La lógica formal, al nivel de la lógica de enunciados, sólo puede analizar formalmente aquellos razonamientos en cuya validez no desempeña ningún papel la estructura interna de las proposiciones que los componen. Hay razonamientos formalmente válidos que no lo son simplemente en virtud de las conexiones externas entre los enunciados. Es decir, su forma no puede exhibirse tan solo mediante letras y conectivos, sino que es preciso penetrar en la estructura interna del enunciado, para buscar la validez de la inferencia en cuestión.
Ejemplo: P: Ningún árbol puede hablar. Q: Juan puede hablar. Luego, R: Juan no es un árbol.
La lógica proposicional no puede explicar por qué R se deduce de P y de Q. Se trata entonces de construir a partir del cálculo proposicional, nuevos elementos de análisis para poder tener un instrumento adicional de deducción. Dada una proposición, la lógica los individuos y a sus propiedades .
cuantificacional
distingue
en
esta
a
Ejemplo: Lina estudia mucho. Jardín es un municipio muy próspero. El Atrato es muy caudaloso.
En las tres proposiciones anteriores los individuos son: "Lina", "Jardín" y "El Atrato". Las propiedades atribuidas a dichos individuos son las frases: "estudia mucho", "es un municipio muy próspero" y "es muy caudaloso". Este tipo de proposiciones en donde se atribuye una propiedad a un individuo determinado son las llamadas proposiciones monádicas . Los nombres propios hacen referencia a cualquier tipo de individuos determinados: personas, animales, países, ríos, etc. Se simbolizarán con letras minúsculas a, b, c ... y se llamarán constantes individuales o términos . Se llamará predicado a la propiedad que se afirma acerca del sujeto o término, y se simbolizará con letras mayúsculas: A, B, C... Si en el ejemplo anterior se simboliza a: Lina, por la letra l Jardín, por la letra j. El Atrato, por la letra a. Estudia mucho, por la letra P. Es un municipio muy próspero, por la letra R. Es muy caudaloso, por la letra T.
Entonces, la simbolización de las anteriores proposiciones es: Pl Rj Ta.
Las proposiciones simples pueden combinarse mediante conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas tales como: "Pedro duerme y María lee" que se puede simbolizar así:
Ejercicios propuestos 4.1 En las siguientes proposiciones diferenciar término y predicado y hacer la simbolización correspondiente. 1. O Antonio llega temprano o José se marchará pronto. 2. Si el sol es una estrella, tiene luz propia. 3. Mario es estudioso e inteligente, pero distraído. 4. Si Jesús y Ramiro no llegan temprano, Darío dará comienzo a la conferencia. 4.2 Funciones proposicionales Considérense las siguientes proposiciones: Gustavo es médico. Alvaro es médico. Enrique es médico.
Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de "ser médico". Esto puede formularse recurriendo a la expresión "x es médico" en donde x es una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la propiedad de ser médico es indeterminada. La expresión "x es médico" no puede considerarse como una proposición ya que no es en cuanto tal ni verdadera ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto de referencia . Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de funciones proposicionales . Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables. Las funciones proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones proposicionales o proposiciones simples por medio de los conectivos. Ejemplo: "x es un número racional y z es un número irracional" se puede simbolizar como: Si en una forma compuesta hay por lo menos una función proposicional como componente, entonces toda la forma compuesta es una función proposicional. Ejemplo:
es una función proposicional ya que
lo es.
Ejercicios propuestos 4.2 1) Simbolizar las siguientes expresiones proposicionales o proposiciones:
e
indicar
si
son
funciones
• Fulano es muy generoso. • x es par y 6 también. • x e y son impares. • 2 es un número par y primo.
2) Indicar cuáles de las siguientes expresiones representan funciones proposicionales.
3) Dadas las siguientes funciones proposicionales, individualizar las variables para obtener proposiciones verdaderas. x es primo impar menor que 10. x es un nevado colombiano. x divide a z y w.
4.3 Cuantificadores Las expresiones: Todo hombre es mortal. Algunos hombres son sabios.
pueden traducirse respectivamente como: Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal. Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.
Otros giros utilizados para la expresión "para todo x" son: Todo x cualquiera x cada x
que se simbolizan por
y se llama cuantificador universal.
Otros giros utilizados para la expresión 'Existe un x" son: Hay x Existe x, tal que Algún x Algunos x
que se simbolizan por
y se llama cuantificador existencial.
Existen tres formas de convertir una función proposicional proposición a saber:
en una
•
Haciendo la sustitución de las variables por un término específico.
•
Anteponiendo la expresión "para todo x" o cuantificador universal.
•
Anteponiendo la expresión "existe al menos un x" o cuantificador existencial.
El enunciado "existe al menos un x tal que
El enunciado "para todo x,
" se representa como:
" se representa como:
Al anteponer a la función proposicional variable x ha pasado a servariable ligada .
un cuantificador, se dice que la
Una proposición de la forma es verdadera cuando todas las sustituciones de la variable x por términos específicos del conjunto de referencia, convierten a
en enunciado verdadero.
Un enunciado de la forma es verdadero cuando al menos un caso de sustitución de la variable x por un término específico del conjunto de referencia, convierte a
en un enunciado verdadero.
Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: "No todos son mecánicos". En este caso la simbolización será: donde M x es la función proposicional "X es mecánico" que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres. Las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden también a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposición "ninguno es mecánico" no equivale a la proposición "no todos son mecánicos" sino a la expresión "para todo x, x no es mecánico" que se simboliza
.
Las proposiciones existenciales pueden estar negadas, como por ejemplo "no es cierto que hay fantasmas" la cual se simboliza como donde F x simboliza la expresión "x es un fantasma". Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales pueden tener negaciones internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como
donde M x simboliza la expresión "x es mortal".
Observación. Así como aclaramos en su momento en el cálculo proposicional, el cálculo cuantificacional presenta también una estructura propia, que adicionada a las reglas ya establecidas para el cálculo de proposiciones, permite la consolidación del complejo pero maravilloso universo de la lógica formal. Conservando la orientación que nos hemos propuesto, consideramos importante el conocimiento completo de la estructura básica, y en este sentido presentamos los elementos fundamentales a continuación:
Signos primitivos del cálculo cuantificacional: (cuantificador universal). Regla formativa: Si P designa una fórmula; en la cual no figura expresión
Signo
, entonces
designa una fórmula.
definido: Si P designa
entonces
la
una
fórmula,
en
la
cual
no
figura
,
designa la fórmula
Notas: 1. Diremos que una fórmula P no está cuantificada bajo el término x , si
en P no figura
o
.
2. En adelante, cuando una expresión figure cuantificada, se sobreentiende que se satisfacen las condiciones requeridas.
Convenciones. 1. Sea P una
fórmula no cuantificada
en x y
no
cuantificada
en y .
Designaremos por y se lee “ y sustituye a x en P ”, la fórmula que resulta de sustituir todas las ocurrencias de x en la fórmula P , por y. Ejemplo: Si
,
; entonces ;
.
2. Si queremos destacar que el término x figura en la fórmula P ; lo indicamos por P x .
Regla Axiomática. Sea P una
fórmula
Entonces
no
cuantificada
es un axioma.
Ejercicios propuestos 4.3 1. Simbolizar los siguientes enunciados: 1.1 Todo es perecedero. 1.2 Hay marcianos. 1.3 Alguien no es perfecto.
en x.
a , x términos.
1.4 No hay cosas sólidas. 1.5 Si todo es rojo, hay algo rojo. 1.6 Nada se mueve. 1.7 No todo es perecedero. 1.8 Nada es perecedero. 2. Indicar, con base en las reglas formativas establecidas en el cálculo de proposiciones y la última regla anotada para el cálculo de cuantificadores, cuáles de los siguientes expresiones son fórmulas: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3. Sean:
Determinar:
3.1
3.4
3.2
3.5
3.3
3.6
4.4 Cuantificación restringida Los enunciados cuantificados que tienen importancia en la matemática, tienen una característica común que los identifica y es precisamente que están señalando propiedades muy específicas que les permiten, en esta forma, cumplir con sus objetivos.
Ilustración 1. El enunciado: “Existe al menos un x tal que x >0”, tiene sentido cuando especificamos el universo de validez de x ; esto es cuando restringimos a los x dentro de un universo más concreto, así, el enunciado anterior adquiere pleno significado cuando lo precisamos en los siguientes términos: es una restricción.
. De la función proposicional
diremos que
Ilustración 2. El enunciado: “Todos los x son positivos, negativos o cero” tiene sentido cuando nos ubicamos por ejemplo en el contexto de los números reales, pero no tendría absolutamente ningún significado en muchos otros contextos; por ejemplo: conjunto de los animales, seres vivos, hombres o cosas en general. En este caso la función proposicional
recibe el nombre de restricción y el enunciado
se estructuraría así:
.
