⇒ sin γ =
OP OP = . OC 2 a 2
OP ϕ a 2 ϕ = cotg ⇒ OP = cotg ⇒ OВ 2 2 2
Тъй като ∆ВDP e равнобедрен, oт ∆ВOP ⇒
sin γ = cotg
ϕ 2
; cos γ = 1-cotg 2
От ∆COM ⇒
ϕ
π , откъдето следва, че ϕ ∈ ; π . 2 2
cotg
OM a 2 = tgγ ⇒ OM = OC 2
1 2 Следователно, V = a3 3 2
cotg
ϕ 2
1 − cotg
2ϕ
ϕ 2
1 − cotg
=a
2ϕ
3
2 6
.
2 cos
ϕ
− cos ϕ π 2 , ϕ ∈ ; π . − cos ϕ 2
2
б) (2 точки) Радиусът R на описаната около пирамидата сфера е равен на радиуса на описаната около ∆АСМ окръжност. Центърът на описаната сфера е точка Q - пресечна точка на ОМ и симетралата на АМ. По синусова теорема за ∆АСМ следва, че 2 R =
OA = cos γ ⇒ AM = AM
a 2 2 1 − cotg
2ϕ
AM . Ho sin γ
. След заместване и преобразуване получаваме
2
R = −a
2 4
sin 2
ϕ 2
− cos ϕ
cos ϕ .cos
ϕ
π , ϕ ∈ ; π . 2
2
Оценката се формира по формулата: ОЦЕНКА=2+0,2.K, където K е броят на получените точки.