JUEVES 07 DE ENERO DE 2013. No. 1
Algebrate Una introducci贸n al Algebra
Primera Edici贸n
Grupo#5 Universidad del Valle
Autores Paola Colom Pablo Aquino Guissela Colom Juan Luis Alegria Rodrigo de la Roca
2
Indice Crucrigrama…………………………………………………………....4 Historia……………………………………………………………….…5-6 Encuentre las 6 diferencias…………………………………….7 Chistes…………………………………………………………………….8 Empleos y anucios…………………………………………………..9 Información Importane……………………………………….10-19 Referencias…………………………………………………………….20
3
Crucigrama HORIZONTALES
1. Segmento de recta que parte de y punto inicial a un punto final, y tiene dirección 3. El punto donde termina un vector. 4. Vectores que son mutuos escalares. 6. Este vector no se puede representar gráficamente. 7. Forma de escritura de un vector, de derecha a izquierda entre corchetes. 9. Vector que tiene longitud igual a uno.
VERTICALES 2. Punto inicial de un vector. 5. Vector que se encuentra en el punto de origen. 8. Dos vectores cuyo producto punto es cero, y tienen 90º entre sí. 10. Vectores cuyas componentes son solo “0” y “1”.
Crucigrama Algebrate®
2
8
1
10 3
5
9
6
4
7
Para saber las respuestas, consulte su libro.
4
Historia El álgebra vecorial tiene su orgien en el álgebra de cuaterniones descubierta por Hamilton en 1843
William Hamilton Debemos a Gibbs la notación moderna de vectores en tres dimensiones. William Rowan Hamilton (1805 – 1865), nacido en Dublín, tuvo dama de haber dominado el latín, el griego, las lenguas europeas modernas, el hebreo, el persa, el árabe, el sánscrito y otras lenguas con diez años Ingresó en el Trinity College de Dublín en 1823 y en 1827, sin haberse graduado aún fue nombrado Astrónomo Real de de Irlanda y Catedrático de Astronomía. Es sobre todo conocido por su reformulación y generalizacion de la mecánica de Newton, Euler y Lagrange que se hizo importante en la formulación de las mecánicas estadística y cuántica.
Steiner, Erich.1996, Matemáticas para las ciencias aplicadas.Editorial REVERTE. Madrid, España. pag 397.
5
Historia Augustin-Louis Augustin-Louis Cauchy(1789-1857) creció en un subrbio de París, en donde fue vecino de varios de los principales matemáticos de la época. Asistío a la Ecole Polytechnique y a la Ecole des Pounts et Causées, y durante un tiempo practico la ingenieria. Devoto de la Iglesia Católica Romana, tenía gran interes en las obras de caridad. También mostró enorme inclinación a la realeza, en praticular a los reyes Borbones, quienes gobernaron en Francia despues de la caída de Napoleón. Cuando Carlos X fue derrocado en 1830. Cauchy lo siguió de manera voluntaria a su exilio en Praga. Cauchy escrbió siete libros y más de 700 artículos de calidad variable, cuyo contenido abarcaba todas las ramas de las matemáticas. Realizó importantes contibuciones a la naciente teoría de los determinantes a la teoría de los valores propios, al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, a la tería de los grupos de permutaciones y a los fundamentos del cálculo; además, fundó la teoría de funciones de varible compleja.
Kolman,R. 2006.Algebra Lineal.Pearson Educación.México pag 236.
6
Encuentre las 6 diferencias
X
Y
X
Y
Sopa de letras s q e w q e w a s g q w a a a a q
d w r s v c s t f p w s f f t e v
f e f d b u d y g r e d j j y c b
g r o f g a f k y o r f t t k u g
h t r v d c v l y d t v f f l a d
n y m d w i d h w u y d j j h c w
c u a k l o k r g c u k d d r i l
n y n d w n d s h t y d j j s o w
u r o g g s g d j o r g h h d n g
v h r y g i y d k p h y w w d p g
k g m u f m u l l u g u d d l a f
7
c u a k l e k r g n u k d d r r l
u r l g g t g d j t r g h h d a g
v h y y g r y d k o h y w w d m g
d w r s v i s t f e w s f f t e v
f e t d b c d y g h e d j j y t b
g r y f g a f k y u r f t t k r g
s q e w q a q s q e w q a q s q e
o r m a v e c t o r i a t t l i l
g h y d k b h y d w g g y y d c g
f g u l l n g u l d f y l l d a g
Chistes Esto es un vector que va por la calle y se encuentra a otro que hacía años que no veía. vector 1 - ¡Hey! ¿Qué tal todo? vector 2 - Pues ya ves, estoy estudiando vector 1 - ¿Ah, sí? ¿Y qué estudias? vector 2 - Un módulo
Se encuentran dos vectores en el espacio y uno le dice al otro: “¿Tienes un momento?”.
