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2009 CURSO DE FISICA GENERAL

Adolfo Castillo Meza Universidad Peruana Cayetano Heredia 2/27/2009


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CURSO DE FISICA GENERAL TOMO I

Mecánica Clásica Adolfo Castillo Meza, M.Sc.

Lima – 2005


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Introducción El presente trabajo sintetiza la experiencia del autor en la enseñaza de Física General en cursos dirigidos a alumnos de las Facultades de Ciencias y Medicina de la Universidad Peruana Cayetano Heredia principalmente. El texto está basado en gran parte en los apuntes elaborados para el desarrollo de los temas incluídos en los syllabi y planes de estudio. Cabe anotar que estos cursos en manera alguna son estáticos, ya que cada semestre o año el contenido de cada capítulo es enriquecido con nuevas preguntas y contenidos que responden a los nuevos descubrimientos y/o a la necesidad de interactuar cada vez más cerca entre especialistas de áreas aparentemente tan disímiles como Biología, Física, Computación, Matemáticas, Química, Medicina, etc. La inquietud de presentar nuestra visión de la Física para alumnos de especialidades no físico-matemáticas, pero que requieren de sólidos conocimientos sobre las leyes que gobiernan los sistemas y sus consecuencias se vió reforzada por la reiterada comprobación, tanto por parte propia como de nuestros alumnos, de la no existencia en nuestro media de un texto que no diera solamente ejemplos de aplicaciones numéricas de la Física a la Biología p.e, sino que, proveyendo una fundamentación rigurosa y una explicación detallada de la base física, pudiera no solo presentar ejemplos, pwermitiera analizar en profundidad aspectos de p.e. el sistema circulatorio, el funcionamiento de la célula, el esqueleto humano, la transmisión de información, las corrientes marinas, etc. Es difícil cumplir con esta tarea en un solo libro, por ello es que se ha planteado el reto de elaborar una serie de textos que, siguiendo la secuencia de enseñanza de los grandes temas de física general, al mismo tiempo analice en paralelo temas y preguntas de interés para el alumno de Biología, Farmacia, Medicina p.e.


4 Este libro es la primera entrega de la serie. Y si bien está dirigido a un público cercano a nuestro quehacer diario, puede ser utilizado por alumnos de otras orientaciones sin mayor dificultad. Este curso puede ser acompañado, en este último caso, por el material que se incluye en la página web del curso en la UPCH (www.upch.edu.pe/facien/fisica1 ). Finalmente, debo agregar que este libro no sería posible sin el apoyo que a lo largo de estos años me brinda el Departamento de Física, Informática y Matemáticas, y las fructíferas discusiones con, y constante aliento de parte de, los docentes del Departamento de Ciencias Biológicas y Fisiológicas de la UPCH, muy especialmente por parte del Dr. Carlos Monge Cassinelli. Lima, Enero del 2006

Adolfo Castillo Meza, M.Sc. Profesor Principal Departamento de Física, Informática y Matemáticas Facutlad de Ciencias y Filosofía Universidad Peruana Cayetano Heredia


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INDICE

I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X.

CINEMATICA DINAMICA MOVIMIENTO CON MASA VARIABLE TRABAJO Y ENERGIA CHOQUES ELASTICOS E INELASTICOS MOVIMIENTO OSCILATORIO ONDAS DINAMICA ROTACIONAL GRAVITACION DINAMICA DE FLUIDOS


6 Capítulo I Cinemática Espacio y Tiempo Sistemas de Referencia En Física se denomina movimiento a todo cambio de estado de la materia. Todo estado puede ser caracterizado mediante diferentes magnitudes como p.e. temperatura, presión, volumen, posición, tamaño de la población, dispersión de la población, flujo, etc. Los cambios de estado se dan en determinados intervalos de tiempo. De otro lado, en mecánica clásica, movimiento se denomina al cambio de posición de un cuerpo respecto a otro en el espacio y en un intervalo de tiempo. El estudio del movimiento relativo de un cuerpo (o cuerpos) respecto a otro(s) se denomina cinemática. En lo que se refiere a la posición del cuerpo, ésta es es relativa, ya que siempre debe ser definida respecto a otros cuerpos. Enc aso no se establezca una referencia respecto a qué cuerpo o cuerpos se está fijando en cada instante la posición, todo lo que hagamos no tiene sentido. Quiere decir que no tienen sentido conceptos tales como “posición absoluta” o el postular la existencia de un sistema o marco de referencia absoluto. Sobre la necesidad de precisar nuestro sistema de referencia nos ilustra el siguiente ejemplo. Un pasajero que viaja en un avión levanta una revista del sobre que tiene delante de su asiento. Luego de


7 un rato, devuelve al sobre la revista. Desde su punto de vista, la revista ha retornado al mismo punto. Sin embargo, para un observador que se haya quedado en tierra, la revista fue extraída del sobre sobre un punto en Lima y devuelta al sobre en un punto sobre Trujillo p.e. Es decir, la revista no retornó al mismo punto. A todas luces es necesario que ambos se pongan de acuerdo en el uso de algunos puntos de referencia comunes para evitar confusiones. Veamos cómo se da este proceso en la vida diaria en forma intuitiva. Supongamos que deseamos indicar a alguien dónde se encuentra nuestra casa sin recurrir a la nomenclatura de calles. En este caso, lo normal será elegir un lugar o referencia geográfica conocida. Por ejemplo, tomemos el edifico de la sede central del Banco Continental. Una vez que ambos interlocutores acuerdan utilizar dicho edificio como referencia, es necesario indicar de algún modo la ubicación del inmueble. Para ello podemos recurrir al viejo método de indicar “tantas cuadras de frente a partir de la puerta principal, luego tantas a la derecha y finalmente una la izquierda”. De este modo hemos utilizado un sistema común que nos permite indicar dirección y distancia. Finalmente, si la referencia es para un encuentro, hemos necesariamente de indicar la hora del mismo, pues en todo caso nuestro visitante podría llegar al lugar en cualquier momento. Hemos utilizado aquí los siguientes elementos: a. Cuerpo de referencia: Edificio del Banco Continental b. Sistema de coordenadas: al usar cuadras como unidad de medida y la referencia izquierda – derecha – de frente – atrás para dirección y sentido. c. Sistema de medición de tiempo: para concordar el momento del encuentro. Estos tres elementos juntos determinan un sistema de referencia. En nuestra vida diaria asumimos como cuerpo de referencia (en general) al planeta Tierra. Todas las posiciones relativas son medidas respecto a él, específicamente respecto al paralelo mayor (Ecuador) y el meridiano de Greenwich. Como sistema de medición


8 de tiempo, utilizamos a la fecha un sistema que deviene sin grandes cambios desde ¡los babilonios! 1 Sistemas de Coordenadas Existen diferentes sistemas de coordenadas, siendo los más utilizados: a. Sistema de Coordenadas Cartesianas: Este sistema Utiliza una terna de números (x, y, z) para definir la posición de un cuerpo. Está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares tal como se muestra en la figura:

b. Sistema de Coordenadas esféricas: En este sistema la posición del objeto se define mediante una terna (r, ,  ) que corresponde a radio (aclararemos más tarde este concepto), ángulo de elevación y ángulo de desviación.

1

¿Alguna vez se ha preguntado por qué, si el sistema decimal es el aceptado mundialmente, la esfera del reloj tiene 12 divisiones en lugar de 10? Esta división viene desde los primeros relojes solares. El reloj solar principal en la capital de Babilonia consistía de un pilar central desde el cual partían doce radios, cada uno apuntando a una de las principales ciudades del país. Cuatro de ellas estaban asociadas con los cuatro puntos cardinales.


9

c. Sistema de Coordenadas cilíndricas: La posición se define mediante una terna (r, , z) que expresa radio respecto al eje, ángulo de desviación y elevación.

La elección del sistema de coordenadas depende mucho de la geometría del problema. Por ejemplo, si deseamos definir la posición de un avión sobre la superficie de la tierra, requeriremos su latitud (Norte, Sur), longitud


10 (Este, Oeste) y su altitud. Sin embargo, si el caso requiriese definir la posición de un avión que se acerca a un barco, el oficial de tiro usará como coordenadas distancia, ángulo de elevación, ángulo de desviación. Y, finalmente, si lo que se desea es conocer la posición de medidores en un acelerador de partículas como el que existe en el CERN, usaremos un sistema de coordenadas cilíndricas.

El detector CMS a ser utilizado con el Large Hadron Collider en el CERN. La posición de las partículas detectadas se da en coordenadas cilíndricas.

En nuestro caso, y tal como lo hacemos en la vida diaria, utilizaremos el sistema de coordenadas cartesianas. Vectores Fijaremos la posición de un cuerpo en el espacio trazando la línea dirigida mostrada en la figura, desde el origen (intersección de los tres ejes) al punto en que éste se encuentra.


11

Esta línea dirigida, o segmento dirigido se denomina vector. Este es un objeto matemático que está definido por su magnitud, dirección y sentido. Por lo tanto, se denota como absoluto) de

r se escribirá

r

r . La magnitud (o valor

. Toda magnitud física que requiera

de estos tres elementos para su definición se denominará magnitud vectorial. Aquellas que solamente requieren de su magnitud para estar definidas se denominan magnitudes escalares. Puede operarse con vectores al igual que lo hacemos con números. Las siguientes operaciones son definidas para los vectores: 1. Suma: Superposición consecutiva de dos vectores denotada como A  B cuyo resultado en forma gráfica es:

2. Resta: Superposición de dos vectores, denotada como A  B cuyo resultado en forma gráfica es:


12

3. Multiplicación por un escalar: Dado un vector A y un escalar cualquiera c, el vector D  c A es aquel que, manteniendo la orientación original de A en el espacio, tiene una magnitud (longitud) igual a c veces el mismo. Por ejemplo:

O también:

Ya que puede multiplicarse un vector por un escalar, definamos un vector

e

cuya longitud consideraremos igual a la unidad ( | e | 1 ).


13 A este vector se denominará vector unitario. A partir de aquí, cualquier vector puede ser representado como la magnitud del mismo multiplicado por

e . Por ejemplo:

A | A |.e .

Veamos como nos ayuda esta notación para expresar un vector en el sistema de ejes cartesianos:

Vemos de la gráfica que el vector r puede ser representado como la suma de los tres segmentos dirigidos 0x, 0y y 0z. Podemos escribir entonces 0 x  0 y  0 z  r . Asociemos tres vectores unitarios a los ejes tal como se muestra a continuación:


14 Aquí

| i || j || k | 1 .

r  xi  y j  z k .

De

modo

que

podemos

reescribir

Esta es la notación que utilizaremos de ahora

en adelante. De acuerdo con esta notación, dados

A  ax i  a y j  az k

y

B  b x i  b y j  b z k ,entonces: A  B  (a x  b x )i  (a y  b y ) j  (a z  b z )k . Del mismo modo definimos la resta A  B como

     A  B  (ax  bx )i  (a y  by ) j  (az  bz )k

Definiremos ahora las siguientes operaciones: 4. Producto Escalar: Esta operación representa el producto de la magnitud de la proyección de un vector sobre otro, multiplicado por la magnitud de este último.

El resultado será la magnitud escalar c  A  B | A | . | B | cos( ) . Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores mutuamente perpendiculares es cero. Utilizando la notación de vectores unitarios, el producto escalar se escribirá:

        A  B  axbx (i  i )  a y by ( j  j )  az bz (k  k )   A  B  axbx  a y by  az bz


15 5. Producto vectorial: Expresa el efecto de superponer dos vectores mediante el giro de uno sobre otro. En vista de que el resultado depende de el sentido de giro, es decir, si gira A sobre B ó B sobre A, es evidente que para su definición el resultado requiere no solamente de magnitud, sino también de dirección y sentido. Este es un nuevo vector, cuya magnitud es proporcional al área definida por los vectores originales. El nuevo vector estará orientado perpendicularmente al plano determinado por los vectores originales de acuerdo a la regla de la mano derecha.

 

 

Su magnitud es | A  B || A || B | sen( ) . Puede verse de la figura que es perpendicular a la superficie definida por los vectores originales. En forma general, utilizando la notación de vectores unitarios y el operador Determinante, podemos expresar el producto vectorial como:

i

j

k

A  B  ax bx

ay by

az bz

El determinante anterior se desarrolla de la siguiente manera:

 i

 j

 k

  A  B  ax

ay

   az  (a y bz  by az )i  (axbz  bx az ) j  (axby  bx a y )k

bx

by

bz


16 Ejercicios 1. Demostrar que: a. A  B  B  A b. ( A  B)  C  A  ( B  C ) c. c( A  B)  c A  c B d. e. f. g. h. 2.

A B  B  A A  B B  A    A  (B  C)  A  B  A  C          A  ( B  C )  B  (C  A)  C  ( A  B)          A  ( B  C )  ( A  C ) B  ( A  B)C   Si A, B son vectores que forman lados contiguos de un

paralelogramo, hallar los vectores que forman los otros lados del mismo.   3. Si A, B son vectores que forman lados contiguos de un exágono regular, hallar los vectores que forman los otros lados.     4. Si A, B, C , D son vectores que unen el origen con los puntos A,

B, C, D y se verifica la igualdad B  A  C  D , demostrar que ABCD es un paralelogramo. 5. Demostrar que

    | A  B || A |  | B |

y | A  B || A |  | B |

  

6. Demostrar que si los vectores A, B, C son aristas contiguas de

un paralelepípedo, entonces A  B  C es igual a un vector diagonal.   7. Si A, B son vectores que unen el origen O con los puntos A y B, hallar el vector que une O con el punto medio de AB. 8. Desde el centro de un pentágono regular se trazan vectores hacia sus vértices. Demostrar que la suma de los mismos es cero. 9. Sea ABCD un paralelogramo. Se trazan las rectas que unen A con los puntos medios BC y CD. Demostrar que dividen a la diagonal BD en partes iguales.


17 10. Si existen tres números a, b, c todos ellos diferentes de cero, y

  

tales que aA  bB  cC  0 , demostrar que los vectores A, B, C son paralelos a un plano.         11. Los vectores A  i  j  k y B  3i  2 j  k tienen como punto de aplicación el origen de coordenadas. Demostrar que la recta que une sus extremos es paralela al plano xy y calcular su longitud.         12. Demostrar que los vectores A  i  4 j  3k y B  4i  2 j  4k son perpendiculares entre sí.         13. Demostrar que los vectores A  2i  j  k , B  i  3 j  5k y

    C  3i  4 j  4k forman los lados de un triángulo.     14. Calcular el ángulo formado por los vectores A  i  2 j  2k y     B  2i  j  2k .

