Математика в школе by Sergey Antsupov

ISSN 0130-9358

Всероссийские съезды преподавателей математики Стоит ли сохранять формат ЕГЭ-2010 в 2011 году? У нас в гостях журнал «Математика для школьников»

Несомненно, самое важное событие этого учебного года для нашего школьного математического образования — это предстоящий Всероссийский съезд учителей математики в Московском государственном университете. И в номере нашего журнала, выходящем в преддверие съезда, конечно, мы представляем материалы, посвященные этому событию. Особый интерес представляет материал В. Бусева об истории съездов учителей математики России, начиная с тех, что проходили сто лет назад, в начале ХХ века. Немало тезисов из обсуждений и решений тех далеких съездов покажутся читателю сегодня не менее актуальными, чем столетие назад. Наверное, можно добрым словом накануне нового съезда вспомнить и конференции Российской ассоциации учителей математики, собиравшие самых активных наших учителей на рубеже 90-х, в бурные годы перестройки в Москве и Барнауле, Новгороде и Петрозаводске. Тогда голос учителей математики был слышен, и что-то благодаря этому на сложном переломе нашей истории удалось сохранить и удержать. Хотелось бы, чтобы нынешний съезд дал новый импульс развития и для самой Российской ассоциации учителей математики. Будем надеяться, что нынешний съезд даст возможность учителям из разных российских городов и сёл услышать наших ведущих ученых-математиков, поспорить о содержании и методике преподавания математики в школе, высказать свое профессиональное мнение об очередных проектах реформ и модернизаций нашего отечественного образования. На пленарных заседаниях и секциях предполагается обсудить новые стандарты образования, использование информационной среды в преподавании, соотношение математики и информатики, нравственное воспитание и развитие личности на уроках математики. Уверен, традиционно интересным должен стать разговор об углубленном и профильном изучении математики, о месте математических олимпиад и конкурсов в нынешнем образовательном пространстве, об учебниках, о новых разделах курса — вероятности, статистике, логике. Ну и конечно, как всегда острая дискуссия ждет нас на обсуждении проблем и перспектив ЕГЭ, ГИА и других систем контроля качества школьного математического образования. Конечно, в следующих номерах журнала мы ещё не раз вернемся к решениям и резолюциям съезда, к наиболее интересным выступлениям и докладам. И все-таки, главное — чтобы умный, трезвый, весомый голос нашего учительства, голос учителей математики был услышан, чтобы съезд стал событием не только для нас самих — учителей, ученых и методистов-математиков. Ведь уровень математического образования в школе имеет ключевое значение не для нас, а для объявленного курса на модернизацию, для развития интеллектуального и нравственного потенциала наших новых поколений. Евгений Бунимович, главный редактор журнала «Математика в школе», заслуженный учитель России, член программного комитета съезда

Министерство образования и науки Российской Федерации ООО «Школьная Пресса» Издается с мая 1934 г. Периодичность – 10 номеров в год

МАТЕМАТИКА в школе НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

9/2010

В НОМЕРЕ:

ХРОНИКА 3

Сергеев И.Н. О Всероссийском съезде учителей математики в МГУ

У НАС В ГОС ТЯХ 9

Златопольский Д.М. Музей истории вычислительной техники

О журнале «Математика для школьников»

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР 17

Левитас Г.Г. Образовательная технология при всеобуче

ТОЧКА ЗРЕНИЯ 24

Малышев И.Г. Стоит ли сохранять формат ЕГЭ-2010 в 2011 году?

ЭКЗАМЕНЫ 27

Солодов А.П. Единый государственный экзамен: первый набор

КОНС УЛЬТАЦИЯ 29

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Использование свойства ограниченности выражений с несколькими переменными при решении задач (окончание)

ОТКРЫТЫЙ УРОК 36

Анацко О.Э., Ханукович Е.М. Бинарный урок «Орнамент — математическое воплощение красоты»

ПРОБЛЕМЫ И С У Ж ДЕНИЯ 41

Самоненко Ю.А., Самоненко И.Ю. Математика в системе метапредметных знаний учащихся

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ 46

Мартин Гарднер Профессор, у которого не было ни одной стороны

Дворянинов С.В. Легенда о тридцати трех богатырях, или Как решить задачу С6 из ЕГЭ-2010

ВНЕ УРОКА 60

Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Терёшин Д.А. Квадратичная функция в задачах муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

ИЗ ИС ТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 67

Бусев В.М. Всероссийские съезды преподавателей математики: штрихи к портрету

ЗАДАЧИ 76 8 Читайте в следующих номерах журнала 26, 54 Математики шутят 28, 45 Требования к оформлению материалов 35 Хроника

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.

Г лавный редактор Е.А. Бунимович Заместитель главного редактора С.Н. Федин Научный консультант А.И. Верченко Редакционная коллегия: А.М. Абрамов, Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, С.В. Буфеев, В.А. Гусев, Б.Н. Кукушкин, И.Е. Малова, В.А. Петров, В.И. Рыжик, Е.А. Седова, А.Л. Семенов, С.А. Шестаков Редакторы: Е.В. Неискашова, Н.М. Карпушина, А.В. Жуков Отдел задач С.И. Токарев Выпускающий редактор Ж.С. Арутюнова Корректор И.И. Саможенкова Компьютерная верстка В.Н. Бармин ООО «Школьная Пресса» 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3 Телефоны: 619 - 52 - 87, 619 - 83 - 80, 619 - 52 - 89 (факс) E-mail: mathematics@schoolpress.ru

Журнал зарегистрирован Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77–33044 от 04 сентября 2008 г. Формат 84×108 /16 Тираж 12 000 экз. Изд. № 1927. Заказ Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени «Чеховский полиграфический комбинат» 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1 Сайт: www.chpk.ru. E-mail: marketing@chpk.ru Телефон 8 (495) 988-63-87. Факс 8 (496) 726-54-10 © ООО «Школьная Пресса» © «Математика в школе», 2010, № 9

Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.

ХРОНИКА

О ВСЕРОССИЙСКОМ СЪЕЗДЕ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В МГУ И.Н. Сергеев, МГУ (Москва), e-mail: in_serg@mail.ru Представлена информация о предстоящем в конце октября 2010 г. Всероссийском съезде учителей математики. Приводятся краткие исторические сведения о предыдущих съездах. Ключевые слова: Всероссийский съезд преподавателей математики, Всероссийский съезд учителей математики.

По инициативе ректора МГУ академика В.А. Садовничего Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова возрождает традицию проведения Всероссийских съездов учителейпредметников. В ближайшие годы в стенах МГУ пройдут съезды школьных учителей математики, физики, химии, биологии, географии, русского языка и литературы, истории, информатики, обществознания и иностранных языков. Всероссийский съезд учителей математики состоится 28–30 октября 2010 г. На нем пройдет широкое обсуждение состояния и перспектив развития школьного математического образования в России в контексте основных принципов Национальной образовательной инициативы «Наша новая школа». Подготовку съезда осуществляют Организационный и Программный комитеты, в состав которых входят представители ректората МГУ и целого ряда факультетов МГУ: механико-математического, вычислительной математики и кибернетики, физического, педагогического образования, дополнительного образования, 1*

государственного управления, а также специализированного учебно-научного центра (школы-интерната им. А.Н. Колмогорова). К подготовке съезда привлечены и представители некоторых других вузов и организаций, таких, как МИОО, МПГУ, МГПУ, МГОПУ им. М.А. Шолохова, МФТИ, РГПУ им. А.И. Герцена, АСУ, АдГУ и др.

Формат съезда Участниками съезда, прежде всего, будут учителя математики общеобразовательных и специализированных школ, а также специалисты по педагогике и методике преподавания математики. Кроме того, на съезд приглашаются руководители образовательных учреждений, представители органов управления образованием, учителя информатики, физики и других естественно-научных дисциплин. Работа съезда будет организована в виде пленарных заседаний, тематических секций и круглых столов, посвященных различным аспектам современного математического образования.

Математика в школе 9 / 2010

На пленарных заседаниях слово будет предоставлено выдающимся математикам, руководителям системы образования и известным педагогам – академикам и министрам, профессорам и школьным учителям. Круглые столы будут открыты для обсуждения самых злободневных и наболевших проблем реформы математического образования. Свободным микрофоном смогут воспользоваться практически все желающие. Более детальная и кропотливая работа предстоит участникам съезда на секциях, которые будут работать в параллельном режиме и в совокупности охватят практически все важнейшие вопросы и темы. Так что каждый участник съезда сможет выбрать секционный доклад в соответствии со своими интересами и вкусами. В перерывах между серьезными заседаниями участников и гостей съезда ожидают увлекательные выставки достижений математики и механики, презентации слайдов о математике и ее приложениях, книжные выставки издательств математической литературы, экскурсии, концерты и т.д. Участвовать в работе съезда можно будет в разных формах – как с докладом (и с публикацией тезисов выступления в специальном сборнике), так и без него. Дополнительная информация о проведении съезда размещается на официальном web-сайте по адресу http://math-congress2010.msu.ru.

Немного истории Учителя математики издавна испытывали потребность в широком общении для совместного обсуждения волнующих их вопросов и в прошлом уже не раз собирались для обсуждения государственных проблем:

• Первый Всероссийский съезд преподавателей математики состоялся на рождественских каникулах 1911–1912 гг. в Санкт-Петербурге; • Второй Всероссийский съезд преподавателей математики происходил на рубеже 1913–1914 гг. в Москве; • в сентябре 2000 г. в Дубне была проведена Первая Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков». Подробные материалы этих съездов и конференции можно найти на указанном выше сайте. Первый съезд собрал 1217 человек и поставил целью обсуждение следующих вопросов: 1) психологические основы обучения математике (активность, наглядность, роль интуиции и логики и т.п.); 2) содержание курса школьной математики с точек зрения: а) современных научных тенденций, б) современных запросов жизни, в) современных общепедагогических воззрений; 3) согласование программ математики средней школы с программами низшей и высшей школ; 4) вопросы методики школьной математики; 5) учебники и учебные пособия; 6) исторические и философские элементы в курсе математики средней школы; 7) рисование, лепка и ручной труд, как вспомогательные средства при обучении математике; 8) подготовка учителей математики. На съезде был заслушан 71 доклад, в том числе 47 докладов по методологии и методике преподавания математики. Не приводя полного текста резолюции Перво-

Хроника

го съезда, перечислим вкратце основные его решения (в нашей редакции). 1. Съезд признал необходимым: • поднять самодеятельность и активность учащихся, усилить наглядность преподавания, повысить логический элемент; • провести в преподавании математики идею функциональной зависимости и ознакомить учащихся с идеями аналитической геометрии и анализа, опустив некоторые вопросы второстепенного значения; • выработать задачники, включающие в себя данные из физики, космографии, механики и пр., составить хрестоматию, дополняющую и углубляющую обязательную программу.

ВНИМАНИЕ: ПОДПИСКА! ЖУРНАЛ

«МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» (5 номеров)

2. Съезд признал желательным реорганизовать преподавание в средней школе, допустив специализацию в старших классах, учитывающую индивидуальные способности учащихся и особенно их одаренность в математическом отношении. 3. Съезд признал необходимым, чтобы: • университет усилил свое преподавание для будущих преподавателей средней школы, а кандидаты в преподаватели получали специальную педагогическую подготовку, • для освежения подготовки учителей средних учебных заведений устраивались краткосрочные курсы и съезды, а библиотеки учебных заведений были снабжены необходимыми сочинения-

ВНИМАНИЕ: ПОДПИСКА!

Уважаемые читатели! Подписка на I полугодие 2011 г. по каталогу «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать» производится во всех отделениях связи до 30 ноября 2010 г. Подписную цену с учетом почтового сбора вы можете узнать в своем отделении связи.

Подписаться на журнал можно в издательстве «Школьная Пресса». Подписка в издательстве продлена до 30 декабря 2010 г. Подписная цена журнала включает стоимость доставки и составляет 750 руб.

Подписной индекс 70557

Условия подписки в издательстве: 1. Заполните бланк (помещен на обороте). 2. Оплатите подписку через Сбербанк РФ. 3. Пришлите копию квитанции об оплате в издательство.

Математика в школе 9 / 2010

ми, справочными изданиями и журналами. 4. Съезд признал желательным, чтобы педагогическим советам учебных заведений было предоставлено больше самостоятельности в деле распределения учебного материала по классам и в выборе учебных руководств. 5. Съезд поручил специальным комиссиям: • заняться тщательной и детальной обработкой высказанных на съезде общих пожеланий, проявляя осторожность во всех начинаниях, касающихся проведения их в жизнь, • изучить вопрос об экзаменах и письменных работах, ввиду его крайней серьезности и недостаточного обсуж-

ООО «Школьная Пресса» ИНН/КПП 7710301559/771501001 Сбербанк России г. Москва, Марьинорощинское ОСБ № 7981/1670 Р/с 40702810438050103814 К/с 30101810400000000225 БИК 044525225 Информация о плательщике Ф.И.О. Индекс, адрес Тел., e-mail Назначение платежа

Дата

«Математика в школе»

750 руб.

Подписка на I полугодие 2011 г.

Кассир Квитанция

Плательщик

Сумма

(в том числе 10% НДС)

(Подпись)

Дата

«Математика в школе»

750 руб.

Подписка на I полугодие 2011 г.

Кассир

Плательщик

Сумма

(в том числе 10% НДС)

(Подпись)

Подписка на I полугодие 2011 г.

БЛАНК ПОДПИСКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ

Извещение

дения на съезде, а также в силу неудовлетворительности современной постановки этого дела в средней школе и необходимости коренных в нем изменений. На Первом съезде было решено через два года созвать Второй съезд, который и состоялся, но оказался не таким масштабным: на нем было заслушано всего 32 доклада (в основном методического характера), а резолюцию, судя по имеющимся публикациям, он не принимал. Первая Всероссийская конференция, собравшая 309 участников, была посвящена обсуждению проблем математического образования в связи с переходом общества в следующий век. В принятых

Хроника

на Конференции документах (обращении и решении) отмечалось, в частности, следующее. 1. Математическое образование есть благо, на которое имеет право любой человек, и общество обязано предоставить каждому возможность воспользоваться этим правом. И в связи с этим не допустимо сокращение числа часов на преподавание математики ни в школе, ни в вузе. 2. Серьезное беспокойство вызывают недавние решения и проекты руководителей образования, и прежде всего, введение 12-летнего обучения и всеобщего тестирования как основного способа оценки знаний учащихся – они ведут к снижению уровня образования в России, таят угрозу для национальной безопасности страны. При внесении проектов законодательных и нормативных актов в области образования необходимо в обязательном порядке практиковать их обсуждение с привлечением Российской академии наук, Российской академии образования, научных обществ, школьной и вузовской общественности, средств массовой информации. 3. Престиж математики и математического образования нуждается в укреплении, чему будут содействовать: • общественная пропаганда математического знания, предоставление математикам, ученым и учителям эфирного времени и газетного пространства, • освоение математиками новых предметных областей приложений математики и активный обмен знаниями с коллегами, • возвращение традиционного для России высокого социального статуса профессии учителя, преподавателя вуза, ученого (в особенности, увеличение зарплат и пенсий).

Сравнительный анализ Список вопросов для обсуждения на Первом съезде довольно сильно отличается от списка секций предстоящего съезда, но в чем-то они, конечно, и перекликаются. 1. С одной стороны, сегодня как будто не так актуальны «рисование, лепка и ручной труд, как вспомогательные средства при обучении математике» – мы живем в другом веке, и нас в большей степени волнуют «информатизация образования», «математические олимпиады и конкурсы». Часть идей Первого съезда уже воплощена в жизнь: в современной школе изучается понятие функции, преподаются элементы математического анализа и аналитической геометрии, а специализация в старших классах стала обычным делом. 2. С другой стороны, многие вопросы, хотя и зазвучали по-новому, но по существу волнуют нынешних преподавателей не меньше, чем век назад: • содержание курса школьной математики – в секции организационной и информационной поддержки математического образования, • согласование программ математики средней, низшей и высшей школ, вопрос об экзаменах и письменных работах – в секции непрерывного математического образования, • методика преподавания школьной математики, учебники и учебные пособия, подготовка учителей – в секции преподавания математики. 3. Далее можно заметить, что список вопросов Первого съезда составлен, так сказать, в весьма позитивном ключе: в нем чувствуется тогдашняя уверенность в завтрашнем дне – благодаря ей на съезде можно было спокойно рассматривать, скажем, «исторические и философские элементы в курсе математики средней школы».

Математика в школе 9 / 2010

Напротив, материалы Первой конференции буквально пронизаны крайней тревогой, возникшей в обществе на рубеже веков в связи с сокращением часов математики в школе, перед угрозой рискованных образовательных нововведений (12-летнего обучения и всеобщего тестирования), из-за падения престижа математического образования и т.д. Некоторая неопределенность ощущается (и похоже, неслучайно) также и в списке вопросов предстоящего съезда: «состояние и перспективы развития математического образования», «программы и образовательные стандарты», «проблемы и перспективы ЕГЭ и ГИА»… 4. Наконец, и на Первом съезде (акку-

ратно), и на Первой конференции (более настойчиво) отмечалась недопустимость резких изменений в системе образования – да только все напрасно. В течение по крайней мере двух последних десятилетий российскую образовательную систему продолжает лихорадить от постоянных реформ: далеко не всегда продуманных и взвешенных, недостаточно апробированных, принимаемых скоропалительно и кулуарно, без широкого общественного обсуждения. Очередным и, смеем надеяться, существенным шагом в направлении стабилизации математического образования как раз и призван стать созываемый в МГУ Всероссийский съезд учителей математики.

ЧИТАЙТЕ В СЛЕДУЮЩИХ НОМЕРАХ ЖУРНАЛА: Тихомиров В.М.

О математике и ее преподавании

У одного из крупнейших математиков прошедшего века – Израиля Иоисеевича Гельфанда (1913–2009) – в детстве и юности было много необычного, непохожего на то, как протекали ранние годы у большинства знаменитых ученых. «Я родился в маленьком городке, – рассказывал как-то Гельфанд, – в котором была лишь одна школа. […] Мои родители не имели возможности покупать мне математические книги – у них не было средств для этого. Но мне повезло. Когда мне было 15 лет, родители повезли меня в Одессу делать операцию аппендицита. Я сказал, что не пойду в госпиталь, если они мне не купят книгу по математике». И книга была куплена. Это был очень ординарный учебник по анализу. Но он радикально изменил представление пятнадцатилетнего юноши о математике. Перед тем он думал, что существуют две различные математики: алгебра и геометрия. Но когда он увидел формулу Маклорена, он осознал, что между этими науками нет пропасти: «Математика предстала передо мной в своем единстве. И с той поры я понял, что разные области математики вместе с математической физикой образуют единое целое». Александр Геннадиевич Курош – крупный ученый и замечательный лектор – обычно на первой лекции студентам первого курса говорил следующее: «Вам придется забыть все, чему вас учили в школе». В статье обсуждаются такие вопросы: • Зачем и кому нужна математика и что может быть привлекательного в ней? • Действительно ли математика едина? • Возможно ли единство в преподавании математики?

У Н А С В ГО С Т Я Х

МУЗЕЙ ИСТОРИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ Д.М. Златопольский, МГПУ (Москва), e-mail: zlato@orc.ru В статье дана краткая информация о музее истории вычислительной техники, созданном в гимназии № 1530 города Москвы. Перечислены разделы его экспозиции и описан ряд наиболее интересных экспонатов. Ключевые слова: история вычислительной техники, музей, счеты, арифмометр, детали ЭВМ.

В гимназии № 1530 г. Москвы создан музей истории вычислительной техники. Основные разделы его экспозиции: • простейшие вычислительные средства (коллекция русских счетов, китайские счеты «суаньпань», японские счеты «соробан», палочки Непера и др.); • первые вычислительные машины (информация о них); • логарифмические линейки и круги (более 30 видов, в том числе имеется один экспонат XIX века); • арифмометры (экспонируются более

10 видов, в том числе полуавтоматические и автоматические; имеется арифмометр Однера, изготовленный в конце XIX века); • отечественные калькуляторы (более 80 моделей); • детали ЭВМ I–III поколений, среди них: – носители информации: перфоленты и перфокарты, а также устройства для работы с ними (перфоратор, фотосчитыватель и др.); – первые магнитные носители: маг-

Рис. 1. Общий вид музея 2

Математика в школе № 9

нитные ленты, магнитные карты, магнитная проволока, жесткие магнитные диски, гибкие магнитные диски диаметром 8 дюймов и др.; – первый лазерный диск; – клавиатуры; – элементы памяти и другие детали ЭВМ БЭСМ, «Минск», «Наири», «Урал», ЕС и др.; • разные вычислительные устройства (счислители Куммера, арифметические линейки, аддиаторы и т.п.); • специализированные вычислительные устройства (для электротехнических и гидротехнических расчетов, авиационные, библиотечные, для использования в металлургии, сельском хозяйстве и т.п.); • отечественные персональные компьютеры (представлены более 20 моделей: «Искра», «Агат», БК, «Спектр», «Корвет», «Микроша», «Поиск» и др.); • вычислительные таблицы (в том числе 6-, 7- и 8-значные; есть таблицы 1885 и 1911 годов издания). В музее имеется опубликованный доклад, который в 1876 г. известный русский математик Владимир Яковлевич Буняковский сделал на заседании Императорской академии наук. В докладе Буняковский описал изобретенное им вычислительное устройство, которое он назвал «самосчеты». Отдельный стенд посвящен академику Сергею Алексеевичу Лебедеву и созданным под его руководством ЭВМ серии БЭСМ («Большая электронно-счетная машина»). Отличительное особенностью музея является наличие ряда экспонатов в открытом доступе, где их можно взять в руки и даже поработать на некоторых из них. Конечно, в журнальной статье невозможно описать большое число экспонатов (их общее количество более 350), поэтому расскажем лишь о нескольких из них.

Математика в школе 9 / 2010

На рисунках 2 и 3 показаны соответственно старинные китайские и японские счеты Те читатели, которые помнят, как пользоваться русскими счетами, знают, что при вычислениях на них имеются две «проблемы». Первая связана с переносом единицы в старший разряд при сложении. Так, если в каком-то разряде было отложено, например, 7 косточек, то для того чтобы добавить к ним 8, необходимо добавить одну косточку в старший разряд, а из данного вычесть две. Вторая проблема связана с заимствованием единицы из старшего разряда при вычитании. Например, если в каком-то разряде было отложено, например, 3 косточки, то для того чтобы вычесть из них 6, необходимо вычесть 1 в старшем разряде, а в данном — добавить 4.

Рис. 2. Китайские счеты (суаньпань). Отложено число 627

Рис. 3. Японские счеты (соробан). Отложено число 638

У нас в гостях

В то же время уже с середины XIX века существовал счетный прибор, в котором эти операции (перенос и заимствование единицы) осуществлялись автоматически. Он был изобретен в 1846 г. петербургским учителем музыки (!) Генрихом Куммером. В музее имеется «современный» (изготовленный в 70-х гг. ХХ в.) вариант такого прибора (см. рис. 4). Рис. 5. Арифмометр Однера, изготовленный в конце XIX в.

На рисунке 6 показан ламповый триггер — устройство для хранения одного бита информации. Он применялся в ЭВМ БЭСМ-1 1953 года выпуска (всего в этой ЭВМ было использовано 5000 ламп). В нижней части фотографии представлена также оперативная память современных персональных компьютеров вместимостью десятки миллиардов бит. Эти два экспоната наглядно иллюстрируют прогресс в развитии электронных вычислительных машин.

Рис. 4. «Современный» вариант так называемого «счислителя Куммера»

Как уже отмечалось, в музее экспонируются арифмометры — механические вычислительные устройства для умножения многозначных чисел. Интересно, что на них результат мог быть 13-значным, что, как правило, невозможно на современных калькуляторах. Наибольшее распространение получили арифмометры системы Однера. Один из вариантов арифмометра, изготовленный при жизни его изобретателя, родившегося в Швеции, но всю жизнь прожившего в России, Вильгодта Теофиловича Однера, имеется в музее (см. рис. 5). 2*

Рис. 6. Ламповый триггер и оперативная память современного персонального компьютера

Музей регулярно посещают учащиеся средних школ и вузов Москвы и Московской области, а также люди старшего возраста, многие из которых испытывают ностальгические чувства при виде некоторых экспонатов. Конечно, организаторы музея будут рады видеть в нем и участ-

Математика в школе 9 / 2010

ников Всероссийского съезда учителей математики. Более подробная информация о музее истории вычислительной техники имеется в Интернете по адресам www.museum.ru/ m2744 и www.victorproffessor.livejournal. com/128295.html.

О ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ» Еще один наш сегодняшний гость — журнал «Математика для школьников», выпускаемый издательством «Школьная пресса» с 2004 года. Издание объемом 64 страницы выходит 4 раза в год и предназначено для школьников старших и средних классов, а также учителей математики. Разнообразные, написанные интересно и популярно материалы, публикуемые в журнале, помогут ученикам полюбить математику, разобраться в ее тонкостях и узнать о неожиданных приложениях царицы наук. Постоянные рубрики журнала: Советы к уроку — простые и понятные дополнения к школьному курсу математики, позволяющие хорошо ориентироваться в предмете; Академия математики — подробно изучаются наиболее важные вопросы школьной математики и подготовки к ЕГЭ; Проверь себя — помимо традиционного задачника, в котором каждый раз представляются новые задачи и подробно разбираются предыдущие, в этой рубрике публикуются статьи, посвященные

различным олимпиадам и конкурсам, а также предлагаются каверзные задачки для самопроверки; Клуб юных математиков — в этом разделе журнала, предназначенном для школьников 5–9 классов, можно встретить увлекательные математические головоломки и истории, которые вряд ли оставят кого-либо равнодушным; здесь же проводится конкурс «Эврика» с призами для победителей; в этом конкурсе предлагаются самые разнообразные и нестандартные задачки; Неожиданная математика — занимательные и поучительные рассуждения о приложениях математики в других областях: искусстве, технике и т. д. В качестве иллюстрации приводим условия задач очередного тура конкурса «Эврика!» (включиться в него можно в любой момент!) и статью А.С. Зеленского, в которой приводится обсуждение и несколько способов решения задачи из рассказа А.П. Чехова «Репетитор» из последних номеров журнала. Электронный адрес редакции журнала «Математика для школьников»:

mathematics@schoolpress.ru

У нас в гостях

КОНКУРС «ЭВРИКА!» Мы продолжаем конкурс решения задач, предназначенный прежде всего для учащихся 5–9 классов. Победители будут награждены специальными призами. Решения задач этого тура нужно присылать до 1 января 2011 года. В письме сообщите свои фамилию, имя, класс и номер школы, в которой вы учитесь, и присылайте все на адрес редакции: 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3, с пометкой «Эврика!» (или же присылайте решения в формате «.doc» на электронный адрес: mathematics@schoolpress.ru). Присоединиться к нашему конкурсу можно с любого тура. Удачи!