Observaciones. • Como puede concluirse de los ejemplos anotados, la restricción se articula en forma diferente según el enunciado corresponda a una expresión cuantificada existencialmente o universalmente. • Cuando el enunciado se cuantifica existencialmente la restricción corresponde al conjunto referencial más amplio, a partir del cual la proposición es cada vez especificada mediante una serie de conjunciones. • Cuando el enunciado se cuantifica universalmente, la restricción se constituye en el antecedente de un condicional, actuando en esta forma de filtro o tamiz, con relación a las propiedades subsiguientes que se le asignan a los objetos. Notación. Dado el uso continuo que presenta la cuantificación restringida, utilizaremos las siguientes convenciones para designarla: Sean C , P fórmulas no cuantificadas en x . • Designaremos por: la fórmula ; esta expresión abreviada la llamaremos cuantificador universal restringido y la fórmula C se denomina restricción . • Designaremos por: la fórmula ; esta expresión abreviada la llamaremos cuantificador existencial restringido y la fórmula C se denomina restricción. Ilustración 3.
Para cada enunciado que se propone a continuación, se requiere simbolizarlo en términos de expresiones cuantificadas y luego expresarlo en términos de cuantificadores restringidos. • Existe un número real que no es positivo y no es negativo.
Simbolización: Cuantificación restringida: • Existe un paralelogramo que es equilátero y equiángulo. Designemos: P x : x es un paralelogramo. E x : x es equilátero. A x : x es equiángulo. Simbolización: Cuantificación restringida: • Todo número real elevado al cuadrado es no negativo.
Simbolización: Cuantificación restringida: • Existe un número real; que sumado con cualquier número real, da por resultado este último.
Simbolización: Cuantificación restringida: Ejercicios propuestos 4.4 1. Simbolizar los siguientes enunciados: 1.1 Hay cisnes negros. 1.2 Existen animales carnívoros. 1.3 Hay números perfectos. 1.4 Existen ciudades de clima frío. 1.5 Todos los nevados son colombianos. 1.6 Hay cetáceos que son peces. 1.7 Algunos números negativos no son enteros. 1.8 Algunos gobernantes no respetan la libertad. 2. Simbolizar los siguientes enunciados y expresarlos en términos de cuantificadores restringidos:
2.2 La ecuación
tiene una solución en los enteros.
2.3 Todo número entero es par o impar. 2.4 La ecuación
no tiene solución en los reales.
2.5 Existe un número natural menor o igual que cualquier número natural. 2.6 Para todo número real, existe un número real tal que su suma es igual a cero. 2.7 Si x , y son enteros positivos, existe un entero positivo n tal que nx > y . 2.8 Para todo número entero existe otro número entero mayor que él. 2.9 El producto de dos enteros consecutivos es un número par. 2.10 Todo entero de la forma 6 k +5 es también de la forma 3 k +2. 2.11 Existe c , c número real tal que para todo real x mayor que c , f(x) es real. 2.12 Dado cualquier E real, existe un real D de tal forma que para todo real mayor que D ; su imagen bajo la función f , es mayor que E . 3. Expresar en el lenguaje corriente los enunciados simbolizados que se presentan a continuación. Sean: A x : x es un animal H x : x es un hombre
M x : x es un mamífero V x : x es un vertebrado 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4.5 Teoremas básicos del cálculo cuantificaional Presentamos a continuación los resultados fundamentales del cálculo cuantificacional. Aunque omitimos sus demostraciones por las razones ya expuestas, estas se pueden desarrollar en gran parte por los lectores y esperamos que avancen en este aspecto. • Negación de expresiones cuantificadas. Sea P una fórmula no cuantificada en x , entonces:
• • Según lo anterior, se tiene que la negación de una proposición existencial es equivalente a la afirmación de un cuantificador universal cuya función proposicional es la negación de la primera. También, decir que ( " x)(P x ) es falsa significa entonces que Ø ( " x)(P x ) es verdadera y por lo tanto lo es ( $ x )( Ø P x ). Este resultado es la base de una regla lógica útil para demostrar que un enunciado es falso. Esta regla se llama regla del contraejemplo y dice así: Si ( $ x)( Ø P x ) es verdadera, entonces ( " x)(P x ) es falso. El método de demostración que origina esta regla se fundamentará más adelante. Ejemplo: La afirmación "todos los números primos son impares" es falsa porque, "existe un número primo que no es impar". A dicho número, el dos, se le llama un contraejemplo. Ilustración 4. Determinar la negación para cada una de las fórmulas siguientes, utilizando al máximo las equivalencias establecidas. •
Negación:
•
Negación:
•
Negación: Método del contraejemplo. La equivalencia establecida en el numeral 2 del teorema 4.5.1 da lugar al método de demostración conocido bajo este nombre y que opera así: Esquema Operativo. Objetivo. Demostrar que una fórmula específica del tipo o también que
es falsa.
es teorema,
• Basta demostrar, por la equivalencia establecida, que
es teorema.