15. Demostrar que la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.   16. Si A es un vector constante y R es el vector que une el origen    con el punto variable P(x, y, z), demostrar que ( R  A)  A  0 es la ecuación de un plano.   17. Si A es un vector constante y R es el vector que une el origen    con el punto variable P(x, y, z), demostrar que ( R  A)  R  0 es la ecuación de una esfera. 18. Hallar el área del triángulo formado por P 1( 1, 1, 1), P2(1, 2, 3), P3(2, 3, 1).       19. Demostrar que ( A  B)  ( B  C )  (C  A)  ( ABC )² . 20. Expresar por medio de productos la condición necesaria para que   el plano que pasa por A y B sea perpendicular al que pasa por

  C y D.

21. Expresar la condición, por medio de productos, para que los     cuatro vectores A, B, C , D sean todos paralelos a un plano.


18 Descripción de la variación de la posición relativa de un cuerpo: Una vez definido el estado del cuerpo y, en nuestro caso, su posición en el espacio, deberemos además describir su cambio de posición en el espacio respecto al tiempo. Utilizaremos, como se indicó anteriormente, el sistema de coordenadas cartesianas al efecto. Supongamos que un cuerpo se desplazó desde el punto 1 al punto 2. En el primer momento su posición estaba determinada por el vector   de posición r1 , y en momento final por el vector r2 (Fig. II.1.a). La variación de posición puede ser expresada mediante el vector    desplazamiento r  r2  r1 (Fig II.1.b).

1

1

   r  r2  r1 2 Fig II.1.a

2 Fig II.1.b

Como quiera que varios cuerpos pueden experimentar el mismo desplazamiento empleando para ello diferentes tiempos totales, es conveniente introducir una nueva magnitud que permita comparar tanto el desplazamiento como el tiempo empleado. Definimos entonces la velocidad media del cuerpo, como el cociente del desplazamiento total entre el tiempo total empleado para el mismo

  r vm  . Esta es una magnitud vectorial. t

Esta magnitud nos permite comparar diferentes cambios de estado entre dos puntos, inicial y final según el tiempo empleado. Supongamos que un avión vuela directamente de Lima a Piura, empleando para ello 2 horas, y otro vuela de Lima a Piura pero haciendo una escala de dos horas en Trujillo. El desplazamiento de


19 ambos aviones será el mismo, pero el tiempo empleado por el segundo es mayor. Por lo tanto la velocidad media del primero será mayor que la del segundo. Puede parecer a primera vista que disponemos de una magnitud para comparar cambios de estado. Sin embargo, puede verse que el cambio de estado puede realizarse de diferentes maneras y en tiempos diferentes. Supongamos que la misma ruta será cubierta por un Mig29 de la FAP y un avión comercial de TANS por ejemplo. El Mig29 parte de Lima con velocidad subsónica, luego acelera a la mitad de la velocidad del sonido, un rato después acelera nuevamente alcanzando al velocidad del sonido (330 m/s) y al acercarse a Piura desacelera a velocidad subsónica nuevamente para aterrizar. El avión comercial por su parte, despega y sigue todo el viaje con velocidad de crucero, para finalmente frenar y aterrizar en Piura. Si solamente nos basamos en sus velocidades medias, perderemos toda información sobre: 1) los cambios producidos durante el vuelo, a saber, que la relación desplazamiento/tiempo empleado no permaneció constante durante el vuelo y 2) la manera en que variaba este cociente en función de la posición y el tiempo. Una solución sería analizar el desplazamiento dividéndolo en segmentos, tomando puntos intermedios entre 1 y 2 cada vez más cercanos, hasta casi tocarse. Los intervalos de tiempo se harán cada vez más pequeños, tal como se aprecia en la figura adjunta Esto nos llevará finalmente pequeña:

a evaluar la variación infinitamente

 r lim t  0  t


20 De esta manera, usando la teoría de límites, definimos ahora la velocidad instantánea del movimiento del cuerpo:

   r (t ) dr (t ) v (t )  lim  t 0 t dt

de donde, por propiedad de la derivada:

 dx(t )  dy(t )  dz(t )  v (t )  i j k dt dt dt

Esta es la expresión de la velocidad instantánea a través de sus componentes. Retomando nuestro ejemplo anterior, podemos apreciar que no solamente la velocidad no es constante, sino que además ha variado de diferentes maneras (p.e. de 0.5 Mach a Mach 1), Si la velocidad no es constante, entonces, análogamente, podemos definir la variación de la misma como el cociente entre la diferencia de velocidades final e inicial y el tiempo empleado:

  v am  t

Esta nueva magnitud se denomina aceleración media del movimiento. Si bien es una magnitud que nos permite comparar variaciones de velocidad, es conveniente definir una magnitud que nos permita conocer la variación de la velocidad en función del tiempo. Al igual que en el caso anterior, podemos tomar intervalos de tiempo cada vez más pequeños y llegamos a :

     v dv d dr d ² r a  lim    t 0 t dt dt dt dt

Esta nueva magnitud vectorial 2 instantánea del movimiento.

se

denomina

aceleración

Es fácil ver que conociendo una de las magnitudes definidas pueden conocerse las otras dos. Así:

2

La aceleración expresa la variación de la velocidad (vector) en función del tiempo. Quiere decir que, basta que cambie una de las características del vector (magnitud o dirección y sentido) para que se produzca aceleración. P.e. ejemplo, si Ud. toma una curva a 80 kms por hora, entra y sale de la curva con 80 mk/h, pero la dirección de la velocidad ha cambiado.


21 t2

 v   a dt t1 t t2  t2    2 r   v dt     adt dt   t1 t1  t1 

En

caso

 a  const

estaremos

uniformemente acelerado. Si

 a0

ante

un

movimiento

entonces, como consecuencia  3 v  const y estaremos ante un movimiento rectilíneo uniforme.

Ejemplos:

1. Determine si el movimiento descrito por r  3t ²i  2tj  4t ² k es rectilíneo uniforme. Solución:

Un movimiento rectilíneo uniforme se da cuando v  const . Quiere decir que LAS TRES componentes del vector velocidad deben ser constantes. A partir del radio vector, podemos conocer la función velocidad instantánea:

    r  3t ²i  2tj  4t ² k   d  d d  d r  3t ²i  2tj  4t ² k dt dt dt dt     v  6ti  2 j  8tk

Puede verse que dos de las componente son función del tiempo, x(t) y z(t), por lo que el movimiento NO es rectilíneo uniforme. 2. Para el mismo movimiento determine si es uniformemente acelerado.

3

Quiere decir que mantiene tanto su magnitud como su orientación en el espacio. Es un VECTOR CONSTANTE.


22 Solución:

    v  6ti  2 j  8tk d  d  d  d  v  6ti  2 j  8tk dt dt dt dt    a  6i  8k

En efecto, las dos componentes no nulas del vector aceleración son constantes, por lo que estamos ante un movimiento uniformemente acelerado. 3. Supongamos ahora que el movimiento es descrito por la     función radio vector r  3t ²i  2 cos(t ) j  4t ² k . ¿Ante qué tipo de movimiento nos encontramos? Solución:

    r  3t ²i  2 cos(t ) j  4t ² k     v  6ti  2sen(t ) j  8tk     a  6i  2 cos(t ) j  8k

Si bien dos de las componentes del vector aceleración son constantes, la componente Y se comporta de acuerdo a la función oscilatoria cos(t). El movimiento es acelerado, pero la aceleración NO es constante. En este caso, estamos hablando de un movimiento acelerado. Analicemos un movimiento arbitrario, en el que la velocidad cambia tanto por magnitud como por dirección y sentido:


   Vemos que el vector v  v2  v1 puede descomponerse en dos

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componentes tal como se ilustra en la figura:

Puede verse que se cumple que v  v||  v  . Y pasando al límite:

    dv dv|| dv  a   dt dt dt

La aceleración tiene dos componentes. Una de ellas refleja la variación de su orientación en el espacio aceleración centrípeta

 acp .

 dv  y se denominada dt

Esta componente es perpendicular al vector velocidad. La otra componente

 dv|| dt

es paralela al vector

velocidad, y refleja la variación de su magnitud en la misma dirección. Se denomina aceleración lineal o aceleración tangencial

 at .

La aceleración en todo momento estará definida por sus componentes mediante las relaciones:


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   a  acp  at a ²  acp ²  at ²

Puede verse que, aunque la velocidad lineal (tangencial) no sufra variación, si cambia su dirección, inmediatamente aparecerá una aceleración centrípeta, y la aceleración total será diferente de cero. Movimiento circular Un caso particular de movimiento es el movimiento circular. En este caso la distancia al centro u origen permanece constante, así como el plano sobre el que se realiza el movimiento. Conviene entonces, debido a la simetría del problema recurrir a las coordenadas polares.

 r 

En este caso, el radio es constante, el ángulo de desviación también, por lo que el problema se torna bidimensional. La posición del cuerpo estará definida exclusivamente por el ángulo , que puede variar de acuerdo al tiempo. Se considera  positivo cuando el movimiento ocurre en sentido antihorario. En caso contrario, se considera que  es negativo. De modo que aquí la función de posición estará definida por:

   (t )

Si procedemos de manera análoga al caso tridimensional anterior, podemos definir una nueva magnitud:



d dt

denominada velocidad angular. Ahora bien, no es lo mismo girar en sentido horario que antihorario. Para describir completamente el movimiento debemos indicar la variación angular y el sentido en que se realiza. Estamos pues ante una magnitud vectorial y


25

escribiremos en consecuencia . La orientación de este vector se define por la regla de la mano derecha o regla del sacacorchos, tal como se muestra a continuación.

 d  dt 

Definiremos la aceleración angular como

dependiendo su

orientación del signo de la derivada (aumenta o disminuye la magnitud de ). Si

  const estamos ante un movimiento circular uniforme. Si

  co nst se

trata deun movimiento circular uniformemente

acelerado. Para el movimiento circular se cumple la siguiente relación entre velocidad angular, radio y velocidad tangencial:

   w  r v


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Para un movimiento circular x  r cos( t ), y  r sen( t ) . Al tomar las segundas derivadas y recomponer la aceleración total obtenemos: 



x   ² r cos( t ), y   ² r sen( t )

a ²    ² r  ² cos ²( t )    ² r  ² sen²( t ) a ²   ² r  ²(cos ²( t )  cos ²( t )) a   ²r 

v² v²  r² r

Gráficas de movimiento Una manera de brindar información sobre el estado de un cuerpo y su variación es mediante gráficas que expresen su estado (en este caso posición relativa) respecto al tiempo, la tasa de variación de su estado en función del tiempo, y la tasa de variación de la tasa de variación de su estado respecto al tiempo. En términos de mecánica clásica, posición vs tiempo (x(t)), velocidad vs tiempo (v(t)) y aceleración vs tiempo (a(t)). Podemos identificar dos tipos elementales de movimiento a partir de su aceleración. Si la aceleración es nula, entonces la velocidad será constante, y la gráfica posición vs tiempo tendrá carácter lineal. En el segundo caso, si la aceleración es constante, la gráfica velocidad vs tiempo tendrá carácter lineal y la gráfica posición vs tiempo, como consecuencia, será parabólica. Demostremos las afirmaciones anteriores:

Sea a  0 v   0dt  0t  C1  vo x   vdt    vo dt  vot  C2   vot  xo


27

Sea a  const v   adt  at  C1  at  vo x   vdt    at  vo dt  

1 at ²  vot  C2  2

1 at ²  vot  xo 2

Las constantes de integración Ci corresponden a los valores iniciales de velocidad y posición vo, xo en el momento inicial to. En forma gráfica, podemos resumir las dos situaciones anteriores mediante las familias de gráficas siguientes:

a(m/s²)

a(m/s²)

v(m/s)

v(m/s)

x(m)

x(m)

t(s)

t(s)

Observe que, vistas de abajo hacia arriba, cada gráfica es la derivada de la anterior.


28 Veamos un ejemplo:

v(m/s)

1 1

2

3

4

5

6

t(s)

7

Siendo la velocidad constante en cada uno de los intervalos, entonces la aceleración en todo momento será cero. (En realidad es imposible pasar de 1 m/s a cero instantáneamnte, pero para efectos ilustrativos, trataremos el cuadro tal como se presenta). Asumiremos que en el momento inicial el móvil se encontraba en el origen (x = 0). En cuanto a la posición, deberá analizarse los intervalos 0 - 2, 2 – 4, 4 – 7. Así, en los primeros dos segundos el móvil recorrió un metro cada segundo. Avanzó en total dos metros, desde el origen hasta x = 2. Luego, durante dos segundos su velocidad es cero, permanece inmóvil sobre x = 2. Entre los segundos 4 y 6 vuelve a recorrer un metro cada segundo, avanzando de x = 2 a x = 4. Finalmente, en el último segundo permaneció inmóvil (velocidad nula) sobre x = 4. La gráfica será:

x(m) 4 3 2 1 0

t(s) 1

2

3

4

5

6

7


29 Usando la definici贸n de integral (谩rea bajo la curva), podemos analizar el problema de acuerdo con la siguiente secuencia.


30

La gráfica x(t) resultante será exactamente la misma que en el caso anterior. Puede apreciarse la ventaja de usar la definición de la integral en lugar de integrar tramo por tramo analíticamente. Vemos otro ejemplo: Un móvil parte del reposo y desde el origen, siendo sometido durante los dos primeros segundos a una aceleración de 0.5 m/s². Luego, durante tres segundos su velocidad permanece constante. Finalmente en los tres últimos segundos de movimiento es sometido a una aceleración de -0.5 m/s². Sobre la base de esta información obtener las gráficas aceleración vs tiempo a(t), velocidad vs tiempo v(t), y posición vs tiempo x(t). Empezaremos por la gráfica a(t), ya que la información inicial está dada en términos de aceleración. Durante los dos primeros segundos experimenta una aceleración de 0.5 m/s². Durante los siguientes tres segundos su aceleración es NULA (v = const). Finalmente, durante tres segundos es sometido a una aceleración 0.5 m/s².