8
Sección de empleos y anuncios
Se busca vector para trabajar con vector compañero para mano de obra en construcción de un ángulo de 90°. Debe de tener título en Ortogonal industrial para poder aplicar al trabajo. Interesados llamar al: 24759876.
Se necesita vector para trabajar paralelo a otro vector, no importa la dirección que traiga, aquí se le capacita para lograr se múltiplos escalares entre sí. Llamar al : 2983-3456
Empleo para vector con capacidad de trabajar con otros vectores para poder crear ganancias escalares. Necesita presentar un currículo y su mejor foto. Los interesados llamar al : 2345-9875
Se busca vector experto en direcciones y con longitud moderada para trabajo de lunes a viernes de 7:00am a 2:00pm. Llamar al 2345-2345
9
Información Importante ¿Qué es un vector? Un segmento de recta que parte de un punto inicial a uno final que tiene dirección ⃖ (figura1). La notación de un vector puede ser: Con frecuencia es conveniente usar vectores columna en lugar de vectores renglón. Otra representación de [3,4] es
. Cuando se habla de un vector en posición
estándar se refiere a un vector como OP con su punto inicial en el origen. Para observar por qué es cierto esto, vea la siguiente figura. El triángulo OPA y el triángulo P1P2Q son congruentes, porque los segmentos de recta tienen la misma magnitud, de manera que d(O, P) = d (P1, P2); y tienen la misma dirección de manera que
OPA = P1P2Q
.
Se le llama componente de un vector a las coordenadas individuales de un vector. En general, dos vectores son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales. Por tanto, [x,y] = [1,5] implica que x=1 y y=5. El vector cero se refiere a aquel vector cuyas componentes son [0,0]. En el plano xy, la forma general de la ecuación de una recta es ax + by= c. Si b≠0, entonces la ecuación puede reescribirse como y=-(a/b)x + c/b, que tiene la forma y=mx+k Ejemplo: Dada la ecuación 2x + y =0. Es una recta con pendiente -2 que pasa por el origen. El lado izquierdo de la ecuación está en forma de producto punto; de hecho si n=[ ] y x=[ ], entonces la ecuación se convierte en n•x=0. El vector n es perpendicular a la recta; esto es, es ortogonal a cualquier vector x que
10
Figura1.
sea paralelo a la recta y se le conoce como vector normal a la recta. La ecuación
n•x=0 es la forma normal de la recta. Cuando se habla del vector d se refiere a un vector particular paralelo a ℓ , llamado vector director para la recta. Se puede escribir la ecuación de ℓ como x=td. El conjunto de todos los vectores con dos componentes de denota , donde denota el conjunto de números reales de donde se eligen los componentes de los vectores . Dos vectores se definen como iguales si tienen la misma longitud y la misma dirección. Geométricamente, dos vectores son iguales si uno puede obtenerse al deslizar el otro paralelo a sí mismo hasta que los dos vectores coincidan. Se dice que un vector como → con su punto inicial en el origen está en posición estándar.
