Bac Blanc N°2 de Mathématiques - Terminales S Lycée Laetitia Bonaparte Le candidat doit traiter les QUATRE exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 : Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». À la fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon « journaux » contient 3 fois plus de pièces de 1 € que celle du rayon « souvenirs ». Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40 % des pièces de 1 € dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8 % de celles du rayon « journaux » portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère »). 1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère. Pour cela, il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face étrangère. a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité qu'exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère. c. Calculer la probabilité qu'au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère. 2. Les pièces de 1 € issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac. On prélève au hasard une pièce du sac. On note S l'événement : « La pièce provient de la caisse souvenirs » et E l'événement « La pièce porte une face étrangère ». a. Déterminer P(S) , PS (E) = P(E / S) ; en déduire P(S ∩ E) . b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16. c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu'elle provienne de la caisse « souvenirs ». 3. Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16. Le collectionneur prélève n pièces ( n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise. Calculer n pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.
Exercice 2 : GG G L'espace est rapporté à un repère orthonormal O; i, j, k ; on considère les points A( 3, 0 ,10 ) , B( 0 , 0 ,15 )
(
)
et C( 0 , 20 , 0 ) . 1.a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( AB) . b. Montrer que la droite ( AB) coupe l'axe des abscisses au point E( 9 , 0 , 0 ) . c. Montrer que les points A , B et C ne sont pas alignés. 2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC . a. Montrer que la droite (BC ) est perpendiculaire au plan (OEH ) .
En déduire que (EH ) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC . b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH ) . c. Justifier que le plan ( ABC ) admet pour équation cartésienne : 20x + 9 y + 12 z −180 = 0 . ⎧ x=0 ⎪ ⎪ ⎪ d. Montrer que le système : ⎨⎪ 4 y − 3z = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩20x + 9 y + 12 z −180 = 0
a une solution unique. Que représente cette solution ? e. Calculer la distance OH , en déduire que EH = 15 et l'aire du triangle EBC . 3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC , déterminer la distance du point O au plan
( ABC ) . Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation obtenue en 2.c ?
Exercice 3 :
Soit la fonction définie sur ]0 ,+∞[ par :
f ( x) =
( ln x ) 2 . x
GG On appelle (C) la représentation graphique de f dans un repère orthogonal O,i, j du plan (unités
(
graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées). 1. Déterminer les limites de f en +∞ et en 0 . 2. Calculer f '( x) en fonction de x .
Montrer que f '( x) a le même signe que ln x ⋅ ( 2 − ln x) . Déterminer le sens de variation de f sur ]0 , +∞[ . GG 3. Tracer la représentation graphique (C) de f dans le repère O,i, j .
(
4. On pose pour tout p ≥ 1 , I p =
∫
1
e2
( ln x)p dx . x2
)
)
a. A l'aide d'une intégration par parties, calculer : I1 =
∫
e2
1
( ln x) dx . x2
b. Prouver, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier p supérieur ou égal à 1 :
I p+1
2 p+1 = − 2 + ( p + 1) ⋅ I p e
c. En utilisant les résultats précédents, calculer successivement I 2 , I3 et I 4 . d. On fait tourner autour de l'axe des abscisses l'arc de courbe constitué des points de (C), d'abscisses
comprises entre 1 et e 2 . Le point M de (C), d'abscisse x , décrit alors un cercle de rayon f ( x) . Calculer le volume du solide ainsi engendré, en unités de volume.
Exercice 4 :
1 est continue et strictement décroissante sur ]0,+∞[ . t 1 • la fonction t 6 ln t est la primitive de la fonction t 6 sur ]0, +∞[ qui s’annule en 1. t
Pré-requis : • la fonction t 6
N.B : On ne fera pas appel au calcul intégral pour traiter cet exercice.
Soit C la courbe représentative de la fonction H définie sur ]0, +∞[ par : H( x) =
{
1 . x
Pour tout t ∈ [1, +∞[ , on note S(t ) l’aire du domaine : D(t ) = M( x, y ) tels que 1 ≤ x ≤ t et 0 ≤ y ≤ (il s’agit de l’aire située entre l’axe (Ox) , l’hyperbole C et les droites d’équations x = 1 et x = t ) 1. Soit t ∈ [1, +∞[ . Démontrer que pour tout h > 0 : 1 S(t + h) − S(t ) 1 ≤ ≤ t+h h t
(on pourra interpréter et encadrer l’aire S(t + h) − S(t ) par celle de deux rectangles) Et pour tout h < 0 (tel que t + h reste strictement positif) : 1 S(t + h) − S(t ) 1 ≤ ≤ t h t+h
. 2. Etablir que la fonction S est dérivable au point d’abscisse t . Que vaut S'(t) ? 3. Soit f la fonction définie sur [1, +∞[ par : f (t ) = S(t ) − ln t . a. Montrer que f est une fonction constante. b. Calculer f (1) et en déduire que, pour tout t ∈ [1, +∞[ : S(t ) = ln t .
1 x
}