31 Para graficar v(t) recordemos que el móvil parte del reposo, es decir en t = 0, vo = 0, o también v(0) = 0

Recordando que a(t) expresa la derivada de v(t), podríamos también haber razonado de la siguiente manera: “ Si a = 0.5 entre 0 y 2

segundos, quiere decir que la pendiente de la gráfica v(t) en ese lapso es 0.5. Por lo tanto, alcanza 1 m/s en 2 segundos (v/t = ½ = 0.5). Luego a = 0 por tres segundos, la velocidad se mantiene en el valor alcanzado. En los tres segundos finales, la pendiente de de v(t) es -0.5. Quiere decir que, siendo el signo de la derivada negativo, la gráfica será descendente (v/t = - 0.5 = (-0.5 – 1)/3). El móvil va a perder velocidad hasta detenerse, y luego empezará a moverse en dirección opuesta por un segundo más.”

Para construir la gráfica final x(t) recordemos que, en el momento inicial t = 0, no solamente la velocidad era nula (vo = 0) sino que además el móvil se encontraba sobre el origen (xo = 0, ó x(0) = 0). Usando nuevamente la definición de integral, obtenemos la gráfica siguiente:


32

Observe que entre los segundos 5 y 8 obtenemos una parábola invertida. Esto se debe a que en este intervalo a < 0, por lo tanto la función x(t) tendrá la forma general x = -0.5t², lo que corresponde a una parábola invertida.


33 Trayectoria

No debe confundirse la función r (t ) (posición del cuerpo en el espacio en cada instante t) con la trayectoria del cuerpo. Esta última  es la línea compuesta por todos los puntos definidos por r (t ) durante el intervalo que dura el movimiento. En la figura, la línea S representa la trayectoria del objeto en el espacio entre t = 0 y t = n.

Tomemos

por  ejemplo    r  sin( t )i  cos(2t ) j  0.5tk . Podemos

conocer en cada momento la posición del cuerpo. Si unimos todos los puntos definidos por r(t) y si los unimos obtendremos uan figura como la que se muestra en el recuadro. Esta línea es la trayectoria seguida por el cuerpo, la que está dada en forma paramétrica por las ecuaciones:

x  sin( t ) y  cos(2t ) z  0.5t


34 Actualmente existe software capaz de realizar estas gráficas de forma analítica de manera rápida y eficiente. Un ejemplo de ello es 4 el programa Winplot , con el cual se ha generado la gráfica anterior. Antes de que se dispusiera de este tipo de software, se procedía a eliminar uno de los parámetros. En este caso, eliminamos t dejando x(z) e y(z) del siguiente modo:

t  2z x  sin(2 z ) y  cos(4 z )

Luego, se procedía a realizar las gráficas x(z) e y (z), ubicándose cada par x,y por cada valor de z. Puede imaginar el lector el trabajo que esto significaba.

ES FISICA …... AUNQUE NO LO PAREZCA No asuma el lector que las magnitudes aquí estudiadas son inherentes solamente a la Mecánica Clásica. Como se dijo inicialmente, el estado de un cuerpo o sistema es caracterizado mediante coordenadas. Para definir el estado de un cuerpo en función de su posición y la variación de ésta hemos utilizado las coordenadas cartesianas. Supongamos ahora que deseamos estudiar un sistema cuyo estado está caracterizado por la cantidad de individuos presentes en cada momento. Es evidente que la coordenada a utilizar ya no es x, y o z, sino N – número de individuos. Como quiera que el número de individuos puede variar en función del tiempo t, entonces el estado del sistema en todo momento está definido por la función N = N(t). La velocidad con que varía la población del sistema estará definida por

4

dN (t ) , y la tasa de variación de la velocidad por dt

Freeware. Autor: Richard Parris, Phillps Exeter Academy. Puede descargar el software desde http://math.exeter.edu/rparris o desde el “espejo” en http://www.upch.edu.pe/facien/recursos .


35 d dN (t ) d ² N (t ) .  dt dt dt ² Si el sistema está formado por dos especies cuyas poblaciones son N1 y N2, las coordenadas del sistema serán N1(t) y N2(t). Para todo instante t el estado del sistema estará caracterizado por el par ordenado (N1, N2). Inclusive, en un sistema de ejes donde N1 es la abcisa y N2 la ordenada, podemos graficar la trayectoria del sistema en este espacio. El siguiente par de gráficas corresponde a un modelo de sistema presa – predador. A su izquierda puede observar las gráficas Presa vs tiempo (x(t)) y Predador vs tiempo (y(t)). A su derecha, la correspondiente trayectoria en el espacio Presa – Predador (x,y).

Finalmente, recuerde el lector que para un gas, el estado del sistema se caracteriza por su presión P, su volumen V y su temperatura T. Para todo instante t, el estado del cuerpo estará representado por la terna (P,V,T). Las coordenadas en este caso son P, V y T .


36 Ejercicios: 1. Se tiene dos atracaderos, uno frente a otro en riberas opuestas de un río. La velocidad de la corriente respecto a tierra es 0.5 m/s. ¿Qué curso debe tener una lancha si se quiere cruzar el río en línea recta entre los dos atracaderos? ¿Con qué velocidad se moverá la lancha perpendicularmente al río? Respecto al río, la lancha puede desarrollar una velocidad de 0.8 m/s. 2. Dos aviones depegan de un mismo aeropuerto en direcciones mutuamente perpendiculares. Uno de ellos viaja a 30 km/h y el otro a 400 km/h. Hallar la función de variación de distancia entre los dos aviones respecto al tiempo. ¿Cuál será la distancia entre los dos aviones cuando el primero de ellos haya recorrido 900 km? 3. Una persona se halla en el A C punto B a una distancia h  de un camino recto. Ve h que el bus, en el punto A, se mueve con velocidad  uniforme v a . ¿En qué dirección debe correr la B persona para alcanzar el bus en el punto C con el máximo adelanto respecto a él? La relación entre las distancias es h

vp va

AB

1

 1

2

2

y entre la velocidad de la persona y el bus

.

4. Una patrullera peruana intercepta un barco “pirata”. Ambas se mueven al encuentro una de la otra con velocidades v1 y v 2 en líneas paralelas. La patrullera dispara. ¿Bajo qué ángulo debe hacerlo para dar en el blanco si el disparo se produce en el momento que se hallan sobre la perpendicular a sus trayectorias respectivas? Considere la velocidad del proyectil v o constante. 5. Dos trenes viajan por rieles paralelos uno el encuentro del otro con velocidades v1 , v 2 . Desde el primero se lanza un objeto a la


37 plataforma del segundo horizontal y perpendicularmente a la dirección de movimiento con velocidad v o (la que puede considerarse constante). ¿Qué ángulo 1 forma con la dirección de los rieles la trayectoria del objeto proyectada sobre la superficie? ¿Cuál será el ángulo  2 que formará con la plataforma del segundo tren? ¿Cuáles serán las velocidades relativas del objeto respecto a los rieles v' y respecto a la plataforma v' ' ? 6. Sobre una hoja se dibuja un ángulo recto. Una regla se desplaza perpendicularmente a la bisectriz de dicho ángulo con una velocidad de 10 cm/s, intersectando sus extremos en todo momento los rayos de dicho ángulo. ¿Con qué velocidad se desplaza a los largo de los rayos la intersección con la regla? 7. Un cuerpo, que se mueve con aceleración constante, pasa dos segmentos consecutivos de longitud S = 10 m cada uno. Hallar a y su velocidad v o al inicio del movimiento si los segmentos los pasa en t1 = 1.06 s y t2 = 2.2 s respectivamente. 8. Hacer la gráficas correspondientes v(t) y x(t) dadas la gráficas a(t) Considere la velocidad inicial de todos los mvimientos nula.. a(m/s²)

a(m/s²)

2

2

1

1

1

2

3

4

5

6

t(s)

a(m/s²)

a(m/s²)

2

2

1

1

1

2

3

4

5

6

t(s) -1 1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

t(s)

t(s)


38 9. Dada la gráfica v(t), construir las correspondientes gráficas a(t) y x(t).

v(m/s) 1

0

2

4

6

8

10

t(s)

10. Se dispara desde un cañón un proyectil bajo un ángulo  respecto al horizonte. Despreciando la curvatura de la Tierra, hallar en forma analítica las dependencias que se enumeran y hacer las gráficas correspondientes. a) Las componentes vertical  y horizontal del vector velocidad v y la magnitud absoluta de la velocidad, todas en función del tiempo. b) El ángulo  que forma  el vector v con el horizonte en función del tiempo. c) Las coordenadas cartesianas X e Y del proyectil en función del tiempo. d) la ecuación de trayectoria del proyectil y = f(x) . 11. Un cuerpo realiza un movimiento sobre un plano y sus coordenadas son x  A cos( .t ); y  B sin( .t ) donde A, B,  son constantes. Demostrar que dicho el movimiento es elipsoidal. Hallar las ecuaciones y el radio de curvatura en los puntos de intersección con los ejes. 12. Desde el punto máximo del diámetro vertical de una circunferencia de metal se sueltan al mismo tiempo, por unas canaletas dispuestas a lo largo de diferentes cuerdas de esta circunferencia, billas metálicas iguales. Si se desprecia el rozamiento, demostrar que todas las billas tocarán la circunferencia al mismo tiempo. 13. Desde una torre se lanzan al mismo tiempo, con la misma velocidad por magnitud y en todas las direcciones posibles, billas de masa igual m. Demostrar que, en ausencia de rozamiento del


39 aire en todo momento las billas estarán dispuestas formando una esfera cuyo centro cae con la aceleración de caída libre, y que el radio de esta esfera es vot donde vo es la velocidad con que son lanzadas las billas y t el tiempo transcurrido desde el lanzamiento. 14. Una rueda de A radio R rueda sin  deslizamiento por R una carretera con velocidad vo. vo Hallar la componente vx de la velocidad lineal B de un punto cualquiera situado sobre la superficie externa de la rueda, la componente vertical vy el módulo de la velocidad total. Hallar el ángulo  entre el vector de velocidad total de este punto y el vector de velocidad lineal del eje de la rueda.Mostrar que en todo momento el vector de velocidad total de este punto es perpendicular a AB y pasa por el punto máximo de la rueda,


40 Capítulo II Dinámica

El movimiento de un cuerpo no ocurre sin causa alguna. Un cuerpo cambia de estado porque se ha producido una acción sobre él por parte de otro cuerpo. Así, la pelota sale disparada porque el jugador la impulsa mediante un golpe (que haga autogol, ya es otra cosa). El corcho sale disparado de la botella porque el gas ejerce presión sobre él, el avión avanza porque los motores lo impulsan, y la patrullera no se hunde pues el agua ejerce una fuerza sobre ella que le impide hundirse. En todos los casos, un cuerpo ejerce una acción sobre otro y hace que cambie su estado natural de reposo relativo o movimiento rectilíneo uniforme. Este hecho fué descubierto y enunciado por Galileo, todo cuerpo mantiene su estado de reposo relativo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que se ejerza una acción sobre él. A este enunciado se le conoce como Principio de Galileo. Cuando se ejerce una acción sobre otro cuerpo, éste experimentará un cambio de estado manifestado como una variación de su  velocidad v .5 El efecto de la acción, de un cuerpo o sistema sobre otro, es cuantificado mediante una magnitud denominada Fuerza. La Fuerza

5

Esta variación tiene carácter vectorial. Puede variar su magnitud, su direcció, sentido, o todas la anteriores al mismo tiempo. Basta con que una  de ellas varíe para que se registre v .


41 es la medida de interacción entre dos cuerpos o sistemas. Esta  magnitud tiene carácter vectorial y se denota F . La acción de una fuerza origina un cambio de v velocidad. La misma fuerza aplicada a diferentes cuerpos origina, sin v F embargo, diferentes variaciones de velocidad. Así, no se logra el mismo v efecto si se batea con la misma fuerza una pelota reglamentaria, una pelota de madera o una de piedra. Quiere decir que el efecto depende de alguna característica propia del cuerpo. Por otro lado, si al mismo cuerpo le aplicamos diferentes fuerzas, la variación de velocidad que experimentará será diferente, y tanto mayor cuanto mayor sea la fuerza aplicada.

Resumiendo, se produce bajo la acción de una fuerza una variación de velocidad en un tiempo determinado. Se produce una aceleración. Esta aceleración es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Y no solamente, sino que además tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada. Si la aceleración es un vector, y es proporcional a la fuerza aplicada, es evidente que la fuerza también es una magnitud vectorial por relación causa – efecto.


   Podemos escribir entonces que a ~ F donde F es la fuerza

42

aplicada. Por otro lado, se comprueba experimentalmente que fuerzas diferentes causan diferentes efectos (aceleraciones) en diferentes cuerpos. Esto puede reescribirse como

a~

1 donde k es una k

magnitud que representa la resistencia de todo cuerpo a cambiar de estado. A esta propiedad se le denomina inercia. Y la medida de la inercia es la masa m. Por lo tanto, combinando ambas expresiones, podemos finalmente escribir:

 F a m Esta notación expresa en forma correcta desde el punto de vista causa – efecto la II Ley de Newton. Si reescribimos la II Ley de Newton de la manera:

  F  ma

no expresaremos correctamente la relación entre la causa y el efecto. Esta es una notación incorrecta de la II Ley. Sin embargo, esta expresión reescrita como:

m

 d ²r F dt ²

nos indica que la posición del cuerpo en todo momento está determinada por la fuerza neta actuante. Es decir, la fuerza, o combinación de fuerzas, determina la trayectoria. Por ello, esta expresión se denomina ecuación de movimiento. Es fácil ver que la trayectoria puede ser calculada paramétricamente resolviendo las ecuaciones simultáneas:

d ²x  Fx dt ² d²y m  Fy dt ² d ²z m  Fz dt ² m

Trabajamos en nuestro quehacer diario con velocidades muy pequeñas respecto a la de la luz, de modo que a masa m puede


43 considerarse constante. Por ello, si reescribimos la ecuación de movimiento en función de la velocidad y tratamos a m como constante tenemos:

m

  d ²r dv d (mv ) m  F dt ² dt dt

A esta nueva magnitud mv la denominaremos cantidad de movimiento de un cuerpo de masa m, y la denotaremos como p . También se le conoce como momentum del cuerpo. Reescribimos:

 dp F dt

Como ambas son magnitudes vectoriales, cumplen con el principio  de superposición, de modo que F tiene sentido de resultante de un sistema de fuerzas, es decir:

     F  F1  F2  F3  ...  Fn 

y p tiene sentido de cantidad total de movimiento o momentum total del sistema:

   p  p1  p2  p3  ... pn

Para un sistema de dos cuerpos sobre el cual no actúan otras fuerzas mas que las internas o, más exactamente, la resultante de las fuerzas externas es nula:

   dp d ( p1  p 2 )   F 0 dt dt

Puede verse que:

  dp1 dp 2  dt dt

La interacción entre dos cuerpos provoca en ambos una variación de su velocidad, y por lo tanto de su cantidad de movimiento. Y además, dichas variaciones son iguales por magnitud pero orientadas en


44 diferente sentido a lo largo de la misma recta. Finalmente, reescribimos la anterior relación como:

  F1   F2

Esta última relación nos dice que, a cada acción se le opone una acción de igual magnitud y sentido contrario (reacción). Esta es la III Ley de Newton. Ejemplo de la Ley de Conservación de Momentum. Antes del disparo el momentum total del sistema fusil – bala es cero. Al momento de disparar la bala, por acción de la expansion de los gases adquiere una velocidad V y por ende un momentum p. Como respuesta, el fusil adquiere un momentum –p (el signo indica sentido opuesto), por lo que presionará sobre el hombro del tirador. Este es el “retroceso” de un arma. Otro ejemplo de la Ley de Conservación de Momentum. Antes de explusar su tinta, el pulpo tiene momentum total cero. Al expulsar la tinta, esta adquiere una velocidad Vo, y por consiguiente un momentum po. El pulpo adquirirá, como consecuiencia, un momentum po


De la ecuación

 dp F dt

45 puede concluirse que, cuando la

resultante de fuerzas actuantes es nula, el momentum p del cuerpo es constante, y por lo tanto v es constante. El cuerpo mantiene su movimiento rectilíneo uniforme o reposo relativo. Este es el Principio de Galileo, y resume la I Ley de Newton.

Ejercicios: 1. Un auto es chocado desde atrás por una combi a gran velocidad en plena Panamericana. Los pasajeros del automóvil sufren, según se diagnostica, severas lesiones en el cuello. ¿Por qué ocurre ésto? ¿Cómo aminorar este efecto? 2. Muchas veces los mejores dribleadores en basket y football son pequeños y de poco peso. Y son muy efectivo contra defensas como las europeas. Usando el concepto de inercia, explique el por qué. 3. En la Luna pesamos 1/6 de nuestro peso en la Tierra, sin embargo, en ambos casos (Tierra o Luna) eesviarse de la trayectoria recta o dar la vuelta presenta la misma dificultad. Explique por qué. 4. ¿Cómo debe golpearse un martillo para ajustar la cabeza del mismo? Justifique. 5. ¿Por qué nunca puede tensarse en forma recta una cadena? 6. ¿Puede darse una situación que la velocidad sea constante y sin embargo exista aceleración? Explique. 7. Demuestre que la trayectoria de cualquier cuerpo lanzado bajo un ángulo  respecto al horizonte es (despreciando el rozamiento del aire) una parábola. 8. Al golpear una pelota de tennis con la raqueta la fuerza con la que ésta última actúa sobre la bola es igual a la fuerza con la que


46 la bola actúa sobre la raqueta, solo que sus sentidos son diferentes. Si la suma de ambas da cero, ¿por qué sale despedida la bola? 9. Demuestre que, en una interacción entre dos cuerpos, la acción y la reacción se hallan necesariamente sobre la misma recta. 10. A veces, cuando las chicas desean pesarse piden coquetamente que se les ayude brindándoles apoyo con una mano, a lo que normalmente los hombres acceden muy gentilmente. El peso mostrado por la balanza ¿será el real? Justifique. 11. ¿A qué se debe el culatazo experimentado al disparar un arma? 12. Hallar la ecuación de trayectoria de un cuerpo sometido a una     fuerza Haga la gráfica F  2ti  3 cos(2t ) j  4t ² k . correspondiente usando winplot® o Derive®. 13. Un cuerpo se desplaza siguiendo una trayectoria en espiral de radio r 4 unidades y con media unidad entre lazo y lazo. Escriba la expresión correspondiente para la fuerza actuante. 14. ¿Se puede, observando la trayectoria de un objeto, determinar si sobre él actúa alguna fuerza? Justifique. Fuerza de Rozamiento Si observamos bajo un microscopio cualquier cuerpo, veremos que su superficie no es tan lisa como nos puede parecer a primera vista. Todo cuerpo presenta irregularidades, aún un espejo muy pulido o una pista de hielo. Estas irregularidades son inevitables, debido a la oscilación desordenada de las moléculas y átomos que los componen. Al no oscilar (vibrar) todos al mismo tiempo en la misma fase, algunos estarán más “afuera” que otros y al microscopio electrónico veríamos algo semejante a la ilustración adjunta.


47 Si observáramos un corte transversal de un cuerpo cualquiera al deslizarse sobre una superficie, veríamos que la superficies en contacto no están exactamente una sobre otra, sino que las irregularidades de sus respectivas superficies se encuentran en contacto tal como se muestra en la figura siguiente.

Al deslizarse, las irregularidades de ambas superficies chocan entre sí, reduciendo la velocidad de desplazamiento. Al reducirse la velocidad se produce una aceleración de signo negativo ( v f  vi ), por lo que podemos concluir que estamos ante la presencia de una fuerza. A esta fuerza se le conoce como fuerza de rozamiento por contacto. La fuerza de rozamiento producida por el desplazamiento relativo de una superficie o cuerpo respecto a otra se denomina fuerza de rozamiento por deslizamiento (a) o fuerza de rozamiento por rodamiento (b). Puede presentarse una combinación de ambas.

Cabe anotar que, en el primer caso, la fuerza de rozamiento no es la misma cuando el objeto está en reposo relativo respecto a la superficie que cuando ya está en movimiento. Se sugiere tratar de empujar una carpeta, mesa o armario para comprobarlo. Una vez que el objeto empieza a deslizarse, la fuerza necesaria para mantenerlo en movimiento es menor. Es decir, tenemos rozamiento por deslizamiento estático (antes de moverse) y cinético (una vez en movimiento). Las gráficas de comportamiento de estas fuerzas se muestran a continuación (c). Observe que a bajas velocidades la


48 fuerza de rozamiento disminuye, pero a altas velocidades se incrementa rápidamente. La curvatura de la gráfica no es muy pronunciada, por lo que para efectos prácticos se considera que la fuerza de rozamiento en este caso (deslizamiento) es constante (gráfica d) y del mismo orden que la fuerza de rozamiento estático máxima.

En cuanto al comportamiento de la gráfica en el punto v = 0, corresponde al hecho de que la fuerza de rozamiento varía desde cero hasta que la fuerza actuante alcanza el valor crítico que permite que el cuerpo se ponga en movimiento. A partir de allí, la fuerza de rozamiento actuará en contra del movimiento (v > 0, froz < 0). La fuerza de rozamiento siempre está dirigida en contra del sentido del movimiento y a lo largo de la misma recta. Su magnitud, como estableció experimentalmente Coulomb, es proporcional a la fuerza normal de reacción N ejercida sobre el cuerpo por parte de la superficie y no depende del área de las superficies en contacto, sino solamente de la naturaleza de las mismas. El diagrama de cuerpo libre en este caso es:

N f roz


49

Podemos entonces escribir que:

f roz  .N

donde  es el coeficiente de rozamiento. Este coeficiente se considera constante por los motivos expuestos líneas arriba. Existe otro tipo de rozamiento, que se manifiesta cuando un cuerpo se desplaza en un fluido, líquido o gaseoso. Se denomina rozamiento viscoso. En general la fuerza de rozamiento viscoso es proporcional a la velocidad relativa del movimiento. Pero a alta velocidad se torna proporcional al cuadrado de la misma, p.e. en vuelos supersónicos. El coeficiente de rozamiento en este caso depende del medio, su temperatura y densidad, el material del que está hecho el cuerpo, su configuración geométrica, etc.

Escribimos, dependiendo de la velocidad relativa de desplazamiento en el medio:

f roz   1 .v

f roz   2 .v ² La fuerza de rozamiento viscoso siempre está orientada en contra del sentido de movimiento. El límite entre la dependencia lineal y la cuadrática depende del medio en el que se desplaza el cuerpo. En el aire está cerca de la velocidad del sonido (330 m/s o Mach 1). En el agua, ninguna nave puede ir a más de 35 nudos (unos 40 k/h) sumergida.


50 Para reducir el efecto del rozamiento viscoso se varía los diseños como por ejemplo en aviones de caza o lanchas de carrera en función de la velocidad a alcazar. Los modernos aviones a reacción tienen una forma que les permite minimizar el rozamiento “cortando” el aire. Ahusar el fuselaje fue una solución al problema cuando se trató de alcanzar velocidades cada vez mayores, ya que cuanto más rápido se volaba, mayor era la resistencia experimentada por la nave. Otra solución fue la adopción del ala inclinada. La variación de configuración es una estrategia que puede ser utilizada a fin de maximizar o minimizar el rozamiento. Algunos modelos de cazas presentan la mayor superficie transversal al momento de frenar. Sin embargo, cuando se encuentran en pleno vuelo pliegan las alas minimizando la superficie transversal y, por ende, el rozamiento. El diseño permite reducir en gran medida el rozamiento. Basta apreciar la silueta de los autos deportivos o motos de carrera para comprobar que todos comparten la misma estrategia. Sin embargo, en la búsqueda de la décima de segundo necesaria para vencer, el diseño deportivo ha llevado esta estrategia hasta el extremo de diseñar tanto trajes como cascos especiales con forma aerodinámica como en el ciclismo, o en los trajes utilizados en natación en las últimas olimpiadas.


51 En realidad, estas estrategias no son mas que copias de la naturaleza. La configuración variable fué “prestada” de las aves. Observe un águila o un halcón cuando se lanza sobre la presa, plegando las alas, para finalmente abrirlas en toda su extension, frenando sobre la presa a fin de poder cogerla. Por otro lado, la forma adoptada en los últimos 30 años por los submarinos no es más que una adaptación de las formas adoptadas por los peces, en especial por aquellos cuya gran masa y volumen los obliga a optimizar su desplazamiento venciendo la resistencia del medio (ballenas p.e.), o que dependen de la velocidad para su supervivencia (tiburones o sus enemigos, los amistosos delfines). En las figuras siguientes puede apreciarse la semejanza entre la forma de un submarino moderno y algunos habitantes del mar.


52

Los tiburones han sido fuente de inspiración de otra estrategia deportiva. Si bien la competencia por la decima o centésima llevó a que en algún momento los nadadores olímpicos se afeitaran completamente para reducir el rozamiento, o que inclusive nadaran desnudos6, finalmente la solución no fué desvestirse sino … vestirse completamente. En las últimas olimipadas se estrenaron trajes de cuerpo entero (semejantes a los wetsuit de los tablistas) hechos de un tejido especial que imita …. la piel del tiburón.

B

6

El equipo de nado de la entonces República Democrática Alemana estrenó esta táctica en Munchen 1974.


53 A

C

En la figura A, los dentículos de la piel de un tiburón. Su función es no solamente protectora, sino que ayudan a disminuir el rozamiento con el agua debido su forma y orientación. En las fotos B y C dos vistas del nuevo traje de competencia. Observe la similitud entre la textura del traje y la piel del tiburón.

La piel de tiburón es estudiada también para facilitar la navegación de los barcos. Al permitir un mejor flujo del líquido impide que se asienten impurezas sobre la superficie. Se han generado modelos computacionales a fin de adaptar esta solución a los cascos de los barcos, mejorando su desplazamiento y reduciendo el rozamiento, tanto por contacto con el fluído como por acumulación de organismos acuáticos. Fotografía obtenida por microscopía electrónica de las dentículas de la piel de un tiburón. Observe la forma aerodinámica y la forma en que se superponen las placas. La forma permite que el agua fluya por los canales que forman las dentículas eliminando las turbulencias que se forman en superficies irregulares. Imágen de Frank Thomas, MicroAnalysis Facility, GSC Atlantic.


54 Otra fotografía de las dentículas de tiburón (vista superior). Observe los canales que se forman tanto en cada una, como entre cada una de ellas. Foto: Miranda Waldron, MRS Bulletin, Febrero 2005 En la vista izquierda, un modelo computacional de dentículas de tiburón. A la derecha, la piel artificial desarrollada por Ralph Liedert en la Universidad de Bremen, Alemania. Su uso permiió evitar la acumulación de algas y microorganismos en el casco de los barcos.

Finalmente, hay una estrategia muy simple que se adopta en estos casos. Dados dos medios con diferente resistencia, se elige el que presenta la menor. Un ejemplo de ésto lo constituyen los hydrofoil o naves sobre alas acuáticas, y los deslizadores o hovercraft.


55

Tres ejemplos de cambio al medio de menor resistencia: En la fotografía superior, la lancha rápida Sparviero. Solo las alas están en contacto con el agua. Su forma “corta” el medio permitiéndole desarrollar velocidades de hasta 45 nudos sobre la superficie. En la fila inferior, a la izquierda, el deslizador hovercraft. Se eleva sobre un colchón de aire, y la nave se desliza sobre este colchón en lugar de tener contacto con el agua. Finalmente el Gerris remigis, que camina sobre la superficie del agua.