• Por lo anterior debe verificarse que para un objeto concreto a , es verdadera. En este caso de a decimos que es un contraejemplo con relación a la fórmula
.
Ilustración 5. Dar contraejemplos para mostrar que las siguientes proposiciones son falsas. • “El cuadrado de todo número real es mayor que el número”
Enunciado simbólico: En
consecuencia
probemos
que
equivale a ; designando por que 0 (cero) es un contraejemplo porque P 0 es verdadera.
es
verdadera, vemos
• Para a , b , c enteros. “Si a |( b + c ) entonces a | b ó a | c ”
Contraejemplo: Tomemos a =2, b =3, c =1; puede observarse que para estos valores la implicación es falsa. • “Todo entero que se puede expresar en la forma 3 k +2, se puede expresar en la forma 6 n +5”. Enunciado simbólico: Veamos que su negación es verdadera: Designando por P x : podemos verificar que x =8 es un contraejemplo, puesto que P 8 es verdadera. Nota. Con este método hemos completado la fundamentación de los métodos de demostración, uno de nuestros objetivos principales en este trabajo. Nos queda por analizar el método de Inducción matemática, que corresponde a propiedades derivadas del conjunto de números enteros y en consecuencia se desarrollará como un apéndice de este texto. • Distributividad en los cuantificadores. Sean P , Q fórmulas no cuantificadas en x , entonces: •
• • • • • Conmutatividad en los cuantificadores Sea P una fórmula no cuantificada en x y no cuantificada en y , entonces: • • • Ejercicios propuestos 4.5 1) Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. • ( " x)(C x Þ D x ). • ( $ x)(P x
Q x ).
• ( " x)(P x
M x ).
• ( $ x)(A x Þ B x ). 2) Simbolizar, utilizando el cuantificador existencial las siguientes expresiones. • Todos aprobamos el curso y disfrutamos las vacaciones. • Todo cetáceo es un pez. • Toda hormiga es un insecto. 3) Simbolizar, utilizando el cuantificador universal, las siguientes expresiones. • Existe al menos una montaña. • Hay cisnes negros. • Existen animales carnívoros. • Hay números perfectos. • Determinar la negación para las siguientes proposiciones. • •
Exprese las proposiciones anteriores y sus correspondientes negaciones, en términos de cuantificadores restringidos. ¿Qué puede concluirse al respecto? • Determinar la negación para cada una de las fórmulas simbolizadas en el ejercicio 4.4 numeral 2, utilizando al máximo las equivalencias establecidas. Exprese finalmente las proposiciones negadas en términos de cuantificadores restringidos. • Utilice contraejemplos para mostrar que los recíprocos de los siguientes teoremas no son teoremas. • Teorema 4.5.2 numeral 3. • Teorema 4.5.2 numeral 4. • Teorema 4.5.3 numeral 3. • Utilizar las equivalencias correspondientes para probar que los siguientes pares de fórmulas son equivalentes. •
,
•
,
• •
, ,
4.6 Reglas de inferencia para enunciados cuantificados 4.6.1 Particularización Universal (P.U). Dado un enunciado verdadero de la forma ( " x)(P x ), todo caso de sustitución de la variable x por constantes de su conjunto de referencia, da lugar a un enunciado verdadero. 4.6.2 Generalización Universal (G.U). Si una función proposicional tiene todos sus casos de sustitución por constantes de su conjunto de referencia verdaderos, se infiere la verdad del enunciado ( " x)(P x ). 4.6.3 Ejemplificación Existencial (E.E). Dado un enunciado verdadero de la forma ( $ x)(P x ), se infiere de él un caso de sustitución de la función proposicional, con la restricción de que se utilice una constante que no halla figurado antes dentro de la demostración. Es decir, que no se halla especificado. La restricción indicada tiene la función de evitar inferencias inválidas tales como: "Pedro es un hombre" "Algunos hombres son sabios. Luego Pedro es sabio".
• Hp • ( $ x)(H x • Hp
Sx)
Sp por E.E (si no existiera la restricción).