Задания второго тура 7. Настя загадала одно из чисел: 1, 2 или 3. Костя хочет его отгадать. Ему разрешается задать Насте один вопрос, на который девочка правдиво отвечает «да», «нет» или «не знаю». Какой вопрос следует задать Косте, чтобы, получив на него ответ, однозначно определить число, задуманное Настей? 8. В названии школьного математического кружка Ваня заменил каждую букву одной из двух соседних с ней в алфавите (например, б — на а или в, в — на б или г; при этом а заменяется на б или я, я — на ю или а). Затем в полученной записи Ваня каждую букву заменил на ее номер в алфавите с 1 до 33 и получил такую последовательность цифр: 3221991333. Как называется Ванин математический кружок? С. Дворянинов

9. Из цифр 1, 3, 4 популярного приближения 3,14 числа π можно составить равенства: 1 = (4 – 3) × 1; 2 = 4 – 3 + 1; 3 = 3 × 14; 4 = 4 × 13; . . .

Продолжите этот ряд как можно дальше, выражая последовательные натуральные числа с помощью цифр 1, 3, 4 и соблюдая указанные ниже правила. 1) В каждом равенстве должны быть использованы по одному разу все три цифры 1, 3, 4. 2) Разрешается использовать скобки и следующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение квадратного корня, факториал. (Факториалом натурального числа n (обозначается n!) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1 × 2 × 3 × … × n). Л. Штейнгарц

10. Матроскин и Шарик каждое утро бегают на речку умываться. Они выбегают из дома одновременно и двигаются по одной и той же тропинке. Скорость каждого из них постоянна, но Матроскин бежит в 3 раза быстрее Шарика, моется же Матроскин в 2 раза дольше, чем Шарик. Однажды Шарик, прибежав к речке, обнаружил, что не взял с собой полотенце. Он тут же помчался домой, схватил полотенце и вернулся к речке как раз в тот момент, когда Матроскин закон-

Математика в школе 9 / 2010

чил умываться (бежал Шарик по той же тропинке и с той же скоростью, что и каждое утро). Кто обычно прибегает домой раньше — Шарик или Матроскин — или они прибегают домой одновременно? В. Каскевич

11. Исследуйте возможный вид всех выпуклых четырехугольников, обладающих следующим свойством. Если с помощью прямолинейных разрезов каждый такой четырехугольник разделить на три треугольника, то среди

них обязательно найдется хотя бы один прямоугольный. В. Произволов

12. Учитель написал на доске пять различных простых чисел. Второклассник Коля сложил два из них и получил сумму 18. Третьеклассник Вася вычислил сумму трех чисел — она оказалась равна 29. Четвероклассник Петя нашел сумму четырех чисел — получилось тоже 29. Какова сумма всех пяти чисел? И. Акулич

А.С. Зеленский

ПОМОЖЕМ ГОРЕ-РЕПЕТИТОРУ Увлекательное обсуждение задачи из рассказа А.П. Чехова «Репетитор». Приводится сразу несколько способов решения, в том числе позабытое «правило ложного положения».

Многие из вас наверняка читали рассказ А.П. Чехова «Репетитор». А арифметическую задачу, которая там встречается, пробовали решать? Если нет, попробуйте! «… — Ну-с, — обращается он к Пете, — к следующему разу по-латыни возьмете то же самое. Теперь по арифметике... Берите доску. Какая следующая задача? Петя плюет на доску и стирает рукавом. Учитель берет задачник и диктует: — “Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?” Повторите задачу. Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.

— Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайтека я разделю! Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает. “Странно... — думает он, ероша волосы и краснея. — Как же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая”... Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63. “Гм!.. странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то”. — Решайте же! — говорит он Пете. — Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! — говорит Удодов Пете. — Экий ты дурак, братец! Решите уж вы ему, Егор Алексеич.

У нас в гостях

Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет. — Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, — говорит он. — Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я, вот, разделил... понимаете? Теперь, вот, надо вычесть... понимаете? Или, вот что... Решите мне эту задачу сами к завтраму... Подумайте... Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол. — И без алгебры решить можно, — говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая. — Вот, извольте видеть... Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было. — Вот-с... по-нашему, по-неученому. Учителю становится нестерпимо жутко. С замиранием сердца поглядывает он на часы и видит, что до конца урока остается еще час с четвертью — целая вечность!...»

Мы не сомневаемся, что эту задачу вы решите быстрее, чем чеховский герой — «горе-репетитор», гимназист 7-го класса Егор Зиберов. Но, тем не менее, советуем почитать и сравнить приведенные ниже решения. Какое из них вам понравилось больше? Кстати, для любо1 сажени, или пытных: 1 аршин равен 3 4 пяди, или 16 вершков, что составляет примерно 71,12 сантиметров.

⎧x + y = 138 ⎨ ⎩3x + 5 y = 540. Решать ее можно по-разному. Можно из первого уравнения выразить у = 138 – х и подставить во второе (этот метод решения систем называется «метод подстановки»). Получим: 3х + 5 ⋅ (138 – – х) = 540. Теперь остался только счет: 3х + 690 – 5х = 540; 2х = 690 – 540; х = 75. Поэтому у = 138 – 75 = 63. О т в е т: 75 аршин черного сукна; 63 аршина синего. 2. А можно с приведенной выше системой поступить по-другому. Если из второго уравнения системы вычесть утроенное первое, получим: 3х + 5у – 3х – 3у = = 540 – 3 ⋅ 138. Поэтому 2у = 540 – 414 = = 126, у = 63 и х = 138 – 63 = 75. 3. Можно обойтись и без системы. Пусть купец купил х аршин черного сукна. Тогда по условию синего сукна он купил (138 – х) аршин. За все сукно купец заплатит х ⋅ 3 + (138 – х) ⋅ 5 = = 540 рублей. Отсюда, так же как и в предыдущем случае, находится х.

Арифметические подходы

Алгебраические подходы

4. А теперь решение «без алгебры». Если бы купец заплатил за все сукно по 3 рубля за аршин, то стоимость сукна была бы равна 138 ⋅ 3 = 414 рублей. «Переплата» в 540 – 414 = 126 рублей образовалась из-за того, что за каждый аршин синего сукна он платил на 2 рубля больше. Поэтому синего сукна было 126 : 2 = 63 аршина. Значит, черного сукна он купил 138 – 63 = 75 аршин.

1. Решение «с иксом и игреком». Пусть купец купил х аршин черного сукна и у аршин синего. Тогда х + у = 138 и 3х + 5у = 540. Получается система двух уравнений с двумя неизвестными:

5. Почти аналогичное решение. Если бы все сукно стоило 5 рублей за аршин, то купец заплатил бы за него 138 ⋅ 5 = = 690 рублей. Он «сэкономил» 690 – 540 =

Математика в школе 9 / 2010

= 150 рублей. Экономия составила по 2 рубля на каждый аршин черного сукна. Значит, черного сукна он купил 150 : 2 = 75 аршин. Поэтому синего было 138 – 75 = 63 аршина. И еще один арифметический способ. 6. На 540 рублей можно купить 540 : 5 = = 108 аршин сукна по 5 рублей. Если остальные 138 – 108 = 30 аршин стоят по 3 рубля, то получается «перебор» в 30 ⋅ 3 = 90 рублей. При этом общее количество аршин будет то, которое дано в условии. Поэтому нужно заменить какое-то количество аршин сукна по 5 рублей на сукно по 3 рубля. Чтобы ликвидировать разницу в 90 рублей, нужно заменить 90 : 2 = 45 аршин. Поэтому купец купил 108 – 45 = 63 аршин синего сукна и 30 + 45 = 75 аршин черного.

Правило ложного положения Все предыдущие способы так или иначе «проходятся» в школе. Расскажем еще об одном способе, который в школе сейчас не проходится, но ранее (примерно до сороковых годов прошлого столетия) содержался в школьной программе. Этот прием решения линейных уравнений называется «правило ложного положения». Неизвестное здесь определяется «на глаз», затем проверкой оценивается ошибка и на основе этой оценки ответ исправляется. Проиллюстрируем сказанное. 7. Пусть было куплено 60 аршин черного сукна (число 60 — повторимся —

взято здесь, по сути дела, «с потолка»). Тогда синего сукна будет 138 – 60 = 78 аршин. На эту покупку будет затрачено 60 ⋅ 3 + 78 ⋅ 5 = 570 рублей. Эта сумма на 30 рублей больше данной в условии. Значит, черного сукна (более дешевого) реально было больше. При этом увеличение количества черного сукна на 1 аршин (при одновременном уменьшении на 1 аршин количества синего сукна) вызывает уменьшение общей стоимости купленного сукна на 2 рубля. Значит, для того чтобы уменьшить на 30 рублей сумму покупки, нужно взять черного сукна на 30 : 2 = 15 аршин больше, а синего на 15 аршин меньше. Поэтому черного сукна будет 60 + 15 = = 75 аршин, а синего — 78 – 15 = 63 аршина. Вот такое решение! Главная идея этого метода в том, что вместо «стартового» числа 60 можно было взять другое: 70, 20, 0 и т.д. Заметим, что изложенные выше решения 4, 5 и 6 по сути тоже являются частными случаями «правила ложного положения». И, скорее всего, именно с помощью этого правила нашел ответ на счетах родитель Пети Удодова. Этот прием известен еще со времен древних египтян. Рассматривался он и в старинном русском учебнике «Арифметика» Л.Ф. Магницкого под названием «фальшивое правило». Интересно, что из этого приема берет свое начало современный «метод линейного интерполирования» – популярный метод приближенного вычисления корней уравнения f (x) = 0.

М Е ТО Д И Ч Е С К И Й С Е М И Н А Р

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРИ ВСЕОБУЧЕ Г.Г. Левитас, АГУ (Астрахань), e-mail: gglevitas@gmail.com В статье рассказывается об образовательной технологии, позволяющей «всем учителям учить всех», приводятся полезные для рядового учителя советы, как вводить новый материал, как проводить закрепление уже изученного и т.д. Ключевые слова: образовательная технология, классно-урочная система, всеобуч.

В нашей стране около полутора миллионов учителей, в том числе не менее двухсот тысяч учителей математики. Многие из них – настоящие мастера своего дела. Но подлинного всеобуча добиваются далеко не все. А ведь его добивался в своей Яснополянской школе Л.Н. Толстой, а из ныне живущих – Р.Г. Хазанкин, В.Ф. Шаталов. Они доказали, что всеобуч осуществим, что разговоры о неспособности детей превзойти школьную математику – утешение неумелых. Но вот как достичь умения это делать – великие не сказали. Каждый из них действует силой и возможностями своей могучей личности. Остальные же – и часто даже сильные – учителя со всеобучем не справляются, жалуются на нежелание детей учиться, ставят тройки вместо двоек: нельзя же наказывать детей за то, что мы не умеем заинтересовать и научить их! В результате получается ложь, а никакой полноценной воспитательной работы на лжи не построишь. Так что научить всех учителей учить всех – это необходимое условие не только учебной, но и воспитательной работы школы. 3

Математика в школе № 9

На помощь может прийти образовательная технология. Если учитель не знает сам, как осуществить подлинный всеобуч, мы должны ему сказать: делай так, и ты получишь необходимые средние результаты. А там, быть может, на этой основе создашь свою высококачественную систему обучения и станешь настоящим хорошим учителем. Такая технология нами разработана*, и я хочу здесь о ней рассказать. Важной особенностью этой технологии является ее доступность и легкость осуществления. Эта легкость обеспечивается соответствующими средствами обучения, используемыми в учебном процессе. Отсутствие этих учебных средств, как правило, служит препятствием для внедрения нашей технологии в повсеместную практику. Но в наше время это препятствие легко устранимо. Если учитель нуждается в тех или иных материалах для указанной работы, он может обратиться ко мне по телефону 8 (495) 314-51-83 или по электронной почте: gglevitas@gmail.com. * Мы – это Е.Б. Арутюнян, М.Б. Волович, Ю.А. Глазков и автор этих строк.

Материалы будут предоставлены безвозмездно. Сразу договоримся: речь идет только о классно-урочной системе, ведь подавляющее большинство школ работает именно так. С чего начать такое обучение учителя? Конечно, с анализа учебного процесса, его составляющих. При классно-урочном обучении такой составляющей принято считать урок. Не случайно анализу урока посвящена целая литература. В многочисленных трудах рассмотрены особенности урока математики, выдвинуто требование сделать каждый урок обучающим, насыщенным собственной деятельностью учеников. А чтобы понять, как этого добиться, сделаны многочисленные попытки классифицировать уроки по отдельным видам и на этой основе выработать рекомендации по их проведению. И вот читаем: уроки бывают такого типа, такого типа и смешанные, уроки бывают такие, такие и другие. А когда идем на уроки, то видим, что почти не бывает уроков ни такого типа, ни такого, а только смешанные или только «и другие». Исключений почти нет, разве что верно выделен тип урока с контрольной работой. Сегодня можно смело утверждать, что идея усовершенствования учебного процесса на основе систематизации типов уроков оказалась неконструктивной. Каким должен быть урок – сказать нельзя, кроме того, что на нем должны работать все ученики. Даже и чисто формальные требования к уроку не всегда разумны. Помню, как разгневалась на меня завуч, не увидев на моем уроке ни объявления его темы, ни резюмирующих слов о том, чему мы научились. Урок был промежуточным: не первым и не последним в теме, поэтому тему знали все еще с первого урока, а итоги подводить было еще рано.

Математика в школе 9 / 2010

Решение пришло совсем от другого – от укрупнения объекта анализа. В самом деле, кто сказал, что именно урок – единица учебного процесса? Зачем превращать формальное свойство урока – его атомарное положение в расписании – в свойство дидактическое? Единица учебного времени – это вовсе не урок как таковой, а время изучения отдельной порции учебного материала, учебный цикл, состоящий, как правило, из нескольких уроков. Не попробовать ли нам обучать учителя не тому, как проводить урок, а тому, как проводить учебный цикл? На первый взгляд, кажется, что это игра в слова: все равно проводить-то придется уроки. Но все дело в том, что если урок как некая отдельность не поддается анализу и классификации, то урок как часть учебного цикла – поддается! Рассмотрение урока как части более крупной единицы – учебного цикла – оказалось весьма плодотворным. Мы не знаем, из каких элементов должен состоять урок. Но из каких элементов должен состоять учебный цикл – это мы знаем. Учебный цикл должен включать в себя: 1) актуализацию знаний, необходимых для восприятия нового материала; 2) введение нового материала; 3) закрепление; 4) мониторинг. Если учитель умеет проводить все эти процедуры так, что работают все учащиеся, – он умеет преподавать. Важно подчеркнуть: я вовсе не собираюсь призывать всех учителей работать по моим советам. Но я предлагаю использовать эти советы тем учителям, которые не знают, как преподавать математику по-своему. Я также считаю, что школьная администрация должна требовать, чтобы эти советы использовали учителя, не умеющие работать.

Методический семинар

Начнем по порядку. 1. Актуализация знаний, необходимых для восприятия нового материала Ее проводят в начале урока многие учителя. Например, перед изложением тригонометрических формул удвоения учитель просит вспомнить формулы сложения. Он спрашивает, чему равен синус суммы, и слушает ответ одного или двух учеников. Остальные учащиеся в это время бездействуют. Некоторые из них, правда, повторяют или вспоминают эту формулу про себя, но многие не делают и этого. Между тем интересы всеобуча требуют полного участия всего класса в этой работе – в ответе на поставленный вопрос. Лучшим известным нам приемом, обеспечивающим всеобщее участие класса в актуализации необходимых знаний, является математический диктант. При его проведении все ученики вспоминают эту формулу. Кто ее помнит, еще раз записывает ее, а кто не помнит, старается вспомнить и вспоминает хотя бы при последующем разборе ответов. Математический диктант имеет много достоинств: он учит внимательно слушать задание, точно и кратко отвечать на поставленный вопрос, а при разборе – анализировать свой ответ, учит самооценке. Для нас же сейчас главное то, что диктант обеспечивает каждому ученику актуализацию знаний, необходимых для восприятия нового материала. Есть учителя, которые могут обходиться без математического диктанта. Если авторитет учителя так высок, что к каждому его слову все дети относятся с абсолютным вниманием, то ему достаточно будет самому напомнить формулу синуса суммы, и все ученики вспомнят ее. Но мы говорим об учителях, которые этого делать не могут, и наш им совет – проводить ма3*

тематические диктанты перед началом изучения каждой темы. Тем более, что сегодня уже разработаны и изданы тексты диктантов по всей школьной математике. Если учитель захочет, он может изменить не понравившиеся ему вопросы. 2. Введение нового материала Многие учителя используют различные формы введения нового материала, связанные с активной работой самих учеников. Тут и самостоятельное изучение литературы, в частности учебника, и поиск в интернете, и организация мозгового штурма. Однако в массовом варианте, который мы здесь обсуждаем, все эти формы не могут быть использованы изза недостаточного мастерства учителей. Остается одно: рассказ, в лучшем случае – рассказ-беседа. Можно ли сделать эту форму эффективной? Можно ли добиться того, чтобы все дети слушали учителя, к тому же не обладающего особым ораторским даром? Оказывается, можно. Надо лишь потребовать: 1) чтобы изложение материала занимало не больше 15 минут; 2) чтобы на доске фиксировалось основное содержание нового материала (конспект); 3) чтобы ученики переписывали этот конспект в свои тетради. Требование краткости изложения вытекает из физиологической невозможности долго удерживать произвольное внимание. А ведение конспекта имеет много положительных свойств, так как материал преподносится в структурированном виде, а ученики учатся конспектировать. К тому же они заняты делом и потому внимательны и не нарушают дисциплину. Нам же важно подчеркнуть, что каждый ученик записывает в тетрадь основное содержание нового материала, то есть про-

исходит реальное усвоение его каждым учеником. Это предложение тем более технологично, что уже разработаны и изданы конспекты по всей школьной математике. Если учитель захочет, он может изменить не понравившиеся ему конспекты, но может использовать их и в имеющемся виде. 3. Закрепление Закрепление бывает разным. Различаются три их вида: начальное (репродуктивное), тренировочное и итоговое (продуктивное). Начальное закрепление состоит в том, что ученик выполняет задания, аналогичные имеющимся образцам. Смысл этого закрепления – ориентировка в новой деятельности. Тренировочное закрепление состоит в выполнении заданий, аналогичных тем, которые ученик уже выполнял ранее. Его смысл – деятельность в материальной (материализованной) форме. Итоговое закрепление – выполнение заданий, незнакомых ученику. Его смысл – деятельность во внутреннем плане. Приведенная расшифровка связывает этапы закрепления с этапами усвоения умственных действий по теории П.Я. Гальперина. Во время начального закрепления многим ученикам требуется индивидуальная помощь. Ее может оказать сильный учитель, хорошо знающий свой класс, владеющий изучаемым материалом, и к тому же быстро ориентирующийся в возникающих на уроке ситуациях. Те учителя, о которых говорим здесь мы, при двадцати-тридцати учащихся в классе решить возникающие проблемы не могут. Они приводят все новые и новые примеры, но настоящего закрепления – самостоятельного решения задач, аналогичных имеющимся образцам – не происходит. Происходит лишь увеличение числа образцов.

Математика в школе 9 / 2010

Как обеспечить необходимее закрепление? Это можно сделать, применяя специальное средство обучения – тетрадь с печатной основой (ТПО). В настоящее время имеется большое количество так называемых рабочих тетрадей по математике, но далеко не все они годятся для поставленной цели. Нужная нам тетрадь должна, во-первых, содержать именно те задания, которые требуется выполнять на этапе начального закрепления, и, вовторых, содержать не только сами задания, но и их решения с пропущенными фрагментами (печатную основу). Восполняя эти фрагменты, ученик в своем темпе приучается решать необходимые задачи. Важно и то, что работа в такой тетради учит правильной математической речи в гораздо большей степени, чем вызовы к доске, что отметила в свое время Н.Ф. Талызина. Итак, наш совет: после изложения нового материала обеспечьте всеобщее начальное закрепление с помощью грамотно составленной ТПО. Тренировочное закрепление сводится к решению задач из учебника. И на этом этапе ученикам нужна эффективная поддержка. К сожалению, и здесь мы часто наблюдаем, как учитель заменяет эту работу повторным предъявлением новых образцов. Только на этот раз к доске вызывается ученик, и сотворение образца идет в соавторстве этого ученика с учителем. А закрепление (теперь уже тренировочное) снова отсутствует. Как же быть? Хорошим вариантом является организация парной работы над задачами. В начале этой работы учитель знакомит учащихся с заданиями, записанными на доске: классным заданием и домашним. Ученики приступают к классному заданию, разбившись на пары так, чтобы было приятно и полезно работать с со-

Методический семинар

седом. Учитель просит ответы к задачам обводить рамкой или выписывать на полях для удобства проверки. Он предупреждает, что работа будет приниматься от двоих, поэтому, решив задачу, ученик должен побеспокоиться о своем соседе. Однако решение каждой задачи должно быть зафиксировано в каждой тетради. Ученики начинают работать. Учитель наблюдает за работой, оказывает помощь тем, кто в этом нуждается, и следит за тем, чтобы каждая пара работала, не отвлекаясь. Если окажется, что какая-либо пара нетрудоспособна, то он рассаживает ее. Однако желательно, чтобы ученики сами определяли, с кем они будут сидеть. Пара учеников, равных по своим ролям, называется гомогенной, а пара учеников, различных по ролям, – гетерогенной. Во время описываемой работы пары должны быть, как правило, гомогенными. То есть мы против того, чтобы в каждой паре были «учитель» и «ученик». Дело в том, что, во-первых, неизвестно, как разделить класс на две равные части: сильных «учителей» и слабых «учеников», во-вторых, такое предварительное навешивание ярлыков вредно само по себе, а в-третьих, очень полезно, чтобы дети выбирали себе пару сами. Гомогенная пара работает, все время меняя роли: то один, то другой объясняет, то один, то другой слушает. Получается общение в процессе обучения, чего мы и добиваемся. Иногда спрашивают: а как будут общаться и сотрудничать самые слабые? Чему они научат друг друга? При желании работать двоечник может научить двоечника на «3». Но если такого желания нет, то, конечно, получаются неработоспособные пары. И в этом случае учитель должен обратить на них особое внимание, чаще к ним подходить и помогать. Если и этого недостаточно, то тогда – и только тогда! –

приходится образовывать гетерогенные пары. Сделать это можно, например, так: подсадить к слабому ученику (или даже к паре слабых учеников) сильного и сказать, что он должен объяснить им, как решать данные задачи. При этом надо освободить «учителя» от необходимости самому работать в тетради; если этого не сделать, то он может не успеть поработать со своими «учениками» и просто даст им списать свое решение. Нужно поставить перед «учителем» задачу научить «ученика» на тройку (и тогда «учитель» автоматически получает пятерку), или на четверку (за это «учитель» получает две пятерки), или на пятерку (три пятерки «учителю»). Необходимо оценить работу каждого ученика. В этом учителю помогают ученики, быстрее других справившиеся с работой. Оценка ставится каждому в зависимости от того, сколько задач им сделано. Но нам ведь надо добиваться, чтобы учащиеся работали в парах. Поэтому следует принять такое правило: оценки соседей не могут отличаться более чем на один балл. Это значит, что, решив, например, четвертую задачу, ученик обязан добиться, чтобы и его сосед решил эту задачу, и только после этого он может приступать к пятой задаче. Уроки в парной работе имеют большое воспитательное значение. На них осуществляется трудовое воспитание (дети приучаются организовывать свой самостоятельный труд), нравственное воспитание (дети несут ответственность за работу своего соседа), коммуникативное воспитание (дети сотрудничают как во время работы, так и во время проверки ее результатов). На этих уроках используется коллективная форма работы в классе. Нам же важно подчеркнуть, что эта работа обеспечивает эффективное тренировочное закрепление для каждого ученика.

При итоговом закреплении ученики решают новые для них задачи. То есть изучаемый материал, как говорил наш видный дидакт С.Г. Шаповаленко, переходит из положения объекта изучения в положение средства для получения новых результатов. Понятно, что на этом этапе оказываются особенно существенными различия в уровне знаний и математических способностей разных учеников. Сильный учитель справляется с возникающими при этом проблемами. Он дает детям задания по их силам и устраивает такое обсуждение проделанной работы, которое оказывается интересным и обучающим для всех детей. Более того, сильный учитель принимает во внимание не только обычную силу каждого ученика, но и его сегодняшнее состояние: кто-то болен, у кого-то плохое настроение и т.д. А что посоветовать рядовому учителю? Совет простой: вообще не пытаться определять уровень способностей детей, давать в классе работу одинакового уровня для всех. А чтобы действительно учесть их различные возможности, построить работу «лесенкой трудности и сложности». Например, проводя завершающую письменную работу по теме «Действия с десятичными дробями», нужно дать первые четыре задачи по отдельности на сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей, пятую задачу − на все четыре действия, а шестую − на совместные действия с десятичными и обыкновенными дробями. Выполняя такую работу, каждый ученик будет действовать в соответствии со своими сегодняшними возможностями. К тому же мы избавим учащихся от критических оценок их умственного уровня («тебе задача потруднее, а тебе полегче»). 4. Мониторинг Если кто-то думает, что мониторинг – это новомодное название прежнего кон-

Математика в школе 9 / 2010

троля, – он ошибается. Мониторинг – не просто контроль, а контроль, обеспечивающий постоянное отслеживание хода того или иного процесса, обеспечивающий возможность своевременного вмешательства в этот процесс и его исправления. Беда современной практической методики преподавания математики в том и состоит, что мониторинг в ней отсутствует. Эта методика рождена в 30-е годы прошлого века, когда можно было оставлять ученика на второй и на третий год и даже исключать из школы за неуспеваемость. В наше время она безнадежно устарела, ибо у нас всеобуч. Нам требуется иметь в учебной четверти не семь-восемь оценок у каждого ученика, а тридцать-сорок оценок. Это должны быть оценки каждого этапа изучения им каждой порции знаний. А еще требуется знать, что с этими оценками делать, если они неудовлетворительны. Всего этого традиционная методика не умеет и вынуждена завышать оценки, ведь школьник не виноват в том, что мы не умеем его учить! Технология учебных циклов справляется с проблемой мониторинга так. На первом уроке цикла проводится математический диктант, актуализирующий необходимые знания. Неудовлетворительное выполнение диктанта не является опасным для учебного процесса: сразу после диктанта проводится обсуждение и исправление допущенных ошибок. Оно проходит при полном внимании учеников, чему существует психологическое объяснение: человек вообще с интересом относится к тому, о чем у него только что спрашивали и что он пытался вспомнить. Далее происходит объяснение нового материала. Участие в этом этапе урока каждого ученика гарантируется воспроизведением конспекта в тетрадях.