Ejercicios: 1. Aviones de combate como el Tomcat F-14, Tornado y el Mig 27 usan geometría variable, es decir, varían el ángulo de ataque de sus alas. ¿A qué se debe este diseño? 2. Discuta la diferencia de diseño entre los trenes clásicos y los superexpresos como el TGV francés. 3. Una vez respondida la pregunta anterior, explique por qué la escena de lucha en el techo del tren en Misión Imposible I es, como el nombre de la película lo indica, imposible. 4. ¿Qué alternativas existen para disminuir el rozamiento entre partes mecánicas en movimiento relativo? Discuta los pros y contras de cada una. 5. ¿Por qué una llanta no debe estar inflada al 100%? Analice desde el punto de vista del rozamiento. 6. Dé un ejemplo que en el que la fuerza de rozamiento esté dirigida en el mismo sentido que el movimiento del cuerpo. 7. ¿Deben pulirse las aceras? ¿Por qué? 8. ¿Por qué uno resbala al caminar por suelo mojado? 9. Demuestre que, para ángulos pequeños de elevación, el coeficiente de rozamiento de un cuerpo que se desliza por un


56 plano inclinado es igual, numéricamente, a la tangente de dicho ángulo. 10. ¿Por qué al encerar el piso éste no sólo queda más brillante sino también más resbaloso? 11. ¿A qué se debe que el diseño de los cascos de ciclista haya cambiado tanto en los últimos años? 12. Una Harley Davidson policial (Escuadrón Fénix) tiene un motor igual o más potente que una Kawasaki Ninja p.e, sin embargo ésta última puede desarrollar mayor velocidad. ¿Por qué? 13. Dé cinco ejemplos donde el rozamiento sea beneficioso. Explique. 14. Escriba la ecuación de movimiento de un cuerpo sometido a la acción de la fuerza de rozamiento. Fuerza de restitución: Este es un tipo de fuerza que aparece cuando un cuerpo es deformado. Es propocional a la magnitud de la deformación y está dirigida en sentido opuesto a la fuerza aplicada. Se escribe :

  f rest  k ( x  xo )i

donde k es el coeficiente de restitución, que depende de las caraterísticas físicas del objeto. Esta relación, para extensión o compresión lineal, se cumple para deformaciones pequeñas, es decir (x – xo)  0. Puede darse el caso de deformaciones de flexión como en la figura adjunta,

y

donde la fuerza de restitución se escribirá:

f rest  .y


57 Y para el caso de deformaciones de torsión, donde la deformación se realiza alrededor del eje longitudinal, como se ilustra,



la fuerza de restitución será proporcional al ángulo desplazado f rest   . .


58 Ejercicios:

1. Sobre una superficie horizontal se hallan seis bloques iguales tal como se muestra en la figura, cada uno con masa m = 1 kg. Si se aplica una fuerza de 1 kgf sobre el primero, tal como se muestra, hallar la fuerza resultante sobre cada cugo perpendicularmente a la superficie de contacto entre cada par de ellos. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el cuarto cubo?

F 1

2

3

4

5

6

2. Sobre una superficie horizontal se dispone la barra AC con una masa m y una longitud l. Se aplica una fuerza constante F sobre el extremo izquierdo. ¿Con qué fuerza F1 actúa el trozo AB = 4l/5 sobre el trozo restante BC?

A

B C

F

3. Sobre una superficie horizontal lisa se M halla un cuerpo de masa M. Otro cuerpo de masa m cuelga de una cuerda de masa despreciable que pasa m por una polea y está atada al bloque M. Hallar la aceleración de cada uno de los bloques. Desprecie el rozamiento sobre la superficie y el peso de la polea.

4. Dos bloque iguales de masa m se hallan sobre una superficie lisa horizontal y unidos por una cuerda. Asumamos que la cuerda se


59 mantiene horizontal. La cuerda puede soportar una tensión máxima de 2 kgf. ¿Qué fuerza f hay que aplicar a uno de los bloques para que la cuerda se rompa? 5.

F

6. ¿Variará el resultado anterior si sobre ambos bloque actúa el rozamiento sobre la superficie y el coeficiente de rozamientoe s igual para ambos? Justifique su respuesta. 7. Dos placas de masas m1 y están unidas por un resorte. ¿Con qué fuerza hay que presionar la placa superior para que, al dejar de presionarla, salte jalando a la placa inferior? Desprecie la masa del resorte.

m2

m1

m2

8. Una tabla está apoyada sobre dos cuñas. Una persona está de pie en medio de la tabla. a. Haga un diagrama de las fuerzas que actún sobre la tabla, las cuñas y la persona. Desprecie la masa de la tabla. b. ¿Qué ocurre si la persona repentinamente se pone en cuclilals? ¿Aujmenta o disminuye la curvatura de la tabla? Justifique c. ¿Qué ocurre si la persona estaba en cuclillas sobre la tabla y repentinamente se pone en pie? 8. En un proyectil disparado verticalmente hacia arriba se halla un peso A de masa m. ¿Cuál será la fuerza que actúe sobre el peso A por parte de los resortes al elevarse y la caer el proyectil? Analizar en ausencia de resistencia del aire. Luego analizar qué ocurre en presencia de rozamiento del aire.


60

Capítulo III Movimiento con Masa Variable En el capítulo anterior dedujimos la ecuación de movimiento de un cuerpo a partir de la II Ley de Newton, que establece la relación entre la acción sobre un cuerpo, su inercia y el cambio de estado que experimenta. Sin embargo, habíamos considerado en todo momento que su medida de inercia, es decir su masa, permanecía constante. Se dan casos en que la masa puede ser variable, bajo ciertas condiciones. Una de ellas, que analizaremos en este capítulo, se da cuando el cuerpo experimenta pérdida de masa. Esta pérdida por lo común es utilizada para provocar un cambio de estado en el cuerpo, aplicando la III Ley de Newton y la ley de conservación de momentum. Como ejemplos podemos citar los cohetes, los calamares y pulpos, y aún los automóviles. Un cohete expulsa en forma de gases el combustible que quema. Los gases en ignición ejercen una acción sobre el cohete y viceversa. El pulpo expulsa tinta, no solo para restar visibilidad al enemigo, sino para impulsarse. La tinta es expulsada con una velocidad v y un momentum p. Por ley de conservación de momentum, el pulpo adquiere el mismo momentum p, pero en sentido contrario, avanzando con una velocidad v’.


61 Para analizar el movimiento de un cuerpo cuya masa varía, usaremos como ejemplo un cohete. La masa inicial del cohete puede ser descompuesta en:  Masa de la carga útil  Masa de los contenedores, tanto de carga útil, como de combustible  Masa del combustible

Para simplificar el análisis, asumiremos que el cohete a analizar consta de una sola etapa. Nuestras variables serán solamente la masa del cohete en sí, y la masa del combustible que se pierde . El momentum del cohete en todo momento estará expresado como:

  p(t )  m(t )v(t )

donde m(t) es la masa del cohete en función del tiempo y v(t) es su velocidad en el mismo instante. Transcurrido un tiempo dt, el cohete habrá quemado cierta cantidad de combustible, la que es expulsada por el escape en forma de gas. Este a su vez tiene una cierta velocidad. En este instante su momentum total (expresado algebraicamente) es:

    p(t  dt )  (m  dm)(v  d v)  dmgas v gas


62 La variación total de momentum registrada entre los momentos t y t + dt se escribirá:

      d p(t )  (m  dm)(v  d v)  dmgas vgas  mv  Fdt

La variación de momentum es proporcional a la acción de la fuerza F



durante un intervalo de tiempo dt. denomina Impulso de la fuerza F.

A este producto Fdt se le

La suma de la masa m del cohete y el gas mgas se mantiene constante en cada instante. A partir de la expresión

m  mgax  const respectivas variaciones:

podemos establecer la relación entre las

dm  dmgas  0  dm   dmgas

Por otro lado, podemos definir la magnitud vectorial

   vrel  vgas  v ,

que expresa la velocidad relativa de salida de los gases respecto al  cohete. Denominaremos a vrel velocidad del chorro de gas. Tomando en cuenta tanto la relación entre variaciones de masas, como la velocidad del chorro de gas, la expresión anterior toma la forma:

    dm(v  v gas )  mdv  Fdt

Finalmente, escribimos la ecuación de movimiento:

 d v  dm  m  v rel F dt dt

La ecuación de movimiento, recordemos, se obtiene a partir de la II Ley de Newton. En el lado derecho se escriben siempre los términos que expresan acción (fuerza). Nótese que ha aparecido un término


 dm v rel dt

63 , producto de la variación de la masa del cohete al

quemar combustible. Este término expresa la fuerza que ejercen sobre el cohete los gases expulsados producto de la combustion. Se le denomina Fuerza reactiva. La ecuación anterior se denomina Ecuación de Movimiento de un punto con Masa Variable o, en honor a su creador, Ecuación de Mesherskii. 7 Hallaremos la solución para el caso en que sobre el cohete no actúan  F 0. fuerzas externas, o su influencia sea despreciable, es decir

La ecuación se reduce a:

 dv  dm m  v rel dt dt

Si el cohete se mueve en una trayectoria rectilínea, en sentido

opuesto al chorro de gases, entonces v y v rel tendrán signos opuestos. En forma escalar reescribiremos:

dv  vrel

dm m

Si bien la velocidad del chorro de gases puede variar durante el vuelo, resolveremos inicialmente el problema para el caso en que su orientación se mantiene constante. Integrando ambos miembros:

v  vrel 

dm m

obtenemos el siguente resultado:

v  vrel ln m  C

El valor de la constante de integración C lo obtenemos de las condiciones iniciales. Cuando el cohete no ha partido aún su velocidad es nula y su masa inicial es mo. Entonces 7

Mecánico ruso (1859 – 1935).


64

C  vrel ln mo .

La expresion final para la velocidad del cohete en función de su masa será:

v  vrel ln

mo m v

mo  e vrel m

O también puede darse la solución en las formas

m  mo e

v

vrel

.

ó

Esta notación es denominada Fórmula de

Tsiolkovskii. La Formula de Tsiolkovskii nos permite calcular el combustible requerido para comunicar al cohete una velocidad determinada. En la tabla siguiente se presenta la relación entre el cociente diferentes valores de

v . vrel 180000

mo / m 2.72 7.39 20.1 54.6 148 403 1100 2980 8100 22000 59900 163000

160000 140000

120000

mo / m

V/ Vrel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

mo para m

100000 80000 60000 40000 20000 0 1

2

3

4

5

6

7

v / vrel

8

9

10

11

12


65 Supongamos que deseamos imprimir a un cohete la denominada Primera Velocidad Cósmica. Esta es la velocidad inicial necesaria para que el cohete se coloque en órbita circular sobre la Tierra, y su valor aproximado es 8 km/s. Si la velocidad del chorro de gases es 1 km/s y, entonces

mo es igual a 2980 (ver tabla). Prácticamente toda m

la masa del cohete se va en combustible!!!!!!! Observe la gráfica adjunta a la tabla. A medida que aumenta el cociente

v el cociente vrel

mo aumenta exponencialmente.8 Ahora bien, si velocidad del chorro m m fuese 2 km/s, entonces o sería igual a 54.6, siempre para la misma m v primera velocidad cósmica. Y si fuese igual a 4 km/s, entonces vrel mo se reduciría a 7.39. Puede observarse que la relación entre m masa útil y masa total del cohete disminuye a medida que aumenta la velocidad del chorro de gases (siempre respecto a la velocidad del cohete). Esto significa que los gases expulsados deben tener el menor peso molecular posible, y ser calentados a la mayor temperatura posible.9 Ahora bien, la velocidad que hay que comunicar a un cohete que debe salir del campo de atracción de la Tierra en una misión a la Luna p.e. es de 11.2 km/s (Segunda velocidad cósmica). Y para lanzarlo fuera del sistema solar se requiere comunicar una velocidad de 16.7 km/s, si el cohete es lanzado siguiendo una trayectoria tangente a la órbita terrestre y en dirección de la rotación del planeta (Tercera velocidad cósmica).

8

Para ser más exactos y = 0.9999exp(x). Puede comprobarlo mediante cualquier hoja de cálculo que incluya un modulo de regresión. 9

La relación entre estas tres magnitudes es

y  es el peso molecular del gas.

vrel ~

T

, donde T es la temperatura absoluta


66 A partir de estos datos podemos explicar por qué las misiones espaciales requieren tanto combustible, y por qué es tan peligroso el lanzamiento. El combustible utilizado es altamente volátil y explosivo. Normalmente se utiliza una mezcla de querosene y oxígeno, a fin de potenciar la combustión. Observe la relación entre el tanque de combustible y el transbordador espacial (en la foto, el Buran). El tanque central y los laterales contienen el combustible líquido necesario solamente para llevarlo a órbita terrestre.

En la foto, un cohete Apollo utilizado para las misiones a la Luna. Su altura es semejante a la de un rascacielos, y tanto la cápsula (recuadro) como el modulo de descenso ocupan solamente la parte superior del cohete. Las tres etapas iniciales eran utilizadas exclusivamente para alejar el cohete de la Tierra.

Hasta ahora hemos asumido que el chorro de gases es colineal a la velocidad de avance del cohete. ¿Qué ocurre si, por ejemplo, fuese perpendicular a la velocidad de avance? Este es el caso de los motores direccionales del transbordador.


67 Al ser el chorro perpendicular a la velocidad de avance del cohete, éste le imprimirá un movimiento rotacional (giro). Quiere decir que

 dv  dm m  v rel dt dt

Debe incluirse en la ecuación el efecto de giro que se manifiesta en la aparición de la velocidad angular . Además,  2 r  .v como ya hemos deducido en el primer capítulo. De modo que, pasando a notación escalar, nuestra ecuación diferencial se transforma, asumiendo  como constante, en:

d dm  r.   vrel dt dt m.v. dt  vrel dm m.

Como  

d , podemos reescribir la ecuación en function del dt

ángulo de desviación:

d  

vrel dm v m

lo que da como resultado, tomando en cuenta las condiciones iniciales:

 

vrel m ln v mo

Puede apreciarse que el ángulo de desviación depende tanto de la velocidad de salida de los gases como de la masa remanente en el cohete. La solución adoptada es la de soltar chorros discretos, por pulsos, a fin de modificar la trayectoria, en lugar de chorros contínuos que implican gasto mayor de combustible. Coloquemos nuestro cohete en el campo gravitacional de la Tierra. Aparece el término mg, correspondiente al peso del cohete. La ecuación de trayectoria se escribirá ahora en la forma:


68

m

dv dm  vrel  mg dt dt

Si asumimos g como constante, entonces podemos transponer términos para obtener una expresión fácilmente integrable

m

d dm (v  gt )  vrel dt dt

cuya solución es: v  gt

mo  e vrel m

A fin de obtener la expresión v(t), aplicamos la operación logaritmo a ambos términos y tenemos finalmente:

v  vrel ln

mo  gt m

Puede verse que la solución es afectada por el término –gt, que “corrige” el resultado original en función del tiempo de permanencia en el campo gravitacional del planeta. Finalmente, ¿qué masa de gas por unidad de tiempo expulsa un vehículo que debe permanecer inmóvil en el campo gravitacional terrestre? Denominemos a esta magnitud . A partir de la ecuación v  gt

del resultado

mo  e vrel m

, tomando en cuenta que v = 0 y g es

constante, derivando respecto a t, obtenemos: gt

mg   (t )  o e vrel vrel Este expresión es aplicable al gasto de combustible de un avión Harrier en suspensión. Puede el lector deducir fácilmente por qué el


69 régimen de suspensión no puede ser mantenido durante mucho tiempo.