• Sp por simplificación en 2. Puesto que la constante p ya ha aparecido en la proposición 1, la restricción impide que se la utilice en el paso 3. 4.6.4 Generalización Existencial (G.E). Si una función proposicional tiene por lo menos uno de sus casos de sustitución por constantes de su conjunto de referencia verdadero, se infiere la verdad del enunciado ( $ x)(P x ). Nota: Cuando en una demostración haya que aplicar la E.E y P.U como en el ejemplo siguiente, es necesario aplicar en primer término E.E que es la regla que tiene restricciones y luego la P.U puede hacerse en la misma constante sin ningún problema. Ejemplo. Mostrar la validez del siguiente razonamiento: Los perros son vertebrados y mamíferos. Algunos perros son guardianes. Luego, algunos vertebrados son guardianes. 1. ( " x)(P x Þ V x 2. ( $ x)(P x 3. P w
G x ) / \ ( $ x)(V x
G x ).
G w E.E en 2 (W es una constante determinada pero no especificada).
4. P w Þ V w 5. V w
M x ).
M w P.U en 1.
M w Simplificación en 3 y RV2.
6. V w simplificación en 5. 7. G w simplificación en 3. 8. G w
V w conjunción 6 y 7.
9. ( $ x) (G x
V x ) G. E en 8.
• Traslado del cuantificador existencial. Sea un teorema. Si bajo el supuesto de que P es verdadera se puede probar que Q es verdadera, entonces
es teorema en la teoría inicial.
Esta regla tiene un esquema operativo que podemos resumir así:
1.
Premisa
2. Supongamos: P ( Hipótesis auxiliar ) __________ __________ n. Q n+1.
Traslado del existencial.
• Observaciones Generales. Presentamos ahora un resumen de observaciones metodológicas, que facilitan la comprensión y aplicación de las reglas de inferencia anteriores. • Pruebas de existencia: El axioma 5 permite establecer un procedimiento para demostrar que una fórmula específica de la forma
es teorema.
Esquema Operativo general. Objetivo: Demostrar que • Verificar que • •
es teorema.
es verdadero para una constante a específica. . Axioma 5.
. Regla de validez 2.
Ilustración 5. Demostrar que
es teorema.
Designamos por P x : es verdadera. Luego
es teorema.
4.6.6.2 Pruebas de generalización universal:
Fundamentados en el principio de que si una propiedad es válida para un objeto indeterminado cualquiera (variable), lo es para todos los objetos de su universo referencial, se procederá así en este tipo de prueba. Esquema operativo general. Objetivo: Demostrar que una fórmula específica de la forma teorema.
es
• Se demuestra que P es teorema. • Se concluye que
es teorema, por la regla G.U.
Ilustración 6. Demostrar: Todo entero de la forma
es también de la forma
Enunciado simbólico:
Supongamos:
Hipótesis 1.
esto es;
Simplificación en la hipótesis
por tanto
como
, podemos designarlo por n y se tiene así
Método directo G.U. • Traslado del existencial: Como ya se presentó el esquema operativo general de esta regla, observemos una aplicación. Ilustración 7.
Demostrar que de las premisas
y
se puede
concluir
1)
Premisa
•
Premisa
•
Equivalencia en (1)
• Supongamos:
•
Hipótesis Auxiliar 1
Simplificación en (4)
• •
P.U. en (2)
•
Modus ponens (5) y (7)
•
Conjunción (6) y (8)
•
Traslado del existencial
Ejercicios propuestos 4.6 1. Por medio de las reglas de particularización y generalización, y las reglas necesarias del cálculo proposicional, demostrar la validez de los siguientes razonamientos. o
Si todo es espacial o temporal, entonces la tierra está en movimiento. Todo es temporal. Luego, la tierra está en movimiento.
o
Hernández es estudiante y empleado. Todos los empleados cobrarán su sueldo y su aguinaldo. Luego, Hernández cobrará su sueldo.
o
Las serpientes son reptiles. Los reptiles no son animales mamíferos. Por lo tanto, las serpientes no son animales mamíferos.
2. La argumentación que se presenta a continuación es obviamente inválida. Señalar dentro de “la prueba” donde está el error.
“Algunos gansos son animales; algunos perros son animales; en consecuencia, algunos gansos son perros”. Deducción: • ( $ x)(G x
A x ).
• ( $ x)(P x
A x ) / \ ( $ x)(G x
• Gw
A w E.E en 1
• Pw
A w E.E en 2.
P x ).
• G w simplificación en 3. • P w simplificación en 4. • Gw
P w conjunción en 5 y 6.
• ( $ x)(G x
P x ) G. E en 7.