Методический семинар

Последний этап первого урока – работа в ТПО. Факт ее выполнения легко проверяется даже при беглом взгляде на эту тетрадь. При необходимости работа в ТПО должна завершаться дома или в школе после уроков. Сомнения типа «а они все равно не будут ничего делать» напрасны. У нас имеется огромный опыт экспериментальной работы без каких-либо сбоев в этом отношении. И это тоже имеет психологическое обоснование: работать в ТПО интересно и приятно, а претензии учителя по этому поводу совершенно конкретны и воспринимаются учениками вполне адекватно. Труден вопрос о домашних заданиях. Традиционно они призваны играть большую роль в усвоении нового материала. Но проверить их выполнение у всех учащихся обычно не удается. Мы выходим из положения так: на дом задается материал, который можно успеть проверить либо не играющий серьезной роли в процессе усвоения. Обязательным заданием после первого урока является выучивание наизусть конспекта, записанного во время объяснения. Это проверяется в начале второго урока: все ученики на чистом листе бумаги по памяти воспроизводят этот конспект. Если даются и другие задания, то учитель должен сообразовывать их объем со своими возможностями по их проверке. В наших разработках всегда указывается необходимый минимум домашних заданий,

который заведомо обеспечивается этими возможностями у любого учителя. Кроме того, очень поощряются необязательные задания на дом для заинтересованных и продвинутых учеников. Их выполнение проверяется главным образом в индивидуальных беседах с этими учениками. Успешность решения задач на уроках полностью контролируется благодаря вышеописанной методике парной работы. Удачно решается и проблема проверки теоретического материала у каждого ученика. Если материал может быть проверен письменно (например, доказательства формул), то он и проверяется во всеобщей письменной работе (а не в процессе вызова к доске двух-трех учеников). Если же материал требует устного ответа (например, доказательства признаков равенства и подобия треугольников), то он проверяется в процессе специального урока общения. В целях экономии объема статьи я воздерживаюсь от описания этого урока, тем более что проводить его можно только в работоспособном классе, например, в классе, уже привыкшем к технологии учебных циклов.

Литература Левитас Г.Г. Технология учебных циклов, или Как улучшить классно-урочную систему обучения. – М., 2006. Левитас Г.Г. Преодоление неуспешности. – М., 2009.

Дорогие читатели! В журнале «Математика для школьников» начиная с № 2’2010 проводится конкурс по решению задач «Эврика!» для учащихся 5–9-х классов. Оригинальные задания разного уровня сложности, несомненно, заинтересуют ваших учеников. Победителей и участников в конце года обязательно ждут призы и дипломы (не забывайте про пополнение своих портфолио и портфолио учеников!). Присоединяйтесь!

ТО Ч К А З Р Е Н И Я

СТОИТ ЛИ СОХРАНЯТЬ ФОРМАТ ЕГЭ-2010 В 2011 ГОДУ? И.Г. Малышев, Лицей № 40 (Нижний Новгород), e-mail: malig@nm.ru В статье обсуждаются вопросы содержания заданий ЕГЭ и их соответствия программе старшей школы. Ключевые слова: ЕГЭ, задачи С1−С6, программа по математике.

В одном из сборников для подготовки к ЕГЭ выписаны три пункта, которые следует учесть при подготовке к экзамену. Два из них звучат так. «Единый государственный экзамен в целом опирается, конечно же, на школьную программу. Поэтому уверенное знание программы по математике и хорошее владение ею – необходимое условие успешной сдачи ЕГЭ». «Желательно иметь некоторый запас прочности, то есть знать и уметь несколько больше того минимума, который вытекает из опыта предыдущих экзаменов. Ведь не секрет, что варианты экзаменационных заданий постепенно развиваются и усложняются: то, что раньше казалось новым и трудным для восприятия, со временем становится привычным и элементарным. В общем, нельзя ориентироваться только на вчерашний день. А учитывая, что ожидаемые в 2010 году задачи типа С будут в значительной мере опираться на опыт вступительных экзаменов, хорошо бы приобрести и проработать современные пособия для поступающих в вузы...»*. * ЕГЭ-2010. Математика. Задача С5 / под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М. : МЦНМО, 2010. – 128 с.

Утверждая первый пункт, авторы серьезно заблуждаются. Мне как стороннику ЕГЭ еще с 1990-х гг. очень жаль, что в руках разношерстной компании противников, от родителей нерадивых учеников до преподавателей, потерявших квалификацию либо привыкших к неконтролируемому полугодовому сезону вступительных экзаменов в родном вузе, в ближайшее время может появиться очередная бочка для накатывания под названием «Несоответствие ЕГЭ программе». Не следует забывать и про хроническую болезнь ЕГЭ – наличие телефонов на экзамене. Нужна политическая воля, чтобы объявить 4 часа тишины по всей России. В конце концов, еще 10 лет назад мы обходились без телефонов, и 4 часа − не срок. Нужна также воля, чтобы критерием освоения учеником математики на базовом уровне считать выполнение пяти заданий части В, о чем говорилось весь год, а не трех заданий, как на нынешнем ЕГЭ. Но в этом году особенно сильно проявилась оторванность содержания экзамена от содержания программ и учебников 11-го класса. С этим столкнулись в первую очередь учителя классов с углублен-

Точка зрения

ным изучением математики. Хотя у них вроде бы не должно быть повода для сильного беспокойства, так как средний балл по различным лицеям превышает 60 (в моем классе он, например, составил 77,7 ± 7,5). В то же время выяснилось, что целые разделы программы (комплексные числа, приложения интеграла в физике и геометрии, дифференциальные уравнения, обратные тригонометрические функции и многие другие вопросы) можно было спокойно пропустить при обучении, так как они оказались абсолютно не нужны. В преддверии ЕГЭ учащимся было совершенно непонятно, ради чего надо придерживаться программных материалов. Эта ситуация требует разрешения. Как минимум − введения двухуровневого ЕГЭ. В пользу этого говорит еще и то, что средний балл в лицеях на 50% выше среднего балла в школах с базовой подготовкой по математике, и ЕГЭ в нынешнем его виде может сдать «средний» ученик 8-го класса. Если предложенное содержание экзаменов сохранится для всех выпускников, то впереди нас ждет повсеместный обман, учителя будут вынуждены забросить подальше школьные учебники и перейти на сборники ФИПИ и МИОО к радости их составителей. Второй пункт рекомендаций еще более противоречив и спорен. Теорема Пифагора и задачи, с ней связанные, для ученика 8-го класса − новые и трудные. Спустя тридцать лет эта же теорема и задачи для ученика 8-го класса также будут новыми и трудными, а не привычными и элементарными. Хотя задачи части С в «значительной мере» будут опираться на опыт прошлых вступительных экзаменов (а некоторые задачи действительно встречались 10–20 лет назад), учащемуся «нельзя ориентироваться» только на них. Разве «значительная мера» не означает 4

Математика в школе № 9

и значительный упор на опыт прошлых экзаменов? Возьмем для примера задачи С6. Они, как ни крути, олимпиадные, о чем уже говорил один из авторов журнала. Из трех потоков ЕГЭ (апрельского и двух июньских) только в апрельском экзамене задание С6 было интересным. В основном потоке «олимпиадность» задания выразилась в неперевариваемой и двусмысленной формулировке. В сборниках, подготовленных к экзаменам 2010 г., можно встретить задания с международных олимпиад 1960-х гг. Еще два года назад, когда появился вариант ЕГЭ-2010, авторы постоянно подчеркивали, что они придерживаются традиций российского математического образования. В чем же проявляется традиция, если за последние 150 лет не встречается ни одного подобного задания в выпускных или вступительных экзаменах по математике? Это единый государственный экзамен, а не отбор в олимпийскую команду! Что касается остальных задач, то никакого серьезного усложнении задач, решаемых на экзаменах за последние 150 лет, не произошло. Составителям ЕГЭ все-таки следует учесть, что нынешнее поколение не умнее поколения позапрошлого века, и главное, что молодое поколение в школьные годы впервые для себя открывает мир. Искусственно усложнять задания экзамена, которые были когдато, нет никаких оснований. На курсах для учителей я постоянно привожу задачи с выпускных экзаменов в обычных классах, предлагавшиеся 50–150 лет назад, подобные следующим. 1. В шаре радиуса R просверлено цилиндрическое отверстие. Ось цилиндра проходит через центр шара, а диаметр основания цилиндра равен радиусу ша-

Математика в школе 9 / 2010

ра. Вычислить объем оставшейся части шара. 3 О т в е т: V = πR 3 . 2 (Задача выпускного экзамена 1877 г. в гимназии и одновременно вступительного экзамена в университет!) 2. Найти число q в уравнении x4 + + 3x3 + q = 0, если x1 + x2 = 2. 1000 О т в е т: . 49 (Задача выпускного экзамена 1937 г.) n

⎛ a3 a 1 ⎞ 3. В разложении бинома ⎜ + ⎟ ⎜ b 15 28 ⎟ a ⎠ ⎝ определить член разложения, не содержащий букву а, если сумма биномиальных коэффициентов трех первых членов разложения равна 79. 792 О т в е т: T6 = 7 . b (Задача выпускного экзамена 1946 г.)

И даже после этого только каждый пятый решает схожие примеры. Справедливости ради нужно сказать, что задания С1−С5, предложенные на экзамене в июне этого года, были хорошими, а некоторые просто интересными. Судя по результатам, к экзамену в школе с базовой подготовкой по математике следует отнести задания части В и задания С1, С2. К экзамену в школе с профильной подготовкой по математике следует отнести некоторые задания части В и задания С1–С5. Если учесть и программные материалы, то число заданий расширится, и экзамен станет интереснее по содержанию. Надеюсь, что Рособрнадзор, ФИПИ и др. после анализа результатов ЕГЭ-2010 и учета мнения учителей о прошедшем экзамене примут верное решение.

МАТЕМАТИКИ ШУТЯТ История с арифметикой* Этот текст, отражающий историю смены методов и подходов в американской педагогике, позаимствован нами из газеты-многотиражки одной средней школы в штате Висконсин. Поскольку и наше преподавание, особенно в последние годы, испытывает многочисленные, не всегда понятные преобразования, эта история заслуживает внимания. Как выглядела арифметическая задача для младших школьников в разные десятилетия? В 60-е годы. Лесоруб продал бревен на 100 долларов, затратив на их добычу, обработку и доставку 4/5 этой суммы. Какова его чистая выручка? * Цитируется по: Наука и жизнь. – 1997. – № 9. – С. 15.

В 70-е годы. Лесоруб обменял множество Б (бревна) на множество Д (деньги). Мощность множества Д = 100. Множество З (затраты) содержит на 20 единиц меньше. Какова мощность множества П (прибыли)? В 80-е годы. Лесоруб продал бревен на 100 долларов. Затраты его при этом составили 80 долларов, а прибыль – 20 долларов. Найди и обведи кружочком цифру 20. В 90-е годы. Экологически необразованный лесоруб спилил прекрасную рощицу из 100 деревьев, чтобы получить прибыль в 20 долларов. Напишите сочинение, объясняющее ваше отношение к такому способу зарабатывания денег. Проведите в классе дискуссию на тему: как чувствовали себя при этом лесные птицы и белки?

ЭКЗАМЕНЫ

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН: ПЕРВЫЙ НАБОР А.П. Солодов, МГУ (Москва), e-mail: apsolodov@mail.ru В статье представлены итоги контрольной работы по математике, предложенной студентам первого курса отделения механики механико-математического факультета МГУ с целью независимой оценки уровня их знаний. Ключевые слова: ЕГЭ, мехмат МГУ, тестирование первокурсников, вступительный экзамен

В 2009 году впервые во все высшие учебные заведения страны прием осуществлялся, главным образом, по итогам Единого государственного экзамена. Не стал в этом смысле исключением и механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова. Причем при наборе на отделение механики дополнительного вступительного экзамена не было, и конкурс проводился только на основании результатов ЕГЭ и олимпиад для школьников I и II уровня. При этом проходной балл составил 230 из 300 возможных. Учитывая довольно необычный для факультета принцип отбора абитуриентов, коллективом сотрудников кафедры математического анализа механикоматематического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова на первом занятии первого курса отделения механики была проведена контрольная работа с целью независимой оценки уровня знаний студентов. Ниже приводится вариант этой контрольной работы и итоговые результаты. Итак, всем студентам первого курса 4*

отделения механики было предложено за 90 минут работы решить следующие 8 задач: 1. Нарисовать эскиз* графика функции у = х3 + 2х2. 2. Нарисовать эскиз графика функции у = arcsin(4x – 3). 3. Нарисовать эскиз графика функции у = log2(2x + 3). 4. Нарисовать эскиз графика функции 3 ⎞ ⎛ y = −2 sin ⎜ 3x − π ⎟ + 1. 4 ⎠ ⎝ 5. Решить уравнение cosх = cos5. 6. Решить неравенство log 15 −3 (2 − 3x ) < −2. 7. Решить неравенство 16х – 3 . 4х < 4. 8. Решить неравенство x 2 − 7 x + 10 > x + 3. В написании данной контрольной работы приняло участие 162 студента, показавших следующие результаты: * Имеется в виду построение наброска графика функции, исходя из графиков базовых элементарных функций и линейных преобразований графиков. Техника исследования функций при помощи производной не требуется.

Математика в школе 9 / 2010

Число задач

Правильно решили данное число задач (кол-во)

Правильно решили данное число задач (в %)

4,3

10,5

23,4

22,2

14,2

13,0

10,5

1,9

0,0

В заключение отметим, что целью этой публикации была не попытка ответа на вопрос, что лучше: новая или традици-

онная схема приема. Скорее, хотелось бы предоставить коллегам фактический материал для размышлений.

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Уважаемые авторы, при представлении рукописей убедительно просим вас соблюдать следующие требования. 1. Рукописи желательно присылать электронной почтой по адресу: mathematics@schoolpress.ru, или в виде компьютерных распечаток (с подписью автора) обычной почтой. К распечатке необходимо приложить электронную версию статьи (в формате Word, шрифт Times New Roman, размер шрифта — 14, расстояние между строками не менее 1 см) объемом не более 15 печатных страниц. К рукописям, содержащим задачи, обязательно прилагать решения всех задач. 2. Статья должна сопровождаться аннотацией (размером 5–7 строк), а также списком ключевых слов. 3. Все цитаты и ссылки на статьи и книги должны быть тщательно выверены по первоисточникам. Необходимо указать автора и название книги (статьи), если ссылка на статью, то издание, в котором она опубликована, город, издательство, год издания и номер страницы с цитатой. Обратите внимание, что обязательно указывать номера страниц, на которых располагается статья в периодическом издании.

4. Рисунки к распечатке рукописи прилагаются на отдельных листах в двух экземплярах, а к письму, отправленному по электронной почте, — в виде отдельных файлов в формате jpg. 5. Вместе с рукописью в редакцию обязательно предоставляются сведения об авторе: – фамилия, имя и отчество; – место работы, занимаемая должность; – домашний адрес (с указанием почтового индекса); – номер телефона; – e-mail; – дата рождения (день, месяц и год); – серия и номер паспорта, дата и место его выдачи; – ксерокопия страхового свидетельства государственного пенсионного страхования; – индивидуальный номер налогоплательщика (ИНН). 6. Статьи аспирантов и докторантов принимаются только при наличии рецензии на них. 7. Плата за публикацию рукописей с авторов не взимается.

Материалы, не удовлетворяющие указанным требованиям, к рассмотрению не принимаются. По материалам, не принятым к опубликованию, переписка не ведется. Рукописи статей и тексты задач не возвращаются. Редакция не дает индивидуальных консультаций по теоретическим вопросам и решению задач.

К О Н С У Л ЬТА Ц И Я

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ОГРАНИЧЕННОСТИ ВЫРАЖЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ Окончание. Начало см. в № 8–2010 А.Г. Корянов, ГИМЦ (Брянск), e-mail: akoryanov@mail.ru А.А. Прокофьев, МИЭТ (Москва), e-mail: aaprokof@yandex.ru В этой статье мы продолжаем рассмотрение примеров, при решении которых используются различные приемы оценки выражений, содержащих несколько переменных. Ключевые слова: наибольшее значение выражения, наименьшее значение выражения, оценка выражения.

Применение наибольшего (наименьшего) значения выражения

Замечание. Приведенная схема основана на том, что в этом случае уравнение

Решение уравнений и неравенств При решении уравнений или неравенств, когда затруднительно использование стандартных методов, на помощь привлекаются специальные методы, позволяющие найти эффективное и красивое решение задачи. Рассмотрим некоторые из них. а) Дискриминантный метод Дискриминантный метод (см. [1], [2]) состоит в том, что если уравнение f(x, y) = 0 может быть приведено к виду f1(x, y) g2(x, y) + + f2(x, y)g(x, y) + f3(x, y) = 0, (4) 2 где f1 ≠ 0 и D = f2 − 4 f1 f3 ≤ 0 при всех допустимых значениях переменных x и y, то уравнение (4) равносильно системе ⎧ D = f22 − 4 f1 f3 = 0 ⎪ ⎨ f2 ( x , y ) ⎪ g( x , y ) = − 2 f ( x , y ) . ⎩ 1

⎛ f ⎞ D , (4) приводится к виду ⎜ g + 2 ⎟ = 2 f1 ⎠ 4 f12 ⎝

в котором при D ≤ 0 равенство возможно только, если D и наименьшее значение левой части равны 0. Пример 24. Найдите все пары чисел, удовлетворяющие уравнению: а) y2 + 2xy + 2x2 + 2y + 8x + 10 = 0; б) cos2x + 2sin2y – 2cosx siny – – 2siny + 1 = 0. Р е ш е н и е. а) Приведем данное уравнение к виду: y2 + (2x + 2)y + (2x2 + 8x + 10) = 0. В данном случае f1 = 1, f2 = 2x + 2, f3 = 2x2 + 8x + 10, g = y. Вычисляем дискриминант D = f22 − 4 f1 f3 = −4( x + 3)2 ≤ 0 при всех x ∈ R.

Тогда данное уравнение равносильно системе ⎧ −4( x + 3)2 = 0 ⎧ x = −3 ⎪ ⎨ −(2x + 2) ⇔ ⎨ y = 2. ⎩ ⎪y = ⎩ 2 б) Приведем данное уравнение к виду: cos2x + (–2siny) cosx + + (2sin2y – 2siny + 1) = 0. В данном случае f1 = 1, f2 = –2siny, f3 = 2sin2y – 2siny + 1, g = cosx. Вычисляем дискриминант D = f22 − 4 f1 f3 = −4(sin y − 1)2 ≤ 0 при всех y ∈ R. Тогда данное уравнение равносильно системе ⎧ −4(sin y − 1)2 = 0 ⎧sin y = 1 ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 sin y ⎩cos x = 1 ⎪cos x = ⎩ 2 π ⎧ ⎪ y = + 2πn где n, k ∈ Z. ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ x = 2πk, π ⎛ ⎞ О т в е т. а) (–3; 2); б) ⎜ 2πk; + 2πn ⎟ , 2 ⎝ ⎠ где n, k ∈ Z. В следующем примере использование неотрицательности дискриминанта, как условие разрешимости квадратного уравнения, существенно упрощает решение задачи. Пример 25. Найдите наименьшее из значений x, для которых существуют числа y и z, удовлетворяющие уравнению x2 + 2y2 + z2 + xy – xz – yz = 1. Р е ш е н и е. Запишем это уравнение как квадратное относительно z, считая переменные x и y параметрами. z2 – z(x + y) + (x2 + xy + 2y2 – 1) = 0. Согласно условию данное уравнение должно иметь решение. Следовательно, существуют значения y и x, при которых дискриминант этого уравнения неотрицателен, то есть D = (x + y)2 – 4(x2 + xy + 2y2 – 1) ≥ 0 или –7y2 – 2xy – 3x2 + 4 ≥ 0.

Математика в школе 9 / 2010

Следовательно, имеет хотя бы одно решение последнее неравенство. Будем рассматривать его, как квадратичное относительно y, считая переменную x параметром. Его решение будет существовать, если дискриминант этого неравенства неотрицателен, то есть D = –80x2 + 112 ≥ 0. Отсюда получаем, что переменная x удовлетворяет неравенству 5x2 ≤ 7, то есть 7 7 − ≤x≤ . Выбирая наименьшее зна5 5 7 чение x, получаем x = − . 5 7 О т в е т: − . 5 б) Метод оценок Метод оценки (см. [3]) состоит в том, что при его применении оцениваются границы, в которых лежат выражения, входящие в уравнение или неравенство (в частности, их левая и правая части). Обычно этот метод используется, если в уравнении или неравенстве присутствуют функции разного вида. Пусть для левой и правой частей уравнения f(x, y) = g(x, y) (или неравенства f(x, y) ≤ g(x, y)) найдется такая константа A, что при всех допустимых значениях переменных x и y f(x, y) ≥ A, а g(x, y) ≤ A, то ⎧ f ( x , y) = A (5) f ( x , y ) = g( x , y ) ⇔ ⎨ ⎩ g( x , y ) = A, ⎧ f ( x , y) = A (6) f ( x , y ) ≤ g( x , y ) ⇔ ⎨ ⎩ g ( x , y ) = A. В случае, если хотя бы одно из неравенств f(x, y) ≥ A и g(x, y) ≤ A является строгим, то исходное уравнение f(x, y) = = g(x, y) (или неравенство f ( x , y ) ≤ g( x , y ) ) не имеет решений. Пример 26. Решите уравнение y4 – 4y2 – cos2x + 5 = 0. Р е ш е н и е. Приведем уравнение к следующему виду y4 – 4y2 + 5 = cos2x.

Консультация

Заметим, что левая часть уравнения y – 4y2 + 5 = (y2 – 2)2 + 1 ≥ 1 при всех y, причем равенство возможно только, 4

если

y2 – 2 = 0, то есть при

y=− 2

или y = 2; а правая часть уравнения 0 ≤ cos2x ≤ 1 при всех x, причем cos2x = 1 при x = πn, n ∈ Z. Следовательно, равенство левой и правой частей уравнения возможно только, если ⎧⎪( y2 − 2)2 + 1 = 1 ⎧⎪ y2 − 2 = 0 или ⎨ 2 ⎨ 2 ⎪⎩cos x = 1 ⎪⎩cos x = 1. Следовательно, решением исходного уравнения являются пары чисел вида ( π n; − 2 ) и ( π n; 2 ) , где n ∈ Z. О т в е т: ( π n; − 2 ) и ( π n; 2 ) , где n ∈ Z. В частности, в (5), (6) одно из выражений f(x, y) или g(x, y) может быть постоянной величиной при всех допустимых значениях переменных x и y. Рассмотрим использование ограниченности функций sint и cost. Пример 27. Решите уравнение cos(x + 2y) · sin(2x + y) = 1. Р е ш е н и е. Так как |cos(x + 2y)| ≤ 1 и |sin(2x + y)| ≤ 1, то |cos(x + 2y)| × × |sin(2x + y)| ≤ 1 и исходное уравнение равносильно совокупности ⎡ ⎧cos( x + 2 y ) = 1 ⎢⎨ ⎢ ⎩sin(2x + y ) = 1 ⇔ ⎢ ⎧cos( x + 2 y ) = −1 ⎢⎨ ⎣⎢ ⎩sin(2x + y ) = −1 ⎡ ⎧ x + 2 y = 2π n ⎢⎪ ⎢ ⎨2 x + y = π + 2 π k ⎢⎩⎪ 2 n, k ∈ Z ⇔ ⇔⎢ + = π + π x 2 y 2 n ⎧ ⎢⎪ ⎢⎨ π ⎢ ⎪⎩2x + y = − + 2π k 2 ⎣

⎡⎧ π 2π ⎢ ⎪⎪ x + y = 6 + 3 ( n + k ) ⎢⎨ ⎢ ⎪ x − y = π + 2π( k − n ) ⎢ ⎪⎩ 2 n, k ∈ Z ⇔ ⇔⎢ ⎢ ⎧ x + y = π + 2π ( n + k ) ⎢ ⎪⎪ 6 3 ⎢⎨ ⎢ ⎪ x − y = − 3π + 2π( k − n ) 2 ⎣⎢ ⎩⎪ ⎡⎧ π 2π ⎢ ⎪⎪ x = 3 + 3 (2k − n ) ⎢⎨ ⎢ ⎪ y = − π + 2π (2n − k ) ⎢ ⎪⎩ 6 3 ⇔⎢ n, k ∈ Z . ⎢ ⎧ x = − 2π + 2π (2k − n ) ⎢ ⎪⎪ 3 3 ⎢⎨ ⎢ ⎪ y = 5π + 2π (2n − k ) ⎢⎣ ⎪⎩ 6 3 π 2π О т в е т: x = + (2k − n ), 3 3 π 2π y=− + (2n − k ) или 6 3 2π 2π x=− + (2k − n ), 3 3 5π 2 π y= + (2n − k ), n,k ∈ Z. 6 3 Пример 28. Решите неравенство (cos1,5x + sin1,5x ) × × (11 + 4 cos 2 y + 8 sin y ) ≤ −17 2. Р е ш е н и е . Проведем оценку выражения, стоящего в левой части неравенства. Заметим, что π⎞ ⎛ cos1,5x + sin1,5x = 2 sin ⎜1,5x + ⎟ 4⎠ ⎝ и − 2 ≤ cos1,5x + sin1,5x ≤ 2 , а 11 + 4cos2y + 8siny = = 11 + 4(1 – 2sin2y) + 8siny = = 15 – 8sin2y + 8siny = 15 – 8t2 + 8t, где t = siny. 2 ⎛ 1⎞ 2 Выражение 15 − 8t + 8t = 17 − 8 ⎜ t − ⎟ ⎝ 2⎠ на отрезке [–1; 1] принимает значения

Математика в школе 9 / 2010

1 от –1 при t = –1 до 17 при t = . Сле2 довательно, − 2 ≤ cos1,5x + sin1,5x ≤ 2, –1 ≤ 11 + 4cos2y + 8siny ≤ 17. Отсюда получаем, что − 17 2 ≤ (cos1,5x + sin1,5x ) × × (11 + 4 cos 2 y + 8 sin y ) ≤ 17 2. Следовательно, исходное неравенство может выполняться только в случае, когда ⎧⎪cos1,5x + sin1,5x = − 2 ⇔ ⎨ ⎪⎩11 + 4 cos 2 y + 8 sin y = 17 ⎧ π⎞ ⎛ ⎪ 2 sin ⎜1,5x + ⎟ = − 2 ⇔⎨ ⇔ 4⎠ ⎝ ⎪sin y = 0,5 ⎩ π 4 πn ⎧ ⎪⎪ x = − 2 + 3 , n ∈ Z ⇔⎨ ⎪ y = ( −1)k π + πk, k ∈ Z. ⎪⎩ 6 π ⎛ π 4π n ⎞ О т в е т: ⎜ − + ; ( −1)k + π k ⎟ , 2 3 6 ⎝ ⎠ n, k ∈ Z. Метод оценки обобщается и на случай уравнений с бóльшим числом переменных. Пример 29. Решите уравнение (sin2x + sin–2x)(1 + ctg22y)(3 + sin3z) = 4. Р е ш е н и е. Заметим, что при всех допустимых значениях x, y, z справедливы неравенства: sin2x + sin–2x ≥ 2 (где sin2x + sin–2x = 2, π если sin2x = 1, то есть при x = + πn, 2 n ∈ Z); 1 + ctg22y ≥ 1 (где 1 + ctg22y = 1, если π πm ctg2y = 0, то есть при y = + , m ∈ Z); 4 2 3 + sin3z ≥ 2 (где 3 + sin3z = 2, если π 2πk sin3z = –1, то есть при z = − + , k ∈ Z). 6 3 Следовательно, при всех допустимых