Dos tomas que muestran al Harrier AV8 en suspensión vertical. El impulso vertical es utilizado solamente para el despegue y aterrizaje, y la suspensión (hovering) muy rara vez como maniobra de combate debido al gasto de combustible que implica.

Preguntas para análisis: 1. Utilizando la ecuación de movimiento para un punto de masa variable, y los resultados obtenidos, explique: A) ¿Por qué la propulsión a chorro es un medio de locomoción que se da exclusivamente en animales acuáticos?


70 B) ¿Por qué la propulsión a chorro es utilizada preferentemente como un medio de escape antes que como un medio de locomoción constante? C) ¿Por qué aquellos animales que utilizan la propulsión a chorro como medio de locomoción lo hacen expulsando “pulsos” de líquido en vez de un chorro contínuo? 2. Ud es un piloto de Fórmula 1. Se le ofrece dos variantes para respostar combustible; llenando el tanque cada vez o llenarlo a medias cada vez pero más frecuentemente. ¿Cuál elegiría Ud.? Justifique 3. Analice la factibilidad de efectuar viajes interplanetarios utilizando combustibles líquidos. 4. Los misiles intercontinentales basados en submarinos funcionan a base combustible sólido. Los cohetes portadores para misiones espaciales utilizan combustible líquido. Analice y explique estas diferencias.


71 CAPITULO IV TRABAJO Y ENERGIA Cuando empujamos un cajón o un mueble para trasladarlo de un lado a otro de la casa realizamos una acción sobre él, es decir, aplicamos una fuerza. Como consecuencia de esta fuerza, el objeto experimenta un cambio de estado, variando su posición hasta que dejamos de actuar sobre él una vez que juzgamos que ya está donde  queremos. Producto de la fuerza aplicada F se ha producido un cambio de posición del cuerpo, un desplazamiento r . Ahora bien, si observamos atentamente el siguiente diagrama,  veremos que en realidad no es la fuerza F en su totalidad la que provoca el desplazamiento del objeto. Es su componente paralela al piso la responsable del cambio de posición. La componente vertical apunta hacia la superficie y no contribuye al desplazamiento. 10

Observe que en el desplazamiento por la superficie influye solamente la componente paralela a la misma. La componente perpendicular contribuye a incrementar la normal. 10

En realidad actúa en contra, ya que incrementa la magnitud de la normal N y, por ende, la magnitud de la fuerza de rozamiento por deslizamiento entre el piso y el objeto.


72 Analicemos ahora lo que ocurre a lo largo de una trayectoria  arbitraria. La fuerza F actúa sobre un punto material que se desplaza por la trayectoria S del punto 1 al punto 2 tal como se ilustra en la figura siguiente.

En un intervalo dt el móvil realiza un desplazamiento elemental dS  bajo la acción de la fuerza F . Si analizamos atentamente el diagrama veremos que, al igual que en el caso anterior, ha  contribuído al desplazamiento solamente la componente de F  paralela al desplazamiento elemental dS . Esta componente se expresa como Fcos. Definiremos una nueva magnitud que relacione la componente responsable del desplazamiento con el desplazamiento mismo. Esta magnitud se define como el producto de la componente de la fuerza paralela al desplazamiento por la magnitud del desplazamiento elemental mismo. Se denomina trabajo elemental, y escribiremos entonces: A = Fcos dS Recordemos del Capítulo I la definición de producto escalar

  A  B  A cos  .B .

Podemos reescribir como producto escalar la expresión correspondiente al trabajo elemental realizado por la  fuerza F

   A  F .dS


73 Dada cualquier trayectoria, podemos descomponerla en segmentos muy pequeños, en cada uno de los cuales la fuerza F puede considerarse constante. El trabajo elemental en cada segmento se calcula de acuerdo con la expresión deducida, y el trabajo total será igual a la suma de los trabajos elementales. Si tomamos intervalos infinitamente pequeños, y tomamos el límite respectivo de la suma obtendremos la expresión para el trabajo total realizado a lo largo de la curva S:

  A   F  dS S

Trabajo realizado por una fuerza constante

Trabajo realizado por una fuerza variable

Si la fuerza F es la resultante de varias fuerzas, es decir n      F  F1  F2  ...  Fn   Fi i 1

entonces

           A  ( F1  F2  ...  F ).dS  F1dS  F2 dS  ...  FdS

 A   A1   A2  ...   An y, como consecuencia:

A  A1  A2  ...  An


74 El trabajo elemental es igual a la suma de trabajos elementales realizados por cada una de las fuerzas a lo largo del segmento dS, y el trabajo total es igual a la suma de los trabajos totales realizados por cada una de las fuerzas componentes de F. Este es el Principio de Superposición aplicado al Trabajo de una Fuerza. Podemos sintetizar lo anterior mediante la integral:

 n   A     Fi   dS  S  i 1 El trabajo es medido en Joules en el sistema de unidades SI. Un Joule es el trabajo realizado por una fuerza de un Newton de magnitud al desplazar un punto material un metro, bajo la condición de que la dirección de la fuerza coincida con el desplazamiento. En el sistema SGS la unidad de medida del trabajo es el ergio, que equivale al trabajo realizado por una fuerza de una dina al desplazar un punto un centímetro bajo la misma condición anterior. Un Joule equivale a 107 ergios. El trabajo realizado por unidad de tiempo se denomina Potencia, y es medido (en el sistema SI) en Watts. Un watt equivale a 10 7 ergios/seg. La expresión correspondiente para la Potencia es:

P

A dt

Para darnos una idea de “cuánto” es un watt, supongamos que un bloque de 80 kg de masa cae libremente desde 20 metros de altura. Despreciemos la resistencia del aire. El trabajo realizado será 80 kg x 9.8 m/s² x 20 m = 15680 Joules. Este trabajo se realiza en aproximadamente dos segundos (que dura la caída), por lo que la potencia será 7.84 Kw (kilowatts). Una computadora promedio consume entre 300 y 400 watts, p.e.


75 A partir de la segunda ley de Newton obtenemos

   dv d (mv) dp F m   , dt dt dt y para ds se cumple que convierte en

  ds  vdt .

La Integral de trabajo se

     dp dp  A   F  ds    vdt   v  dt dt S A fin de calcular la integral reescribimos vf

  A  m  v  dv  m  vdv 11 vi

Finalmente, tomando en cuenta que la masa m es constante, integramos respecto a nuestros nuevos límites, producto del cambio de variable: vf

1 1 A  m  vdv  mv 2f  mvi2 2 2 vi Aquí vi es la velocidad inicial (en el punto 1) del punto, y vf la velocidad final (en el punto 2). La magnitud

K

1 p² mv ²  2 2m

se denomina Energía Cinética del punto material. El resultado anterior se escribirá, en función de esta nueva magnitud, como

A  K f  Ki  

Partimos del producto escalar v  v  v ² . Diferenciando ambos miembros   obtenemos 2v  dv  2vdv . Reemplazamos el producto escalar por la expresión escalar correspondiente y obtenemos la integral final. 11


76 Quiere decir que, el trabajo realizado por una fuerza al trasladar un punto material del punto 1 al punto 2 por una trayectoria S es igual a la variación de energía cinética de dicho punto material como resultado del proceso. Si en lugar de un punto material tenernos un sistema de n puntos, cada uno con su respectiva velocidad, entonces n n 1 1 1 1 2 2 2 2 K  m1v1  m2v2  ...  mn vn   mi vi   K i 2 2 2 i 1 2 i 1

La energía cinética total del sistema es igual a la suma de las energías cinéticas de cada uno de sus componentes. Estaríamos tentados de afirmar, aplicando por extensión el resultado  obtenido para el momentum p , que la variación de energía cinética del sistema es determinada solamente por las fuerzas externas. Veamos si es así. Tomemos un sistema asialado de dos partículas, sometidas ambas solamente a la fuerza de atracción gravitacional.   Actúan las fuerzas F12 y F21 , es decir, la fuerza con que la partícula 1 actúa sobre 2, y la fuerza con que la partícula 2 actúa sobre 1. Cada una de ellas provocará un desplazamiento en la otra, siendo este trabajo siempre positivo. Visto desde otro punto de vista, ambas partículas incrementan su velocidad, y por lo tanto su energía cinética K, la que depende de v² y es necesariamente positiva. Es decir, como resultado de la atracción mutua de las partículas, la energía cinética de cada una de ellas se incrementa, y por lo tanto aumenta la energía cinética total del sistema. La energía cinética, como vemos, también es incrementada por el trabajo realizado por las fuerzas internas. En conclusión, el incremento de energía cinética de un sistema está determinado por el trabajo tanto de las fuerzas externas como de las internas.12 ¿Y que pasa a velocidades del orden de la velocidad de la luz?

12

Esta aparente paradoja se resolverá líneas más adelante. Aquí solo hablamos de Energía Cinética. Falta todavía una pieza en el rompecabezas.


77 De acuerdo con la Teoría General de la Relatividad formulada por Albert Einstein, la masa de un cuerpo varía según la relación

m

mo 1

v² c²

donde v es la velocidad del cuerpo, y c es la velocidad límite de la luz (300,000 km/s aprox.). En sentido estricto, quiere decir que la inercia del cuerpo varía con su velocidad. Siendo la velocidades a la que ocurren los procesos en la vida diaria muy pequeñas respecto a la velocidad de la luz, la masa puede ser considerada constante (el denominador de la expresión tiende a 1). Elevando la expresión al cuadrado, y recordando que v  p / m obtenemos:

p²  (moc)²  (mc)² Diferenciamos la expresión, lo cual da como resultado:

pdp  c ² mdm Como pdp  convierte en

    pdp y p  mv entonces la ecuación diferencial se

  vdp  c ² dm De esta manera, la integral de trabajo será

  A   vdp 

m2

 c²dm

m1


78 Observe que los límites de integración han cambiado. Ahora tenemos una masa inicial y una masa final. ¿Quiere decir que el trabajo realizado dependerá de… la variación de masas?!!! Efectivamente, en este caso tenemos:

A  c²(m2  m1 )  c²m donde m1 y m2 son las masas del punto material en sus posiciones inicial y final respectivamente. Sea E = mc² la energía relativista total de la partícula ó punto material. La relación anterior puede escribirse como

A  E2  E1 En particular, cuando la partícula se encuentra en reposo, su masa es mo y su energía relativista es

E  moc² que se denomina energía en reposo. La energía cinética será entonces igual a la diferencia entre la Energía relativista total y la Energía relativista en reposo.

   1  K  E  E0  (m  mo )c ²  mo c ²   1   v² 1    c²   Puede comprobarse que esto no afecta el cálculo del trabajo mediante la relación

A  K2  K1 Finalmente, para la relación entre el momentum de la partícula y su energía total se obtiene


79

p ²  (mo c)²  (mc)² ( pc)²  (mo c ²)²  (mc ²)² ( pc)²  Eo2  E 2 Retornando a los límites de la mecánica newtoniana (v <<<< c), surge la pregunta, ¿es la energía cinética una magnitud relativa o absoluta? Que no nos engañe la presencia del cuadrado de la velocidad. Analicemos qué ocurre con la expresión de K al pasar de un sistema de referencia a otro. Sea K la energía cinética de un punto material en un sistema de referencia S, y K‟ la energía cinética del mismo punto material pero en otro sistema de referencia S‟, que se desplaza respecto a S con velocidad Sean v y v‟ velocidades punto en S y

 V.

las del S‟

La posición del punto material en S está dada por el   radio vector r , en el sistema S’ por el radio vector r ' . La posición de S’ respecto a S está determinada por el radio vector

respectivamente. Por lo tanto

 R.

   v  v ' V . 13

De esta relación obtenemos, elevando al cuadrado y multiplicando por la masa del punto material y por ½ :

13

Derivando la relación entre radios vectores de posición tal como se muestra en la figura, obtenemos este resultado.


80

  1 1 1 mv ²  mv '²  mV ²  mv 'V 2 2 2   1 K  K ' mV ²  p 'V 2 

Aquí p  mv ' es el momentum del punto material en el sistema de  referencia S‟. Para un sistema de n puntos materiales p ' es el momentum total del sistema, es decir: n  ' ' '  p '  m1v1  m2v2  ...  mn vn   mi vi' i 1

A fin de simplificar esta expresión, definamos un punto donde podamos concentrar TODA la masa del sistema, para luego poder analizar el movimiento del sistema solo mediante el estudio del movimiento de este punto. A este punto se le denomina Centro de Masas, y calcularemos su posición en cualquier sistema a partir de la definición de momentum total. Sea m = m1 + m2 + … + mn. la masa total del sistema Entonces:

     p  mvc  m1v1  m2v2  ...  mnvn

  dri Recordando que vi  integramos ambos términos: dt

    mRc  m1r1  m2 r2  ...  mn rn  m1r1  m2 r2  ...  mn rn Rc  m n  m r i i   i 1 Rc  n  mi i 1


81 Hemos encontrado de esta manera el radio vector de posición del

Centro de masas Rc de un sistema de puntos materiales en un sistema de referencia dado. Para este sistema, la relación entre energías cinéticas en los sistemas S y S‟ se escribirá

  1 K  K ' mV ²  m(vc 'V ) 2

donde vc ' es la velocidad del centro de masas en el sistema S‟. Si el centro de masas se encuentra en reposo respecto a S‟, es decir

 vc '  0 , entonces la relación toma un aspecto más simple:

1 K  K ' mV ² 2 Esta relación expresa el denominado Teorema de König. Este resultado será luego útil para analizar el comportamiento de cuerpos sólidos en traslación y rotación. De momento, hamos visto que la energía cinética es una magnitud relativa. Lo cual era de esperar habida cuenta de que la velocidad también lo es. Analicemos el trabajo realizado por el peso de un cuerpo al pasar de la posición 1 a la posición 2, tal como se muestra en la figura adjunta. La integral para el trabajo realizado por el peso será: h2

A   mgdz h1


82 De modo que obtendremos, luego de integrar y tomando en cuenta que g apunta en dirección opuesta al eje OZ (signo negativo):

A  mgh1  mgh2 Vemos que el trabajo realizado por el peso depende solamente de la posición inicial y final del cuerpo. ¿No influye la trayectoria? Analicemos el problema un poco más detalladamente. Dividamos la trayectoria S en segmentos elementales ds. A lo largo de cada segmento ds no realiza el trabajo la fuerza mg, sino la componente paralela a ds, es decir mg cos(g,ds). El trabajo elemental realizado será por lo tanto A = mg cos(g,ds).ds. Reescribimos A = mg.ds cos(g,ds). De la gráfica se puede comprobar que ds cos(g,ds) = dh. Por lo que el trabajo elemental es A = mg.dh. En este segmento de trayectoria el trabajo depende exclusivamente de los estados inicial y final, expresado en la diferencia de alturas. Si realizamos la misma operación para cada segmento elemental de trayectoria, obtendremos el mismo resultado parcial. Sumando todos los dh elementales obtenidos obtendremos h, que corresponde al resultado inicial. Surge la pregunta, ¿y si tomamos otra trayectoria S‟? ¿Afecta el resultado? Tomamos una nueva trayectoria S‟. Analizamos el trabajo realizado por mg al traladar el punto un segmento ds‟. Obtendremos el mismo resultado anterior A = mg dh.


