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Vetores e Geometria Analítica
Na Figura 1.1 (b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B. 0 deslocamento de uma pess~a nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de· Adpara contrário, de B para A. Portanto ' a cada di.reça- 0 podemas asso. · B ou · no sentido · Ois sentidos. Fica claro · · " ou em "senciar . ~ . , . então que ,só podemos falar em " sent"d I os Iguais tidos contranos caso esteJamos diante da mesma direção. ,
[! ___________________________
A
B
[3--------------------------Com o propósito de garantir uma maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetores será feita por meio de dois tratamentos que se completam: Keométrico e alKébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros serão abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato.
O TRATAMENTO GEOMÉTRICO Noção Intuitiva Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm3 ou que a temperatura ambiente é de 30°C, estamos determinando perfeitamente estas grandezas. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais. Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as idéias de direção e de sentido. A Figura l.l(a) apresenta três retas. A reta r 1 determina, ou define, uma direção. A reta r 2 determina outra direção, diferente da direção de r 1• Já a reta r3, por ser paralela a r~o possui a mesma direção de r 1• Assim a noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer dizer, retas paralelas têm a mesma direção.
(a)
(b)
Figura 1.1
Agora vamos a um exemplo. Consideremos um avião com uma velocidade constante d~ 40_0 ~· de~locand~-se para n~rdeste, sob um ângulo de 40° (na navegação aérea, as di~eçoes sao da~as pelo a~gulo considerado a partir do norte (N), em sentido horário). Esta grandeza (velocidade) sena representada por um segmento orientado (uma flecha_ F 1.2), ~endo o seu módulo dado pel_o comprimento do segmento (no caso, 4cm, e cadaI~~~ corres~~nd~ a I 00 kmlh), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40° o sentido sera mdicado por uma seta na extremidade superior do segmento. . - contmua · Observemos que no. caso de o ângulo ser 220° (40° + 180°) , a, d.rreçao , sendo a mesma, porem, o sentido é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor. N
' 40°
s -------------- -------- ---------------Figura 1.2
Abstendo-se. da idéia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento or~entado (um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo).