` VARIABILI FUNZIONI IN PIU
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prodotto `e positivo; in A2 sono positive le prime due, ma la terza `e negativa, e quindi il loro prodotto `e negativo; in A3 sono negative le prima e la terza, mentre la seconda `e positiva, e quindi il loro prodotto `e positivo; in A4 le funzioni sono tutte negative e quindi il loro prodotto `e negativo; in A5 le prime due sono negative, e la terza `e positiva, e quindi il loro prodotto `e positivo; in A6 la prima e la terza sono positive, mentre la seconda `e negativa, e quindi il loro prodotto `e negativo. In conclusione, il dominio Dom(f ) di f `e costituito da A1 ∪ A3 ∪ A5 in quanto lungo gli assi coordinati e la bisettrice del primo e terzo quadrante il prodotto `e nullo, e quindi f `e definita nell’ unione disgiunta dei tre angoli descritti. p 2) La funzione f (x, y) = −|x2 + y 2 − 2| `e definita dove il radicando `e non negativo, ossia −|x2 + y 2 − 2| ≥ 0. Moltiplicando per −1 abbiamo |x2 + y 2 − 2| ≤ 0 e quindi x2 + y 2 − 2 = 0 per le propriet`a del valore assoluto. Ne consegue che Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 − 2 = 0} che descrive i punti della circonferenza di centro l’ origine e raggio √ 2. p 3) La funzione f (x, y) = x4 − y 2 `e definita nei punti del piano che verificano la condizione x4 − y 2 ≥ 0, che pu`o essere riscritta come (x2 − y)(x2 + y) ≥ 0. Abbiamo quindi una disequazione che pu`o essere risolta con la regola dei segni. La funzione x2 − y `e positiva in {(x, y) ∈ R2 |y < x2 } cio`e nei punti del piano al di sotto della parabola γ1 : y = x2 , `e negativa nella parte al di sopra di γ1 , ed `e nulla nei punti di γ1 . La funzione x2 + y `e positiva in {(x, y) ∈ R2 |y > −x2 } cio`e nei punti al di sopra della parabola γ2 : y = −x2 , `e negativa al di sotto di γ2 , ed `e nulla nei punti di γ2 . Il piano risulta allora diviso in tre regioni: A1 = {(x, y) ∈ R2 |y > x2 } che descrive i punti al di sopra di γ1 , A2 = {(x, y) ∈ R2 | − x2 < y < x2 } che descrive i punti al di sopra di γ2 ed al di sotto di γ1 , ed A3 = {(x, y) ∈ R2 |y < −x2 } che descrive i punti al di sotto di γ2 . Osserviamo esplicitamente che le due parabole γ1 e γ2 hanno lo stesso vertice (0, 0), lo stesso asse di simmetria ortogonale x = 0, e la stessa retta tangente nel vertice y = 0. Hanno inoltre la stessa apertura, ma sono situate in semipiani diversi. In A1 la prima funzione `e negativa, la seconda `e positiva, e quindi il loro prodotto `e negativo; in A2 sono entrambe positive, e quindi il loro prodotto `e positivo; in A3 la prima `e positiva, metre la seconda `e negativa, e quindi il loro prodotto `e negativo. Lungo le due parabole, il prodotto `e nullo. In conclusione, Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 | − x2 ≤ y ≤ x2 } ossia in A2 ∪ γ1 ∪ γ2 . p 4) La funzione f (x, y) = cos(x2 + y 2 ) `e definita nei punti del piano che verificano la disequazione cos(x2 + y 2 ) ≥ 0. Essendo x2 + y 2 ≥ 0, la precedente disequazione `e risolta in {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x2 + y 2 ≤ π2 } ∪ ∪k∈N {(x, y) ∈ R2 | − π2 + 2kπ ≤ x2 + y 2 ≤ π2 + 2kπ} che descrive un’ unione di corone circolari comprese tra circonferenze di pcentro nell’ origine e raggi opportuni. Osserviamo che la funzione f (x, y) dipende da x2 + y 2 pi` u che da x ed y e quindi il grafico di f (x, y) formato dai punti di coordinate (x, y, f (x, y)) ∈ R3 `e una superficie di rotazione intorno all’ asse z. Questo conferma ulteriormente la forma del dominio. `e definita nei punti del piano che verificano il sistema 5) La funzione f (x, y) = arcsin x−y x+y di disequazioni x−y x+y ≥ −1 x−y ≤1 x+y x + y 6= 0 La prima delle disequazioni, semplificata, `e y ≥ 0. x+y
2x x+y
≥ 0, mentre la seconda `e
−2y x+y
≤ 0, ossia