GEOMETRÍA del ESPACIO Elías Irazoqui B. 1. Vectores. El concepto de vector es básico en varios temas de Matemáticas, como: el álgebra lineal y en el estudio de funciones de varias variables, por ejemplo y, da además, una motivación geométrica en todo lo que sigue, también muchos de los temas del álgebra lineal se pueden ver bajo esta óptica. Además, un hecho notable es que todos los enunciados que a continuación se verán no resultan más fáciles ni más difíciles si se tratan en el espacio de dos o tres dimensiones y, muchos de ellos, se pueden generalizar a más dimensiones. Comenzaremos abordando la definición de punto en el espacio.
Puntos en el espacio. Usamos un número para representar un punto de una recta, y vice versa. En el plano usamos un par de números como: ÐBß CÑ para represntar un punto de él. Lo que acabamos de afirmar se puede representar geométricamente como:
Usamos una terna de números como: ÐBß Cß DÑ para representar un punto del espacio, esto es, el espacio tridimensional, observamos entonces que vamos introduciendo más ejes para la representación de los puntos del espacio, según se considere.
Si en lugar de escribir ÐBß Cß DÑ para una terna del espacio de tres dimensiones escribimos: ÐB" ß B# ß B$ Ñß podemos de manera natural extender esta noción para puntos de más coordenadas como: ÐB" ß B# ß B$ ß B% Ñ y así sucesivamente como sería un punto de n-coordenadas, a saber: \ œ ÐB" ß B# ß B$ ß ÞÞÞß B8 Ñß
siendo "8" un entero positivo.
Obs. El ejemplo típico de un espacio de tres diemensiones es el espacio en el cual vivimos, así cualquier punto de él queda descrito por tres coordenadas. En el mundo económico podemos definir un punto del espacio que queramos considerar y en él sus coordenadas pueden ser los miles de dólares que, por ejemplo, una empresa gasta en cada uno de sus items que definen su gestión, así, podríamos definir un vector en el que sus coordenadas serían: Ð gastos de salarios, insumnos varios, comunicación, entradas, pérdidas,...etc.), esto suguire un vector como: Ð "Þ!!!Þ!!!ß %Þ!!!ß $%!ß #&Þ!!!Þ!!!ß $&!Þ!!! Ñ, el cual sería un punto del espacio de 5- dimensiones. El haber definido el concepto de punto nos permite operar con ellos, nos abocamos de inmediato a ello.
Operaciones con los puntos. 1. Definimos en primer lugar la suma de puntos del mismo espacio, a saber, si A y B son dos puntos del espacio de tres diemnsiones entonces ellos se suman del modo siguiente, a saber: Si E œ Ð+"ß +# ß +$ Ñß F œ Ð," ß ,# ß ,$ Ñ entonces: E F œ Ð+" ," ß +# ,# ß +$ ,$ Ñ Ejemplos: 1. En el espacio de dos dimensiones, si A =(1, -3) y B= (-1, 5), su suma es: A+B= (0, 2). 2. En el 3-espacio si A=(-2,0, 1/2) y B= (-3, 2, 1/2), entonces: A+B=(-5,2,1).
Obs. Si ahora tratamos con puntos de espacio de n-dimensiones su suma se entiende como: E F œ Ð+" ," ß +# ,# ß +$ ,$ ß ÞÞÞÞÞÞÞß +8 ,8 Ñ
Es fácil verificar que esta operación de suma satisface las siguientes propiedades: 1) 2Ñ 3) 4)
ÐE FÑ G œ E ÐF G Ñ EF œFE SEœES œE E Ð EÑ œ SÞ
Donde S œ Ð!ß !ß ÞÞÞÞÞÞÞÞ!Ñ
y
E œ Ð +"ß +#ß ÞÞÞÞÞÞß +8 Ñ
Todas estas propiedades resultan fáciles de probar y se dejan como ejercicio.
En el plano la suma de dos puntos tiene una representación gráfica que es la que se ilustra en la figura adjunta.
