- Sejam a, b, c três retas distintas e paralelas cortadas por duas transversais t e t´ nos pontos A, B, C (em t) e A´, B´, C´ (em t´) como na figura abaixo. Suponha inicialmente que AB = BC.
Se t e t´ são retas paralelas, então propriedades elementares de paralelogramos (ver exercício 9) nos garantem que AB = A´B´, BC = B´C´ e, portanto, A´B´ = B´C´. Em outras palavras, podemos escrever que
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Se t e t´ não são retas paralelas, traçamos por B´ uma reta auxiliar u paralela à reta t. Como AB = XB´ e BC = B´Y segue da congruência dos triângulos ∆A´B´X e DC´B´Y (você é capaz de identificar qual caso de congruência estamos usando?) que A´B´ = B´C´. Isto é, obtemos novamente a conclusão . O teorema de Tales generaliza esse resultado descartando a hipótese inicial AB = BC. Sua demonstração no caso mais geral foge do objetivo dessas notas. Teorema (Tales). Sejam a, b, c três retas distintas e paralelas cortadas por duas transversais t e t´ nos pontos A, B, C (em t) e A´, B´, C´ (em t´) como na figura abaixo. Então
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É interessante observar que o resultado acima admite uma espécie de recíproca que é igualmente importante em função de suas aplicações. Proposição. Sejam a, b, c três retas distintas cortadas por duas transversais t e t´ nos pontos A, B, C (em t) e A´, B´, C´ (em t´) como na figura abaixo. Se e duas das retas a, b, c forem paralelas, então a terceira reta será paralela às duas primeiras. Temos visto anteriormente que uma dada figura plana F e sua imagem homotética F´ têm sempre a mesma forma. A situação inversa, porém, não é