U4 92-113
7/1/09
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Decimales finitos e infinitos Claudia estaba revisando las funciones de las teclas de su calculadora y descubrió que algunas fracciones se transformaban en números decimales con muchas cifras decimales. Observa: 3 = 0,3333333… = 0,3_ 4 = 0,26666...= 0,26_ 2 = 0,2857142857142… 9 15 7 33
0.33333 m-
m+
mr
mc
1 0
–
6
5
4
x
9
8
7
PARA DISCUTIR :
+
3
2 .
c
=
• ¿Qué significan los puntos suspensivos?, ¿y la línea sobre los números? • ¿Las cifras decimales de estos números son limitadas? • ¿Las partes decimales de cada número decimal tienen dígitos repetidos?, ¿qué cifra crees que seguiría a continuación en cada caso? • ¿A qué fracción corresponde 0,555555…? ¿Cómo se podría calcular? • ¿Todos los números decimales se podrían escribir como fracción? Cuando un número decimal tiene una cantidad limitada de cifras decimales, se llama número decimal finito. En un número decimal: • Se llama período a la o las cifras que se repiten infinitamente en la parte decimal, siguiendo siempre la misma secuencia. Se representa dibujando una línea sobre las cifras que lo conforman. • Se llama anteperíodo a la o las cifras que se encuentran entre la coma decimal y el período del número. Los números decimales que tienen anteperíodo se llaman semiperiódicos y los que tienen período, pero no anteperíodo se llaman periódicos. Ejemplos: 0,7222222…
D
4,565656...
el período es 2 y el anteperíodo 7 el período es 56 y no tiene anteperíodo.
ato interesante
En las calculadoras, algunos números periódicos parecen que no fueran periódicos, porque cambia una de sus cifras. Por ejemplo, 11 : 3 = 3,66…; sin embargo, al ingresarlo en una calculadora se obtiene el número 3,6666667, que solo tiene 7 cifras decimales, y además la última cifra es 7 en lugar de 6. Esto es porque en los números decimales la calculadora siempre aproxima la última cifra.
100 Unidad 4
Observa el siguiente desarrollo: Si x = 0,444444… entonces multiplicando por 10, se obtiene 10x = 4,444444… y se pueden restar: 10x = 4,444444… – x = 0,444444… 9x = 4,000000… luego, x = 4 9 ¿Es cierto? Compruébalo realizando la división entre 4 y 9 para escribir la fracción como decimal. Ahora, para escribir un número decimal periódico como fracción, el procedimiento es el siguiente: • Se escribe en el numerador: la resta entre el número decimal sin la coma y la parte entera del número. • Se escribe en el denominador: un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período. Por ejemplo: _ 1,3 = 13 – 1 = 12 = 4 18,16 = 1816 – 18 = 1798 9 9 3 99 99