Suma de vectores: la primera operación vectorial básica. Si se denota u y v , como dos vectores se puede visualizar el desplazamiento total como un tercer vector, denotados mediante u + v . Se tiene u=[1,2] y v=[2,2] la suma daría como resultado: [1+2, 2+2] = [3,4]. En general sería: u + v = [ .Ejemplo: A=[1,2,3] , B=[2,4,5] A+B=[3,6,8]
Diferencia de vectores: Un caso especial de un múltiplo escalar es (-1)v, que se escribe –v y se le llama negativo de v. Puede usarse para definir la resta vectorial: la diferencia de u y v es un vector definido por u – v. Ejemplo: A=[1,2,3] , B=[2,4,5] A-B=[1,2,3]+[-2,-4,5]= [-1,0,-1]
Vectores paralelos: Se dice que u y v son paralelos ya que son vectores que son múltiplos encalares entre sí. Ejemplo: = U=[2,1,-4] para encontrar un vector paralelo se multiplica el vector por un escalar podría ser 2 y sería: [4, 2, -8]
Propiedades algebraicas de los vectores: Para representar la magnitud de un vector v se utiliza este símbolo: ǁvǁ. Se representa de esta manera ya que ǀvǀ es la longitud de un segmento de recta dirigido. Se puede decir que ǁvǁ tiene las siguientes propiedades:
11
Producto de un escalar por un vector Si v es un vector y c es un escalar, entonces a) ǁvǁ ≥ 0 b) ǁ-vǁ = ǁvǁ c) ǁvǁ = 0 si y solo si v=0 d) ǁcvǁ = ǀcǀ ǁvǁ
La propiedad a) es consecuencia del hecho de que la distancia es un numero positivo. La propiedad b) se deduce porque la longitud del segmento de reta PQ es igual a la longitud del segmento de recta QP. La propiedad c) se deduce porque la longitud del segmento de recta dirigido PQ es positiva, a menos que P y Q sean el mismo punto, en el cual la longitud es 0. La propiedad d) es consecuencia directa de la definición de un producto escalar.
Propiedades algebraicas de vectores en Sean u, v y w (
) ( (
( (
) ) ) ) (
y sean c y de escalares. Entonces: Conmutativa ( ) Asociativa
Distributiva Distributiva )
Combinaciones lineales y coordenadas: Se dice que un vector que sea una suma de múltiplos escalares de otros vectores es una combinación lineal de dichos vectores. Combinación lineal: Un vector v es una combinación lineal de vectores si existen escalares tales que: v = c1v1 + c2v2 +…. ckvk. Los escalares c se llaman coeficientes de la combinación lineal. Veamos un ejemplo: El vector [2, -2, -1] es la combinación lineal de [1, 0, -1], [2, -3, 1] y [5, -4, 0], pues…3 [1, 0, -1] + 2[2, -3, 1] - [5, -4, 0] = [2, -2, -1] Se pueden graficar estos vectores como una suma, lo cual generaría un nuevo vector. Ubicando los vectores en un plano de coordenadas se podría encontrar el vector resultante de la suma de estos. Una cuadricula coordenada permite ubicar fácilmente combinaciones lineales de uyv
12
Vectores ortogonales: El concepto de perpendicularidad es fundamental para la geometría. Quien estudie geometría rápidamente se dará cuenta de la importancia y utilidad de los ángulos rectos. Ahora en algebra se generaliza la idea de perpendicularidad para los vectores en Rn y se les llama vectores Ortogonales. Vemos que 2 vectores u y v son ortogonales si el producto escalar de estos es igual a cero. (u · v = 0). EJEMPLO: A=[-3,1] El ortogonal seria: A=[1,3]
Producto punto: Es la operación en la cual se multiplican cualesquiera dos vectores U y V, los cuales deben de cumplir con el requisito de tener el mismo número de componentes. El resultado de esta operación es un número, en ningún momento surge otro vector. Está dado por la fórmula: → →
Propiedades del producto punto: (
( )
) (
Conmutativa Distributividad )
Magnitud de un vector La longitud o norma de un vector definido por √ √
en
es el escalar no negativo
Vectores Unitarios Estándar Los vectores <1,0> y <0,1> son llamados vectores unitarios estándar: i=<1,0> y j=<0,1>. Se utilizan para representar cualquier vector. V = <x,y> = x<1,0> + y<0,1> =xi + yj Esta forma de expresar un vector se le llama combinación lineal, donde x y y son los componentes horizontal y vertical de cada vector.
El vector V tiene componente horizontal x unidades.
13
El vector V tiene componente vertical y unidades.
