´ n. Como hemos visto, una isometr´ıa σ queda determinada por Demostracio su acci´on sobre tres puntos no colineales. Sean A, B, y C tres puntos no colineales cualquiera del plano, y sea σ(A)σ(B)σ(C) el tri´angulo congruente correspondiente. Sea τA la traslaci´on que lleva el punto A en el punto σ(A). Tenemos entonces que τA (A) = σ(A), y que por lo tanto los tri´angulos (¡congruentes!) σ(A)σ(B)σ(C) y τA (A)τA (B)τA (C) comparten un v´ertice. Sea ρθ la rotaci´on de centro en σ(A) y que lleva el lado τA (A)τA (B) sobre el lado σ(A)σ(B). Ahora tenemos que σ(A)ρθ = (τA (A)) σ(B)ρθ = (τA (B)), es decir, los tri´angulos σ(A)σ(B)σ(C) y ρθ (τA (A))ρθ (τA (B))ρθ (τA (C)) comparten dos v´ertices y como son congruentes, o bien ρθ (τA (C)) = σ(C), o bien ρθ (τA (B)) es sim´etrico de σ(C) con respecto a la recta por σ(A) y σ(B). En el primer caso, σ = ρθ τA En el segundo, σ = µσ(A)σ(B) ρθ τA , donde µσ(A)σ(B) es la reflexi´on con respecto al eje σ(A)σ(B).
Las simetr´ıas se diferencian en el numero de puntos que dejan fijos. Las traslaciones no fijan ning´ un punto. Las rotaciones fijan s´olo un punto, el centro. Las reflexiones fijan todos los puntos sobre la recta de reflexi´on. La identidad obviamente fija todos los puntos del plano. Podemos concluir entonces que si la composici´on de dos o m´as simetr´ıas no deja ning´ un punto fijo, se trata de una traslaci´on, etc. Teorema 5.13. La composici´ on de dos reflexiones es una rotaci´ on o una traslaci´on. on es la compuesta de dos reflexiones. Teorema 5.14. Toda traslaci´ (1) Demuestre que las traslaciones, rotaciones y reflexEjercicios 5.3. iones son isometr´ıas. (2) Dada una traslaci´on τ y una rotaci´on ρ, compute τ ρ. ¿Cu´al es su(s) punto(s) fijo(s)? (3) Demuestre el teorema 5.13. (4) Demuestre el teorema 5.14. 93