-Cap. 2 54
Produto Escalar 55
Vetores e Geometria Analítica
O sistema Esta última afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores:
y=0 X+Z=0 tem infinitas soluções do tipo y =X e Z =-X X
{
Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u. v= O.
Exemplos
Logo, os vetores ortogonais a
1) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
-
-
e v2 são da forma u = (x, x, -x)
ou u = x(l, 1, -1 ), x E R, isto é, são todos múltiplos de (1, 1, -1 ), conforme sugere a Figura 2.5.
a) u = (1, -2, 3) e v = (4, 5, 2)
b) i e j
Figura 2.5
4) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
Solução
Solução
a) u.v = 1(4)-2(5)+3(2)=4-10+6=0
Observação
-
-
O vetor O é ortogonal a todo vetor, isto é, O. v = O para todo v .
AC.DB
2) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -"1) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo. Solução A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que existem dois vetores que determinam os lados do triângulo cujo produto escalar é zero. Consideremos os vetores AB = (0, -2, -2) AC = (0, -1, -3)
-
-
-
( u +;). ( ~ ; )
I u 12 I; 12
O
A
(5)
Figura 2.6
pois I u I = Iv I.
1;!
5) Provar, utilizando o produto escalar, que o ângulo inscrito em urna semicircunferência é reto.
Observemos que, considerados os vetores u e v como na Figura 2. 7, os vetores u + v e u v determinam o ângulo inscrito na semicircunferência. Portanto, de maneira análoga ao exemplo anterior, visto em (5), ternos
AB. AC = (0, -2, -2). (0, -1, -3) =O+ 2 + 6 = 8 :;t: O AB. BC = (0, -2, -2). (0, 1, -1) =O- 2 + 2 =O Tendo em vista que AB. BC = O, o triângulo é retângulo em B.
um vetor ortogonal aos vetores
Vi
= (1, -1, O) e v2 = (1, O, 1).
Solução Seja ~ = (x, y, z) o vetor procurado. Como ~ é ortogonal a u. v2 = (x, y, z). (1, O, 1) = x + z =O
O
Fazendo AB == u e AD = v , pela figura vemos que --AC = u + v e DB = u - v. Logo, AC. DB
U-V
Solução
BC= (0, 1, -1) (poderíamos também considerar os vetores opostos deles). Calculemos:
u. Vi = (x, y, z). (1, -1, O)= x- y =O
c
Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o mesmo comprimento. Consideremos o losango ABCD (Figura 2.6). Devemos mostrar que
b) i . j = (1, O, 0). (0, 1, O)= 1(0) + 0(1) + 0(0) =O
3) Determinar
Vi
Vi
e~2, devemos ter
(u+v).(u-v) pois I uI= I v I (medida do raio). Figura 2.7