значениях x, y, z для выражения в левой части исходного уравнения справедлива следующая оценка (sin2x + sin–2x)(1 + ctg22y)(3 + 3sin3z) ≥ ≥ 2 · 1 · 2 = 4. Равенство возможно только при π 2πk π π πm z=− + , x = + πn, y= + , 6 3 2 4 2 где n, m, k ∈ Z. π πm π 2πk ⎞ ⎛π О т в е т: ⎜ + πn, + ,− + , 4 2 6 3 ⎟⎠ ⎝2 где n, m, k ∈ Z. в) Метод геометрической интерпретации При применении этого метода (см. [4]) выражениям, входящим в уравнение (неравенство, систему уравнений или неравенств), придается геометрический смысл. Пример 30 (МФТИ, 2008). Решите систему уравнений ⎧⎪ x 2 + y2 + 12x + 36 + x 2 + y2 − 16 y + 64 = 10 ⎨ ⎪⎩5 y2 − 8x 2 = 8. Р е ш е н и е. Запишем первое уравнение системы в виде ( x + 6)2 + y2 + x 2 + ( y − 8)2 = 10. y B

M1 M A –6

Рис. 4

Заметим, что левая часть этого уравнения – сумма расстояний от точки M(x; y) до точек A (–6; 0) и B (0; 8) (рис. 4), причем расстояние между точка-

Консультация

ми А и В равно 10. Для любой точки M1, не принадлежащей прямой АВ, сумма расстояний AM1 + M1B > 10 (неравенство треугольника). Для точки M, принадлежащей прямой АВ, сумма расстояний AM + MB равна 10 только в случае, если M – точка отрезка АВ. Уравнение прямой, проходящей через 4 точки А и В, имеет вид y = x + 8. 3 Точки отрезка АВ имеют координаты ⎛ 4 ⎞ ⎜ x ; 3 x + 8 ⎟ , где –6 ≤ x ≤ 0. ⎝ ⎠ 4 Подставляя y = x + 8 во второе урав3 нение системы, получим 2

⎛4 ⎞ 5 ⎜ x + 8 ⎟ − 8x 2 = 8 ⇔ x2 + 120x + 351 = 0, 3 ⎝ ⎠ Откуда x = −60 ± 602 − 351 = −60 ± 57. Условию –6 ≤ x ≤ 0 удовлетворяет только x = –3. Тогда y = 4. О т в е т: (–3; 4). Задачи на оптимизацию Многие из задач практического характера сводятся к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции одной переменной на некотором промежутке. Между тем для ряда прикладных задач удобнее не сводить задачу к исследованию функции одной переменной, а воспользоваться неравенством Коши или его следствиями (см. [5]): – если сумма положительных слагаемых постоянна, то их произведение будет наибольшим, когда они равны; – если произведение положительных множителей постоянно, то их сумма будет наименьшей, когда они равны. Пример 31. Среди всех прямоугольных параллелепипедов заданного объема найдите тот, который имеет минимальную сумму длин ребер. 5

Математика в школе № 9

Р е ш е н и е. Обозначим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда через а, b и с. Тогда объем параллелепипеда равен V = abc. Так как произведение множителей a ⋅ b ⋅ c по условию задачи постоянно, то искомый минимум будет иметь место в случае, когда a = b = c. Значит прямоугольный параллелепипед есть куб. О т в е т: куб. Пример 32. Найдите наибольший объем цилиндра, вписанного в шар радиуса R. Р е ш е н и е. Пусть r – радиус основания цилиндра. Тогда его высоту h h = 2 R2 − r2 ,

найдем по формуле 2

объем V = 2π r R − r . Используем неравенство Коши для оценки выражения r2 r2 ⋅ ⋅ ( R2 − r2 ) : 2 2 3

r2 r2 + + ( R2 − r2 ) R2 r r 2 2 2 2 ⋅ ⋅ (R − r ) ≤ = 2 2 3 3 2

r2 r2 R6 ⋅ ⋅ ( R2 − r2 ) ≤ , 2 2 27 причем наибольшее значение достигается или

R 6 r2 . = R 2 − r 2 , то есть при r = 3 2 Наибольшее значение объема при этом равно при

r2 r2 R3 ⋅ ⋅ ( R2 − r2 ) = 4π ⋅ . 2 2 3 3 4 πR 3 О т в е т: . 3 3 На протяжении всего школьного курса алгебры учащиеся знакомятся с методами решения задач на отыскание наибольших и наименьших значений функции с одной переменной. Но вот тема «Выражения с несколькими переменными» не находит дальнейшего развития на старшей ступени обучения учащихся и ограничена V = 4π

в основной школе только тождественными преобразованиями. В своей статье мы постарались привести примеры, раскрывающие потенциал данной темы, связанной с нахождением наибольшего (наименьшего) значения выражений с несколькими переменными, а также ее развитие при изучении уравнений и неравенств. Задачи для самостоятельного решения 1. Найдите наименьшее значение вы3 cos x + 4 sin x + 5π + 5 ражения . 3 cos y + 4 sin y + 5 2. Найдите наименьшее значение выражения (x + 3y + 3)2 + (6y + 2x + 5)2. 3. Найдите наибольшее значение выражения z = 3sinx – 3siny + 5cosx. 4. Найдите наибольшее и наименьшее x 2 − 2xy + 3 y2 значения дроби A = . При x 2 + 2 y2 каких значениях x, y они достигаются? 5. Найдите наибольшее значение выражения 2x + y, если пары чисел x и y удовлетворяют неравенству x2 + 2xy + + 3y2 ≤ 2. 6. Решите уравнение x2 + y2 + x2y2 – 4xy = –1. 7. Решите уравнение 16x4 + y4 = 8xy – 2. 8. Решите уравнение 2(x4 – 2x2 + 3)(y4 – 3y2 + 4) = 7. 9. Найдите отрицательные решения 1 уравнения x 2 + 64 y2 + = 8. xy 10. (МФТИ, 2008). Решите систему уравнений ⎧⎪ x 2 + y2 − 8x + 16 + x 2 + y2 + 6 y + 9 = 5 ⎨ ⎪⎩4 y2 − x 2 = 5. 11. (МФТИ, 2008). Найдите все пары действительных чисел (x, y), удовлетворяющие неравенству

Математика в школе 9 / 2010

log 2x + 5− x (5 − 2 cos 2x + 2 sin 3 y ) ≤ ≤ log ⎛

2y 2y ⎞ + sin ⎜ cos ⎟ 3 3 ⎠ ⎝

⎛ 3x ⎜ sin 2 cos 4 y ⎝

⎞ ⎟. ⎠

12. Решите неравенство cos x ≥ y2 + y − x 2 − 1. 13. Решите неравенство 2 y − 2 cos x + y − x 2 − 1 ≤ 0. 14. Решите уравнение 4 4 x 2 − 12x + 9 + x − y = 4 − . 3 − 2x 15. (Олимпиада «Покори Воробьевы горы» 2005 г.). Найдите наименьшее значение выражения ( x − 9)2 + 4 + x 2 + y2 + ( y − 3)2 + 9. 16. Найдите наибольшее значение суммы cosA + cosB + cosC при условии, что А, В, С – углы треугольника. 17. Найдите наибольший объем конуса, вписанного в шар радиуса R. Ответы π . 2. 0,2. 3. − 34 − 3 ≤ z( x ; y ) ≤ 34 + 3. 2 1 4. min A = при x = 2a, y = a (a ≠ 0), 2 maxA = 2 при x = –a, y = a (a ≠ 0). 1.

Указание. Положить x = a 2 cos ϕ, y = = asinφ. ⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 5. 3. 6. (1; 1), (–1; –1). 7. ⎜ ; 1 ⎟ , ⎜ − ; − 1 ⎟ . ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ ⎛ 3⎞ 2⎞ 8. ⎜ ±1; ± . 9. ⎜ − 2; − ⎟ ⎟ . 10. (2; – 1,5). ⎜ ⎜ 2 ⎟⎠ 8 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 5π π ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 11. ⎜ π + 2πk; + 2πn ⎟ , ⎜ π + 2πk; + 2πn ⎟ , 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k, n ∈ Z. Указание. Оценить значения выражений под знаками логарифмов и входящих в их основания, а также оценить значения обеих частей неравенства. 12. (0; 1). 13. (0; 1). 14. (0,5; 0,25), (2,5; 6,25).

Консультация

21 7 , y = . Указание. Рас5 4 смотреть на координатной плоскости точки M1(9; –2), M2(x; 0), M3(0; y), M4(–3; 3). 32π R 3 16. 1,5 . 17. при высоте конуса 81 4R h= . 3 15. 13 при x =

Литература 1. Егоров А. О дискриминанте // Квант. – 1992. – № 6. – Стр. 59–63. 2. Методы решения задач по алгебре: от простых до сложных / С.В. Кравцов, Ю.Н. Ма-

каров, М.И. Максимов, М.И. Нараленков, В.Г. Чирский. – М. : Экзамен, 2001. 3. Аксенов А.А. Решение задач методом оценки // Математика в школе. – 1999. – № 3. – Стр. 30–33. 4. Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень : учеб. для 11 кл. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 5. Натансон И.П. Простейшие задачи на максимум и минимум. – Изд. 3-е. – М.-Л. : Физматгиз, 1960. – 31 с. – (Популярные лекции по математике. Вып. 2).

ХРОНИКА На Всемирном математическом конгрессе, завершившемся в августе этого года в Индии (проводится раз в четыре года), были названы имена четырех лауреатов премии Филдса. До недавнего времени эта премия считалась самой престижной в области математики*. Одним из них стал 39-летний уроженец Санкт-Петербурга Станислав Смирнов, ныне профессор Женевского университета. Премия присуждена «за доказательство конформной инвариантности перколяции и модели Изинга в статистической физике». Помимо золотой медали лауреат получает денежный приз в размере 15 000 канадских долларов. Премию Филдса, которую иногда называют аналогом Нобелевской, вручают раз в четыре года математикам, возраст которых не превышает 40 лет. Нынешнему лауреату 40 лет ис* Теперь конкурировать с ней стала премия Абеля, с 2003 года ежегодно присуждаемая правительством Норвегии выдающимся математикам современности. В денежном эквиваленте она сопоставима с Нобелевской премией (которая, как известно, математикам не присуждается) и составляет сумму около миллиона долларов. 5*

полнилось 3 сентября, как раз через неделю после окончания конгресса. Одним из лауреатов Филдсовской премии, названных на предыдущем математическом конгрессе в 2006 году, был хорошо известный ученый-затворник Григорий Перельман, который и от этой премии тоже отказался. Интересно, что оба незаурядных математика, и Перельман, и Смирнов – выпускники СанктПетербургского университета, а до этого – знаменитой 239-й математической школы (сейчас Петербургский физико-математический лицей № 239). Оба были абсолютными победителями международных математических олимпиад, Перельман – в 1982, а Смирнов – в 1986 и 1987 годах. Присуждение столь престижной премии Станиславу Смирнову – очередное доказательство высокой эффективности отечественной системы математического образования, сложившейся к концу ХХ века. Редакция журнала «Математика в школе» поздравляет лауреата с этой высокой наградой и желает ему новых выдающихся достижений.

ОТКРЫТЫЙ УРОК

БИНАРНЫЙ УРОК «ОРНАМЕНТ — МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВОПЛОЩЕНИЕ КРАСОТЫ» О.Э. Анацко, Е.М. Ханукович, ГОУ гимназия № 399 (Санкт-Петербург), е-mail: aoe2005@rambler.ru В статье описан межпредметный урок математики и изобразительного искусства (ИЗО), проведенный авторами в 6-м классе. Он посвящен широко использующимся в декоративно-прикладном искусстве (вышивке, росписи, резьбе и др.) орнаментам, в основе построения которых лежат преобразования плоскости: симметрия, поворот и параллельный перенос. Ключевые слова: орнамент, симметрия, параллельный перенос. Красоту математики (ее простоту, симметрию, сжатость и полноту) можно и следует дать почувствовать даже очень малым детям. Когда этот предмет излагают должным образом и притом конкретно, то усвоение математики сопровождается эмоциями и наслаждением красотой. Д.Р. Юнг

Успешность процесса изучения математики зависит, прежде всего, от желания обучающихся овладеть основами науки, а это возможно лишь при заинтересованности предметом. Один из основных принципов обучения математике заключается в гуманитаризации ее преподавания. Математика должна выступать в качестве необходимого звена, направленного на интеллектуальное развитие учащихся, и в первую очередь − на формирование абстрактного мышления и умения работать с «неосязаемыми» объектами. Уже в 5–6 классах следует знакомить школьников с примерами применения полученных ими на уроках математики знаний в различных областях человеческой деятельности. Предлагаемый урок позволяет продемонстрировать ученикам возможности применения законов гео-

метрии при создании различных орнаментов, украшающих многие предметы декоративно-прикладного искусства. Основные цели урока − повторить и расширить знания учащихся об известных видах симметрии (при рассмотрении орнаментов разного типа); научить ребят выделять и описывать симметрию в рисунке орнамента; обобщить и систематизировать сведения, использующиеся при создании орнамента. Используемые инструменты: линейка, простые и цветные карандаши, шаблоны элементов орнамента, изготовленные из плотной бумаги. На уроке каждый учащийся выполняет предложенные задания в «Рабочем листе», который затем сдается на проверку. Объяснение учителей сопровождается показом слайдов электронной презентации.

Открытый урок

Ход урока Этап 1. Организационный момент. Этап 2. Актуализация знаний, формулировка темы. • Учитель ИЗО демонстрирует слайды с орнаментами, которые учащиеся выполнили ранее на уроке математики, и поясняет, что сегодня на уроке будут изучаться орнаменты разного вида. Эти ритмично повторяющиеся узоры рассматриваются не только в искусстве, но и в математике: правила построения любого орнамента помогает описать геометрия. Учитель сообщает тему урока: «Орнамент − математическое воплощение красоты». Затем поясняет, что все задания нужно будет выполнять в «Рабочем листе». За работу на уроке каждый ученик получит две оценки: по математике и ИЗО. • Учащиеся знакомятся с «Рабочим листом». Этап 3. Изучение нового материала. Знакомство с орнаментом и его видами • Учитель ИЗО рассказывает по слайдам об орнаменте и его видах. Орнамент (от лат. ornamentum − украшение) − узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов (один или несколько таких элементов образуют исходный рисунок). Орнаментами часто украшают различные предметы быта: посуду, текстильные изделия, мебель и др., а также архитектурные сооружения (как извне, так и их интерьеры). Орнаменты различают по разным признакам, в частности: 1) по характеру поверхности: плоскостной (рис. 1а и 2) и рельефный (рис. 1б); 2) по характеру композиции и расположению: линейный (рис. 1а и 2а, в), сетчатый (рис. 1б), центрический (рис. 2б);

3) по мотиву: геометрический (рис. 1а), зооморфный (рис. 2а), растительный (рис. 1б и 2б), антропоморфный (рис. 2в) и др.

Рис. 1а

Рис. 1б

Рис. 2а

Математика в школе 9 / 2010

• Учащиеся слушают объяснения учителя, отвечают на его вопросы. Параллельный перенос A

А1 B

Рис. 2б

AA1 || BB1 || CC1

AA1 = BB1 = CC1 Рис. 3

Центральная симметрия AP = A1P, BP = B1P

A Рис. 2в

Рассказ сопровождается беседой с учащимися, которая заканчивается вопросами. Как создать орнамент? Что для этого надо знать? • Ученики принимают участие в беседе, делают записи в «Рабочем листе» (записывают определение орнамента, заполняют схемы, отражающие разные типы орнамента), отвечают на вопросы учителя: для создания орнамента нужно знать определенные математические понятия, виды симметрии. Обсуждение математических понятий, «работающих» при построении орнамента • Учитель математики рассказывает о преобразованиях, используемых при создании орнамента: параллельном переносе (рис. 3), симметрии − центральной (рис. 4) и осевой (рис. 5), повороте (рис. 6). Особое внимание уделяется геометрическим построениям.

СP = С1P, OP = O1P

B O C

P (центр симметрии) C1 O1 B1 A1 Рис. 4

Осевая симметрия m (ось симметрии) A

N AA1 ⊥ m, AL = A1L СС1 ⊥ m, СN = C1N Рис. 5

С1

Открытый урок

Поворот B A

AP = A1P, BP = B1P ∠APA1 = ∠BPB1 B1

Чем сложнее устроен узор, тем оригинальнее и красивее выглядит орнамент.

Осевая симметрия и параллельный перенос Вертикальная ось симметрии

P (центр поворота) Рис. 6

Знакомство с принципами построения орнаментов • Учителя демонстрируют (по слайдам), как создаются орнаменты разного типа. Орнамент в виде бесконечной полосы называют линейным (бордюры). Такой орнамент получается последовательными сдвигами исходного рисунка вдоль прямой на одно и то же расстояние, т.е. с помощью параллельного переноса.

Подробно говорится о создании линейного орнамента с применением симметрии (две его разновидности показаны на рис. 7). В заключение кратко рассказывается о центрическом и сетчатом орнаментах, приводятся их примеры (узоры паркетов, розетки, рисунки вышивки и пр.). Орнамент, покрывающий плоскость, называют сетчатым. Такой орнамент состоит из повторяющихся одинаковых фигур (в простейшем случае − многоугольников: ромбов, квадратов, правильных треугольников и др.). При его создании используется разного вида симметрия в сочетании с поворотом, параллельным переносом. Еще один тип орнамента − центрический орнамент. Он представляет собой ограниченный симметричный узор, который получается из исходного рисунка путем его вращения вокруг заданного центра и копирования.

Рис. 7а

Центральная симметрия и параллельный перенос

Рис. 7б

• Ученики слушают объяснения учителей. Этап 4. Закрепление изученного материала. Выполнение заданий Задание 1. Определите, как получен каждый из орнаментов (рис. 8). • Учитель математики поясняет задание: требуется определить, какие виды симметрии использовались при создании орнаментов, представленных на «Рабочем листе». После того как большинство учащихся справятся с заданием, учителя проверяют

Математика в школе 9 / 2010

его (по слайду, рис. 9) и комментируют ответы учащихся. Как получен орнамент? 1. 2.

Рис. 8

• Ученики выполняют задание и проверяют его. Один из учащихся озвучивает ответ и сравнивает его с правильным. Как получен орнамент? 1.

С помощью параллельного переноса.

С помощью осевой симметрии и параллельного переноса.

• Учащиеся слушают пояснения учителя, затем выполняют задание. Подведение итога После выполнения задания всеми учащимися учителя подводят итог и делают вывод. Орнамент позволяет нам украсить многие предметы быта, но его создание невозможно без знания ряда математических понятий. В решении этой задачи искусство неразрывно связано с математикой. Этап 5. Домашнее задание. Домашнее задание состоит в том, чтобы придумать и построить сетчатый орнамент на новогоднюю тему. Этап 6. Завершение урока. • Учителя благодарят ребят за работу на уроке, отмечают тех, кто работал наиболее активно, собирают «Рабочие листы». Затем предлагают ученикам оценить свое эмоциональное состояние на уроке с помощью значков-смайлов (рис. 10). Твое отношение к уроку?

Рис. 9

Рис. 10

Задание 2. Используя шаблон и цветные карандаши, нарисуйте орнамент и объясните, с помощью каких видов симметрии он получен. • Учитель ИЗО показывает на доске этапы выполнения задания 2. 1. Провести горизонтальную прямую. 2. Нарисовать элемент орнамента, используя шаблон. 3. С помощью параллельного переноса построить орнамент.

• Учащиеся оценивают свое отношение к уроку. Урок, проведенный в 6 «А» классе в декабре 2009 г., показал, что всем учащимся было на нем интересно и комфортно (все 22 ученика нарисовали смайлик с улыбкой). Проверка «Рабочих листов» показала, что большинство ребят справились с заданием; некоторые ученики нарисовали орнамент, но не указали, как он был получен.

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ

МАТЕМАТИКА В СИСТЕМЕ МЕТАПРЕДМЕТНЫХ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ Ю.А. Самоненко, И.Ю. Самоненко, МГУ (Москва), e-mail: m.academia@mail.ru Рассмотрена возможность повышения развивающего эффекта обучения за счет овладения школьниками метапредметными знаниями. Показано, что обучение школьников метапредметным знаниям требует консолидированного участия учителей математики и учителей-предметников. Сущность используемого метода обучения такого рода знаниям состоит в варьировании сюжета, условий и предметного содержания задач, при сохранении ключевого понятия, заложенного в основу эвристического приема их решения. Ключевые слова: развивающее обучение, метапредметные знания, общенаучные понятия, интеграция естественно-научного и математического образования школьников.

В настоящее время в психологии и педагогике школьного образования проводится разработка проблем содержания, методов и форм обучения, приоритетом которых является умственное развитие учащихся. Показано, в частности, что включение в содержание образования знаний методологического характера существенно повышает творческие возможности учащихся. При этом возникает, во-первых, проблема отбора содержания методологического компонента знаний, усвоение которых целесообразно и посильно для учащихся каждой возрастной группы. Во-вторых, проблема распределения этого содержания между учебными предметами, в рамках которых будет осуществляться усвоение этого содержания. Эти проблемы возникают в связи с тем, что методология в равной степени определяет эффективность познавательной и преобразующей деятельности в раз-

личных видах активности человека: естественно-научном и гуманитарном знании, в техническом творчестве, в разработке технологий, и даже в решении сложных бытовых вопросов. Вот почему эти знания в современной педагогической литературе принято называть метазнаниями. Отбор содержания метазнаний, предназначенных для усвоения школьниками, проводился по разным основаниям. Для сферы естественно-научных знаний, в качестве наиболее конструктивных, были выделены следующие понятия, методы, принципы и категории, в системе философских представлений относящиеся к уровню общенаучных понятий. Они включают: • понятия: абстракция, аддитивность, аксиома, алгоритм, анализ, аналогия, атрибут, вероятность, взаимодействие, вид и род, вещь, закон, идея, идеализация, изменения, иерархия, информация,

качество, количество, константность, концепция, объект и предмет, объяснение, определение, отношение, парадокс, поведение, понятие, противоречие, синтез, свойство, связь, система, символ, состояние, структура, факт, элемент. • методы: аналогии, аналитический, генетический, дедукции, индукции, классификации, моделирования, наблюдения, от противного, приведение к нелепости, системный, теоретический, мысленного эксперимента. • принципы: дополнительности, обратимости, сохранения, симметрии. • категории: абсолютное и относительное, внешнее и внутреннее, количество и качество, необходимость и случайность, причина и следствие, явление и сущность. Вторая проблема, состоит в отыскании форм и методов усвоения этого содержания. Очевидно, что наиболее полное представительство эти понятия имеют в системе математического знания. Вместе с тем, с представленными выше понятиями учащиеся знакомятся на уроках в рамках других учебных предметов. При этом смысл одного и того же общенаучного понятия может существенно отличаться при ознакомлении с ним в рамках различных учебных предметов. Приведем пример. Сопоставим решение двух физических задач. Задача 1. На плоскости находятся четыре черепахи (рис. 1). Их взаимное расположение в начальный момент представляет собой квадрат со стороной а. Черепахи одновременно начинают двигаться, каждая в направлении соседки, находящейся на смежной стороне квадрата. Скорость черепах V. Встретятся ли черепахи? Если да, то через какое время?

Математика в школе 9 / 2010

Р е ш е н и е. «Равнозначное» положение движущихся объектов в первой задаче дает основание утверждать, что взаимное их положение в любой момент времени движения представляет собой квадрат с уменьшающимися сторонами. Мгновенная скорость всегда направлена по стороне вновь образованного квадрата. Ее можно разложить на две составляющие. Одну 2 направим к центру квадрата Vu = V . 2 Путь, который предстоит преодолеть че2 репахе S = a . Следовательно, время 2 2 a S a 2 до их встречи равно t = = = . Vu 2 V V 2 Траектории их движения будут иметь криволинейный вид. Встреча произойдет в центре квадрата. V

V a V

Рис. 1

Задача 2. Соединение проволочных проводников представляет собой куб (рис. 2а). Сопротивление каждого проводника (ребра куба) составляет r. Каково сопротивление между точками 1 и 8, представляющими собой противоположные вершины куба?

Проблемы и суждения

Р е ш е н и е. Точки 2, 3 и 4 в представленном соединении находятся в «равнозначном» относительно заданных точек, между которыми определяется сопротивление, имеют одинаковый потенциал (рис. 2б). Следовательно, их можно соединить проводником, не изменяя распределения токов в соединении. По той же причине накоротко могут быть соединены точки 5, 6 и 7. Получим эквивалентное соединение проводников. Получить ответ далее не представляет 5 трудности: R = r. 6 8

5 4

7 2

а r 1

2 3 4

5 6 7

б Рис. 2

Что объединяет обе задачи в смысле ключевой эвристики, задающей направление конкретного анализа данной задачной ситуации? Этот вопрос является центральным в дискуссии с учащимися. В нашем примере – это принцип физической симметрии, то есть «равнозначное» («равноправное») участие или влияние на процесс некоторых элементов, что и является основой для проведения необходимых преобразований. Этот принцип

выступает основой решения многих нестандартных задач в курсе физики, химии, математики. Заметим, что физическая симметрия не обязательно является выражением геометрической симметрии элементов. Так, соединение проволочных проводников может быть вовсе не кубом в пространственном отношении. Это соединение можно смять, скрутить или образовать из элементов различной длины и удельного сопротивления. Тем не менее физическая симметрия сохранится. Следует отметить, что при усвоении физического смысла этого понятия возникают затруднения. Их причины состоят в следующем. В математике симметрия выступала в двух своих видах: центральной и осевой симметрии. И только в этом качестве это понятие было введено и далее закрепилось в представлениях школьника. Вот почему последующее расширение объема содержания этого понятия встречает психологическое «сопротивление». Аналогичная ситуация складывается с усвоением школьниками других общенаучных понятий, методов, принципов и категорий (из представленной выше их «номенклатуры»). Выход из этого затруднения состоит, по нашему мнению, в согласовании между учителями математики и учителями других предметов, программе формирования общенаучных понятий. В наших исследованиях для формирования умений применять общенаучные методологические понятия в их инструментальной функции в рамках различных предметов и тем самым вывести ориентировку учащихся на более высокий уровень обобщения были разработаны специальные задания. Сущность используемого метода овладения метапредметными знаниями состояла в варьировании сюжета, условий и пред-

метного содержания задач, оставляя при этом инвариантным ключевое понятие, лежащее в основе эвристического приема их решения. При этом учащимся предлагалось не только решить предложенные задачи, но и установить то общенаучное понятие, которое было заложено в основу способа их решения. Формой усвоения методологического компонента знаний было участие школьников в элективном курсе «Как мы познаем мир и самих себя», который предлагается школьникам 7–9 классов в «Малой академии МГУ имени М.В. Ломоносова». Учебная программа этого курса предполагает систематические обобщающие занятия по различным разделам математики и школьных дисциплин естественнонаучного цикла. «Ядром» каждого такого занятия, его инвариантным содержанием выступало то или иное методологическое понятие. Материал, на котором «отрабатывалось» общенаучное понятие, варьировался в зависимости от уровня исходной подготовки школьника. Приведем еще одну иллюстрацию сказанному. Например, слушателям предлагается для освоения такое общенаучное понятие, как дополнительность. В силу его особо важной роли в детерминации познавательных действий это понятие имеет статус принципа. В ходе занятий происходит анализ различных задач, в том числе и ранее решенных. Так, ученикам предлагается вспомнить один из методов решения квадратных уравнений. Скажем, требуется решить уравнение: х2 + 4х + 3 = 0. Его корни можно получить, не прибегая к теореме Виета, если предложенное выражение дополнить до полного квадрата: х2 + 4х + 4 = 1 (х + 2)2 = 1 х1 = –1 х2 = –3.

Математика в школе 9 / 2010

Где еще мы прибегали к приему дополнения до некоторого целого в алгебре? В геометрии? При обсуждении ученики вспоминают соответствующие познавательные ситуации. Так, вывод формулы площади треугольника строился по схеме его дополнения до параллелограмма и дальнейшего его преобразования в прямоугольник, формула площади которого известна. Еще вопрос: «Применяется ли этот принцип в проблемных ситуациях в физике?» Ученикам, уже изучившим механику, можно предложить известные задачи по определению центра тяжести плоских симметричных фигур, имеющих вырезы. Эвристическим приемом, с которого начинается решение задачи, является дополнение фигуры до целой с помощью заглушки. Центр тяжести, естественно, окажется в центре симметрии. Положение центра тяжести заглушки будет в ее центре симметрии. Далее не представляет труда найти центр тяжести искомой фигуры. Познавательные методы, сильные стороны и естественные ограничения каждого из них при использовании подробно обсуждался на занятиях со слушателями «Малой академии МГУ» и неизменно вызывал интерес у школьников. Их итогом было существенное повышение познавательных возможностей учащихся, а также эффективности решения задач повышенной трудности. Опыт формирования общенаучных понятий, несущих инструментальную функцию показал, что наиболее целесообразно начинать эту работу в рамках дисциплин естественно-научного цикла, а затем проводить соответствующие обобщения и систематизацию общенаучных понятий в курсе математики. Вместе с тем исследования в этом направлении следует продолжить. Авторы выражают готовность к сотрудничеству с учителями математики и дисци-

Проблемы и суждения

плин естественно-научного цикла, заинтересованных в разработке и во внедрении в практику обучения данного направления технологий развивающего образования.

Литература Жильцова О.А., Самоненко Ю.А. Обучающие технологии в естественно-научном образовании школьников. – М. : Полиграф, 2001. Жильцова О.А. Самоненко Ю.А. Усиление методологического компонента естественно-научных знаний как необходимое условие организации исследовательской деятельности учащихся // Вестник МГУ им. М.В. Ломоносова. – 2006. – № 1. – (Педагогическое образование).

Жильцова О.А., Самоненко Ю.А. Реализация принципов психологической теории деятельности А.Н. Леонтьева в естественнонаучном образовании школьников // Вопросы психологии. – 2007. – № 1. Жильцова О.А., Кузнецова И.В, Самоненко Ю.А. Опыт внедрения новых образовательных технологий в практику работы средних школ. – М. : Полиграф, 2003. Дистанционная поддержка педагогических инноваций при подготовке школьников к деятельности в сфере науки и высоких технологий / под ред. Ю.А. Самоненко. – М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. – (Инновационный университет).

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Редакция напоминает авторам, предлагающим задачи в «Отдел задач»: 1. Задачи должны присылаться вместе с решениями. Задачи, присылаемые без решений, редакция не рассматривает. Каждая задача должна быть помещена на отдельном листе. 2. Если задача заимствована, то должен быть указан источник, откуда она взята. Редакция журнала доводит до сведения читателей, участвующих в решении задач, правила, выполнение которых является обязательным: 1. Решения можно присылать в редакцию как обычной, так и электронной почтой по адресу: mathematics@schoolpress.ru не позднее срока, указанного в предисловии к условиям задач. Решения к зада-

чам одного номера высылаются в одном конверте (файле). Решения, поступившие позже, не рассматриваются. 2. Решения задач присылаются отдельно от другой корреспонденции. 3. Решение каждой задачи выполняется на отдельном листе, в конце листа указываются (разборчиво) фамилия, имя и отчество автора. Решения участников кружка подписываются руководителем, а на конверте указывается название кружка. 4. Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой из решенных задач должен быть крупно выделен. 5. К решениям прилагаются на отдельном листе номера решенных задач и точный адрес автора решений.

Н АУ Ч Н О - П О П У Л Я Р Н Ы Й О ТД Е Л

В одном из интервью Мартина Гарднера (1914–2010), известного американского писателя и популяризатора науки, спросили, чем бы он занимался, если бы стал профессиональным математиком. Тот признался: «Топология очаровывает меня, потому что имеет дело с основополагающими свойствами пространства». О давнем интересе Гарднера к топологии говорит тот факт, что ей был посвящен его первый фантастический рассказ «Нульсторонний профессор» (No-sided Professor, 1947), в котором начинающий автор даже попытался объяснить несведущему читателю, что же это за наука такая и какие задачи в ней рассматриваются. Впоследствии Гарднер не раз возвращался к этой теме в своих математических эссе и заметках. Наконец, из всех видов головоломок и фокусов, к которым писатель проявлял интерес с детства и пронес его через всю жизнь, больше всего он любил топологические: трюки с платками, шнурами, гибкими лентами и кольцами − вроде тех, что показывают в цирке∗. На русском языке рассказ «Нульсторонний профессор» неоднократно публиковался в сборниках научно-фантастических произведений зарубежных авторов, а также в журнале «Квант». И всегда − в переводе Ю.А. Данилова (1936−2003), известного специалиста в области математики и физики, писателя и популяризатора науки∗∗. Перед вами другой, куда менее известный, но не менее удачный, к тому же снабженный комментариями автора и иллюстрациями, перевод того же рассказа. Впервые он был опубликован в журнале «Наука и жизнь» (№ 5, 1977). Автор перевода − И. Верещагин.

ПРОФЕССОР, У КОТОРОГО НЕ БЫЛО НИ ОДНОЙ СТОРОНЫ (Фантастическая история) М. Гарднер

Долорес – стройная брюнетка, звезда стриптиза чикагского ночного клуба «Красный колпак» – вышла на середину эстрады, сделала под сладостные аккорды египетских мотивов несколько медленных па своего «танца Клеопатры». Зал был погружен в темноту, только опаловый луч прожектора струился по матовой коже

роскошных бедер и играл на тканях египетского костюма Долорес. Вот-вот должна была упасть вуаль, покрывавшая ее голову и плечи. Плавным жестом она уже направила ее к полу, но вдруг в притихшем зале где-то вверху раздался резкий звук, словно выстрел из пистолета. С потолка вниз головой на эстра-

* Подробнее о жизни и творчестве Мартина Гарднера см.: Карпушина Н.М. Тот самый Мартин Гарднер // Математика в школе. − 2010. − № 7. − С. 38–44.

** В 1970–1980-е гг. Ю.А. Данилов перевел семь книг М. Гарднера (все выпущены издательством «Мир»), а также сборник статей, приуроченный к его юбилею.

Научно-популярный отдел

ду свалилось обнаженное тело крупного мужчины. В падении он зацепил вуаль и припечатал ее с глухим ударом к полу. Воцарился хаос. Джек Бауэрс, распорядитель, крикнул, чтобы дали свет, и попытался удержать публику на местах. Метрдотель, стоявший у оркестра и наблюдавший за танцем, схватил со стола скатерть, набросил ее на скрюченное тело и перевернул его на спину. Человек тяжело дышал. Видимо, он потерял сознание от удара. Ему было за пятьдесят – короткие, аккуратно подстриженные рыжие борода и усы, голый череп и фигура профессионального борца. Три официанта явно с трудом подняли тяжелое тело и отнесли его в кабинет метрдотеля, оставив в зале ошеломленных и возбужденных мужчин и женщин, глядевших то друг на друга, то на потолок и жарко обсуждавших, как и откуда свалился человек. Можно было предположить, что, пока зал был погружен в темноту, ктото швырнул его на эстраду, но кто? – этого никто не видел. Вызвали полицию. Между тем в комнате метрдотеля бородач пришел в сознание. Он утверждал, что его зовут Станислав Слапенарский, что он профессор математики Варшавского университета и приглашен для чтения лекций в Чикагском университете. Прежде чем продолжить эту курьезную историю, я должен признаться, что сам не был свидетелем этих событий и рассказываю со слов распорядителя и официантов. Но я был прямым участником всей знаменательной цепочки событий, завершившейся беспрецедентным явлением профессора в зале. События эти начались за несколько часов до того. Члены общества Мёбиуса собрались на свой ежегодный симпозиум в одном из уютных кабинетов на втором

этаже клуба «Красный колпак». Общество Мёбиуса – это небольшая, малоизвестная группа чикагских математиков, занимающихся топологией – одной из самых молодых и самых любопытных областей современной математики, изучающей законы преобразования геометрических фигур. Чтобы сделать более понятным события этого вечера, следует вкратце изложить специфику предмета топологии. Суть топологии трудно определить, не прибегая к специальным терминам. Но можно сказать, например, что топологи изучают свойства фигур, не изменяющиеся при любых деформациях. Представьте себе бублик из мягкой резины, который можно как угодно крутить и растягивать в любом направлении. Сколь бы сильно ни была деформирована (или «трансформирована», как предпочитают выражаться математики) поверхность этого бублика, некоторые особенности его формы останутся неизменными. Так, например, всегда сохранится его дырка. В топологии тело в форме бублика называется «тором». Соломинку для коктейлей также можно рассматривать как вытянутый по центральной оси тор, так что с позиции топологии бублик и соломинка – идентичные фигуры. Топологию совершенно не интересуют количественные соотношения. Для нее важны только фундаментальные свойства поверхностей, остающиеся неизменными при самых глубоких деформациях поверхности тела, какие только возможны без разрывов и новых склеиваний. Если же тело разрезать на части и склеить эти части другим образом, получится совершенно другое тело и все его первоначальные топологические свойства будут утеряны. Итак, топология изучает самые основные, фундаментальные математические свойства реальных тел.

Для примера рассмотрим одну из проблем топологии. Представьте себе тор (бублик), образованный замкнутой трубкой из тонкой резины. Представьте себе также, что на поверхности тора имеется небольшое отверстие. Можно ли сквозь него вывернуть тор наизнанку, так же как, например, выворачивается воздушный шарик? Эту задачу не так просто решить в уме. Хотя многие математики восемнадцатого столетия занимались отдельными проблемами топологии, одну из первых систематизированных работ в этой области выполнил Август Фердинанд Мёбиус, немецкий геометр, профессор Лейпцигского университета первой половины прошлого века. До Мёбиуса все полагали, что любая поверхность, например лист бумаги, должна иметь две стороны. Но он сделал удивительное открытие – показал, что, если взять полоску бумаги, развернуть ее по продольной оси на пол-оборота и склеить концы, можно получить «одностороннюю» поверхность – поверхность, у которой будет только одна сторона! Если вы не поленитесь сделать такую полоску (топологи называют ее «листом или лентой Мёбиуса») и внимательно ее изучите, то вскоре убедитесь, что она действительно имеет только одну замкнутую сторону и только один замкнутый край. Сперва даже трудно представить себе, что подобный лист может существовать, но он существует в явной и осязаемой форме, его совсем нетрудно сделать, и он обладает неоспоримым свойством односторонности, свойством, которое не исчезает, как бы его ни растягивали и как бы его ни скручивали. Но вернемся к нашей истории. Я горжусь тем, что мне, как преподавателю математики Чикагского университета, защитившему диссертацию по тополо-

Математика в школе 9 / 2010

гии, не составило труда быть принятым в члены общества Мёбиуса. Число его членов было невелико – всего 26 человек, по большей части чикагские топологи и еще несколько представителей университетов соседних городов. Мы собирались регулярно раз в месяц, и наши заседания носили в основном академический характер, однако раз в год, 17 ноября (день рождения Мёбиуса), мы устраивали симпозиум, на который в качестве почетного гостя и лектора мы приглашали кого-либо из выдающихся топологов. Симпозиум включал в себя также и менее серьезные аспекты – обычно это было какое-либо специальное развлечение. Но в этом году у нас было мало денег, и мы решили отметить нашу годовщину в клубе «Красный колпак», где обеды были не слишком дороги, а развлечением после лекции могла служить программа варьете. Нам повезло, и мы смогли пригласить в качестве почетного гостя и лектора знаменитого профессора Слапенарского – общепризнанного ведущего тополога мира и одного из величайших математиков века. Доктор Слапенарский находился в городе уже несколько недель и читал в университете Чикаго серию лекций по топологическим аспектам теории пространства Эйнштейна. В результате наших встреч в университете мы стали добрыми друзьями, и мне поручили пригласить его на обед. Мы ехали в «Красный колпак» на такси, и по дороге я спросил его, о чем он собирается говорить в своем вступительном слове. Но он только загадочно улыбнулся и сказал мне с сильным польским акцентом, что ждать осталось недолго. Тема его выступления – «Поверхность, не имеющая сторон» – вызывала такой интерес среди

Научно-популярный отдел

членов нашего общества, что доктор Роберт Симпсон из Висконсинского университета, принимая приглашение, писал, что это будет первое ученое собрание, которое он посетит за весь прошедший год*. Доктор Симпсон – это выдающийся тополог Среднего Запада, автор важных работ по топологии и ядерной физике, в которых он решительно оспаривал ряд важнейших положений Слапенарского. Польский профессор и я прибыли с небольшим опозданием. После краткой церемонии знакомства мы сели за стол, и я обратил внимание Слапенарского на нашу традицию включать в сервировку предметы с намеком на топологию. Так, например, кольцами для салфеток служили серебряные ленты Мёбиуса. К кофе подавали бублики, а специально сделанные для нас кофейные чашки имели форму бутылки Клейна. После еды нам подали пиво «Баллантайн», поскольку его этикетка имела любопытный торговый знак, и соленые бисквиты в форме двух «тройных» узлов. Слапенарский был восхищен этими деталями и даже внес несколько предложений о возможности использования за столом и других любопытных для тополога фигур, однако его предложения слишком сложны, чтобы на них можно было бы здесь остановиться. После моего краткого вступительного слова Слапенарский встал, ответил улыбкой на приветственные аплодисменты и откашлялся. В зале мгновенно воцарилась тишина. Читателю знаком уже облик профессора, его солидные формы, рыжая борода и блестящая лысина. На его лице * Доктор Симпсон позднее признался мне, что он прибыл на банкет не для того, чтобы услышать Слапенарского, а чтобы увидеть Долорес. (Прим. автора.)

было написано, что сейчас он откроет нам нечто чрезвычайно важное. Я бессилен с должной полнотой пересказать блестящее и доступное только специалистам выступление Слапенарского. Но дело сводилось к следующему. Десять лет тому назад, сказал он, его поразила мысль, высказанная Мёбиусом в одном из его малоизвестных трудов, о том, что нет теоретических возражений против того, что поверхность может потерять не только одну, но и обе свои стороны. Другими словами, теоретически возможно существование «нулевых» поверхностей. Естественно, продолжал профессор, что такую поверхность трудно себе представить, но ведь так же трудно представить себе и существование квадратного корня из минус единицы или гиперкуба в четырехмерном пространстве. Давно признано, что недоступность какой-либо концепции для воображения не дает основания отрицать ее ценность и полезность для современной математики или физики. Следует помнить, добавил он, что даже односторонняя поверхность непостижима для того, кто не видел и не держал в руках ленту Мёбиуса. А многие, даже обладающие хорошим математическим воображением, не способны поверить в ее существование, даже держа ее в руках. Взглянув здесь на доктора Симпсона, я заметил скептическую улыбку в углах его губ. Вот уже много лет, продолжал Слапенарский, как он занят неустанными поисками поверхностей, не имеющих сторон, и вот, проводя аналогии с известными типами поверхностей, он сумел исследовать многие их свойства. Наконец, – здесь он прервался, чтобы сделать более эффектным свое заявление, обвел блестящими глазами напряженные лица слушателей –

и произнес: «Мне удалось создать поверхность, не имеющую сторон». Его слова словно ударом электрического тока потрясли всех сидевших за столом. Все вздрогнули, изменили позы и удивленно переглянулись. Я видел, как Симпсон резко затряс головой. Когда докладчик прошел в тот угол комнаты, где висела грифельная доска, Симпсон наклонился и прошептал соседу слева: «Чистейшая ерунда. Или этот тип окончательно спятил, или сознательно дурачит нас». Я думаю, что и другие тоже решили, что все это чистейшая мистификация, ибо, как я заметил, они начали улыбаться, когда профессор стал быстрыми штрихами мела покрывать доску сложными схемами. После краткого пояснения своих схем (которые оказались выше моего понимания) профессор заявил, что в заключение своего сообщения он построит одну из простейших моделей не имеющей сторон поверхности. Теперь все стали переглядываться, не скрывая улыбок. Симпсон уже не улыбался – он ухмылялся. Слапенарский вынул из кармана пиджака листок бледно-голубой бумаги, небольшие ножницы и тюбик клея. Он вырезал из бумаги фигурку, которая, как мне показалось, удивительно походила на бумажного человечка. У нее было пять отростков, которые вполне можно было принять за голову и четыре конечности. Он нанес на них клей и стал тщательно складывать фигурку. Полоски бумаги накладывались друг на друга самым причудливым образом, пока наконец не остались только два свободных конца. Доктор Слапенарский нанес капельку клея на один из них. – Джентльмены, – сказал он, показывая нам сложное голубое сооружение и поворачивая его так, чтобы все мы могли его видеть. – Вы присутствуете при пер-

Математика в школе 9 / 2010

вой публичной демонстрации поверхности Слапенарского. Сказав это, он прижал один из свободных концов к другому. Раздался громкий хлопок, словно лопнула электрическая лампочка, – и бумажная конструкция в его руках исчезла! На мгновение все замерли от изумления, затем единодушно рассмеялись и принялись аплодировать. Естественно, все были убеждены, что видели сложный фокус, выполненный просто великолепно. Я, как и другие, полагал, что это был хитроумный химический трюк с бумагой. Видимо, ее обработали так, что при трении или другом воздействии она мгновенно взрывалась, не оставляя пепла. Но тут я заметил, что профессора смутил наш смех, лицо его стало багроветь. Он растерянно улыбнулся и сел. Аплодисменты понемногу стихли. Всеми овладело шутливое настроение. Мы столпились вокруг профессора и наперебой тепло поздравляли с удивительным открытием. Затем распорядитель напомнил нам, что внизу для нас накрыт стол и желающие могут пройти в зал, чтобы немного выпить и посмотреть представление. Комната постепенно опустела, остались только Слапенарский, Симпсон и я. Два знаменитых тополога стояли рядом у доски. Симпсон широко улыбнулся и указал на одну из схем. – Ошибка в ваших доказательствах столь великолепно скрыта, доктор, – сказал он, – что я не думаю, чтобы кто-либо из присутствующих мог ее заметить. Польский математик не принял этот комплимент. – У меня нет ошибки, – раздраженно возразил он. – О, успокойтесь, доктор, – сказал

Научно-популярный отдел

Симпсон. – Конечно, здесь ошибка. – Все еще улыбаясь, он коснулся угла схемы мизинцем. – Эти линии просто не могут пересекаться в этом узле. Пересечение должно быть где-то здесь. – Он повел рукой вправо. Лицо Слапенарского снова побагровело. – Я говорю вам, здесь нет ошибки, – повторил он, повышая голос. Затем, медленно, тщательно и отрывисто выговаривая слова, он снова повторил свои доказательства, подчеркивая каждое слово постукиванием кулака по доске. Симпсон мрачно слушал, наконец прервал его возражением. Последовал немедленный ответ. Почти тут же Симпсон возразил снова. Снова последовал ответ. Я молча стоял рядом. Спор был недоступен моему пониманию. Тут оба стали повышать голос. Я уже говорил, что Симпсон давно не соглашался со Слапенарским по ряду аксиом топологии. Теперь именно они стали аргументами в споре. – Я говорю вам, что эта трансформация не может быть неразрывной, а поэтому эти объекты нельзя считать гомеоморфными*, – рявкнул Симпсон. На лбу польского математика вздулись вены. – Так попробуйте объяснить, почему исчезла моя конструкция, – крикнул он в ответ. – Это дешевый фокус, – отрезал Симпсон, – мне наплевать, как вы его сделали. Бумажка исчезла не потому, что потеряла материальность! – Ax так, ну ладно же! – процедил Слапенарский сквозь зубы. * Гомеоморфными называют в топологии фигуры, которые можно превращать одну в другую, не разрывая. Например, круг гомеоморфен квадрату – их можно превратить друг в друга, не нарушая замкнутость этих фигур. (Прим. перев.)

Прежде чем я смог вмешаться, он резко ударил своим громадным кулаком в челюсть доктора Симпсона. Профессор из Висконсина со стоном рухнул на пол. Слапенарский обернулся и зверски посмотрел на меня. – Пошел вон, мальчишка, – прорычал он. Он был тяжелее меня по меньшей мере фунтов на сто, и я счел за благо отступить назад. В ужасе я смотрел на происходящее. Слапенарский бросился на колени у распростертого на полу тела и быстрым движением связал его руки и ноги фантастическим узлом. Он складывал тополога из Висконсина так же, как кусок бумаги! Внезапно раздался слабый взрыв, похожий на выхлоп автомобиля, и под руками польского математика осталась только груда одежд доктора Симпсона! Симпсон приобрел нулевую поверхность! Слапенарский выпрямился, хрипло дыша, сжимая в своих руках твидовый пиджак, жилет, рубашку и нижнее белье, все вывернутое наизнанку. Он медленно раскрыл руки, и эти предметы туалета свалились грудой на пол. Крупные капли пота катились по его лицу. Он что-то бормотал по-польски и сжатыми кулаками стискивал голову. Слабым голосом я спросил: – Он может... его можно вернуть? – Не знаю, не знаю, – простонал Слапенарский. – Я только еще начал исследование этих поверхностей, я только, только начал. Не могу себе представить, где он находится. Конечно, он в одном из многомерных пространств, но только бог знает в каком! Тут он резко схватил меня за лацканы пиджака и затряс так, что у меня чуть не выпал зубной мост. – Я должен идти за ним, – кричал он, –

это единственное, что я могу сделать, это все, что в моих силах. Он лег на пол и быстрыми движениями стал складывать свои руки и ноги. – Не стойте, как идиот! – прорычал он. – Идите сюда, помогите мне! Я вправил на место мост и помог ему заложить правую руку под левую ногу и загнул ему голову так, что он смог схватить себя за правое ухо. То же нужно было проделать с левой рукой. «Сверху, а не снизу!» – крикнул он. С большим трудом мне удалось так согнуть ему руку, чтобы он схватил себя за нос. Снова раздался взрыв, более мощный, чем при исчезновении Симпсона, порыв холодного ветра ударил мне в лицо. Когда я открыл глаза, то увидел на полу еще одну груду скомканной одежды. Пока я в полной растерянности взирал на эти две кипы одежды, сзади кто-то резко выдохнул воздух. Я обернулся и увидел, что у стены стоит Симпсон, совершенно голый, дрожащий, бледный как мел. Затем ноги его подкосились, и он рухнул на пол. На руках и ногах, там, где их недавно с силой прижимали друг к другу, были видны красные пятна. Я бросился к двери, отпер ее и устремился вниз. После всего происшедшего мне просто необходимо было выпить. Но в зале царило смятение – минуту назад произошло явление Слапенарского на эстраде. В кабинете метрдотеля я нашел других членов общества Мёбиуса, а также и нескольких служащих «Красного колпака», занятых шумным и бессвязным спором. Слапенарский сидел в кресле, закутанный в скатерть, и держал у подбородка платок с завернутыми в него кубиками льда. – Симпсон вернулся, – сказал я, – он в обмороке, но думаю, что с ним все в порядке.

Математика в школе 9 / 2010

– Слава богу, – прошептал Слапенарский. Служащие и хозяева «Красного колпака» так и не смогли понять, что произошло в этот ужасный вечер, а наши объяснения только ухудшили дело. Приход полиции внес еще большее смятение. Наконец мы облачили обоих профессоров, поставили их на ноги и отбыли, скорее бежали, поклявшись вернуться на следующий день с адвокатом. Управляющий явно был уверен, что стал жертвой чудовищного заговора, и угрожал вчинить нам иск о возмещении убытков тому, что он называл «безупречной репутацией» клуба. Однако, как оказалось, слухи о событиях этой ночи сделали клубу прекрасную рекламу, и дело было замято. Газетчики, естественно, прослышали об этой истории, однако не дали ей хода, решив, что все это выдумал в целях рекламы Фанстил – пресс-агент «Красного колпака». Здоровье Симпсона не пострадало, но Слапенарский сломал себе челюсть. Я доставил его в госпиталь Беллинга около университета, и вечером следующего дня он изложил мне свою версию событий. Симпсон, как он полагал, был отправлен в пространство высшего измерения (вероятно, пятого), когда же он пришел в себя и распутал свои руки и ноги, то снова, как всякий трехмерный тор, обрел внешнюю и внутреннюю поверхности. Но Слапенарскому повезло меньше. Он очутился на каком-то склоне. Ничего не было видно, со всех сторон был сплошной туман, и ему казалось, что он катится вниз, словно с холма. Он пытался удержать собственный нос в кулаке, но неудачно. Правая рука соскользнула прежде, чем он скатился до дна. Он распрямился и вот снова возник в трехмерном пространстве, нарушив египетский танец Долорес.

