Es claro que Sn , que contiene a todas las biyecciones posibles, es cerrado bajo composiciones, inversos y contiene a la identidad, luego Sn es un grupo al que llamaremos el grupo sim´etrico sobre n objetos. Existe una notaci´on muy pr´actica para representar un elemento σ de Sn . Simplemente escribimos dos renglones con los n´ umeros {1, 2, . . . , n}, de tal manera que debajo de k aparece su imagen σ(k): 1 2 n ··· . σ(1) σ(2) · · · σ(n) As´ı por ejemplo, la permutaci´on 1 2 3 4 τ= , 2 4 3 1 corresponde a la funci´on τ (1) τ (2) τ (3) τ (4)
= = = =
2 4 3 1.
Es claro tambi´en que el orden en que se escriban los elementos de la permutaci´on no es importante mientras la imagen de cada n´ umero aparezca debajo del mismo, as´ı 1 2 3 4 2 4 3 1 4 3 2 1 = = . 2 4 3 1 4 1 3 2 1 3 4 2 Usando esta notaci´on, la funci´on identidad ser´a: 1 2 ··· n Id = , 1 2 ··· n
mientras que la inversa de σ=
ser´a σ
−1
=
1 2 ··· n σ(1) σ(2) · · · σ(n)
σ(1) σ(2) · · · σ(n) ··· n 1 2
.
.
El lector probablemente ha visto el siguiente resultado en alg´ un curso de algebra elemental. Teorema 5.3. Sn tiene n! elementos. 83