Normalización de un vector: Proceso de creación de un vector unitario u que es múltiplo positivo de v. La desigualdad de Cauchy- Schwarz: Para todos los vectores u y v en
≤ u
v
La desigualdad del triángulo Para todos los vectores u y v en
Distancia entre dos vectores: La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia que entre dos puntos en la recta numérica real o entre dos puntos en el plano cartesiano. Sobre la recta numérica la distancia entre los numero a y b está dada por . La fórmula general es:
√(
)
(
Se define por:
) (
)
Ángulo entre dos vectores: El producto punto también se puede usar para calcular el ángulo entre un par de vectores. En , el ángulo entre los vectores u y v distintos de cero se referirá al ángulo determinado por estos vectores que satisfaga Para vectores u y v distintos a cero en
Cosenos de ángulos especiales: 0° √
30°
45°
√
60°
√
90° √
√ √
Teorema de Pitágoras: Para todos los vectores u y v en son ortogonales.
|
,
14
| si y solo si u y v
Proyección de un vector sobre otro: Si u y v son vectores en
y u≠0, entonces la proyección de v sobre u es el vector ( ) ( ) .
( )definido por:
Producto cruz: El producto cruz de u=[
yv
es el vector u x v =
Propiedades del producto cruz: Por las propiedades de los determinantes, el producto cruz obedece la ley Distributiva con respecto a la suma (tanto vectorial como escalar)
La forma normal de la ecuación de una recta ℓ en (
es:
)
Donde p es un punto específico sobre ℓ y de la ecuación es
es un vector normal ℓ. La forma general
La forma vectorial de la ecuación de una recta ℓ en
es:
Donde p es un punto específico sobre ℓ y es un vector director para ℓ. Las ecuaciones que corresponden a los componentes de la forma vectorial de la ecuación se llaman ecuaciones paramétricas de ℓ.
Planos en La ecuación de la recta en es , donde n es un vector normal a la recta y p corresponde a un punto sobre la recta. La forma normal de la ecuación de un plano P en es (
)
La forma general de la ecuación de p es
, donde n= [ ] es un
vector normal para P.
La forma vectorial de la ecuación de un plano P en
es:
Donde pe es un punto sobre p y u y v son vectores directores de p. Las ecuaciones correspondientes a los componentes de la forma vectorial de la ecuación se llaman ecuaciones paramétricas de p .
15
Ecuaciones de rectas en Forma normal
Forman general ax + by= c
Forma vectorial
Forma paramétrica
Ecuaciones de rectas en Forma normal
Forma general
Forma vectorial
Forma paramétrica
Rectas
Planos
Distancia desde un punto a una recta: Es necesario calcular la longitud del punto sobre l al pie de la perpendicular desde el punto. Si se etiqueta v= AB entonces AP= proyección de PB = vector v menos la proyección obtenida en el paso anterior.
Distancia desde un punto a un plano: En este caso es necesario calcular la longitud de un punto sobre el plano y un punto dado, al pie de la perpendicular desde el punto dado. Si A es cualquier punto sobre el plano y el vector normal n=[1,1,-1] de plano se sitúa de modo que su origen esté en A, entonces es necesario encontrar la longitud de la proyección de AB sobre n. Distancia desde
un punto a una recta: Es la distancia más corta entre un
punto dado y un punto da una línea o recta. También se puede decir que es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto. Esto está dado por la siguiente formula: en donde (x,y) serán los puntos dados y A x +By +C será la ecuación.
√
16
Distancia desde un punto a un plano: Si P es un punto conocido en un plano con vector normal n, entonces la distancia de cualquier punto S al plano es la longitud del vector proyección PS sobre n. Es decir, n = Ax + By +Cz será normal al plano y la distancia de S al plano será: ǀ
Distancia entre rectas paralelas: Para poder encontrar la distancia entre 2 rectas paralelas, se toma un punto conocido P de alguna de las 2 rectas y se calcula la distancia a la otra recta. Serán paralelas siempre y cuando su distancia siempre sea la misma y nunca se intersecten.
Distancia entre planos paralelos: Para poder encontrar la distancia “D” entre 2 planos, se elige cualquier punto sobre un plano y se calcula su distancia al otro plano.