83 Comprobamos que el resultado depende exclusivamente de las posiciones inicial y final, mas no de la ruta elegida. Analicemos ahora el movimiento de un punto material en un campo de fuerzas centrales, Un ejemplo es el campo gravitacional de la Tierra. Se denomina Fuerzas Centrales a toda aquella fuerza cuya acción apunta siempre a un mismo punto (o desde un mismo punto) y cuya magnitud depende exclusivamente de la distancia a este punto central. Al igual que en el caso anterior, dividimos la trayectoria en segmentos elementales y, para cada segmento, se cumplirá que el trabajo elemental es

    A  F (r ).ds cos( F , ds )

 A  F (r ) cos( F , ds ).ds  A  F (r )dr Quiere decir que la integral de trabajo se escribirá:

  A   F (r )  dr r2

r1

Como puede verse, en este caso el resultado también depende exclusivamente de la posición inicial y final, mas no de la trayectoria. Invito al lector a realizar un análisis semejante al caso anterior por una trayectoria alternativa cualquiera. Obtendrá siempre la misma integral y el mismo resultado. Finalmente, analicemos el trabajo realizado por la fuerza de restitución de un resorte. Como habíamos visto en el capítulo III, la fuerza de restitución o fuerza de Hooke depende de la elongación del resorte, F  kx , y apunta siempre en dirección contraria a la acción deformadora.


84 El trabajo realizado por el resorte al pasar de una elongación x1 a una elongación x2 será x2

1 A   kx.dx  k ( x1 ²  x2 ²) 2 x1 Una vez más el trabajo depende exclusivamente de las posiciones inicial y final. Las fuerzas cuyo trabajo depende solamente de sus estados final e inicial, sin importar la trayectoria por la que se pasa de uno a otro se denominan Fuerzas Conservativas. Las fuerzas cuyo trabajo depende, entre otros factores, de la trayectoria seguida se denominan Fuerzas No Conservativas o Fuerzas Disipativas. Como ejemplo de Fuerzas Conservativas podemos mencionar la fuerza de atracción gravitacional, la fuerza de Hooke y la fuerza de Coulomb. Como ejemplo de Fuerzas No Conservativas podemos citar la fuerza de rozamiento por deslizamiento y la fuerza de rozamiento viscoso. Por otro lado, observando en todos los casos anteriores la integral de trabajo, vemos que el trabajo en una trayectoria cerrada para estas fuerzas es cero. Esta es otra definición para las Fuerzas Conservativas. Es Conservativa toda fuerza cuyo trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a cero. Observemos con detenimiento los resultados obtenidos para los tres casos

A  mgh1  mgh2   A   F (r )  dr  U 2 (r )  U1 (r ) r2

r1

1 1 A  kx1 ²  kx2 ² 2 2


85 En todos los casos el resultado es la diferencia entre dos funciones de la posición relativa del cuerpo, una diferencia entre la función de la posición inicial y la función de la posición final. En el segundo caso, si analizamos la fuerza de atracción gravitacional, que tiene signo negativo (atracción), la diferencia se convierte en

U1 (r )  U 2 (r ) . Esta función de coordenada se denomina Energía Potencial del cuerpo en el punto dado. Así, la energía potencial de un cuerpo en un campo gravitatorio homogéneo (en las cercanías de la superficie terreste) será U(h) = mgh. Para un resorte elongado en una longitud x, la energía potencial correspondiente es U ( x)  fuerza de atracción gravitacional,

U (r )  G

1 kx ² . 2

Mm . r

Y para la La energía

potencial cuantifica la capacidad de un cuerpo de realizar trabajo en virtud de su posición relativa en un campo de fuerzas conservativas. Para el trabajo de las fuerzas conservativas se cumple que

A  U  U1  U 2 ó  A   dU .

Aplicando el principio de superposición, el trabajo total realizado sobre un cuerpo es igual al trabajo realizado por las fuerzas conservativas más el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

A  Aconservativas  Ano conservativas A  U1  U 2  Ano conservativas Por otro lado, recordemos la relación entre trabajo y energía cinética:

A  K2  K1 Combinando ambas expresiones:

A  K 2  K1  U1  U 2  Ano conservativas

( K 2  U 2 )  ( K1  U1 )  Ano conservativas


86

A la suma de energía cinética y potencial K  U se le denomina energía mecánica E. El trabajo de las fuerzas disipativas es igual a la variación de energía mecánica total del sistema. Por

otro

lado,

si

no

actúan

fuerzas

disipativas,

( K 2  U 2 )  ( K1  U1 )  Ano conservativas  0 , entonces:

( K 2  U 2 )  ( K1  U1 ) E2  E1 Quiere decir que la energía mecánica total del sistema se conserva. La energía potencial puede transformarse en cinética o viceversa, pero su suma se mantiene constante. Este el Principio de Conservación de Energía. Estableceremos ahora la relación entre una fuerza conservativa y la energía potencial. Recordemos que

   A  Fdr  dU

Podemos concluir que, si conocemos la función de energía potencial U(r) podemos determinar la fuerza actuante tanto por magnitud como por dirección y sentido. Para ello nos valdremos de las proyecciones de F sobre los ejes cartesianos, Fx, Fy, Fz. Utilizando esta proyecciones reescribimos el trabajo realizado en la forma

Fx dx  Fy dy  Fz dz  dU ( x, y, z ) Si el desplazamiento se realiza a los largo de eje X, entonces

Fx dx    dU  y , z Los subíndices indican que al producirse el desplazamiento, y por lo tanto al diferenciar, las coordenadas y y z permanecen constantes. Esta operación se denomina diferenciación parcial. Derivando parcialmente respecto a x tenemos:


87

U  dU  Fx       x  dx  y , z Esta es la derivada parcial de la función U(x, y z) respecto a x. forma análoga

en

 dU  U U  dU  Fy    ; Fz        y z  dz  x , y  dy  x , z Reconstruyendo F:

    F  Fx i  Fy j  Fz k  U  U  U  F  i j k x y z         F   i  j  k U y z   x  F   gradU

La fuerza actuante puede ser determinada calculando la variación direccional de la energía potencial U(x, y , z). Finalmente, habiendo partido de la Ecuación de movimiento (consecuencia de la II Ley de Newton), trataremos de obtener la ecuación de movimiento a partir de la ley de conservación de energía mecánica. A partir de

1 mv ²  U  const 2 derivando respecto al tiempo, tenemos


88

dv dU dr  0 dt dr dt  dv dU  vm  0  dt dr  mv

Pero

F 

dU dr

, y al reemplazar en la expresión anterior

 dv  vm  F   0  dt  v  ma  F   0 Es decir, el móvil se encuentra en reposo relativo (v = 0) o sigue una trayectoria bajo la acción de una fuerza, que es justamente el sentido de la Ecuación de movimiento.


89 CAPITULO V CHOQUES ELASTICOS E INELASTICOS

Habíamos indicado en el capítulo anterior que cuando actúan fuerzas disipativas se produce pérdida de energía. Un ejemplo de este tipo de procesos lo constituyen los choques absolutamente inelásticos. Así se denomina a la colisión entre dos cuerpos, como resultado de la cual luego ambos se mueven al unísono como uno solo. Un ejemplo es el péndulo balístico, cuando una bala cae en un cajón con arena, el que a su vez cuelga de una cuerda. También sirven de ejemplo dos bolas de plastilina, las cuales luego de chocar conforman un solo cuerpo. Al chocar dos cuerpos se producen procesos complejos: los cuerpos se deforman, aparecen fuerzas elásticas, fuerzas de rozamiento, en los cuerpos se producen oscilaciones y ondas producto del choque, etc. Sin embargo, si el choque es absolutamente ineslástico, a la larga estos procesos cesan y los cuerpos se mueven como un solo cuerpo sólido. Podemos calcular la velocidad de este nuevo sistema a partir de la ley de conservación de momentum. Como ejemplo, tomemos dos esferas que se mueve a lo largo de una recta que une sus centros con velocidades v1 y v2. Bajo esta condición, el choque es además  un choque central. Sea v la velocidad común después del choque. Como resultado, la ley de conservación de momentum se escribirá para este caso en la forma:

   m1v1  m2v2  (m1  m2 )v La velocidad después del choque será:


   m1v1  m2v2 v (m1  m2 )

90

Para las energías cinéticas antes del choque y después del choque tenemos:

1 1 Ki  m1v12  m2v22 2 2 1 K f  (m1  m2 )v ² 2 La variación de energía cinética en el proceso será:

1 1 1  K f  K i  (m1  m2 )v ²   m1v12  m2v22  2 2 2  2

 m v  m2v2   1 1 1  2 K f  K i  (m1  m2 )  1 1  m v  m2v22    1 1 2 2   (m1  m2 )   2 K f  Ki 

1 m1 ²v1 ²  m2 ²v2 ²  2m1m2 v2  1 1    m1v12  m2v22  2 (m1  m2 ) 2 2 

Luego de operar con la última expresión (tarea que dejo al lector), obtenemos finalmente:

K f  Ki   El coeficiente

m1m2 (v1  v2 )2 m1  m2

m1m2 se denomina masa reducida del sistema. El m1  m2

signo ( - ) indica que se ha producido una pérdida de energía cinética, ya que la energía cinética final es menor que la inicial. La


91 pérdida es proporcional a la masa reducida del sistema y al cuadrado de la velocidad relativa de ambos. Esta energía cinética perdida se gasta en producir deformaciones (trabajo) irreversibles en el objeto. Veamos que ocurre cuando dos carros iguales, ambos con velocidad v, colisionan frontalmente. Antes del choque la energía cinética del sistema es

K1  K 2 

1 1 mv ²  mv ²  mv ² . 2 2

La variación de energía

cinética producto del choque será:

K 

mm 1m (v1  v2 ) 2  (2v)²  mv ² mm 2 2

Como los autos van al encuentro uno del otro entonces v1 = -v2. Puede verse que TODA la energía cinética se va en producir destrucción. El mismo resultado se obtiene si uno de los carros se encuentra inicialmente detenido y el otro viene al encuentro con velocidad 2v. La energía cinética inicial será

1 Ki  0  m(2v)²  2mv² . La 2

variación de energía cinética después del choque será:

K 

mm 1m (0  v2 ) 2  (2v)²  mv ² mm 22

A diferencia del caso anterior, aquí solamente la mitad de la energía cinética inicial se utiliza en producir efectos destructivos en los autos. Sin embargo, es dudoso que ésto sirva de consuelo a los choferes víctimas del choque. Invito al lector a utilizar esta metodología para analizar los efectos que puede producir el choque entre autos tan desiguales como un Tico y una Combi tan típica de nuestras calles. O un Toyota con un Mercedes Benz. O una moto con un auto.


92 Otro punto interesante de análisis es la caída de diferentes personas, con diferente masa desde la misma altura. ¿Quienes corren más peligro, las personas delgadas, o las personas con gran peso? ¿De que manera se puede evitar sufrir lesiones al caer?

En este caso el auto choca con la pared inmóvil a una velocidad de más de 200 km/h. La energía cinética que se pierde es más que suficiente para provocar la destrucción total del vehículo y provocar lesiones graves en el piloto (que es parte del sistema analizado)

Vaemos ahora qué ocurre cuando el choque no ocasiona variación de la energía total del sistema, en especial de la energía cinética. Esto se da en caso de choques absolutamente elásticos. A nivel macroscópico no se dan estos casos, aunque podemos trabajar con muy buena aproximación en determinados casos, p.e. cuando chocan dos bolas de billar. Es a nivel atómico y subatómico que se registra este tipo de colisión. Analizaremos primero un choque central. Las velocidades de los cuerpos están dispuestas a lo largo de la recta que une sus centros. Al momento de chocar parte de la energía cinética se convierte en energía potencial de deformación. Pero las fuerzas de restitución retornan los objetos a su configuración inicial y este trabajo se convierte en energía cinética devuelta al


93 sistema. Como resultado, la energía cinética total se mantiene constante. En este caso se cumplen simultáneamente las leyes de conservación de momentum y de conservación de energía. Supongamos que los objetos se mueven a una altura constante con masas m y M y velocidades v y V respectivamente. Entonces, para este choque central:

mv  MV  mv ' MV ' 1 1 1 1 mv ²  MV ²  mv ' ²  MV ' ² 2 2 2 2 donde v‟ y V‟ son las respectivas velocidades después del choque. Estamos ante un sistema de dos ecuaciones, una de ellas cuadrática. De modo que debemos obtener dos soluciones respecto a v‟ y V‟. La solución trivial v = v‟ y V = V‟ no nos interesa, pues significaría que los objetos no colisionaron. Reescribimos las ecuaciones en la forma

m  v  v '  M V ' V  1 1 m  v ²  v '²   M V '²  V ²  2 2 Como las diferencias de velocidades no son nulas, podemos dividir la segunda ecuación entre la primera, miembro a miembro, obteniendo:

 v  v '  V ' V 


94 Ahora solo tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. Dejo al lector el proceso de solución. La solución que obtendrá es:

mv  MV mM mv  MV V '  V  2 mM v '  v  2

A partir de aquí surgen algunos resultados interesantes. Si ambas masas son iguales ( m = M ) los objetos intercambian velocidades. Si uno de ellos se encontraba inicialmente detenido, luego del choque saldrá despedido con la velocidad que traía el otro. El primer objeto (incidente) se detiene después del choque. Para las personas que practican billar, éste es un caso muy conocido. Si uno de ellos está detenido pero el cuerpo incidente tiene mayor masa, éste proseguirá su movimiento en la dirección inicial. Sin embargo, si el cuerpo incidente tiene menor masa que el cuerpo detenido, el incidente rebotará y saldrá despedido en dirección opuesta a la original. Si la masa del objeto originalmente en reposo es muy grande, prácticamente no se moverá. Finalmente en el caso de choques no centrales, cuando en el momento del choque las velocidades no coinciden con la línea que une sus centros, descomponemos la velocidad incidente en una componente vn normal a las superficies en contacto (y por lo tanto dirigida a lo largo de la línea de centros) y otra paralela a la tangente común vt (ver figura siguiente). Las leyes de conservación de momentum y de energía se escribirán ahora:


95

mvn  MVn  mvn ' MVn ' mvt  MVt  mvt ' MVt ' 1 1 m(vn ²  vt ²)  M (Vn ²  Vt ²)  2 2 1 1  m(vn ' ²  vt ' ²)  M (Vn ' ²  Vt ' ²) 2 2 Se asume que al momento del choque NO aparecen fuerzas tangenciales (es un choque absolutamente elástico). Si no actúan fuerzas tangenciales quiere decir que las componentes tangenciales NO varían ( vt  vt ' ; V  Vt ' ). Queda por despejar nada más las componentes normales de las velocidades, lo cual nos lleva al caso ya visto de choques centrales. .