Научно-популярный отдел

Во всяком случае так рассказал мне об этом сам Слапенарский. Он пробыл несколько недель в больнице, отказываясь кого-либо видеть вплоть до дня выписки. В этот день я встретил его и проводил на Центральный вокзал. Он сел в поезд до Нью-Йорка, и больше я его никогда не встречал. Через несколько месяцев он скончался от инфаркта в Варшаве. Сейчас доктор Симпсон ведет переписку с его вдовой, пытаясь заполучить оставшиеся от него заметки о поверхностях, не имеющих сторон. Смогут ли американские топологи разобраться в этих заметках (если им удастся их получить), покажет будущее. Мы же, сколько ни экспериментировали с бумажными фигурками, ничего не по-

лучали, кроме обычных двусторонних или односторонних поверхностей. Хотя именно я помог Слапенарскому сложить себя должным образом, однако пережитое мною потрясение полностью стерло в памяти детали. Но все же я никогда не забуду, что великий тополог сказал мне в тот вечер, когда я доставил его в больницу. – Какое счастье, – сказал он, – что и Симпсон и я положили левую руку поверх правой. – А иначе что случилось бы? – спросил я. Слапенарского передернуло. – Нас бы вывернуло наизнанку. Перевел с английского И. Верещагин

Подробности для любознательного читателя Примечания автора Примечание 1. Лист Мёбиуса обладает многими удивительными свойствами. Так, например, если его разрезать по средней линии, то он не распадется на две полосы, как можно было бы ожидать, но превратится в одну длинную полосу. Но если вы будете его резать на расстоянии одной трети от края и проведете такой разрез дважды, то в результате получатся две взаимосвязанные петли – большая и малая. Разрезав малую петлю по средней линии, можно получить еще одну большую петлю, все еще связанную с первой длинной полосой. Эти удивительные свойства листа Мёбиуса использованы в одном старом фокусе с тканью, который профессиональные фокусники называют «афганские ленты». Примечание 2. Названная в честь Феликса Клейна, выдающегося немецкого математика, бутылка Клейна имеет

полностью замкнутую поверхность, однако у нее нет ни внутренней, ни наружной стороны. Она, как лист Мёбиуса, имеет только одну сторону, но в отличие от него не имеет края. Можно получить такое ее сечение, что каждая половина образует поверхность Мёбиуса. В бутылку Клейна можно налить жидкость, и ничего страшного с жидкостью не произойдет.

Рис. 1

Математика в школе 9 / 2010

Рис. 2

Рис. 3

Примечание 3. Торговый знак на этикетке пива «Баллантайн» – переплетенные кольца (рис. 2) топологически очень интересен. Хотя все три кольца скреплены, но любая их пара не замкнута между собой. Другими словами, если удалить хотя бы одно из колец, то два других будут совершенно свободными. Разъединить одновременно все три кольца нельзя. Примечание 4. Тройной узел – это простейший узел, который может быть

образован замкнутой кривой. Существуют две формы этого узла, представляющие собой зеркальные двойники. Хотя обе его формы топологически идентичны, невозможно преобразовать одну в другую без разрыва. Это их удивительное свойство чрезвычайно смущает топологов. Изучение узлов является важной отраслью топологии, однако свойства даже простейших узлов все еще исследованы недостаточно.

МАТЕМАТИКИ ШУТЯТ Лекторские перлы* Четырехмерное пространство вообразить довольно просто. Для этого достаточно представить четыре ортонормированных вектора. Остальное приложится. * * * Сейчас я расскажу о методе ортогонализации Грамма-Шмидта, который я очень люблю за его звучное название. * * * Итак, прошу вас освободить кору головного мозга для следующей теоремы. * * * Сегодня предстоит интересная лекция... По крайней мере для меня. *

* Все перлы цитируются по книге: Занаучный юмор / сост. С. Орлов. – М. : МФТИ, 2000.

Задачи будут интересные. Одну из них сейчас решает вся кафедра. Если решит, мы ее включим в экзаменационную работу. * * * Сами разбирайтесь, верно или нет, мое дело написать. * * * Я рисовал так, чтобы было ясно, что разобрать здесь что-нибудь совершенно невозможно. * * * Теорема о существовании Какую бы глупость вы ни придумали, найдется человек, который эту глупость сделает. * * * Сейчас я провозглашу торжественное определение!

Научно-популярный отдел

ЛЕГЕНДА О ТРИДЦАТИ ТРЕХ БОГАТЫРЯХ, ИЛИ КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ С6 ИЗ ЕГЭ-2010 С.В. Дворянинов, СГАУ им. академика С.П. Королева (Самара), e-mail: dvoryan@yandex.ru Меня спрашивали, доволен ли я своим камер-юнкерством. Доволен, … – а по мне хоть в камер-пажи, только б не заставили меня учиться французским вокабулам и арифметике. А.С. Пушкин, Дневник, 1834 г., 1 января. (Вокабула – слово или выражение на иностранном языке с переводом на родной язык). Пересмотрел все очень строго: Противоречий очень много, Но их исправить не хочу. А.С. Пушкин, Евгений Онегин, первая глава.

Бывают ли доказательства на уроках литературы …Однажды на уроке литературы в нашем классе учитель задал нам необычный вопрос: докажите, что сказка о царе Салтане именно сказка, а не быль. Сама постановка задачи вызвала недоумение: никогда прежде на уроках литературы мы ничего не доказывали! Да, мы рассуждали, спорили, учились аргументированно отстаивать свое мнение, но доказывать… на уроках литературы… Нет, такого не было. Это же не математика! А дальше было вот что. Допустим, сказал наш учитель, сказка о царе Салтане – это быль, и всякое высказывание в ней истинно. Рассмотрим, как корабельщики рассказывают царю Салтану про чудо-явления тридцати трех богатырей: Каждый день идет там диво: Море вздуется бурливо, Закипит, подымет вой, Хлынет на берег пустой, Расплеснется в скором беге – И останутся на бреге

Тридцать три богатыря, В чешуе златой горя, Все красавцы молодые, Великаны удалые, Все равны, как на подбор; Старый дядька Черномор С ними из моря выходит И попарно их выводит, Чтобы остров тот хранить И дозором обходить – …

Итак, на берег из моря выходят 33 молодых богатыря и старый дядька Черномор, который выводит их парами, то есть по двое. Но 33 на 2 не делится, следовательно, поэтическое описание оказывается ложным, невозможным с точки зрения арифметики. Отсюда следует, что произведение Александра Сергеевича Пушкина действительно является сказкой, что и требовалось доказать. Неужели поэт ошибся Получается так, что наш великий поэт допустил элементарную математическую ошибку и не заметил, что 33 нельзя раз-

делить нацело на 2? Нет, конечно. Почти шесть лет – с 19 октября 1811 года до 9 июня 1817 – Пушкин провел в Императорском Лицее, открытом в летней резиденции царя – Царском Селе. Лицей принадлежал к числу учебных заведений с энциклопедической программой обучения и воспитания. Императорский Лицей давал общее высшее образование, приравненное к университетскому. Обучение в Лицее длилось шесть лет: первые три года – начальный курс – изучались предметы старших классов гимназии, три последующих года – университетский (или окончательный) курс – предметы университета. Деления на факультеты в Лицее не было; воспитанники изучали основные предметы трех факультетов университета: нравственно-политического, словесного и физико-математического. Лицеисты должны были осваивать большое количество предметов, в чем критики нового учебного заведения видели недостаток: они считали, что пройти за шесть лет столь обширную программу невозможно и полученные знания будут лишь поверхностными, то есть, по их мнению, в этом отношении Лицей уступал и гимназиям, и университету. Однако многочисленность изучаемых дисциплин не была просчетом организаторов Лицея, которые сознательно разработали такую программу обучения, для того чтобы в кратчайший срок подготовить не узких специалистов, а универсально образованных и гармонично развитых людей. Принято считать, что Лицей был гуманитарным учебным заведением, однако в лицейском Уставе говорилось о равноправии гуманитарных и точных наук: «При вступлении воспитанников в курс окончательный науки нравственные, физические и математические должны занимать первое место».

Математика в школе 9 / 2010

Физический кабинет образовался в Лицее первым, и это свидетельствует о том, что точным наукам здесь уделялось должное внимание. Уже при открытии учебного заведения начальство и профессор физики и математики Яков Иванович Карцов были обеспокоены поисками необходимых приборов, которые покупались или заказывались у лучших петербургских мастеров. Обогащение кабинета всевозможными пособиями шло очень быстро; в их числе были и такие необычные, как искусственный глаз и искусственное ухо. Обращала на себя внимание и машина, представляющая вращение планет вокруг солнца, – планетарий; в первый год была приобретена превосходной работы электрофорная машина. Благодаря профессору Я.И. Карцову в лицейской библиотеке имелось значительное количество замечательных сочинений по естественным наукам. Однако ни превосходный кабинет, ни ученость профессора не сделали физику и математику любимыми предметами воспитанников. Это было время гуманитарных наук, и поэтому точные дисциплины преподавались многим из лицеистов с большим трудом, вызывая уныние и досаду. По воспоминаниям Модеста Корфа, начальный курс математики, преподававшийся в первые три года, не представлял большой сложности, но когда пришла пора дифференциалов и интегралов, все к ней охладели. «О, Ураньи чадо темное, О, наука необъятная, О, премудрость непостижная, Глубина неизмеримая!.. – писал Алексей Илличевский о математике. – Признаюсь и рад повторить прозой. В ней, кажется, заключила природа всю горечь неизъяснимой скуки. Нельзя сказать, чтоб я не понимал ее, но… право, от одного воспоминания голова у меня заболела».

Научно-популярный отдел

Однако нет сомнения, что занятия физикой и математикой оказали свое положительное влияние на общее развитие лицеистов, расширили их кругозор, побудили к познанию тайн Вселенной. В одном из лицейских писем будущего знаменитого мореплавателя Федора Матюшкина можно прочесть такие строки: «Если бы возможно было смертному вознестись выше земли и видеть строение натуры, источник Солнцев, какое бы приобрел он себе от сего знание и удовольствие…» Пройдет всего несколько лет, и многочисленные научно-технические открытия изменят представления о мире и вызовут огромный интерес к точным наукам. И появятся гениальные пушкинские строки: О сколько нам открытий чудных Готовят просвещенья дух, И опыт, сын ошибок трудных, И гений, парадоксов друг…

Однажды в конце учебного года профессор Карцов попросил своих учеников вычислить сумму 1 + 2 + 3 + … + 10. (1) Кто быстро, кто не очень, но каждый получил ответ – 55. А теперь, – продолжил учитель, – перед некоторыми из этих десяти чисел поставьте знак минус так, чтобы полученная сумма равнялась нулю. Кто этого добьется, получит отличную оценку за год! Доподлинно неизвестно, чем закончилась эта история. Быть может, задача оказалась сложной для лицеистовгуманитариев. Дело в том, что получить ноль таким образом невозможно, и ожидаемое учителем доказательство этого несомненно заслуживает пятерки. Возможно, что учителю самому пришлось объяснять этот факт ученикам. Вот это объяснение. Пусть в сумме (1) перед одним слагаемым – обозначим его n – появился знак минус. На сколько уменьшилось при этом

число 55? На 2n! Продумайте почему! (Действительно, не включая в сумму число n, мы уменьшаем ее на n, затем добавляя слагаемое –n, мы еще раз уменьшаем сумму на n.) Новая сумма 55 – 2n является числом нечетным. И такой – нечетной – она будет при любом количестве минусов. Ноль же – число четное, и оно здесь никогда получиться не может. Продолжим историю. Летом 1831 года, женившись, Пушкин проводил лето в Царском Селе и вновь посетил Лицей. Среди старшеклассников в ту пору был Я. Грот, в будущем академик, который оставил воспоминание об этом посещении: «Никогда не забуду восторга, с каким мы его приняли. Как всегда водилось, когда приезжал кто-нибудь из наших “дедов”, мы его окружили всем курсом и гурьбой провожали по всему Лицею. Обращение его с нами было совершенно простое, как со старыми знакомыми: на каждый вопрос он отвечал приветливо, с участием расспрашивал о нашем быте, показывал нам свою бывшую комнатку, передавал подробности о памятных ему местах... Он присутствовал у нас на экзамене по истории». Известно, что лицеистов в классе рассаживали в соответствии с успехами в учении: чем ниже успеваемость воспитанника, тем дальше от кафедры он должен был садиться. Определенного места, где сидел Пушкин, установить невозможно: у разных профессоров юный поэт занимал разные места; однако на уроках российской словесности и французской риторики Пушкин неизменно был среди первых. И вот тогда летом 31-го года один самый смелый воспитанник спросил поэта – за что учитель математики отправил его за самую последнюю парту? – Я не мог 33 разделить на 2! – улыбнулся поэт.

Математика в школе 9 / 2010

В это время, летом 31-го, Пушкин завершал работу над «Сказкой о Царе Салтане». В рукописях поэта сохранились две записи этого сюжета, относящиеся к 1822 и 1824 годам. Сказка о царе и его сыне имеется в пушкинских записях народных сказок со слов Арины Родионовны. Вернувшись из Лицея к своему письменному столу, поэт вновь вспомнил пору своего ученичества, вспомнил и эпизод с делением, всего-то на всего – одно число разделить на другое. Но это деление у юного Александра никак не получалось. Это был именно тот день, когда учитель сказал ему: «Ступайте, Пушкин, на место! И продолжайте лучше сочинять свои стихи!..» Историю о том неудавшемся делении и зашифровал поэт в рассказе о тридцати трех богатырях, выходящих из моря парами!…

Решаем задачу ЕГЭ-2010 Примечательно, что истории двухсотлетней давности, о которых мы здесь упомянули, связаны с нашим временем. В 2010 году выпускники наших школ решали такую задачу: Каждое из чисел 3, 4,…, 8 умножают на каждое из чисел 9, 10,…, 17 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак «плюс» или «минус», после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму S можно получить в итоге? Приступая к решению, следует познакомиться с героями, или действующими лицами каждой задачи. Сейчас этих действующих лиц довольно много. Во-первых, это 54 произведения. Каждое число из первого набора умножается на каждое число из второго набора – так получается произведение. Затем каждое произведение берется со знаком «плюс» или

«минус». В итоге получаем 54 результата. Если мы хотим получить самую большую сумму результатов, то, очевидно, каждый результат следует взять со знаком «плюс»: Sнаиб. = 3 ⋅ 9 + 3 ⋅ 10 + … + 3 ⋅ 17 + + 4 ⋅ 9 + … + 4 ⋅ 17 + … + 8 ⋅ 17. (2) Все значения суммы получаются по формуле S = ± 3 ⋅ 9 ± 3 ⋅ 10 ± … ± 3 ⋅ 17 ± ± 4 ⋅ 9 ± … ± 4 ⋅ 17 ± … ± 8 ⋅ 17. (3) Непросто окинуть одним взглядом сумму из правой части формулы (2). Для подобных сумм математики придумали специальное обозначение k = 8 n =17

∑ ∑ kn.

k =3 n = 9

Мы же рассмотрим арифметическое выражение А = (3 + 4 + … + 8) × × (9 + 10 + … + 17) (4) и заметим, что здесь при раскрытии скобок и получатся все наши произведения. Следовательно, Sнаиб. = А. Теперь для нахождения числового значения Sнаиб. разумно воспользоваться представлением (4). Легко – можно даже устно, в уме – найти сумму в каждой скобке в (4). А можно вспомнить формулу для суммы нескольких членов арифметической прогрессии – эта сумма равна полусумме крайних членов, умноженной на количество членов. В результате найдем, что сумма шести чисел в первой скобке равна 3+8 ⋅ 6 = 11 ⋅ 3 = 33, сумма девяти чисел во 2 9 + 17 второй скобке равна ⋅ 9 = 13 ⋅ 9 = 117. 2 Отсюда находим, что Sнаиб. = А = 33 ⋅ 117. На один вопрос задачи ответ получен. Перейдем ко второму. Заметим, что число Sнаиб. – нечетное. Если теперь в сумме (2) менять знаки «плюс» на «минус», то можно получить все возможные значения S. При этом

Научно-популярный отдел

всякая новая сумма S будет нечетной. Помните? – об этом рассказывали еще царскосельским лицеистам! Отсюда следует важный вывод: сумма S равняться нулю не может. Стало быть, кандидатом на звание наименьшего значения для суммы S (наименьшей по модулю) может быть число 1. А может ли в действительности S равняться 1? Заметим, что некоторые значения S получаются из (4) заменой знаков «плюс» на «минус». При этом единица в произведении двух чисел получится, если каждый сомножитель равен 1. Итак, задача свелась к такому вопросу: можно ли в формуле (4) заменить некоторые знаки «плюс» на «минус» так, чтобы сумма чисел в каждой скобке стала равной 1? После нескольких попыток совсем нетрудно догадаться, как этого добиться. Необходимая расстановка знаков такова: (3 – 4 – 5 + 6 – 7 + 8) ⋅ (9 + 10 + 11 – – 12 – 13 + 14 + 15 – 16 – 17).

В первой скобке удобно слагаемые группировать по два, начиная с первого: 3 – 4 = – 1, – 5 + 6 = 1, –7 + 8 = 1. Во второй скобке – по-другому: 10 – 12 = –2, 11 – 13 = – 2, 14 – 16 – 2, 15 – 17 = – 2. и, наконец, 9 + (–2) ⋅ 4 = 1. Итак, ответ в задаче С6 из ЕГЭ-2010 таков: 1 и 3861. Вместо заключения Возвращаясь к нашему эпиграфу, заметим еще, что дневниковые записи поэта не следует понимать буквально: так, французский язык Пушкин знал в детстве лучше родного – библиотека его отца состояла из одних французских сочинений, и Пушкин проводил там бессонные ночи, «пожирая книги одна за другой». Точно так же, благосклонные читатели, отнеситесь и к некоторым авторским вымыслам (они даются без документирующей ссылки на первоисточник), но, как сказал поэт: «Сказка ложь, да в ней намек!»

Внимание, конкурс! Журнал «Математика в школе» объявляет открытый конкурс под названием «Мой первый урок» для молодых учителей математики (до 35 лет включительно). На конкурс представляется описание одного урока (5–11 кл.) на произвольную тему и в произвольной форме: в виде сценария, конспекта и т.д. Работы можно присылать до 1 мая 2011 года на электронный или почтовый адрес редакции (e-mail: mathematics@schoolpress.ru, 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3) с пометкой «Мой первый урок». Победители получат призы и памятные дипломы, которые украсят ваше портфолио. Лучшие работы будут опубликованы.

ВНЕ УРОКА

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ В ЗАДАЧАХ МУНИЦИПАЛЬНОГО ЭТАПА ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ Н.Х. Агаханов, О.К. Подлипский, Д.А. Терёшин, МФТИ (Москва), e-mail: nazar_ag@mail.ru В статье выделяются основные свойства квадратичной функции, используемые при решении олимпиадных задач по математике. Приводится подборка авторских задач по теме «Квадратичная функция», предлагавшихся в разные годы на муниципальном этапе олимпиады в Московской области. Ключевые слова: Всероссийская олимпиада школьников по математике, олимпиадная задача, квадратичная функция.

В школьной программе по математике большое внимание уделяется изучению свойств квадратичной функции. Поэтому регулярно в задания олимпиад различного уровня включаются задачи на данную тему. С одной стороны, доступность формулировок и простота задач о квадратных трехчленах позволяют располагать их на первых, наиболее легких для решения, позициях варианта. Нередко такие задачи допускают несколько принципиально различных способов решения. С другой стороны, они могут быть достаточно сложными, основывающимися на красивом «олимпиадном» решении. Как правило, необходимым шагом решения таких задач является исследование дискриминанта квадратного трехчлена, применение теоремы Виета, использование свойств графика квадратичной функции. В то же время решение может дополнительно требовать привле-

чения идей из других разделов математики, например теории чисел или геометрии. Авторы статьи при составлении вариантов муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в Московской области ежегодно включают в них задания на квадратичную функцию различной сложности. Традиционно варианты содержат новые, не встречавшиеся на олимпиадах ранее авторские задачи. Ниже мы приводим подборку задач, предлагавшихся на муниципальном этапе олимпиады в Московской области. В скобках после условия указаны год проведения олимпиады, класс и номер задачи в варианте (следует учесть, что вариант состоит из пяти задач, которые мы стараемся расположить в порядке возрастания сложности). Условия и решения задач приводятся по книге [1].

Вне урока

Задача 1 (1998/99 уч. год, 9 класс, № 1). Квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет корни. Верно ли, что трехчлен a3x2 + + b3x + c3 также имеет корни? Р е ш е н и е. Так как ax2 + bx + c имеет корни, то b2 ≥ 4ac, откуда b6 ≥ 64a3c3. Если ac ≥ 0, то 64a3c3 ≥ 4a3c3, а если ac < 0, то b6 ≥ 0 > 4a3c3. В обоих случаях b6 ≥ 4a3c3, то есть дискриминант трехчлена a3x2 + b3x + c3 неотрицателен. О т в е т: верно. Задача 2 (1999/2000 уч. год, 9 класс, № 1). Докажите, что при любых a и b уравнение (a2 – b2)x2 + 2(a3 – b3)x + (a4 – b4) = 0 имеет решение. Доказательство. Если a2 – b2 ≠ 0, то данное уравнение − квадратное с дискриминантом 1 D = ( a3 − b3 )2 − ( a 2 − b2 )( a 4 − b4 ) = 4

1 q = 2001. Докажите, что их графи2 ки проходят через одну точку. Доказательство. Рассмотрим значение трехчлена в точке x0 = 2. Тогда y = x02 + px0 + q = 4 + 2p + q = q⎞ ⎛ = 4 + 2 ⎜ p + ⎟ = 4006, 2⎠ ⎝ то есть графики всех трехчленов проходят через точку (2; 4006). Задача 5 (2006/07 уч. год, 9 класс, № 2). Верно ли, что если квадратные уравнения x2 + ax + b = 0 и x2 + cx + d = 0 не имеют корней, то и уравнение a+c b+d x2 + x+ = 0 не имеет корней? 2 2 Р е ш е н и е. Способ 1. По условию a2 < 4b, c2 < 4d. Покажем, что тогда

= a2b4 – 2a3b3 + a4b2 = a2b2(a – b)2 ≥ 0.

1 2 ⎛a+c⎞ 2 ⎜ 2 ⎟ = 4 ( a + 2ac + c ) ≤ ⎝ ⎠ 1 ≤ ( a 2 + ( a 2 + c2 ) + c2 ) = 4 1 2 1 = ( a + c2 ) < (4b + 4d ). 2 2 Способ 2. Пусть f1 (x) = x2 + ax + b, f2 (x) = x2 + cx + d. По условию f1 > 0 и f2 > 0 при всех x, так как D1 < 0 и D2 < 0. Но тогда и a+c b + d f1 + f2 f (x ) = x2 + x+ = > 0, 2 2 2 значит, уравнение f(x) = 0 не имеет корней. О т в е т: верно. Задача 6 (1997/98 уч. год, 9 класс, № 3). Квадратный трехчлен P(x) = ax2 + bx + + c (a, b, c – целые числа, с – нечетное число) имеет целые корни. Может ли P(1997) быть нечетным числом?

