Re-descubriendo la Geometría
xLogo Álvaro Valdés Menéndez
Índice • Funciones reales
• Números complejos
– Concepto
– Traslaciones
– Representación gráfica
– Rotaciones
– Simetría
– Homotecias
– Inecuaciones – Monotonía: Derivadas – Áreas: Integrales
• Fractales – Recursividad
• Dibujos en 3-D
Funciones Concepto Representación gráfica Simetría Inecuaciones Monotonía: Derivadas Áreas: Integrales
Requisitos previos Antes de empezar debemos: • Saber iniciar XLOGO correctamente • Conocer las primitivas básicas y los bucles repite y repitepara. • Poder crear formas sencillas. • Usar correctamente variables y procedimientos • Dominar el sistema de coordenadas cartesianas (x , y)
Antes de empezar: Operaciones en xLogo • Ya sabemos cómo asignarle un valor a una variable: haz “variable 450 • Operaciones que pueden efectuarse, las habituales: – Sumas: haz “x :x + :y + :z + 50 – Restas: haz “x 50 - :x – Productos: haz “área :base * :altura – Divisiones: haz “reparto :total / :personas – Raíz cuadrada: haz “lado raizcuadrada :área – Potencias: haz “x potencia :x 2
Más operaciones – Módulo: haz “x resto 13 3 – Truncamiento y redondeo: haz “euros truncar :pesetas/166.386 haz “euros redondea :pesetas/166.386 – Cambiar signo: haz “opuesto cambiasigno :valor haz “opuesto (-:valor) – Trigonométricas y logarítmicas: seno coseno tangente arcoseno arcocoseno arcotangente log ln exp
Coordenadas • La posición de la tortuga en pantalla se describe con una lista que consta de dos números: [X Y] • Al centro de la pantalla corresponde la lista [0 0] • El resto de coordenadas se determinan a partir del centro en la forma habitual: – El primer valor de la lista es la separación horizontal respecto al centro – El segundo valor de la lista es la separación vertical respecto al centro
Ejes y cuadrícula Podemos ayudarnos de una cuadrícula y unos ejes para situar nuestras funciones • cuadrícula a b → muestra una red de pauta (a x b) • ejes a
→ muestra los ejes cartesianos con paso a
• ejex a
→ muestra el eje de abscisas con paso a
• ejey a
→ muestra el eje de ordenadas con paso a
Desplazamientos • Para desplazarnos a un punto dadas sus coordenadas disponemos de las primitivas: – centro
→ tortuga al origen, punto [0 0]
– ponposicion [a b] → tortuga al punto [a b] – ponxy a b → tortuga al punto [a b] – ponx a → lleva al punto de abscisa a sin variar la ordenada – pony b → sube o baja al punto de ordenada b Para conocer nuestra posición, usaremos: posicion
Bucles (1) • El más sencillo: repite n [ acciones a repetir ]
• Útil sabiendo cuántas repeticiones han de hacerse • El número de repeticiones puede ser una variable • Define una variable interna: contador que determina la iteración en curso
Bucles (2) • El más útil para nuestro objetivo: repitepara [lista1] [ acciones a repetir ] • lista1 consta de: – Un contador – Los límites inferior y superior – El paso (cualquier real) - opcional • Ejemplos: repitepara [x 1 4] repitepara [y 31 4 -1.5] Útil si sabemos cuántas repeticiones han de hacerse, tenemos contadores anidados y queremos variar el paso
Representando funciones Con las primitivas explicadas antes es fácil representar funciones: para función repite n [ haz “x contador ponxy :x (expresión algebraica)] fin
Pero ... 多No hay programas mejores para representar funciones y que dan menos trabajo?
¿Qué me ofrece xLogo? • Lo que YO quiera • El límite es MI imaginación • Ejemplos: – Ver dibujarse la función punto a punto – Jugar con la simetría – Velocidad es una derivada -> “salirse” – ...
