Vamos supor, ent˜ao, que existe x ∈ X tal que Sx coincide com Z e que esse conjunto n˜ao ´e vazio4 . Tomamos y de entre os elementos de Sx , ou seja, um elemento normal. Como y ´e normal, todo caminho que come¸ca com y deve terminar e, portanto, o caminho hx, yi deve terminar, quer dizer x deve ser normal. De outro lado, desde que x ´e normal e Sx ´e o conjunto dos elementos normais, x ∈ Sx e, da´ı, existe o caminho infinito hx, x, x . . .i e x n˜ao ´e normal, absurdo. De fato, o argumento n˜ao usa de qualquer nega¸ca˜o na defini¸ca˜o do conjunto Z, ou seja, n˜ao se baseia na nega¸ca˜o expl´ıcita. Vamos mostrar, por´em, que se baseia em dois tipos de nega¸ca˜o impl´ıcita. Por um lado, o argumento precisa da distin¸ca˜o finito-infinito para definir o conjunto dos elementos normais e para obter o absurdo. Tal distin¸ca˜o n˜ao pode evitar a nega¸ca˜o pois, mesmo tendo v´arias defini¸co˜es estritamente positivas de conjunto infinito5 , fatalmente devemos usar da nega¸ca˜o na defini¸ca˜o de conjunto finito e vice-versa. A u ´nica sa´ıda para tal problema seria evitar os conceitos de finito e infinito na prova, mas isso ´e imposs´ıvel pelo menos nesta prova. Tal dificuldade est´a no centro de nossa discuss˜ao sobre o infinito no Cap´ıtulo 2: a nega¸ca˜o ´e uma cota em um sistema que, de outro modo, conteria algum tipo de infinito. Por outro lado, a redu¸ca˜o ao absurdo de Smullyan depende, obviamente, da ocorrˆencia da nega¸ca˜o e, por exemplo, ´e fundamentalmente distinta e independente de obje¸co˜es estritamente positivas que podem ser expressas atrav´es da implica¸ca˜o. Tamb´em aqui encontramos uma nega¸ca˜o impl´ıcita e inevit´avel na meta-linguagem. Dessa maneira, a nega¸ca˜o aparece mais sutilmente em dois pontos cruciais da argumenta¸ca˜o de Smullyan e, portanto, ela n˜ao poder ser considerada como uma demonstra¸ca˜o positiva no mesmo sentido, por exemplo, da argumenta¸ca˜o de Curry.
4.1.2
Completude para l´ ogica positiva de primeira ordem
Neste trabalho consideramos m´etodos de completude para o c´alculo proposicional positivo, adiando a quest˜ao de uma poss´ıvel demonstra¸ca˜o de completude para l´ogica positiva cl´assica de primeira ordem. A seguir apresentamos algumas considera¸co˜es u ´teis para uma futura pesquisa nessa dire¸ca˜o. Seguindo a intui¸ca˜o de Henkin para L+ e o esquema de prova apresentado 4
Se Z for vazio, ent˜ ao, de fato, n˜ ao coincide com Sx para algum x, pois todo x ´e n˜ ao normal e, da´ı Sx n˜ ao pode ser vazio para qualquer que seja o x. 5 Por exemplo, um conjunto que possui uma bije¸ca ˜o com os naturais.
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