Если a2 – b2 = 0, то уравнение имеет корень x = 0. Задача 3 (2000/01 уч. год, 9 класс, № 1). Квадратный трехчлен x2 + ax + b имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что число a + b + 1 − составное. Доказательство. Пусть x1 и x2 – корни данного трехчлена. В силу теоремы Виета a + b + 1 = –(x1 + x2) + x1 ⋅ x2 + 1 = = (x1 – 1)(x2 – 1). Из условия следует, что каждая скобка не равна 1, –1 или 0, то есть число a + b + 1 − составное. Задача 4 (2001/02 уч. год, 9 класс, № 1). Рассматриваются квадратичные функции вида y = x2 + px + q, у которых

⎛a+c⎞ ⎛b+ d⎞ ⎜ 2 ⎟ < 4 ⎜ 2 ⎟ . Имеем: ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

Математика в школе 9 / 2010

Р е ш е н и е. Пусть

x1 и

– корни c P(x). По теореме Виета x1 ⋅ x2 = , т.е. a x1 ⋅ x2 ⋅ a = c. По условию c – число нечетное. Числа x1, x2, a – целые. Отсюда следует, что числа x1, x2, a – нечетb ные. По теореме Виета x1 + x2 = − , т.е. a b = – a ⋅ (x1 + x2), значит, b – четное число. Тогда P(1997) = a ⋅ 19972 + b ⋅ 1997 + c есть сумма двух нечетных и одного четного числа, т.е. четное число. О т в е т: не может. Задача 7 (2007/08 уч. год, 9 класс, № 3). Про квадратные трехчлены f1 и f2 известно, что они имеют корни, а f1 – f2 не имеет. Докажите, что f1 + f2 имеет корни. Доказательство. Предположим противное: f+ = f1 + f2 и f– = f1 – f2 оба не имеют корней. Есть два варианта: f+ и f– одного знака или они разных знаков (если у многочлена нет корней, то он принимает значения одного знака). В первом случае их сумма также постоянного знака, но f+ + f– = 2f1 имеет корни. Противоречие. Во втором случае их разность должна иметь постоянный знак, но f+ – f– = 2f2 тоже имеет корни. Противоречие. Задача 8 (1997/98 уч. год, 10 класс, № 1). Дан график функции y = x2 + ax + a (рис. 1). Найдите a. у

–x0 0 Рис. 1

Р е ш е н и е. График касается оси Ox, поэтому y = (x + x0)2, y = x 2 + 2xx0 + x02 , т.е. a = 2x0 и a = x02 . Отсюда a = 0 или a = 4. Но из рисунка видно, что a ≠ 0. О т в е т: a = 4. Задача 9 (1999/2000 уч. год, 10 класс, № 1). Произведение четырех чисел – корней уравнений x2 + 2bx + c = 0 и x2 + 2cx + + b = 0, где b и c – положительные числа, равно единице. Найдите b и c. Р е ш е н и е. По теореме Виета x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = c ⋅ b, следовательно, bc = 1. Но b2 – c ≥ 0 и c2 – b ≥ 0. Значит, 1 1 1 и 2 ≥ b, т.е. b ≥ 1 и b2 ≥ ≥ 1, отb b b куда b = 1. Следовательно, c = 1. О т в е т: b = c = 1. Задача 10 (2004/05 уч. год, 10 класс, № 1). Найдите все такие простые p и q, что уравнение px2 + pqx + q = 0 имеет целые корни. Р е ш е н и е. Пусть x1 и x2 – корни уравнения px2 + pqx + q = 0. Тогда по q теореме Виета x1 ⋅ x2 = , x1 + x2 = – q. p q Отношение простых чисел – целое p число, значит, p = q и x1 ⋅ x2 = 1, откуда x1 = x2 = –1 и p = q = 2. О т в е т: p = q = 2. Задача 11 (2005/06 уч. год, 10 класс, № 1). Синус и косинус некоторого угла оказались различными корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Докажите, что b2 = a2 + 2ac. Доказательство. В силу теоремы Виеc b и sin α + cos α = − . та sin α cos α = a a Требуется доказать, что b2 = a2 + 2ac. Так как a ≠ 0, то разделим обе части

Вне урока

этого равенства на a2. Докажем равенство 2 c ⎛b⎞ ⎜ a ⎟ =1+ 2⋅ a. ⎝ ⎠ 2 ⎛b⎞ 2 ⎜ a ⎟ = (sin α + cos α) = ⎝ ⎠ = sin2α + 2 sinα cosα + cos2α = c = 1 + 2 sin α cos α = 1 + 2 ⋅ . a Задача 12 (2006/07 уч. год, 10 класс, № 1). На доске написали квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом. Каждую минуту на доску дописывают квадратный трехчлен, причем у каждого следующего трехчлена все три коэффициента на 1 больше соответствующих коэффициентов предыдущего. Докажите, что когда-нибудь на доске появится трехчлен, не имеющий корней. Доказательство. Пусть сначала на доске был написан трехчлен ax2 + bx + c. Тогда через n минут будет выписан трехчлен (a + n)x2 + (b + n)x + (c + n). Его дискриминант D = (b + n)2 – 4(a + n)(c + n) = = –3n2 + (2b – 4a – 4c)n + (b2 – 4ac) является квадратным трехчленом (относительно переменной n) с отрицательным старшим коэффициентом. Значит, при некотором натуральном n дискриминант будет отрицательным. Поэтому на доске появится трехчлен, не имеющий корней. Задача 13 (2000/01 уч. год, 10 класс, № 2). Найдите все пары (a; b) действительных чисел a и b, таких, что уравнения x2 + ax + b2 = 0 и x2 + bx + a2 = 0 имеют по крайней мере один общий корень. Р е ш е н и е. Предположим, что a ≠ b и x0 – общий корень уравнений. Подставив x0 в оба уравнения и вычтя второе уравнение из первого, получим

(a – b)x0 + b2 – a2 = 0, откуда x0 = a + b. Следовательно, (a + b)2 + a(a + b) + b2 = 0, 2

3 ⎞ 7 ⎛ 2a2 + 3ab + 2b2 = 2 ⎜ a + b ⎟ + b2 = 0, 4 ⎠ 8 ⎝ откуда a = b = 0 – противоречие. Пусть теперь a = b. Тогда оба уравнения имеют вид x2 + ax + a2 = 0. Дискриминант этого уравнения D = –3a2 ≤ 0, т.е. единственная возможность a = b = 0. Очевидно, что эта пара чисел удовлетворяет условию. О т в е т: (0; 0). Задача 14 (2002/03 уч. год, 10 класс, № 2). Все коэффициенты квадратного трехчлена − целые нечетные числа. Может ли он иметь два целых корня? Р е ш е н и е. Предположим, что нашелся такой квадратный трехчлен P(x) = ax2 + + bx + c, что a, b, c – нечетные числа, а x1 и x2 – его целые корни. Тогда произc – нечетное число, отведение x1 ⋅ x2 = a куда x1 и x2 – нечетные числа. Их сумb – ма − число четное, однако x1 + x2 = − a нечетное число. Противоречие. О т в е т: не может. Задача 15 (1994/95 уч. год, 10 класс, № 3). На рис. 2 изображены графики трех квадратных трехчленов. Могут ли это быть трехчлены ax2 + bx + c, cx2 + ax + b, bx2 + cx + a? у

0 Рис. 2

Математика в школе 9 / 2010

Р е ш е н и е. Предположим, что могут. Из рисунка видно, что все трехчлены имеют по два корня, следовательно, a2 > 4bc, b2 > 4ac и c2 > 4ab, причем a > 0, b > 0 и c > 0 (так как ветви парабол направлены вверх). Перемножив полученные неравенства, придем к противоречию: a2b2c2 > 64a2b2c2. О т в е т: не могут. Задача 16 (2003/04 уч. год, 10 класс, № 4). В параболу y = x2 вписан прямоугольный треугольник (все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси Ox. Докажите, что высота треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 1. Доказательство. Пусть A( − x1 ; x12 ), 2 2 B ( x1 ; x1 ), C ( x2 ; x2 ) – вершины треугольника (рис. 3). y

C –x1 x2

0 Рис. 3

Способ 1. ∠ACB = 90° ⇔ C ∈ ω, где ω – окружность с диаметром AB. Ее уравнение x 2 + ( y − x12 )2 = x12 , поэтому x22 + ( x22 − x12 )2 = x12 , откуда

x22 − x12 + ( x22 − x12 )2 = 0.

Разделив

на x22 − x12 ≠ 0, получим x12 − x22 = 1, то есть yA – yC = 1. JJJG JJJG Способ 2. ∠ACB = 90° ⇔ CA ⋅ CB = 0 ⇔ ⇔ ( − x1 − x2 )( x1 − x2 ) + ( x12 − x22 )( x12 − x22 ) = 0 ⇔ ⇔ x22 − x12 + ( x12 − x22 )2 = 0 ⇒ yA − yC = 1.

Задача 17 (2003/04 уч. год, 11 класс, № 1). Найдите сумму корней всех квадратных трехчленов вида y = x2 + px – 2003, где p принимает все целые значения от –100 до 100. Р е ш е н и е. Так как D = p2 + 4 ⋅ 2003 > 0 для любого p, то все трехчлены имеют вещественные корни. Заметим, что по теореме Виета сумма корней трехчлена y = x2 + px – 2003 равна –p, то есть сумма корней всех написанных трехчленов 100 + 99 + 98 + … + (–99) + (–100) = 0. О т в е т: 0. Задача 18 (2006/07 уч. год, 11 класс, № 1). Произведение производных двух квадратных трехчленов при всех значениях переменной больше суммы этих трехчленов. Докажите, что хотя бы один из трехчленов будет принимать и отрицательные значения. Доказательство. Если x0 − абсцисса вершины параболы y = f(x), то f ′(x) − линейная функция, обращающаяся в нуль при x = x0. Значит, в точке x = x0, где x0 − абсцисса вершины параболы y = f1, сумма данных трехчленов отрицательна (по условию). Отсюда следует, что в точке x = x0 значение по крайней мере одного из трехчленов отрицательно. Задача 19 (2007/08 уч. год, 11 класс, № 1). Найдите количество квадратных трехчленов вида x2 + ax + b, где a, b – натуральные числа, ab = 22007, а корни этих трехчленов – действительные числа. Р е ш е н и е. Заметим, что числа a и b будут степенями двойки с целыми неотрицательными показателями: a = 2k, b = 22007 – k. Тогда дискриминант D = a2 – 4b = 22k – 4 ⋅ 22007 – k = = 22k – 22009 – k ≥ 0. Отсюда 22k ≥ 22009 – k, 2k ≥ 2009 – k. Та-

Вне урока

2009 2 = 669 , k ≥ 670. 3 3 Но k ≤ 2007, поэтому k может принимать 2007 – 669 = 1338 различных целых значений. Осталось заметить, что каждому k соответствует ровно один искомый трехчлен. О т в е т: 1338. Задача 20 (1994/95 уч. год, 11 класс, № 3). На рис. 4 изображены графики трех квадратных трехчленов. Могут ли это быть трехчлены ax2 + bx + c, cx2 + ax + b, bx2 + cx + a? ким образом, k ≥

Посчитаем четверть дискриминанта получившегося квадратного уравнения: ( p + D )2 − 2(2q + D + p D ) = = p2 – 4q – D = 0. То есть уравнение имеет ровно один корень. Способ 2. Если x1 < x2 – корни приведенного квадратного трехчлена P(x), то x2 − x1 = D , откуда следует, что график трехчлена y = P ( x + D ) получается из графика трехчлена y = P(x) сдвигом влево вдоль оси Ox на расстояние D, равное расстоянию между точками пересечения графика y = P(x) с осью Ox. Это означает, что графики трехчленов y = P(x) и y = P ( x + D ) пересекают ось Ox в общей точке с абсциссой x = x1 и симметричны относительно прямой x = x1. Поэтому график квадратного трехчле-

Рис. 4

на y = P ( x ) + P ( x + D ) пересекает ось Ox в точке с абсциссой x = x1 и симметричен относительно прямой x = x1. Значит,

x 2 + px + q + ( x + D )2 + p( x + D ) + q = 0,

квадратный трехчлен P ( x ) + P ( x + D ), во-первых, имеет корень x = x1, а вовторых, не может иметь других корней, так как все его корни должны быть симметричны относительно точки x = x1, и наличие других корней означало бы, что их не меньше трех. О т в е т: один корень. Задача 22 (2005/06 уч. год, 11 класс, № 3). Пусть y = k1x + b1, y = k2x + b2, y = k3x + b3 − уравнения трех касательных к параболе y = x2. Докажите, что если k3 = k1 + k2, то b3 ≥ 2(b1 + b2). Доказательство. Прямая y = kx + b касается параболы y = x2, если уравнение x2 = kx + b имеет единственное решение, т.е. D = k2 +4b = 0. Имеем: 4bi = − ki2 , i = 1, 2, 3.

2x 2 + 2( p + D )x + 2q + D + p D = 0.

4b3 = − k32 = −( k1 + k2 )2 = −k12 − 2k1k2 − k22 ≥

Р е ш е н и е. Предположим, что могут. Заметим, что значения данных трехчленов в точке x = 1 совпадают (они равны a + b + c). Но из рисунка видно, что каждые две параболы пересекаются в двух точках, причем все шесть точек пересечения различны. Пришли к противоречию. О т в е т: не могут. Задача 21 (2000/01 уч. год, 11 класс, № 3). Дискриминант приведенного квадратного трехчлена P(x) положителен. Сколько корней может иметь уравнение P (x ) + P (x + D ) = 0 ? Р е ш е н и е. Способ 1. Пусть P(x) = = x2 + px + q и D = p2 – 4q > 0. Тогда данное уравнение примет вид

Математика в школе 9 / 2010

≥ −2k12 − 2k22 = 8b1 + 8b2, так как k12 + k22 ≥ 2k1k2 . Задача 23 (2004/05 уч. год, 11 класс, № 4). Параболы вида y = –x2 + bx + c проходят через одну точку. Докажите, что вершины всех таких парабол лежат на одной параболе. Доказательство. Способ 1. Пусть параболы проходят через точку O(x0; y0). Тогда y0 = − x02 + bx0 + c, откуда c = y0 + x02 − bx0 . Вершина каждой из данных парабол имеет координаты: −b b xB = = , −2 2 b2 b2 b2 +c = yB = − + +c = 4 2 4 b2 = + y0 + x02 − bx0 . 4 Значит, yB = x B2 − 2x0 x B + y0 + x02 , следовательно, вершины парабол лежат на параболе y = x 2 − 2x0 x + ( y0 + x02 ). Замечание. Вычисления упростятся, если перенести начало координат в точку (x0; y0). Вид данных парабол при таком параллельном переносе не изменится. Способ 2. Построим параболу П0 вида у = x2 + Ax + B с вершиной в точке O. Пусть V – вершина одной из данных парабол П. Тогда при симметрии относительно точки M – середины отрезка OV – парабола П переходит в параболу

П0 (рис. 5) (парабола однозначно определяется вершиной и коэффициентом при x2). Поэтому точка O, являющаяся одновременно точкой, принадлежащей параболе П, и вершиной параболы П0, перейдет в точку, принадлежащую параболе П0, и в вершину параболы П. Значит, вершина V лежит на параболе П0. Π0

V M

Рис. 5

Литература 1. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Районные олимпиады. 6−11 класс. – М. : Просвещение, 2010. – 192 с. 2. Агаханов Н.Х., Карасев Р.Н., Коновалов С.П., Подлипский О.К. Московская областная математическая олимпиада // Математика в школе. – 1999. – № 2. – С. 55−59. 3. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Второй этап XXVIII Всероссийской математической олимпиады школьников в Московской области // Математика в школе. – 2002. – № 3. – C. 57−62.

И З И С ТО Р И И М АТ Е М АТ И Ч Е С К О ГО О Б РА З О В А Н И Я

ВСЕРОССИЙСКИЕ СЪЕЗДЫ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ: ШТРИХИ К ПОРТРЕТУ В.М. Бусев, Научная педагогическая библиотека им. К.Д. Ушинского РАО (Москва), e-mail: vbusev@yandex.ru О дореволюционных съездах преподавателей математики написано уже немало, однако ввиду обширности опубликованных по их результатам материалов каждый автор освещал отдельные подпространства этого многомерного явления, руководствуясь в выборе материала собственными интересами или какими-то иными соображениями. В настоящей статье мы хотим добавить к этому коллективному портрету некоторые новые штрихи, которые позволят, быть может, иначе взглянуть на съезды и их место в истории российского просвещения. Ключевые слова: съезд преподавателей математики, учитель математики, реформа обучения математике, история образования, высшая математика в школе

Из истории учительских съездов Съезды учителей проводятся в России уже более ста лет. Поначалу, во второй половине XIX в., они были немногочисленными и нередко выполняли функцию временных курсов, призванных повысить методическое мастерство педагогов. В начале ХХ в. съезды собирают уже тысячи учителей с целью обмена мнениями по вопросам улучшения программ преподавания и условий жизни учителя. В это время организуются два съезда преподавателей математики. В 1920-е гг. проводилось много съездов, но преподаватели математики собрались лишь в 1935 г. В дальнейшем же вплоть до конца ХХ в. съезды учителей математики не проводились. В 2000 г. прошла Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», собравшая несколько сотен учителей из разных регионов России

и известная ныне как «Дубна» (по названию подмосковного г. Дубны, рядом с которым проходила конференция). Отсутствие в 1936–1999 гг. съездов учителей математики не означает, однако, что голос их не был слышен. Количество проведенных в советское время конференций по вопросам преподавания математики исчисляется десятками, если не сотнями. В 1960–1980-х гг. учителя математики выступали на Всероссийских и Всесоюзных учительских съездах, и есть основания полагать, что мнение их было услышано не только коллегами, но и руководителями системы образования. Отметим еще конференции, которые с 1990 г. регулярно проводились Ассоциацией учителей математики в Москве, Барнауле, Геленджике, Петрозаводске, Перми и других городах. На этих конференциях обсуждались проблемы математического образования, учителя делились своим опытом.

Ввиду ограниченного объема статьи ниже будет рассказано только о двух съездах – I и II Всероссийских съездах преподавателей математики, которые стали уникальным явлением в истории отечественного математического образования и оказали большое влияние на его развитие в течение всего ХХ в. В конце XIX – начале ХХ в. достаточно отчетливо проявилось недовольство педагогов и общественности сложившейся системой школьного образования. На многочисленных педагогических съездах учителей и деятелей народного образования критиковались программы (в частности, их оторванность от жизни), экзамены, неэффективные методы обучения; поднимались проблемы правового и материального положения учителя; ставился вопрос о необходимости дифференцированного обучения; педагоги требовали предоставить им больше полномочий в решении вопросов жизни школы. Сознавая необходимость реформ, государство предпринимало попытки взять их разработку под свой контроль. Но ни один выработанный тогда проект не был воплощен в жизнь, и критика школы продолжалась. Движение за обновление школы и устройство ее на новых началах получило впоследствии название общественнопедагогического движения (советские историки образования добавляли: «передового демократического учительства»). Не остались в стороне от него и учителя математики, которые в своих выступлениях на педагогических съездах критиковали программы по математике за перегруженность устаревшим и не нужным в практической деятельности материалом, задачи – за оторванность их сюжетов от жизни, а методы обучения – за игнорирование ученика, который должен быть активным познающим субъектом,

Математика в школе 9 / 2010

а не пассивным слушателем неинтересных ему сведений. Постепенно сформировалось общее представление о том, чему учить (и отчасти – как учить и какие задачи решать). Больше всего обсуждался вопрос о значительном обновлении содержания математического образования. Предлагалось: 1) исключить отдельные сложные и идейно бедные вопросы, не имеющие практического применения (например, алгоритм извлечения кубического корня из числа); 2) включить начала математического анализа и аналитической геометрии. Оба предложения глубоко не случайны и знаменуют собой начало того процесса, который получил в дальнейшем название движения за реформу преподавания математики. Некоторых изменений его участникам удалось добиться уже в 1906 г., когда в программы реальных училищ были введены основы высшей математики. Но на достигнутом педагоги останавливаться не собирались. На I Всероссийском съезде учителей городских по положению 1872 г. училищ в докладе В.Р. Мрочека и Ф.В. Филипповича со всей решительностью утверждалось: «…теперь – при столь блестящем развитии техники, в наш “век электричества”, когда науки о природе, благодаря математике и опыту, разрослись неимоверно, – нельзя под именем математики преподносить ту бессмысленную мозаику, каждому кусочку которой место в архиве, а не в школах культурных народов» [4, с. 33–34].

В этой эмоциональной цитате угадываются причины, по которым методикоматематическое сообщество так настойчиво стремилось реформировать содержание школьного математического образования: «век электричества», успехи естественных наук – эти небывалые и завораживающие события современности неизбежно приво-

Из истории математического образования

дили к переосмыслению человеком в мире самого себя и тех, кому придется жить в новой стремительно наступавшей индустриальной эпохе*. Из сказанного выше читатель уже вполне мог убедиться, что в начале ХХ в. съезды по народному образованию играли большую роль, являясь не только местом обсуждения проблем школы и разработки вопросов преподавания, но и средством донесения чаяний педагогов до учебного начальства. Неудивительно поэтому, что количество проведенных тогда съездов велико (только наиболее представительных и многочисленных можно насчитать более 50). Если же учесть еще наличие яркой и амбициозной группы преподавателей математики, то становится почти очевидным, что съезд их просто не мог не состояться.

Первый такой съезд проходил зимой 1911–1912 гг. Впечатляют состав участников и их численность: 1217 человек из разных уголков России, среди них представители разных типов учебных заведений и, конечно, все знаменитые педагогиматематики, оставившие заметный след в отечественном математическом просвещении: Д.Д. Галанин, Н.А. Извольский, В.Ф. Каган, А.П. Киселев, А.Р. Кулишер, К.Ф. Лебединцев, Б.К. Млодзеевский, И.И. Чистяков, А.Н. Шапошников, С.И. Шохор-Троцкий и многие другие. Помимо общих собраний на съезде работали 5 секций: «Учебная литература по математике», «Программы и экзамены», «Методика математики» и (объединенная)

«Преподавание математики в технических и коммерческих учебных заведениях». По окончании съезда была принята резолюция, которая отражала мнения его участников по тем или иным вопросам. При съезде была организована выставка наглядных пособий. Все эти материалы (включая фотографии экспонатов выставки) были опубликованы в трех томах трудов съезда. По поручению I съезда через два года в Москве был организован II съезд преподавателей математики, в котором также были предусмотрены общие заседания и работа в секциях. Проведение III съезда преподавателей математики было намечено на декабрь 1915 г. в Харькове, но он не состоялся изза Первой мировой войны. Обозреть все проблемы, поднимавшиеся участниками съездов, в данной статье не представляется возможным. Да это и не нужно: каждый неравнодушный читатель, надеемся, найдет время ознакомиться с трудами съездов и сможет составить свое собственное мнение по поводу обсуждавшихся вопросов**. Быть может, что-то покажется устаревшим, что-то – наивным, а что-то – поразительно близким и современным. Не сомневаемся, что в любом случае читатель получит большое удовольствие от знакомства с оригинальными во многом мыслями предшественников, изложенными к тому же великолепным языком. Мы же ограничимся рассмотрением двух вопросов: какое отражение на съездах получили нужды средней школы и как обсуждались проблемы реформирования математического образования.

* Нечто похожее, очевидно, происходит и сейчас, когда мы пытаемся осмыслить себя и нынешних детей в новом постиндустриальном мире.

** В электронном виде труды съездов можно найти на сайте «Математическое образование: прошлое и настоящее» (www.mathedu.ru).

Всероссийские съезды преподавателей математики

Математика в школе 9 / 2010

Для удобства разобьем эти вопросы на две группы. 1. Гуманизация обучения и сближение школы с жизнью. Несколько раз на первом съезде говорилось о желательности разделения учащихся по интересам и склонностям на старшей ступени обучения. Эта идея была высказана, в частности, в докладе профессора К.А. Поссе «О согласовании программ в средней и высшей школе» [5, с. 452–458]. Докладчик указал на невысокий уровень подготовки многих поступающих на физикоматематические факультеты, который не дает им нормально учиться, и они либо переходят на другой факультет либо оканчивают физико-математический, но приобретают при этом лишь поверхностные знания. К.А. Поссе предложил разделить курс математики средней школы на обязательный для всех и специальный, обязательный лишь для тех, кто желает поступать на физико-математический факультет университета или в высшую техническую школу. Вопрос о разделении обучения на старшей ступени рассматривался также в докладе П.А. Некрасова «Вторая (бакалаврская) ступень в составе будущей средней школы», сделанном на II съезде [1, с. 175–181]. Предложение К.А. Поссе было горячо поддержано педагогом Е.С. Томашевичем, который увидел в нем средство давать в средней школе полноценные знания и избежать несправедливого выставления отметок: «Все мы обязаны научить своему предмету всех своих учеников, и мы отлично знаем, что в гимназиях и реальных училищах… мы не можем научить всех всему и должны так или иначе лавировать между необходимостью достигнуть удовлетворительного результата и невозможностью этого достижения… Мы даем ученикам не настоящие отметки

и обманываем и учеников, и родителей, и начальство, и самих себя. И вот теперь на этом Съезде я чувствую, что волна, которая поднялась и приближает нас к тому идеалу, который поставил почтенный докладчик, волна – так или иначе вынесет» [5, с. 476].

Проблема экзаменов и контроля знаний, которая уже неоднократно обсуждалась педагогической общественностью в прошлом, была обстоятельно рассмотрена на II съезде в докладах К.Ф. Лебединцева [1, с. 100–111] и Д.Д. Галанина [1, с. 181–186]. Первый из названных докладчиков предложил отказаться от балльной оценки знаний, заменив оценки развернутыми характеристиками учеников, и предложил пересмотреть сложившуюся систему экзаменов ввиду ее неэффективности. Второй считал, что необходимость в экзаменах отпадет, если обучение будет интересным и посильным: «Пусть в основу будет положена самодеятельность ученика, его личный опыт, его интерес, и тогда без всяких экзаменов, без всяких особо понудительных мер ученики будут знать и много лучше и много прочнее…» [1, с. 186].

Серьезной критике были подвергнуты задачи и задачники. На I съезде докладчик Б.А. Маркович так отозвался о задачах, предлагаемых на письменных экзаменах по алгебре: «Общий характер этих задач – их сложность, громоздкость и совершенно фантастические комбинации математических заданий, которые не могут встретиться ни в практических применениях, ни на какойлибо последующей ступени теоретического обучения математике» [6, с. 179].

Другой докладчик того же съезда Н.Н. Володкевич иронизировал: «Вы спрашиваете на вокзале у извозчика, сколько он возьмет довезти вас до гостиницы, и получаете в ответ требование

Из истории математического образования

уплатить ему число копеек, удовлетворяю4

x −1 x +1

щее уравнению 2 x −1 + 2 = 6 за вычетом стольких копеек, сколько единиц в коэффициенте того разложения 7

( 8 a3 + 5 a 4 )

по биному Ньютона, который содержит а3,9» [6, с. 112].

Докладчик обратил внимание на то, что в жизни не требуется использовать таблицы логарифмов с семью десятичными знаками, обращать периодические дроби в обыкновенные, редко на практике встречаются точные числовые данные. Ориентируясь на германский опыт, Н.Н. Володкевич предложил данные для задач черпать из окружающей жизни: вычислить потомство мухи в течение лета, вычислить урожай хлеба, определить высоту дерева, ширину реки и др., полагая, что «такие задачи все время удерживают воспитанника на почве реальности» и учащийся «привыкает смотреть на явления мира с точки зрения количественных отношений, в этом и состоит математическое развитие» [6, с. 121]. В конце доклада Н.Н. Володкевич выдвинул идею создания нового типа задачника, построенного на указанных им началах. Схожие с только что приведенными мысли о практической направленности обучения математике высказывались и в других докладах съездов. На II съезде педагог Н.Г. Панков рассказал о своем опыте работы с детьми по формированию у них первых представлений о весе, объеме, длине [1, с. 111–116]. Обучая детей, он широко пользовался различными наглядными пособиями и проводил практические работы по измерению длин, площадей, объемов с последующим сравнением результатов измерений. Организация практических работ рассматривалась и в докладе учителя В.В. Петрова [1, с. 225–229].

Из всего множества вопросов, обсуждавшихся на съездах преподавателей математики, мы неслучайно выбрали именно эти. Во-первых, они показывают, что задуманная реформа математического образования отнюдь не сводилась только к включению в программы учебных заведений элементов высшей математики, а была гораздо шире, затрагивая и общепедагогические проблемы – связь школы с жизнью и гуманизацию учебного процесса. Во-вторых, сопоставление требований, выдвигавшихся ранее на других педагогических съездах, с требованиями педагогов-математиков убеждает в том, что последние не стояли в стороне от всего общественно-педагогического движения начала ХХ в. и мыслили школу будущего так же, как и их коллеги-нематематики. Наконец, в-третьих, важно и то, что именно рассмотренные выше предложения были в 1920-е гг. в значительной степени реализованы большевиками, которые чуть ли не дословно повторяли приведенные выше цитаты, отстаивая идею трудовой школы. 2. Введение в школу высшей математики. Мысль о необходимости этого шага неоднократно повторялась, порой в весьма категоричной форме. Например, В.Р. Мрочек говорил, что школа не должна отставать от развития науки («это азбучная истина»), и, процитировав Даламбера, призвал не бояться реформы: «Ступайте вперед, а вера придет после. Это изречение нужно применить в школе к изучению математики…» [5, с. 122].

Интересно отметить, что некоторые педагоги-математики не ограничились в своих размышлениях и практике работы вопросами изучения начал математического анализа и аналитической геометрии, а пошли дальше. В общих заседаниях первого съезда были заслуша-

Математика в школе 9 / 2010

ны следующие доклады: «Неевклидова геометрия в средней школе» (П.А. Долгушин), «Курс теоретической арифметики в старших классах средней школы» (Б.Б. Пиотровский) и «Элементы теории чисел в средней школе» (И.И. Чистяков). Предложения докладчиков об изучении достаточно сложных понятий и фактов, часть которых принадлежит уже к математике XIX в., являются весьма смелыми. В прениях по докладу Б.Б. Пиотровского мнения участников о целесообразности изучения теоретической арифметики разделились: одни вполне соглашались с докладчиком, другие же указывали на недоступность материала: «Повторяю, – говорил М.Е. Волокобинский, – если это учение будет введено в старшие классы средней школы, ученики не только будут скучать и не понимать объяснений, но даже не будут их слушать» [5, с. 212].