• Analizar la siguiente argumentación y determinar su validez o invalidez. “Todos los animales racionales tienen lenguaje oral o escrito. Existen animales racionales. Todo aquel que tenga un lenguaje oral o escrito está en la escala máxima de evolución”. Conclusión: todos los animales están en la escala máxima de evolución. Deducción: •
Premisa
• ( $ x )( A x
R x ) Premisa
•
Premisa
• Supongamos: A x
R x Hipótesis Auxiliar
•
P.U. en (1)
•
P.U. en (3)
•
Silogismo entre (5) y (6)
• • • •
Modus ponens (4) y (7) Simplificación en (4) Implicación de (8) G.U. en (10).
• Utilizar las reglas necesarias del cálculo proposicional y cuantificacional, para escribir cada uno de los pasos requeridos en las demostraciones que se proponen a continuación.
• Simbolizar los siguientes razonamientos y demostrar la conclusión dada a partir de las respectivas premisas. • Cada alumno que ha hecho su trabajo entiende el problema.
Juan es un alumno pero no entiende el problema Conclusión : Juan no ha hecho su trabajo. 5.2 Cada número negativo es menor que cero. Dos no es menor que cero Conclusión : Dos no es un número negativo. 5.3 Para cada x , si x es la suma de números pares entonces x es un número par.
x es un número par Ocho es la suma de dos números pares. Doce es la suma de dos números pares. Conclusión : Ocho y doce son ambos pares. 5.4 Para cada x , no ocurre que x sea a la vez un número positivo y x sea un número negativo. Para cada x , si x es menor que cero, entonces x es un número negativo 1+1 es un número positivo Conclusión : 1+1 no es menor que cero. 5.5 Cualquiera que esté matriculado en la Universidad es estudiante de tiempo parcial o de tiempo completo. Carlos no es estudiante de tiempo parcial y tampoco lo es de tiempo completo. Conclusión : Carlos no está matriculado en la Universidad. 5.6 Todos los estudiantes de la U de A. ingresan por examen de admisión o por transferencia. Todos los estudiantes de la U de A que ingresan por examen de admisión superan un puntaje mínimo. Todos los estudiantes que ingresan por transferencia a la U de A deben acreditar estudios superiores previos. Conclusión : Todo estudiante de la U de A que no acredita estudios superiores previos, supera un puntaje mínimo 5.7 Cualquiera que ocupe un cargo público no puede participar en política. Cada uno de los asistentes al banquete ocupa un cargo público o es candidato a la presidencia. Algunos de los asistentes al banquete no son candidatos a la presidencia. Conclusión : Algunos de los asistentes al banquete no pueden participar en política. 5.8 Ningún estudiante que no dedica mucho tiempo a su labor, obtiene un título bien respaldado. Hay estudiantes que obtienen un titulo bien respaldado. Todo estudiante que dedica mucho tiempo a su labor amerita la institución que lo certifica. Conclusión : Hay estudiantes que ameritan la institución que los certifica. 5.9 Quien quiera que compuso la Obertura 1.812, murió en plena madurez. Scarlatti escribió para el clavicordio. Nadie a la vez fue buen músico y murió en plena madurez. Todos los que escribieron para el clavicordio fueron buenos músicos Conclusión : Scarlatti no compuso la obertura 1.812.
• Demostrar: Para todo entero a , 2| a ( a +1). 4.7 Existencia única Sea P x una fórmula no cuantificada en x . designa la fórmula esta fórmula se lee: “existe un único x tal que P ”
;
“existe un x y solo un x que cumple P ” Observaciones. • En esta fórmula se conjugan dos elementos importantes que caracterizan algunos teoremas fundamentales de la matemática; por una parte la existencia establecida en la primera fórmula. • La segunda fórmula que conforma la conjunción principal, aporta la unicidad . Observemos que una prueba de unicidad parte del supuesto de que hay dos objetos que verifican una propiedad P y se concluye finalmente que son el mismo objeto. • Las características anteriores le asignan a esta fórmula el nombre de “existencia única de un x que verifica a P ”. Ilustración 8. Demostrar que existe un entero único que satisface la ecuación: Enunciado simbólico: designemos por:
• Probemos existencia: En particular luego:
es verdadero. es verdadero.
• Probemos unicidad. Supongamos que:
es verdadero. Hipótesis auxiliar
esto es: Simplificación Transitividad en la igualdad
Ley cancelativa en la suma Ley cancelativa en el producto. Método directo G.U G.U
Demostrar que: 4.8 Silogismos categóricos 4.8.1 Proposiciones categóricas. Designamos inicialmente las cuatro formas de proposiciones categóricas, a saber: • Universal afirmativa:
. Se designará por A.
• Universal negativa:
. Se designará por E.