Angulo de intersección entre rectas: El ángulo que se forma en 2 rectas corresponde al ángulo que forman las rectas al momento de intersectarse con un plano perpendicular a la recta de intersección.
Ángulo de intersección entre planos: se define como el ángulo que se forma al intersectarse dos planos, para calcularlo se utilizan las coeficientes de las rectas del plano; es el coseno inverso del cociente del producto punto entre el vector u por v partido el producto de la magnitud de estos.
Ángulo de intersección entre una recta y un plano: se define como el ángulo que se forma al intersectarse una recta con un plano, para calcularlo se utiliza el coseno inverso del cociente del producto punto entre un vector normal y un vector d partido el producto de las magnitudes de estos vectores.
Adición en aritmética modular: consiste en sumar valores al módulo dado, sin embargo el resultado puede estar solo entre los valores aceptados en el módulo dado; por lo que se busca un valor equivalente a este.
Multiplicación en aritmética modular: consiste en multiplicar valores al módulo dado, sin embargo el resultado solo puede estar entre los valores aceptados en el módulo dado; por lo que se busca un valor equivalente a este.
17
Resolución de ecuaciones sobre Zp: se resuelve la ecuación usando únicamente la multiplicación y la adición, de la misma manera siguiendo los requisitos de estas.
Sistemas lineales: (sistemas de ecuaciones lineales) Es un conjunto finito de ecuaciones lineales, y cada una de estas ecuaciones cuenta con sus propias variables. Una solución se le llama a un vector que simultáneamente es la solución de cada ecuación en el sistema. Se le llama conjunto de ecuaciones al conjunto de todas las ecuaciones que son la solución del sistema. Al proceso de encontrar las soluciones o conjunto de estas para un sistema lineal se le conoce como “resolver el sistema”.
Código universal del producto (UPC) El código de producto, o UPC es un código asociado con los códigos de barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía. Las barras negras y blancas que se escanean con un láser en un mostrador de verificación en una tienda, corresponden a un vector 10-ario de longitud 12. Los primeros 11 componentes forman un vector en Z 10 que dan la información de fabricante y el producto; el último componente de es un código de control elegido de modo que c•u= Z10, donde el vector control c es [3,1,3,1,3,1,3,1,3,1]
Código estándar internacional de libros (IBSN) El código de número internacional normalizado de libros de 10 dígitos es otro código de dígito de control muy utilizado. Está diseñado para detectar más tipos tipo de errores que el código universal de productos y , en consecuencia, es ligeramente más complicado. El vector código es un vector en Z11. Los primeros nueve componentes proporcionan el país, editos e información del libre; el décimo componente es el dígito de control. El vector control es c=[10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]
Espacio Generado: Son conjuntos de vectores, o conjuntos de puntos, que no tomando en cuenta el número de vectores pueden generar únicamente los siguientes espacios: En IR2: El conjunto que consta del punto o vector cero, una línea que pasa por el origen y todo IR2. En IR3: El conjunto que consta del punto o vector cero, una línea que pasa por el origen, un plano que pasa por el origen y todo IR3.
18
Conjunto generador: Siendo S = {v1, v2,…, vk} el conjunto generador es el conjunto de todas las combinaciones lineales para S, y se denota como gen (v1, v2,…, vk) o gen(S). Sí gen(S) = IRn entonces S se llama conjunto generador de IRn.
Linealmente independiente (L.I.): Se le llama así cuando a un conjunto de vectores v1, v2,…, vk existen escalares, diferentes de cero, tal que el producto de: cv1+ cv2+…+c vk = 0
Linealmente dependiente (L.D.): Se le llama así cuando no existen escalares, diferentes de cero, que vuelvan cero la sumatoria de un conjunto de vectores: cv1+ cv2+…+c vk 0
19
Referencias 1. Steiner, Erich.1996, Matemáticas para las ciencias aplicadas.Editorial REVERTE. Madrid, España. pag 397. 2. Kolman,R. 2006.Algebra Lineal.Pearson Educación.México pag 236. 3. Poole,D.2011. Algebra lineal, una introducción moderna. CENGAGE learning.México. 4. A. Baldor.1998. Algebra, al-Juarismi.
20