Analogamente, c(an−1 bn−1 + · · · + a1 bcn−2 + a0 cn−1 ) = −an bn ,
es decir, c|an cn y como (b, c) = 1,
c|an . Corolario 2.7. Sea p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 ∈ Z[x], donde a0 6= 0. Si p(x) tiene una ra´ız en Q, entonces esa ra´ız es entera y divide a a0 .
´ n. Inmediato. Demostracio
Ejercicios 2.1. (1) Determine todos los racionales para los cuales el poli2 nomio p(x) = 7x − 5x toma un valor entero. 3. Irreducibilidad sobre los Racionales. El Criterio de Eisenstein ´ n 2.4. Un polinomio p(x) no constante se dice irreducible sobre Q[x] Definicio si toda vez que p(x) = q(x) r(x), entonces o bien q(x) es una unidad de Q[x] o bien r(x) es una unidad Q[x]. De manera an´aloga podemos definir polinomio irreducible sobre Z[x] o R[x], etc. Teorema 2.8. En Q[x] un polinomio es irreducible si y s´olo si no es el producto de dos polinomios de grado menor. ´ n 2.1. Observacio (1) Debe tenerse en cuenta que el concepto de irreducibilidad es relativo al conjunto de polinomios del que estamos hablando, as´ı el polinomio x2 − 2 es irreducible sobre Q[x], pero no lo es sobre R[x] ya que aqu´ı √ √ x2 − 2 = (x − 2)(x + 2),
y los dos u ´ltimos no son unidades de R[x]. (2) Consideremos p(x) = 2x2 − 4. Si bien p(x) se puede factorizar como p(x) = 2(x2 − 2), estos factores no tienen grado menor que el de p(x). En general, si p(x) es irreducible sobre Q[x] y 0 6= a ∈ Q, entonces a · p(x) es irreducible sobre Q[x]. (3) Todo polinomio de primer grado es irreducible sobre Q[x]. El concepto de polinomio irreducible es central en la teor´ıa de polinomios ya que ocupa dentro de ´esta el lugar que tiene el de n´ umero primo en la teor´ıa de n´ umeros, resulta por lo tanto importante contar con m´etodos para determinar si un polinomio es o no irreducible. Eso es lo que estudiaremos a continuaci´on. Teorema 2.9. Sea p(x) ∈ Q[x] de grado 2 o 3. Entonces p(x) es irreducible si y s´olo si p(x) no tiene un cero en Q. 32