• Particular afirmativa:
. Se designará por I.
• Particular negativa:
. Se designará por O.
Estas proposiciones estructuran el denominado cuadro de oposición de la lógica tradicional:
La distinción entre proposiciones afirmativas y negativas se llama distinción (u oposición) de cualidad , en tanto que la distinción entre universales y existenciales se denomina distinción (u oposición) de cantidad .
El diagrama representa la oposición de proposiciones de las cuatro formas. Dos proposiciones que tienen términos idénticos se dice que son opuestas entre sí, si difieren en cantidad, o en calidad, o en cantidad y calidad a la vez. A y E son contrarias, y las proposiciones contrarias se definen como aquellos pares de proposiciones universales que difieren en la cualidad. I y O son subcontrarias, son proposiciones existenciales que difieren en cualidad. A y E son, respectivamente, las contradictorias de O e I, difiriendo tanto en cantidad como en cualidad. Obsérvese que la negación de cualquiera de las cuatro fórmulas analizadas es precisamente su contradictoria. Destaquemos además que toda proposición categórica presenta un término - sujeto y un término - predicado. Ilustración 9. Tomemos las siguientes proposiciones para ilustrar las formas categóricas vistas: A. Todos los estudiantes presentaron el examen de lógica. E. Todos los estudiantes no presentaron el examen de lógica. I. Algún estudiante presentó el examen de lógica. O. Algún estudiante no presentó el examen de lógica. Simbolizando las proposiciones anteriores tenemos en su orden: A.
ó también
E.
ó también
I.
, ó también
O.
ó también
.
En este caso particular podemos también interpretar las proposiciones anteriores así: A. Todo E es P . E. Todo E es no P . I. Algún E es P . O. Algún E no es P . 4.8.2 La estructura del silogismo categórico. Designamos bajo el nombre de silogismo categórico, la combinación de tres proposiciones categóricas, dispuestas en dos premisas y una conclusión.
Ilustración 10. Consideremos el silogismo. • Todos los cocodrilos son anfibios • Todos los anfibios son animales que viven en la tierra o en el agua. • Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua. Designaciones y convenciones. • Las proposiciones 1) y 2) se denominan premisas. • La proposición 3) se denomina conclusión. • El término - predicado de la conclusión, “animales que viven en la tierra o en el agua” se denomina el término mayor del silogismo . • La premisa donde figura el término mayor, se denomina premisa - mayor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 2). • El término - sujeto de la conclusión, “cocodrilo”, se denomina término menor del silogismo . • La premisa donde figura el término menor, se denomina premisa menor , en nuestro ejemplo corresponde a la premisa 1). • El término “anfibio” que no figura en la conclusión pero que aparece en cada premisa se denomina término medio , pues su función es servir de nexo entre el término mayor y el menor. La descripción anterior la podemos resumir esquemáticamente así: Premisa menor. Todo C es A Premisa mayor. Todo A es T Conclusión Todo C es T. Tenemos en consecuencia que T corresponde al término mayor; C corresponde al término menor y A corresponde al término medio. Usualmente se escribe primero la premisa mayor y a continuación la premisa menor, designando esta distribución como la forma estándar del silogismo . Con base en esta forma el ejemplo anterior lo representamos así: Premisa mayor. Todo A es T Premisa menor. Todo C es A Conclusión Todo C es T. La localización del término medio en las premisas es llamado la figura del silogismo . Puesto que hay dos premisas y dos posibles posiciones en cada premisa, se generan por lo tanto cuatro figuras que se identifican en general con los siguientes números:
1
2
3
4
P mayor
M
P
P
M
M
P
P
M
P menor
S
M
S
M
M
S
M
S
Conclusión S
P
S
P
S
P
S
P
Como en cada figura las premisas y la conclusión pueden corresponder a una cualquiera de las cuatro formas categóricas, se hace necesario para identificar completamente un silogismo indicar tanto el modo de las proposiciones , como la figura . Para ello indicaremos inicialmente la secuencia de letras correspondientes al modo de cada una de las proposiciones categóricas y al final, el número asociado a la figura . En el ejemplo que hemos ilustrado su designación corresponde a AAA - 1. Ilustración 11. Para los silogismos que se enuncian a continuación, presentar su estructura simbólica y establecer su código de clasificación. • Ningún ave ornamental es un animal rapaz. Todos los canarios son aves ornamentales . Ningún canario es un animal rapaz. Estructura simbólica. P mayor. Ningún O es R P menor. Todo C es O Conclusión Ningún C es R. Código de clasificación: EAE - 1 2) Ningún marxista defiende la propiedad privada. Todos los conservadores defienden la propiedad privada. Ningún conservador es marxista. Estructura simbólica. P mayor. Ningún M es P P menor. Todo C es P Conclusión Ningún C es M. Código de clasificación: EAE - 2 Ejercicios propuestos 4.8.2 • Para cada código de clasificación que se indica, escriba un silogismo que lo ilustre. • AII - 1 • EIO - 3 • AEE - 2 • AAI - 4 • IEO - 2 • AIE - 3 • EEO - 4 • AEO - 3