Disfrutando de la funci贸n seno
Multitortuga • Permite utilizar varias tortugas en pantalla • Cada tortuga puede tener una forma distinta, de entre las 7 posibles en XLOGO: • Las primitivas son: – pontortuga n: la tortuga n pasa a ser la activa – tortuga: devuelve el nº de la tortuga activa – eliminatortuga n: quita la tortuga n
• Cambiar la forma de la tortuga: – ponforma n: cambia el dibujo de la tortuga activa – forma: devuelve el tipo de tortuga de la activa
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¿Qué vemos mientras se dibuja? • Se ha podido dibujar entera: Dominio • Las tortugas se mueven de forma “contraria” una respecto de la otra: – Simetría impar • Periodicidad • La distancia entre los puntos cambia: – Tasa de variación instantánea: derivada
¿Y el coseno? • Cambiemos sólo el subprocedimiento “ordenada”:
¿Qué vemos ahora? • Dominio y periodicidad como antes • NO pasa por el origen • Las tortugas se mueven como en “espejo” una respecto de la otra: – Simetría par • ...
El rumbo y la derivada • XLOGO define el rumbo como el ángulo que forma la tortuga con la vertical, en sentido horario • Las primitivas son: – rumbo → devuelve el rumbo – ponrumbo n → orienta hacia la dirección indicada – hacia [x y] → devuelve el rumbo para que la tortuga “apunte” al punto [x y] – distancia [x y] → devuelve la distancia hasta el punto [x y]
Condicionales • Un condicional decide qué acción realizar en función de que se cumpla o no una determinada condición. • Utilizamos la primitiva si: si condición [acciones a realizar si es cierta]
• O bien:
si condición [acciones a realizar si condición es cierta] [acciones a realizar si condición es falsa]
• Ejemplo:
si :número > 0 [escribe [El número es negativo] ] [escribe raizcuadrada :número]
Ejecutando derivada 100
Mejorando el código • Sabemos que la derivada es: f xh− f x lím y'= h h0 • Ir hacia f (x + 1) NO es lo mismo • Podemos mejorarlo con Métodos Numéricos (Taylor) f xh− f x−h y '≃ 2⋅h • Cuidado con la primitiva rumbo: XLOGO define el rumbo como el ángulo que forma la tortuga con la vertical y sentido horario.
Inecuaciones (1)
Inecuaciones (2)
Integrales • ¿Explicar integrales en E.S.O? • ¿Qué es una integral? – Métodos de integración -> NO – Integral = Área
• Concepto: – Integrar = Agregar – Suma de áreas -> Contar “cuadraditos”
En el aula • Método 1 – Dibujamos función sobre cuadrícula – Invitamos a contar cuadrados bajo curva
• Método 2: “MonteCarlo” – Dibujamos con puntos región 0 < y < f(x) – Área como fracción de puntos pertenecientes a esa región
Contando puntos
Complejos Definici贸n e historia Representaci贸n gr谩fica Aplicaciones geom茅tricas
Definición e historia • ¿Existe la raíz cuadrada de -1? • ¿Qué son los números complejos? • ¿Por qué hay que estudiarlos? • Maravillas sobre complejos Libro/película aconsejada: “La fórmula favorita del profesor” Yoko Ogawa
Aplicaciones geométricas • Traslación • Rotación
• Homotecia
En xLogo • Primer paso: elegir y dibujar figura • Usaremos: – Listas de coordenadas – Primitivas ponposicion o ponxy
• Operaciones con listas • Modo animación Se sale del objetivo de este curso Trabajo de ampliación
Fractales Concepto e historia Representaci贸n gr谩fica Recursividad
Fractales ●
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Figura geométrica con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala. Autosemejantes, una pequeña sección de un fractal puede verse como una réplica a menor escala de todo el fractal. Un ejemplo: el copo de nieve. Superficie finita pero con un perímetro infinito, y con un número infinito de vértices.
Ejemplos “profesionales”
Breve historia • Primer fractal: – En 1872: función de Weierstrass – Función continua – No diferenciable en ningún punto.
Otros “pioneros” • Helge von Koch, 1904: el copo de nieve • Wacla w
S ier p in s k i:
– 1 9 1 5 , tr i á n g u l o – 1 9 1 6 , a lfo m b r a .
Con xLogo
Construyendo fractales • Definición geométrica. • Partimos de una figura inicial (semilla) • Aplicamos construcciones geométricas sencillas recursivamente
Recursividad o recurrencia â&#x20AC;˘ Para entender la recursividad, vete a la diapositiva sobre recursividad. â&#x20AC;˘ Ejemplos grĂĄficos:
En xLogo Observad: •Condicional de finalización •Se llama a sí mismo
Y ... en 3D
Gracias por su atenci贸n