2. Multiplicación de un punto (A) por un número (c). Si c es cualquier número y A es un punto del espacio se define cA por: -E œ Ð-+" ß -+# ß -+$ ß ÞÞÞÞß -+8Ñ
Ejemplo. Suponga que A= (-2, 1) y c= #, entonces cA es: (%ß #)
Propiedades de esta operación. 1) -ÐE FÑ œ -E -FÞ
2) Si -" C -# son dos números, entonces: Ð-" -#Ñ E œ -" E -# E y Ð-" -# ÑE œ -" Ð-# EÑ
Obs. Ð "ÑE œ EÞ Graficamente esto se ilustra como:
Interpretación geométrica de la multiplicación por un número. Vemos esto mediante un ejemplo, si A= (2,1) y c=2, entonces cA equivale a dilatar el vector A por 2, si ahora c= -2 entonces cA es cambia de sentido al vector A. Esto que afirmamos se ilustra de manera gráfica del siguiente modo.
Vectores fijos (anclados)
→ Por un vector fijo entenderemos a un par ordenado de puntos como: EF , y su representación gráfica será una flecha que va desde A hasta B. El punto A → corresponde al punto inicial y B, es el punto final del vector fijo AB. La figura de abajo ilustra esto que afirmamos.
Del gráfico podemos inferir algebraicamente las expresiones siguientes: ," œ +" Ð," +"Ñ ,# œ +# Ð,# +#Ñß
y esto significa que:
F œ E ÐF EÑÞ
Definiciones. 1. Sean AB y CD dos vectores fijos, ellos se dicen equivalentes si: FEœHG Así, todo vector fijo AB es equivalente a un vector que tiene su punto inicial en el origen, esto es, AB Í O (B-A), graficamente la situación es:
Algunos ejemplos. Sean P=(1,2,3) y Q=(3,0,-1) dos puntos de espacio, entonces el vector PQ es equivalente al vector centrado en el origen OC, con C=Q P=(2,-2,-4). Si ahora A=(0, -1,3) y B=(2, -3,-1) entonces el vector PQ es equivalente al vector AB, pues UT œ F E œ Ð#ß #ß %Ñ
Un vector fijo en el origen como OP, esto es, que tiene su punto inicial allí está completamente determinado por su punto final P. Teniendo esto presente llamamos a una n-upla punto o vector del espacio de n-dimensiones, dependiendo de la interpretación que se tenga en mente.
Se dice que dos vectores AB y PQ son paralelos si existe un número - Á ! tal que FE œ -ÐUT ÑÞ además, ellos tienen la misma dirección si - !ß y tienen dirección opuesta si - ! ß lo que acabamos de expresar lo representamoso gráficamente en el siguiente dibujo.
→ 2. Dos vectores fijos como AB y PQ se dicen perpendiculares si sus vectores asociados anclados en el origen son perpendiculares, gráficamnte la situación es:
Obs. Si P= (3,7) y Q =(-4,2) por un lado y, por otro A = (5,1) y B= (-16,-14) entonces los vectores PQ y AB son paralelos pues Q-P = 1/3(B-A), además ambos vectores tienen la misma dirección dado que el factor c es positivo. Haga un dibujo que ilustre esta situación.
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EJERCICIOS.
1. En los casos siguientes determinar cuáles vectores fijos PQ equivalentes. a) P= (1,-1), Q= (4,3)à A= (-1,5), B œ Ð#ß *Ñ
y AB son
b) P = (1,-1,5) , Q = (-2,3,-4)à A= (3,1,1), B= ( 0,5,10) c) P = (-3,5), Q=( 1,4)à
A= (5,7), B = (1,8).
2. En lo que sigue determinar cuáles vectores fijos PQ y AB son paralelos. a) P=( -1,1), Q = ( -4,-3)à A = (-1,5), B= (7,1) b) P= (2,3,-4), Q = ( -1,3,5)à
A = (-2,3,1), B= (-11,3,-28).
Represente graficamente cada uno de los vectores considerados en los problemas anteriores de modo de clarificar mejor las situaciones que ellos describen.
Bibliografía. Lang, Serge ( 1990) . Cálculo. Addisosn -Wesley Iberoamericana, S. A.