• AOE - 2 • AIA - 1 • Presentar cada uno de los siguientes silogismos en la forma estándar; indicando su código. • Ningún poeta griego fue un genio, porque ningún poeta griego fue excéntrico, y los genios son excéntricos. • Algunos burócratas no son elegidos con base en su habilidad y todos los burócratas son servidores civiles, por eso algunos servidores civiles no han sido elegidos con base en su habilidad. • Ninguna máquina es capaz de mantener un movimiento perpetuo; porque toda máquina está sujeta a fricción, y nada que esté sujeto a fricción es capaz de mantener un movimiento perpetuo. • Todo buen poema merece leerse pero algunos poemas buenos son difíciles. Por lo tanto algunas cosas que merecen leerse son difíciles. • Todas las personas inteligentes pueden aprender lógica, cualquiera que lea este texto es inteligente. Por tanto cualquiera que lea este texto puede aprender lógica. 4.8.3 La validez del silogismo categórico. Podemos observar que, puesto que cada premisa puede ser de cualquiera de las cuatro formas categóricas, A, E, I, O, para cada figura pueden construirse 4 x 4 x 4 = 64 posibles esquemas, llamados modos del silogismo. Por tanto el número total de modos posibles para las cuatro figuras es de 64 x 4 = 256. Pero de ellas solamente 24 son válidas. A continuación entraremos a diferenciar las formas válidas de las no válidas; sin embargo antes debemos aclarar que si dos silogismos tienen la misma forma ellos son ambos válidos o inválidos, independientemente de que en un caso las premisas sean verdaderas y en el otro falsas. Ilustración 12. Consideremos el silogismo. Todas las flores son animales que viven en la tierra o en el agua. Todos los cocodrilos son flores. Todos los cocodrilos son animales que viven en la tierra o en el agua. Podemos observar que su estructura es análoga a la de nuestro primer ejemplo y el único cambio introducido es “anfibio” por “flor”. Sus códigos son idénticos AAA - 1, y como veremos, este corresponde a un silogismo válido en todos los casos así en el primer ejemplo las premisas sean verdaderas y en el segundo falsas. Reglas de validez para el silogismo categórico.
Un silogismo es válido, si y sólo si, satisface todas las reglas siguientes • El término medio debe ser antecedente como mínimo en una premisa. • Si un término es antecedente en la conclusión, debe ser antecedente en la premisa donde figure. • Las premisas no pueden ser ambas negativas. • Si una de las premisas es negativa, la conclusión debe ser negativa; y si la conclusión es negativa una premisa debe ser negativa. Ilustremos dos situaciones específicas. Considérense las formas simbólicas de los silogismos: • Todo M es V • Todo A es V • Todo A es M En este caso podemos observar que el término medio V es consecuente en ambas premisas, y por esta razón se dice que viola la regla 1 y en consecuencia este silogismo (AAA - 2) es inválido.
Cuantificador En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:
•
Cuantificador universal
Para todo x, y... • Cuantificador existencial
Existe al menos un x, y... • Cuantificador existencial único
Existe exactamente un x, y... • Negación del cuantificador existencial
No existe ningún x, y...
Declaraciones cuantificadas Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma: •
Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R. •
Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1. •
Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.
Proposiciones Cuantificación universal El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:
Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x). Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:
Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).
Cuantificación existencial[editar] El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:
Existe x en A que cumple P(x). Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:
El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.
Cuantificación existencial única[editar] El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:
Se lee: Existe una única x elementos de A, que cumple P(x).
Equivalencias :
Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A que no cumpla P(x).
Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de A, no se cumple P(x).
Si: existe un único x en A que cumple P(x), es equivalente a: para todo x, y de A, que cumple P(x) y P(y), entonces x es igual a y.
Leyes de De Morgan En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan1 2 3 son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación. Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones. o informalmente como: "no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)" y también, "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)" Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:
donde: • ¬ es el operador de negación (NO) •
es el operador de conjunción (Y)
•
es el operador de disyunción (O)
• ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una
mediante una prueba lógica" Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.