C. V. Ayala
Algoritmo de los polinomios de Bernoulli
La Plata – 1986
Algoritmo de los polinomios de Bernoulli
Los polinomios de Bernoulli se obtienen restando series consecutivas de igual potencia. Los polinomios de Bernoulli, que son polinomios de n grado p + 1 y que representa las sumas de las potencias enteras de grado p ≥ 0 de los n primeros números naturales, pueden obtenerse expresando dichas sumas mediante la siguiente notación:
n
1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) + n = ∑ k p = Bnp p
p
p
p
p
k =1
y las diferencias de las sumas de series consecutivas de igual potencia, como sigue:
n
∑ [k
p +1
]
− (k − k o ) p +1 = n p +1
k =1
Utilizando la ecuación anterior como ecuación generatriz, con los valores sucesivos de p a partir de p = 0, se obtienen de manera recurrente y tal como se muestra a continuación, todos los sucesivos polinomios de Bernoulli: n
B = ∑ k 0 = 10 + 2 0 + 30 + ... + n 0 0 n
k =1 n
∑ [k
1
]
− (k − k 0 )1 = n1
k =1
n
∑ [k − k + k ] = n 0
k =1
Bn0 = n
(a)
n
B = ∑ k 1 = 1 + 2 + 3 + ... + n 1 n
k =1 n
∑ [k
2
]
− (k − k 0 ) 2 = n 2
k =1
n
∑ [k
2
]
− (k 2 − 2kk 0 + k 0 ) 2 = n 2
k =1
n
∑ [k
2
]
− k 2 + 2k − k 0 = n 2
k =1
2 Bn1 − Bn0 = n 2
(b)
n2 + n B = 2 1 n
n
B = ∑ k 2 = 12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 2 n
k =1
n
∑ [k
3
]
− (k − k 0 ) 3 = n 3
k =1
n
∑ [k
3
]
− k 3 + 3k 2 − 3k + k 0 = n 3
k =1
3 Bn2 − 3 Bn1 + Bn0 = n 3
(c)
n 3 − n n 2 + n 2n 3 + 3n 2 + n B = + = 3 2 6 2 n
Las ecuaciones (a), (b), (c), ..., etc., que se obtienen a partir de la ecuación generatriz, bien ordenadas e igualadas a cero, forman el siguiente triángulo:
n − Bn0 = 0 n 2 − 2 Bn1 + Bn0 = 0 n 3 − 3Bn2 + 3Bn1 − Bn0 = 0 n 4 − 4 Bn3 + 6 Bn2 − 4 Bn1 + Bn0 = 0 --Este triángulo, cuya ley de formación se advierte fácilmente y cuyos coeficientes son los conocidos números de Tartaglia, contiene todas las sucesivas ecuaciones que permiten calcular todos los sucesivos polinomios de Bernoulli. Expresando los coeficientes mediante números combinatorios, las sucesivas ecuaciones de grado p = (1, 2, 3, ..., etc.) que forman el triángulo, representan el desarrollo de la siguiente diferencia de sumas: x≤ p
∑C
y≤ p p x
x =1
(x impar)
p− x n
B
−∑ C yp Bnp− y = n p y =2
(y par) César Victorio Ayala