r Cap. 3
82 Vetores e Geometria Analítica
Solução
3) Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10. Calcular I AB X AC I.
a) Sabe-se que o vetor u X v é simultaneamente ortogonal a u e v . Como multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção, todos os vetores do tipo .......
-
-
-
a ( u x v ), a E R, são também ortogonais a u e v . Portanto, este problema tem infinitas soluções. i
Solução É uma aplicação direta da relação (3):
IAB
!AB x AC! = IIACI sen  Como  = 60° (Figura 3.7), vem
k
uxv= 1
-1
-4 = (10, -10, 5)
3
2
-2
-
IAB
J3 = x -ACI = (10)(10)(-) 2
r;; 50-v3.
Observação
Logo, as infinitas soluções são a (10, -10, 5), a E R
Figura 3.7
Este resultado representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC . Logo, a área do triângulo da figura é a metade, ou seja, 25J3 .
Observação
-
Se chamarmos de x = (x, y, z) todos os vetores ortogonais a u e v, estas mesmas soluções seriam obtidas resolvendo-se o sistema.
{X - y - 4 Z= 0
; . ~ = 0 { -x. -v =0
ou
3x + 2y - 2z
b) A partir de u x v (ou de qualquer a (u X v), a
-:1:-
=O
0), obtém-se dois vetores unitários:
~I = ~ = (10, -10, 5) = ( 3_ _3_ _!_) I~ x ~I 15 3' 3' 3
4) Dados os vetores ~ = (1, -L 1) e v = (2, -3, 4), calcular a) a área do paralelogramo determinado por u e v;
_
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u.
Solução a) Sabemos de (7) que a área A é dada por A
lu X vi
Como
k
e -
-
2
2
1
uxv
U2 =-UI =(-3, 3' -3 ).
2
c) Para obter um vetor de módulo 4 que seja ortogonal a ~ e v , basta multiplicar por 4 um vetor unitário: 2 2 1 8 8 4 4 (3, -3, 3)=(3, -3, 3). ou 2
4(-3,
2 3'
1
8
8
4
-3) =(-3, 3' -3 ).
d) Dentre as infinitas soluções a(l O, -10, 5) = (1 Oa, -10a, 5a), deseja-se aquela cuja cota é 7. Então, 5a = 7, ou seja, a= 7
Produto Vetorial 83
- (10, -10, 5) = (14, -14, 7). 5
2. Logo, temos a solução 5
-1
I
-3
4
(-1,-2,-1) U X V
tem-se A
.J6 u.a (unidades de área).
1(-1, -2, -1)1
b) A Figura 3.8 ilustra outra vez o significado geométrico de I~ x ~ I e indica a altura h que se pretende calcular. De A= (base)(altura) =I uI. h vem A h= -:::;lu I
lux vi
Figura 3.8