-
--
-~----------
Cap.2
G o r e s e Geometria Analítica
36) Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60° com o vetor i .
22) Seja o vetor v = (2, -I, 1). Obter
37) Determinar o vetor ~ de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor
a) um vetor ortogonal a v;
~
b) um vetor unitário ortogonal a v ; c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v .
---
-
-
~ é ortogonal ao eixo Oz, I~ I = 8, forma ângulo de 30° com o vetor
a)
24) Demonstrar que sendo u , v e w vetores dois a dois ortogonais, então
e ângulo
obtuso com j ;
a)l~ + ~1 =1~1 2 +1~r2 . 2 2 2 b) I~ + ~ + ; 1 = I~ 1 + I~ 1 + I; 12 . 2
b) ~ é ortogonal ao eixo Ox, I~ I = 2, forma ângulo de 60° com o vetor
e ângulo
agudo com k.
25) Determinar o ângulo entre os vetores
u = (2, -I, -I) e v =(-I, -I, 2). U=(l,-2, l)e V=(-1, 1,0). ~
39) O vetor ~ é ortogonal aos vetores u
~
b) 26) Seja o triângulo de vértices A(3, 4, 4), B(2, -3, 4) e C(6, O, 4). Determinar o ângulo interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B? 27) Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3 ), B(l, O, -1) e C(-1·, 2, I). 28) Calcular o valor de m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores u = (1, -2, I)
- -
30) Se IuI= 4, Iv I= 2 e 120° o ângulo entre os vetores u e v, determinar o ângulo entre
-u + -v e -u - -v e construir uma figura correspondente a estes dados. d) IOB I e IOG I
b) OA.OD
e) EG.CG
í:
---
a
I
~_l--------~-~y Va
A/ a
32) Calcular os ângulos diretores do vetor v = (6, -2, 3). 33) Os ângulos diretores de um vetor a são 45°, 60° e 120°
/D
I I I I
1,2),determinar proj\:u eproj~v.
T -3 j
+ 2 k sobre os eixos cartesianos x.
y e z. 42) Para cada um dos pares de vetores ; e ~ , encontrar a projeção ortogonal de ~ sobre a);= (1, 2. -2) e b)u=(l,l,l) e
F <f-LI_ _ __._G
c) OE .OB f)(ED.AB)OG g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta; h) o ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo.
(3,0, l)e v
41 ) Determinar os vetores projeção de v = 4
c) ;
31) Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. Determinar: a) OA .OC
40) Dadososvetores u
1) e forma ângulo agu-
-
u e decompor v como soma de v1 com v2, sendo VJ // u e v:z_l u.
~
29) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores v = (-3, 1, n) e k.
-
= (1, 2, 0) e w = (2, O, . Determinar~ , sabendo que Iv I =
do com o vetor j
-
e v =(-2, I,m+ 1).
--
= T - 2 k , e forma ângulo obtuso com o vetor T.
38) Determinar o vetor v nos casos
----
23) Sendo a _i b, Ia I= 6 e Ib I= 8, calcular Ia + b I e Ia - b I.
a)
Produto escala~
B
= (2, O, 0)
e
v= (3, -2, 1) v =(3,1,-1)
v
= (3, 5, 4)
d) ; (3, l, -3) e v (2, -3, 1) 43) Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3. 5) e C(O, 4, 1) vértices de um triângulo (Figura 2.18). a) Para que valor demo triângulo ABC é retângulo emA? b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
Figura 2.18
X
Figura 2.17
e I~ I = 2. Determinar i . 34) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar. 35) Mostrar que existe um vetor cujos ângulos diretores são 30°, 90° e 60°, respectivamente, e determinar aquele que tem módulo 1O.
d) Mostrar que AH _i BC. 44) Determinar o valor de k para que os vetores u = (-2, 3) e v = (k, -4) sejam a) paralelos; b) ortogonais. 45) Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores a)
4i +3
r
b) (-2, 3)
c) (-1, -1)