La capacità di rappresentazione di un codice Approfondiamo le nostre conoscenze sui codici attraverso lo svolgimento del seguente esercizio: Supponete di avere a disposizione 3 lampade, ciascuna delle quali può emettere una luce con colore che può variare fra verde, giallo e rosso.
inventate un codice per trasmettere lettere dell’alfabeto utilizzando questi codici.
ad esempio
Lettera A <—–> Verde, verde, verde
Lettera B <—–>Verde, Verde, Giallo
1. scrivete la tabella completa del codice 2. quante lettere potete rappresentare? 3. quante lampade vi occorrerebbero per poter rappresentare tutte le lettere dell’alfabeto italiano? e dell’alfabeto inglese? 4. se ogni lampada potesse emettere luci di 10 colori diversi quante lampade occorrerebbero per codificare tutte le lettere dell’alfabeto italiano? Quale problema pratico potremmo avere?
Nel nostro codice i simboli da utilizzare saranno i colori emessi dalle lampade che schematizziamo qui con V per verde, G per giallo e R per Rosso. Questi simboli saranno uniti in parole di lunghezza 3 poiché si useranno tre lampade in parallelo, ad esempio VVVV se mettiamo tutte e tre le lampade a verde o VGR se la prima sarà di colore verde, la seconda di colore giallo e la terza di colore rosso. Incominciamo ad affrontare il primo problema: dobbiamo evitare, nella realizzazione della tabella, di incorrere in due errori a) dimenticare qualche combinazione possibile di colori b) scrivere più volte per distrazione la stessa combinazione; se riflettete un attimo vi renderete conto che per rendere il codice non ambiguo ogni combinazione dovrà corrispondere ad una sola lettera dell’alfabeto. Se per errore attribuiamo la stessa combinazione di luci a più lettere, chi riceve il messaggio non sarà in grado di capire immediatamente qual è la lettera trasmessa e dovrà basarsi sul senso del testo complessivo per capire qual era la lettera che si voleva trasmettere. Ad esempio se si usa lo stesso codice per la C e la P non si capirà se si è trasmessa la parola PANE o CANE e lo si potrà forse determinare dal contesto complessivo della frase: scegliere se il messaggio è COMPRA IL PANE oppure COMPRA IL CANE dipenderà dal contesto dei rapporti fra chi manda il messaggio e chi riceve; se non hanno mia parlato ci comprare un cane sarà più probabile che intendesse dire di comprare il pane. In ogni caso se facciamo un codice in cui una combinazione corrisponde ad una sola lettera ed una lettera è rappresentata da un solo codice abbiamo creato un codice chiaro che non a luogo ad ambiguità ( si dice che combinazioni e lettere sono in corrispondenza BIUNIVOCA) Vediamo ora un metodo per poter scrivere in modo corretto la tabella di tutte le combinazioni possibili di tre colori. Vedremo che questo metodo consentirà anche di trovare un metodo per determinare quante combinazioni si possono ottenere in tutto.
Cominciamo con lâ&#x20AC;&#x2122;osservare che se avessimo una sola lampada avremmo solo tre combinazioni possibili
VERDE Inizio
GIALLO ROSSO
Supponiamo di aver scelto il colore verde: se aggiungiamo una seconda lampada a sinistra della prima lampada potremmo avere di nuovo tre possibilitĂ a seconda della scelta del colore della lampada aggiunta
VV
Inizio
VERDE
GV
GIALLO
RV
ROSSO Se invece abbiamo scelto per la prima lampada il colore giallo abbiamo altre tre possibilitĂ a seconda del colore che scegliamo per la lampada aggiunta
VV
VERDE
GV RV
Inizio
VG GIALLO
GG
ROSSO
RG
Infine partendo dal rosso per la prima lampada avremo altre tre possibilità
VV VERDE
GV RV VG
Inizio
GIALLO
GG RG VR
ROSSO
GR RR
Quindi con due lampade abbiamo la possibilità di creare 9 combinazioni. Ma 9 è 32 quindi le combinazioni sono date dal numero di simboli ( 3 colori) elevato alla lunghezza della parola (2 lampade).
Supponiamo ora di aver scelto Verde per la prima lampada e verde per la seconda e di aggiungere una terza lampada: abbiamo tre nuove possibilità a seconda del colore scelto per la terza lampada
VVV
VERDE
VV
GVV
GV
RVV
RV
VG Inizio
GIALLO
GG RG VR
ROSSO
GR
RR Se la prima lampada è verde e la seconda è gialla, scegliendo il colore della terza lampada si aggiungono tre possibilità
VVV VV
GVV RVV
VERDE
Inizio
VGV GV
GGV
RV
RGV
VG GIALLO
GG RG VR
ROSSO
GR RR
Se completiamo l’albero delle possibilità avremmo 3 nuove combinazioni per ognuna delle 9 foglie precedenti come si vede dalla figura seguente cioè un totale di 3 X 9 = 27 combinazioni. Ma 27=33 quindi ancora una volta le combinazioni sono date dal numero di simboli (3 colori) elevati al numero di lampade usate cioè alla lunghezza della parola. Leggendo le combinazioni sulle foglie dell’ultimo livello dell’albero abbiamo tutte le combinazioni possibili del nostro codice che possiamo associare alle lettere dell’alfabeto
VVV VV
GVV RVV VGV
V
GV
GGV RGV VRV
RV
GRV RRV VVG
VG
GVG RVG VGG
INIZIO
G
GG
GGG RGG VRG
RG
GRG VRG VVR
VR
GVR RVR VGR
R
GR
GGR RGR VRR
RR
GRR RRR
COMBINAZIONI VVV GVV RVV VGV GGV RGV VRV GRV RRV VVG GVG RVG VGG GGG RGG VRG GRG RRG VVR GVR RVR VGR GGR RGR VRR GRR RRR
LETTERA ASSOCIATA A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z
Si noti che alcune combinazioni non saranno utilizzate: si parla di codice ridondante quando abbiamo più parole di quelle necessarie. Abbiamo anche visto che sono 27 , numero che otteniamo elevando il numero di simboli possibili alla lunghezza della parola. Basta poco per rendersi conto che è una regola generale. Se ad esempio ripetessimo l’esercizio precedente con 4 lampade otterremmo 81 cioè 34 combinazioni mentre se usassimo tre lampade ma capaci di emettere 4 colori avremmo 64=43 combinazioni. Proseguendo per induzione si giunge alla regola generale che un codice che usi M simboli diversi uniti in parole di lunghezza N (cioè ottenute unendo N simboli) avremo MN simboli diversi. E’ un risultato della matematica combinatoria che chiama questo problema come calcolo del numero delle cosiddette disposizioni con ripetizione. Una combinazione è chiamata disposizione (disposizione di simboli) ed è detta con ripetizione perché un simbolo si può ripetere più volte nella parola. Usiamo questa regola per rispondere alla domanda 3: le lettere dell’alfabeto italiano sono 21; se usassimo 2 lampade avremmo 32=9 combinazioni insufficienti per rappresentare tutte le lettere, invece 33=27 è sufficiente. Come vedete possiamo rispondere alla domanda senza dover prima costruire la tabella e controllare se ce l’abbiamo fatta. Le lettere dell’alfabeto inglese sono 26 quindi anche in questo caso bastano 3 lampade. Per rispondere alla quarta domanda si noti che se si usano 10 colori vuol dire che M diventa uguale a 10. Se usassimo una sola lampada avremmo MN = 101 = 10 combinazioni insufficienti a rappresentare 21 lettere dell’alfabeto italiano. Se usiamo due lampade avremo MN = 102 = 100 combinazioni sufficienti a creare il codice.