1.7. PRINCIPIOS DE ACÚSTICA
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Figura 1.2: Sistema de Control Feedback que se propagan únicamente en la dirección x, obedecen la ecuación de onda unidimensional. En donde p(x,t)denota la presión acústica instantánea en la posición x en el tiempo t, y c0 es la velocidad del sonido (de aproximadamente 34m/s) para el aire a temperatura y presión normales. La presión acústica es considerada pequeña en comparación con la presión atmosférica para asegurar la ecuación de linealidad, y esta condición es satisfecha para los niveles de ruido normalmente encontrados en la p´ractica, que tienen una presión del orden de 1[Pa] en relación con los niveles típicos de presión atmosférica de 105 [Pa]. La ecuación de onda unidimensional es satisfecha por una onda acústica de presión de forma arbitraria, pero cuya dependencia en el espacio tome la siguiente forma p(x,t) = p(t ± x/c0 )
(1.1)
en donde (t + x/c0 )representa una onda viajando en la dirección negativa de x y (t − x/c0 )representa a la onda viajando en la dirección positiva de x. Una onda tal, se propaga sin cambios en la amplitud o forma de onda en un medio infinito homogéneo en el que se asume no hay otras fuentes acústicas y no hay disipación. Todas las componentes frecuenciales de p(x,t) entonces se propagan con la misma velocidad y no sujeto de dispersión. Un ejemplo de una onda avanzando en sentido positivo que obedece la ecuación de onda es una señal de presión tonal, que puede ser representada en términos de la cantidad compleja A, como h i h i p(x,t) = Re Ae jω(t−x/c0 ) = Re Ae j(ωt−kx)
(1.2)
en donde la función Re[]denota la parte real de la expresión en el interior, ωes la frecuencia angular y k = ω/c0 es el número de onda acústico. Es importante notar que la ecuación de onda también es satisfecha por la parte imaginaria de Ae j(ωt−kx) e incluso por la expresión compleja entera. Expresándola de la siguiente forma: p(x,t) = Ae j(ωt−kx) = p(x)e jωt al substituirla en la ecuación diferencial de onda obtenemos: 2 d p(x) ω 2 + p(x) e jωt = 0 dx2 c0 2
(1.3)
(1.4)
A la ecuación 1.4 se le conoce como la ecuación unidimensional de Helmholtz, que así como es satisfecha por la presión