Опытная учительница В.М. Куперштейн посчитала, что изучение в школе элементов теории чисел, предложенное И.И. Чистяковым, не улучшит знания арифметики, потому что корни проблемы лежат не в средней, а в начальной школе [5, с. 253]. Опыт П.А. Долгушина получил одобрительную оценку участников, и было предложено сделать высшую геометрию обязательным элементом подготовки будущего учителя [5, с. 443]. Напомним, что идея о введении в программы средних школ начал математического анализа и аналитической геометрии была частично реализована в 1906 г. применительно к программам реальных училищ. Во многом теоретические изыскания педагогов-математиков, пропагандировавших изучение высшей математики, начали проходить испытание практикой. Первый такой опыт был изложен в докладах Б.К. Крамаренко и П.А. Некрасова на I съезде [5, с. 412–431; 6, с. 176–179]

и в докладе Д.М. Синцова на II съезде [1, с. 70–77]. Отдельные интересные замечания и дополнения к нарисованной в этих докладах картине содержатся в прениях и других докладах. Не вдаваясь в подробности сказанного на съездах по этому вопросу, отметим главное: – высшая математика оказалась надстройкой над курсом элементарной математики, органически не связанной с остальным материалом; – введение ее создало перегрузку учащихся; – не все понятия усваивались учащимися вполне удовлетворительно, а некоторые оказались недоступными их пониманию; – выяснилось, что отсутствуют удовлетворительные учебники и задачники; – было указано на отсутствие в объяснительных записках к программам четких методических указаний для учителя; – отмечалось, что подготовка учителей для преподавания новых разделов недостаточна. В качестве иллюстрации этим положениям приведем некоторые высказывания участников съезда. «Хотя Министерство и объявило темою на премию Петра В. составление таких учебников, но нельзя сказать, чтобы явившиеся в результате учебные пособия вполне отвечали своей цели. Это в лучшем случае лишь сокращения учебников аналитической геометрии на плоскости для высшей школы, приноровленные к министерским программам, которые сами несовершенны» [1, с. 71]. «Предметные комиссии некоторых реальных училищ находят крайне необходимым издание специального задачника по анализу бесконечно малых, приспособленного к курсу 7-го класса реальных училищ» [5, с. 424].

Из истории математического образования

«Чтобы преподавать высшую математику, необходимо обладать большими математическими знаниями. На нашем опыте мы можем судить, какое смятение вызвало у нас введение несколько лет тому назад элементов анализа и аналитической геометрии в среде преподавателей, из которых многие оказались к этому мало подготовленными» [5, с. 472].

Таким образом, только еще начавшиеся изменения, затронувшие небольшое число учебных заведений, быстро выявили целый комплекс проблем, наличие которых нельзя было не учитывать в дальнейшей разработке вопроса о реформе. Наиболее мудрые и ответственные педагоги-математики, понимая это, призывали к осторожности (впервые, быть может, за всю историю обсуждения реформы). Так, В.Ф. Каган был очень обеспокоен тем, что и в России, и за рубежом отсутствуют удовлетворительные учебники, что крайне трудно сокращать программы. Он говорил: «Господа, я ни на минуту не хотел бы, чтобы меня отнесли к противникам реформы и в особенности к противникам идеи введения в среднюю школу начал анализа. Я только думаю, что вопрос в том, как это выполнить? Это очень серьезный вопрос, к которому, на мой взгляд, нельзя относиться очень легко» [5, с. 184–185].

Слова В.Ф. Кагана говорят о том, что движение за реформу преподавания математики переходило в новую фазу своего развития: определившись, что изучать в средней школе, сообщество тут же столкнулось с вопросом, как это реально сделать. И не в одном каком-то учебном заведении с хорошим преподавателем, а во всей стране. Ясно, что подготовка учителя в успехе реформы играла ключевую роль, и поэтому неудивительно то внимание, которое уделил ей В.Ф. Каган

в своем обширном докладе, сделанном на I съезде. Подводя итог историческому очерку системы подготовки учителей в России, докладчик пришел к выводу, что таковая система фактически отсутствует [5, с. 537–538]. После этого В.Ф. Каган сформулировал свои предложения по подготовке учителей математики. Они явились, по сути, первым основательным действием в подготовке реформы. В самом деле, никаких соображений о том, как провести реформу в масштабах всей страны, в статьях, книгах и докладах педагоговматематиков не содержится. II съезд постановил организовать комиссию, которая взяла бы на себя труд по разработке конкретных предложений по реализации реформы [3, с. 15]. Заканчивая обзор материалов съездов, обратим внимание на один весьма важный вопрос, который явно не обсуждался, но нашел свое отражение в их работе. Это вопрос об объединении усилий педагогов-математиков посредством некоторой организационной формы. На I съезде представители математических кружков разных городов внесли предложение о создании особой организации, которая «объединила бы эти кружки на почве их общих интересов и стремлений» [5, с. 316]. Московскому математическому кружку было предложено разработать проект такой организации. В резолюции II съезда предлагалось учредить Постоянное бюро съездов преподавателей математики [3, с. 16]. Эти предложения говорят о том, что российское сообщество педагогов-математиков не только сформировалось, но и осознало себя отдельной и вполне самостоятельной единицей образовательного пространства. Конечно, между преподавателями не было единодушия по всем вопросам, позиции их иногда были непримиримы, но все же

Математика в школе 9 / 2010

возникшая потребность в объединении свидетельствует о зрелости сообщества.

В памяти поколений Напомним, что усилия педагоговматематиков до 1917 г. были направлены не только на введение в школы начал высшей математики, но и на приближение школьной математики к жизни и на гуманизацию учебно-воспитательного процесса. Именно эта, вторая часть реформы, получила развитие в 1920-е гг. в то время как первая была фактически забыта и, несмотря на деятельность небольшой группы ленинградских педагогов в 1918–1926 гг., осталась нереализованной. Этому есть две главных причины: 1) в основу новой школы был положен трудовой принцип, теория (и наука вообще) была важна лишь постольку, поскольку позволяла решать те или иные утилитарные в своей массе задачи, 2) сообщество педагогов-математиков после 1917 г. быстро распалось, а новое еще не успело появиться*. Кроме того, как и до революции, учителя не были готовы к преподаванию новых разделов, отсутствовали учебники, не было соответствующей системы задач. Вновь о сближении школьной математики с наукой заговорили с конца 1930-х гг., когда А.Я. Хинчин опубликовал в журнале «Математика в школе» ряд статей, в которых выступил за скорейшее введение в школу дифференциального и интегрального исчисления. В конце войны и особенно в первые послевоенные годы к нему присоединились П.С. Александров, В.Л. Гончаров, А.И. Маркушевич и другие ученые-математики. Отдельные * Новое сообщество сформировалось лишь к концу 1930-х гг. и не было столь ярким, самобытным и независимым, как сообщество дореволюционных педагогов-математиков.

шаги по введению начал математического анализа в программу средней школы им удалось осуществить в 1960 г., но масштабная реформа началась несколько позже. Труды съездов неоднократно цитировались реформаторами, укрепляли их в сознании собственной правоты и давали пищу для размышлений. Вероятно, ученые-математики считали себя преемниками дореволюционных педагогов, наследниками «прогрессивных» идей. Так, главный инициатор реформы математического образования А.И. Маркушевич в 1948 г. писал: «На первом и втором Всероссийских съездах преподавателей математики (1912 и 1915 гг.) настойчиво ставился вопрос о реформе математического преподавания, о повышении его научного уровня… К этому вопросу, но уже с принципиально иных позиций, – позиций, которые должны отражать интересы самого передового в мире социалистического государства, идущего к коммунизму, – следует вернуться, чтобы наконец разрешить его и претворить в жизнь»** [2, с. 3].

Интересно отметить, что некоторые фразы советских деятелей математического образования очень напоминают, а то и дословно повторяют высказывания по тем же вопросам педагогов-математиков полувековой давности. Еще более интересно, что сходство попыток реформирования не ограничивается лишь совпадением отдельных фраз. Внимательное изучение реформы математического образования 1960–1970-х гг. показывает, что ее авторы и участники шли ровно по тому же пути, что и их предшественники. Благополучно миновав этап эмоциональных обсуждений и приступив к реформированию, они стол** Заметим, что автор цитируемой статьи допустил ошибки в обеих датах проведения съездов.

Из истории математического образования

кнулись с теми же проблемами, которые обнаружились после апробации нового содержания математического образования в реальных училищах: отсутствие приемлемых учебников и задачников, неподготовленность учителей. Конечно, были и отличия. Например, количество школ в период с 1911 по 1968 г. значительно выросло, советского школьника 1960-х гг. трудно сравнить с дореволюционным реалистом, подготовка современных учителей была иной, чем подготовка преподавателей до революции (многие из которых получали солидное физико-математическое образование в университете) и т.д. Понятно, что отмеченная разница была не в пользу реформаторов. Однако отступать они не собирались, и реформа началась. В отличие от своих предшественников, которые ходом истории были избавлены от проведения реформы и ее последствий, ученыематематики вполне смогли ощутить на себе все трудности раскачивания неповоротливой школьной системы и познать всю горечь неизбежного поражения. После неудавшейся реформы интерес к дореволюционным съездам преподавателей математики снизился. С 1990-х гг. съезды снова привлекают внимание, но в основном историков математического образования. Изредка обращаются к трудам съездов те, кто предлагает изменения в содержании школьного курса математики. Действуя по той же схеме, что и их предшественники, они мотивируют необходимость изменений ссылками на обсуждения аналогичных вопросов до революции, часто не принимая во внимание ту огромную пропасть, которая лежит между современностью и тем, что было сто лет назад. Сегодня труды первых всероссийских съездов преподавателей математики –

это, прежде всего, исторический памятник. Знакомство с этим памятником необходимо всякому, кто обучает школьников математике и пытается не потеряться в водовороте современных реформ. В то же время труды съездов являются памятником тем смелым и талантливым дореволюционным педагогам-математикам, полным оптимизма и трудолюбия, которые в непростых условиях готовы были принять на себя ответственность за судьбу школы. Их имена навсегда останутся в истории народного просвещения, а накопленный опыт будет и дальше привлекать к себе внимание, находя разнообразное применение в теории и практике математического образования.

Литература 1. Доклады, читанные на Втором Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве. – М., 1915. 2. Маркушевич А.И. О повышении идейнотеоретического уровня преподавания математики в средней школе // Математика в школе. – 1950. – № 1. – С. 1–4. 3. Салтыков Н.Н. Итоги Второго Всероссийского съезда преподавателей математики и задачи организации Третьего съезда. – Харьков, 1914. 4. Труды Первого Всероссийского съезда городских по положению 1872 г. училищ. – Т. 2, ч. 2. – СПб., 1910. 5. Труды Первого Всероссийского съезда преподавателей математики. – Т. I. Общие собрания. – СПб., 1913. 6. Труды Первого Всероссийского съезда преподавателей математики. – Т. II. Секции. – СПб., 1913. 7. Щербина К.М. Математика в русской средней школе: обзор трудов и мнений по вопросу об улучшении программ математики в средней школе за последние девять лет (1899–1907). – Киев, 1908.

З А Д АЧ И

Решения задач этого номера должны быть отправлены в редакцию не позднее 15 января 2011 г. О правилах оформления решений см. на с. 45.

Новые задачи ЗАДАЧА 5156.

ЗАДАЧА 5159.

На Поле Чудес растут три дерева. Если закопать несколько золотых под одним из них, то наутро сумма удвоится, если под другим – утроится, если под третьим – исчезнет. У Буратино есть 100 золотых. Он не знает, какое из деревьев удваивает деньги, какое утраивает, а какое уничтожает. Какую наибольшую сумму он может обеспечить себе наутро? Д.В. Максимов (С.-Петебург)

ЗАДАЧА 5157. ABCD и A′B ′C ′D ′ – выпуклые четырехугольники, для которых АВ < A′B ′, ВС < B ′С ′, CD < C ′D ′ и AD < A ′D ′. Может ли при этом быть так, что АС > А′С ′ и ВD > В ′D ′? А.В. Акопян (Москва)

В треугольнике АВС проведены высота АН, медиана АМ и биссектриса АL. Докажите, что точки Н, М и проекции точек В и С на прямую АL лежат на одной окружности. А.С. Зеленский (Москва)

ЗАДАЧА 5160. Пусть k ≥ 3, k ∈ N, а f : R → R – функция, удовлетворяющая тождеству 2π ⎞ ⎛ f ( x − 1) + f ( x + 1) = 2 ⎜ cos ⎟ f ( x ). k ⎠ ⎝ Докажите, что эта функция – периодическая. А.Ю. Эвнин (Челябинск)

ЗАДАЧА 5161.

В каждой клетке шахматной доски изначально стоит по ферзю. За один ход разрешается снять с доски любого ферзя, находящегося под боем пяти или большего числа ферзей. Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Дано натуральное число. Из него вычитается самое большое простое число, не превосходящее его. С результатом снова производится такая же операция и т.д. Назовем число качественным, если из него через несколько шагов получается 1, и некачественным – если 0. Докажите, что среди чисел от 1 до 1 000 000 качественные составляют не менее 25%, но не более 50%.

И.Ф. Акулич (Минск, Белоруссия)

Ф.В. Петров (С.-Петербург)

ЗАДАЧА 5158.

Задачи

Решения задач, помещенных в № 4 за 2010 г. ЗАДАЧА 5126. На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на рис. 1. После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рис. 2. Могло ли колес быть: а) три; б) два?

Рис. 1

Р е ш е н и е. а) Соответствующий пример приведем, пользуясь обозначениями на рис. 3. Пусть одно из колес снабжено спицами ОА, ОС и ОD, второе – ОВ и ОЕ, третье – OF и OG. Тогда к конфигурации, показанной на рис. 2, можно прийти, повернув первое колесо на 360°, второе – на 45°, а третье – на 135° по часовой стрелке. б) Из рис. 1 ясно, что суммарное число спиц на всех колесах не меньше 7. Поэтому при числе колес, равном 2, обязательно имелось бы колесо с 4 или бо′льшим количеством спиц. Но тогда вид сверху, такой как на рис. 2, получить было бы невозможно. ЗАДАЧА 5127. Верно ли, что среднее арифметическое всех простых чисел, меньших 10100, является простым числом? О т в е т: нет. Р е ш е н и е. Пусть 2 = р1 < р2 < … < рn – простые числа, s – их среднее арифмети1 n ческое; равенство s = ∑ pk запишем n k =1 в виде n

∑ ( s − pk ) = 0.

Рис. 2

О т в е т: а) да; б) нет. C D

Предположим, что число s – простое. Тогда s нечетно (ввиду очевидного неравенства s > 2), следовательно, среди n целых чисел s – р1, s – р2, …, s – рn ровно одно (а именно, s – р1 = s – 2) нечетно. Но тогда и сумма

(*)

k =1

∑ ( s − pk ) не-

k =1

четна, т.е. равенство (*) не выполняется. Противоречие. ЗАДАЧА 5128.

F G Рис. 3

Вершины куба занумеровали числами от 1 до 8, после чего для каждого ребра вычислили произведение номе-

Математика в школе 9 / 2010

ров вершин на его концах. Найдите наибольшую возможную сумму полученных 12 произведений. О т в е т: 264. d

y a

c t

Рис. 4

Р е ш е н и е. Пусть a, b, c, d, x, y, z, t – номера вершин куба, причем вершины пронумерованы так, как это показано на рис. 4. Положив S = a + b + c + d + x + + y + z + t, Q = a2 + b2 + c2 + d2 + x2 + y2 + + z2 + t2, оценим сумму произведений чисел на концах всех ребер куба: аy + аz + аt + bх + bz + bt + cх + cy + ct + + dх + dy + dz = = (a + b + c + d)( x + y + z + t) – – (ax + by + cz + dt) = 1 = [S 2 − ( a + b + c + d − x – y − z − t )2 ] – 4 1 – [S 2 + ( a + b − c − d + x + y − z − t )2 + 8 + (a – b – c + d + x – y – z + t)2 + + (a – b + c – d + x – y + z – t)2 – 4Q] ≤ 1 1 1 1 ≤ S 2 − (S 2 − 4Q ) = S 2 + Q = 4 8 8 2 2 2 2 1 + 2 + ... + 8) 1 + 2 + ... + 82 + = 264. = 8 2 Нумерация, для которой рассматриваемая сумма равна 264, получается, например, при а = 1, b = 7, c = 4, d = 6, x = 8, y = 2, z = 5, t = 3. ЗАДАЧА 5129. Докажите, что в произвольном треугольнике ABC

rb + rc rc + ra ra + rb 2( R + r ) , + + = ha hb hc r где ha, hb и hc – длины высот, проведенных к сторонам BC, CA и AB соответственно, ra, rb и rc – радиусы соответствующих вневписанных окружностей, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности. Р е ш е н и е. Известно, что 2 1 1 (1) = + , ha rb rc 1 1 1 1 1 1 (2) + + = + + ha hb hc ra rb rc и ra + rb + rc = 4R + r

(3)

(см., например: Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: МЦНМО, 2001, задачи 12.21, 12.22, 12.24.). Кроме того, если a, b, c – длины сторон треугольника, S – 1 его площадь, а p = ( a + b + c ) – полупе2 риметр, то 1 1 1 a b c p p 1 + + = + + = = = ; ha hb hc 2S 2S 2S S pr r с учетом (2) это означает, что 1 1 1 1 (4) + + = . ra rb rc r Применяя формулы (1), (3) и (4), получим равенства ⎛1 1⎞ rb + rc 1 = (rb + rc ) ⎜ + ⎟ , ha 2 ⎝ rb rc ⎠ ⎛1 1 ⎞ rc + ra 1 = (rc + ra ) ⎜ + ⎟ , hb 2 ⎝ rc ra ⎠ и

⎛1 1⎞ ra + rb 1 = (ra + rb ) ⎜ + ⎟ , hc 2 ⎝ ra rb ⎠

⎛1 1⎞ rb + rc rc + ra ra + rb 1 + + = (rb + rc ) ⎜ + ⎟ + ha hb hc 2 ⎝ rb rc ⎠ ⎛1 1 ⎞ 1 ⎛1 1⎞ 1 + (rc + ra ) ⎜ + ⎟ + (ra + rb ) ⎜ + ⎟ = 2 ⎝ rc ra ⎠ 2 ⎝ ra rb ⎠

Задачи

ЗАДАЧА 5131.

⎛1 1 1⎞ 3 1 = (ra + rb + rc ) ⎜ + + ⎟ + = 2 ⎝ ra rb rc ⎠ 2

1 1 3 2R 2( R + r ) (4 R + r ) ⋅ + = +2 = . 2 r 2 r r

ЗАДАЧА 5130. Функция f (x) такова, что любая прямая на плоскости Oxy имеет с графиком y = f (x) столько же общих точек, сколько с параболой у = х2. Докажите, что f (x) ≡ х2. Р е ш е н и е. Пусть а – некоторое число. Тогда значение f(a) определено, поскольку прямая х = а, пересекающая параболу в точке (а, а2), имеет общую точку и с графиком функции f(х). Покажем, что f(a) = а2. Сначала отметим неравенство f(х) ≥ х2,

(8)

выполняющееся при любом значении х. (В самом деле, если бы нашлось число х0, для которого f ( x0 ) < x02 , то прямая, проведенная через точку (х0, f(x0)) параллельно касательной к параболе в точке ( x0 , x02 ), не имела бы (вопреки условию) общих точек с параболой.) Далее рассмотрим прямую у = 2ах – а2, касающуюся параболы в точке (а, а2), и точку (t, f(t)), лежащую на этой прямой. Поскольку для х = t выполнены соотношения f(х) = 2ах – а2 и (*), то 2at – a2 ≥ t2; отсюда t = a, т.е. точки (t, f(t)) и (а, а2) совпадают. Следовательно, f(a) = а2, и ввиду произвольности выбора числа а заключаем, что f(х) ≡ х2.

Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На отрезках AB, BC, CA взяты соответственно точки Ac и Bc, Ba и Ca, Cb и Ab так, что треугольники OAbAc, OBaBc и OCaCb – правильные. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников OAbAc, OAcBc, OBcBa, OBaCa, OCaCb и OCbAb лежат на одной окружности. Р е ш е н и е. Утверждение задачи неверно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим треугольник АВС, в котором ∠С = 120°. Пусть М – точка, выбранная так, что ∠АСМ < 90°, ∠ВСМ < 90° и МО = МС. Тогда окружность радиуса МО с центром М пересекает отрезки СА и СВ в некоторых точках P и Q, отличных от С; из равенств ∠ОСР = ∠ОСQ = = 60° и ∠РСQ = 120° видно, что треугольник ОРQ – правильный. Нетрудно установить также, что множеством точек М с указанными свойствами является диагональ DE (исключая ее концы) ромба ODCE, в котором ∠DСE = 60°. Но точки Ас, Вс, Ва и Ab, взятые в соответствии с условиями задачи, однозначно определяют окружность ω, проходящую через центры описанных окружностей треугольников ОАbАс, ОАсВс и ОВаВс. Следовательно, если бы утверждение задачи было верным, то все внутренние точки отрезка DE лежали бы на окружности ω. Последнее же невозможно.

Замечания к решениям задач Несложная «задача ни о чем» 5126 взята с Математического Праздника, проходившего в МГУ в феврале 2010 г. Все

читатели, взявшиеся ее решать, справились с обоими пунктами. Наиболее часто встречавшееся реше-

Математика в школе 9 / 2010

ние задачи 5127 сводится к рассмотрению двух возможностей: 1) количество простых чисел, меньших 10100, четно и 2) это количество нечетно. (Подход универсален настолько, что мы сочли возможным зачесть решения даже людям, считающим единицу простым числом.) По задаче 5128 приведено наиболее «прямое» из имевшихся у нас решений; можно было уменьшить объем выкладок, но тогда потребовались бы ссылки, например, на свойства одномонотонных последовательностей. Зачтено 13 из 17 читательских решений; в двух письмах дан неверный ответ, а авторы еще двух ограничились сообщением о том, что число 264 найдено ими в результате прямого перебора (соответствующих программ и распечаток вычислений они не прислали). Задачи, подобные 5129, при наличии громадного массива уже известных формул планиметрии, так или иначе, не мытьем, так катанием, решаются. Нами

приведено наиболее короткое из полученных доказательств (его предложили В.О. Гордон из Читы и А.Ю. Эвнин из Челябинска). Утверждение (и наше решение) задачи 5130 очевидным образом переносится на случай, когда вместо параболы задана произвольная выпуклая или вогнутая кривая. Добавим, что целому ряду читательских работ недоставало аккуратности. Аккуратность и въедливость (в лучшем смысле этого слова) проявили А.С. Нагорный из Москвы и Л.И. Солнцева из Кстова, опровергнувшие утверждение задачи 5131. Другие решальщики по умолчанию полагали, что углы ССаСb и ССbСа обязательно оба тупые; соответствующие решения годятся только для треугольника, все углы которого меньше 120°. (Утверждение же задачи верно для любого треугольника, все углы которого отличны от 120°.) С.И. Токарев (Иваново)

Сводка решений задач по № 4 за 2010 г. Афанасьев А.Н. (Якутск) – 5126–30. Ашурбеков К.Д. (Махачкала) – 5126–30. Батуева Е.В. (Улан-Удэ) – 5127. Безденежных Н.П. (Нижний Тагил) – 5127, 29, 30. Белова М.Ю. (Караганда, Казахстан) – 5126, 27, 29. Гордон В.О. (Чита) – 5129. Димитренко М.Ю. (дер. Вадьковка Брянской обл.) – 5126, 27, 29, 30. Дорофеев В.Л. (Мытищи) – 5126–28, 30. Ермолаев Н.К. (р. п. Кузоватово Ульяновской обл.) – 5126, 29, 30. Знак Е.И. (С.-Петербург) – 5129, 30. Куприхина Н.М. (Москва) – 5126–30. Нагорный А.С. (Москва) – 5126–31. Назаралиев С.М. (с. Куштиль, Дагестан) – 5126, 27, 29.

Пиркулиев Р.Ш. (Сумгаит, Азербайджан) – 5126, 27, 30. Похильченко В.И. (с. Быканово Курской обл.) – 5126–29. Салгереева Р.М. (Хасавюрт) – 5126–28, 30. Сефибеков С.Р. (с. Кашкент, Дагестан) – 5126. Солнцева Л.И. (Кстово) – 5126–31. Тасмуратов С.С. (Астрахань) – 5126–30. Трапезников А.К. (Пермь) – 5129. Челябов И.М. (Махачкала) – 5126–30. Эвнин А.Ю. (Челябинск) – 5126–30. Математические кружки Дагестанского ФМЛ и студентов мат. ф-та ДГУ, Махачкала (рук. Ш.Г. Гамидов, А.Ф. Аскеров, М.А. Муртузалиев) – 5126–30. Лицея № 130, Новосибирск (рук. Л.Н. Чусовитина) – 5126–29.

СК У П Ы В » Й е л Ы о Н к Ь ш Л СПЕЦИА «Математика в . г г 0 а 5 л 9 а 1 н жур а 1946– е о н н а р б Из

Издательство «ШКОЛЬНАЯ ПРЕССА» начинает публикацию материалов из «золотого фонда» журнала «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ». Первый такой специальный выпуск будет включать в себя избранное за 1946–1950 и выйдет в виде отдельного, дополнительного номера журнала в 2011 году. В этот номер вошли наиболее интересные, не потерявшие своей актуальности материалы из подшивки журнала – статьи выдающихся педагогов и математиков, талантливых учителей и замечательных популяризаторов, а также наиболее яркие задачи из задачника «Математика в школе». Нам известно, что уровень математического образования в СССР был чрезвычайно высок. Быть может, секрет этого феномена вы откроете, прочитав специальный выпуск нашего журнала.

Подписка — 2011 I полугодие

Уважаемые читатели! Если вы не успели подписаться на журнал «Математика в школе» в отделении связи, это можно сделать в издательстве «Школьная Пресса». Подписка в издательстве продлена до 30 декабря 2010 г. Подписная цена журнала 750 руб. (за 5 номеров). Можно оформить годовую подписку по льготной цене на 10 номеров журнала «Математика в школе» + специальный выпуск «Математика в школе. Избранное за 1946–1950 гг.» Подписная цена комплекта 1485 руб. Доставка осуществляется за счет издательства. Условия подписки: 1. Заполните подписной купон и квитанцию. 2. Оплатите подписку в любом отделении Сбербанка РФ. 3. Пришлите копию квитанции в издательство. Внимание! Подписка будет оформлена только при фактическом поступлении денег на счет, указанный в квитанции.

Подписной индекс 70557 Подписка осуществляется по каталогу «Газеты. Журналы» агентства «Роспечать» Математика в школе, 2010, № 9, 1–80