96 PREGUNTAS Y PROBLEMAS Los siguiente problemas pueden resolverse de varias formas, todas ellas utilizando los conceptos de los cinco capítulos anteriores. 1. Sobre una superficie horizontal lisa se halla una esfera de masa m1, unida a un resorte de constante de restitución k. El otro extremo está unido a la pared. Se lanza otra esfera de masa m2 < m1, que choca con la primera en forma elástica. ¿En qué dirección se moverá m2 después del choque? ¿Con qué velocidad? k m1

m2

2. Núcleos de deuterio D pueden reaccionar pueden reaccionar entre sí de modo que se forma como resultado un núcleo de tritio T y un protón. Cada protón tiene una energía de 3 MeV. ¿Cuánta energía cinética tiene el tritio y cuál es la energía final total del proceso? Considere la energía cinética de las partículas primigenias despreciable. 3. Los núcleos de deuterio pueden reaccionar también de la siguiente manera: D + D  He3 + n + 3.25 MeV ¿Cuál es la energía cinética del neutrón y la del Helio (peso atómico = 3)? Una lancha Considere la energía cinética de las partículas primigenias despreciable. 4. Una partícula experimenta un choque elástico con otra partícula en reposo relativo de la misma masa. Demuestre que después del choque (si éste no es frontal), ambas se dispersarán formando un ángulo recto. ¿Cómo se moverían las partículas si el choque fuera frontal?


97 5. ¿Cuál es el ángulo máximo de dispersión de una partícula alfa y un deuterón al chocar elásticamente con un núcleo de hidrógeno? v1  v v2

6. Una lancha de masa M con una persona de masa m a bordo se halla en reposo relativo en un lago. La persona comienza a caminar a lo largo de la lancha con una   velocidad v respecto a la lancha. ¿Con qué velocidad w se moverá la persona respecto al agua? ¿Con qué  velocidad u se moverá la lancha respecto al agua? 7. En la proa de una lancha de longitud l se halla una persona sosteniendo una esfera de fierro de masa m a una altura h. La masa conjunta de la lancha y la persona es M. La persona lanza horizontalmente la esfera a lo largo de la lancha. ¿Con qué velocidad horizontal debe lanzarla para que caiga en la popa de la lancha? Desprecie la resistencia del agua. 8. De un tren que viaja con velocidad constante se desprende el último vagón, el que luego de una distancia l se detiene. ¿A qué distancia del vagón, al momento de detenerse, se hallará el tren si la tracción de la locomotora se mantiene constante y el rozamiento de cada parte del tren no depende de su velocidad y es proporcional a su peso? 9. Sobre una superficie inclinada lisa se halla (sin moverse) un cofre con arena. El coeficiente de rozamiento k del cofre con la superficie es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la superficie. Un cuerpo cae verticalmente al cofre y se


98 queda en él. ¿Se moverá el cofre después de ésto? Justifique. 10. Tres lanchas iguales de masa m van en fila por un río con velocidad idéntica v. De la segunda lancha lanzan hacia la primera y tercera, simultáneamente, un fardo de masa m1 a cada una con velocidad u respecto a la lancha. ¿Cuáles serán las velocidades de las lanchas después de recibidos los fardos? 11. Dos lanchas navegan por un río en sentidos opuestos al encuentro una de la otra. Cuando se hallan una frente a la otra, de cada una de ellas se lanza un fardo de 50 kg a la otra. Como resultado, la primera lancha se detiene y la segunda prosigue a una velocidad de 8.5 m/s en la dirección original. ¿Cuáles eran las velocidades de las lanchas antes del intercambio de fardos? La masa de las lanchas es 500 kg y 1 tonelada respectivamente. 12. Una bala de artillería llega a su elevación máxima de 19.6 m. En ese punto se parte en dos pedazos iguales, cayendo uno de ellos a tierra un segundo después exactamente debajo de donde ocurrió la explosión. ¿A qué distancia caerá el segundo pedazo si el primero cayó a mil metros del punto de disparo? Desprecie la fuerza de rozamiento del aire.


99 CAPITULO VI MOVIMIENTO OSCILATORIO Los procesos oscilatorios no son solamente inherentes a la física, como pudiera pensarse inicialmente. Se dan procesos oscilatorios en la naturaleza. Las poblaciones crecen y decrecen periódicamente. Si una especie sirve de alimento a otra, la segunda especie fluctúa de acuerdo con las fluctuaciones de la primera. Cada cierto tiempo se produce el Fenómeno El Niño, a intervalos más o menos establecidos. Se habla de “ciclos económicos” cuando se trata de explicar el comportamiento de la economía. Y en época de elecciones no es raro escuchar a determinados comentaristas o políticos hablar del “comportamiento pendular” (sic) del electorado. Estamos rodeados de procesos oscilatorios. No importa si somos biólogos, químicos, salubristas, sociólogos, etc. En algún momento debermos hacer frente a algún problema de este tipo. De allí la importancia del estudio de sus características, las ecuaciones que los describen y los alcances y limtaciones de los modelos resultantes. Analizaremos primero un movimiento armónico simple (MAS). Para ello, usaremos una masa puntual m que se mueve describiendo una circunferencia de radio A con una velocidad angular  constante (ver figura adjunta). Su proyección sobre el diámetro oscilará entre los dos extremos del eje horizontal X, del extremo positivo al negativo y viceversa, ocupando periódicamente las mismas posiciones. A esta oscilación se le denomina armónica.


100 Podemos describir la proyección de la posición de m sobre el eje X en un momento determinado a partir de la expresión:

x  A cos( )

Recordemos que para entre el ángulo , la velocidad angular  y el tiempo se cumple la relación    t . Podemos reescribir la relación inicial como:

x  A cos(t )

Si el móvil partió no desde  =0, sino desde un ángulo inicial  = , entonces

x  A cos(t   )

Cuando t    k (k = 1, 2, 3, ……) entonces |x| = A, produciéndose la mayor desviación del objeto respecto al eje vertical. Esta magnitud A se denomina amplitud del movimiento. La magnitud  se denomina frecuencia cíclica, y t   , fase de la oscilación. Finalmente,  se denomina fase inicial, ya que es el valor que corresponde a la fase en t = 0.

2 , expresión que obtuvimos para el movimiento T 2 circular, podemos encontrar el período de la oscilación T  , es A partir de  

decir, el tiempo que emplea en el cuerpo retornar a su posición original. La velocidad de la oscilación se obtiene mediante la derivación de la expresión original: 

x

dx   A sen(t   ) dt

Y la aceleración, derivando la expresión correspondiente a la velocidad:


101 

x

dv d ² x    A ² cos(t   ) dt dt ²

Finalmente, utilizando x  A cos(t   ) , reescribimos expresión correspondiente a la aceleración en la forma:

la



x  a   A ² cos(t   )   ² x

La fuerza actuante sobre el punto en un movimiento armónico simple será

F  ma  m ² x Esta fuerza es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio, y opuesta al sentido de movimiento. Es, por otro lado, una fuerza de restitución. Este tipo de fuerzas aparecen cuando existen pequeñas desviaciones de la posición de equilibrio. Analicemos ahora un sistema formado por un cuerpo de masa m unido a un cuerpo elástico como p.e. un resorte. La fuerza que ejerce el resorte al ser deformado está determinada por la Ley de Hooke, F  kx . La ecuación de movimiento será

ma  m

d ²x  kx dt ²

No es necesario resolver esta ecuación diferencial. Basta compararla con la ecuación de movimiento previamente obtenida

ma   m ² x

para poder concluir que;

A) Su solución tiene la forma B) Como

x  A cos(t   )

m ²  k , entonces  2 

tanto su período es 2

m T k

k 2 k  y  , por lo m T m


102 La expresión para la energía mecánica total E del sistema en ausencia de fuerzas disipativas será:

E  U  K  const E

1 1 kx ²  mv ²  const 2 2

La energía mecánica total del sistema en este caso es constante, produciéndose solamente transformación de energía cinética en potencial y viceversa. Ahora bien, si reemplazamos x y v por las expresiones obtenidas anteriormente mediante derivación, tomarán la forma

U

1 1 kA² cos ²( t   ), K  m ² A² sen²( t   ) 2 2

y la energía total será:

1 1 E  U  K  kA² cos ²( t   )  m ² A² sen²( t   ) 2 2 1 E  U  K  kA²(cos ²( t   )  sen²( t   )) 2 1 E  U  K  kA² 2 tomando en cuenta que

m 2  k .

La energía total del sistema es en todo momento

1 kA² , siendo ésta 2

la suma de la energía potencial y la energía cinética. No podrá incrementarse o disminuirse a menos que se realice un trabajo sobre él mediante una fuerza externa. Si reescribimos las expresiones de energía potencial y cinética en función del ángulo doble obtenemos:


103

1 kA²(1  cos 2( t   )) 4 1 K  kA²(1  cos 2( t   )) 4

U

Este resultado refuerza la conclusión obtenida anteriormente, y nos detalla que, tanto la energía potencial como la energía cinética, oscilan alrededor de un valor medio común

1 kA² con una frecuencia 2

cíclica que es el doble de la del movimiento oscilatorio.14 En l;a figura puede preciarse la relación entre E, U(x) y K(x). En todo momento la suma de U(x) y K(x) es igual a E, no sobrepasándose este valor. Los máximo y mínimos de U y K están conjugados.

Podemos extraer un resultado útil adicional de la Ecuación de Energía obtenida. Observe que la energía potencial es función del cuadrado de la coordenada, y la energía cinética del cuadrado de la primera derivada de la coordenada. Podemos generalizar

E

1 1 kx ²  mv ²  const 2 2

reescribiéndola en función de una coordenada cualquiera q en la forma: 14

No debe confundirse ambas frecuencias cíclicas. La frecuencia cíclica del movimiento oscilatorio determina la frecuencia cíclica de la oscilación de las funciones U y K alrededor del valor medio

1 kA² . 2


E

 2

q² 

 2

104

q ²  const

donde  y  son coeficientes que dependen del problema específico analizado, y el punto sobre la coordenada indica que se trata de la primera derivada. Si podemos describir un sistema mediante la Ecuación de Energía anterior, podemos concluir que: A) El sistema realiza un movimiento armónico simple B) Su solución es q  qo cos( t   ) C) Su frecuencia cíclica será  

 , partir de lo cual es fácil 

obtener el período correspondiente. Este método se denomina Método de Coordenadas Generalizadas, y nos será muy útil más adelante cuando analicemos ya no el movimiento de una partícula, sino de cuerpos sólidos. ¿Qué ocurre cuando incluímos fuerzas disipativas en el sistema (ver figura adjunta)? En este caso la ecuación de movimiento se escribirá de modo general en la forma

En la figura, un sistema masa – resorte que está sumergido en un líquido viscoso. Recuerde que el rozamiento en un medio viscoso es proporcional a la velocidad.

ma  Frecuperación  Fdisipativas La fuerza de restitución o recuperación es la fuerza de Hooke, y la fuerza disipativa es la fuerza de rozamiento viscoso. La ecuación de movimiento es ahora:


105

dx dt dx ma  kx   0 dt ma  kx  

La solución15 de esta nueva ecuación de movimiento tiene la forma:

x  C1em1t  C2em2t El problema se reduce a encontrar las raíces de la ecuación característica:

m²  2bm  a ²  0

obtenida luego de reescribir la ecuación de movimiento en la forma

d ²x dx  2b  a ² x  0 dt ² dt donde a  Las

k  y b . 2m m

raíces

m1,2  b 

se

obtienen

b²  a ²

a

partir

de

.

Puede apreciarse que es el discriminante el que va a condicionar la solución y, como consecuencia, el comportamiento del sistema. Antes de pasar al análisis del discriminante, cabe recordar que m1 y m2 tienen signo negativo, por lo que obtendremos soluciones exponencialmente decrecientes. Caso 1 :

15

b²  a ² > 0

Puede encontrar mayor detalle sobre el método de solución en Elementos de Ecuaciones Diferenciales, 1998 publicado por el autor.


En este caso, el término disipativo b ² 

²

106 es mayor que el

4m ²

término que expresa la capacidad recuperadora del sistema a ² 

k . m

Una vez librado a sí mismo, el cuerpo, bajo la acción de la fuerza de restitución se dirige hacia su posición de equilibro, pero el trabajo de esta fuerza es disipado por el rozamiento viscoso. Finalmente, el cuerpo retornará a su posición de equilibrio, pero no realizará oscilación alguna. A este movimiento se le denomina sobreamortiguado. La solución se obtiene en la forma de suma de dos funciones exponencialmente decrecientes. La gráfica siguiente representa el comportamiento del sistema bajo estas condiciones

Caso 2 :

b²  a ² = 0

En este caso, la fuerza recuperadora y la fuerza disipativa se encuentran en equilibrio. Por otro lado, significa que las dos raíces a obtener son iguales, por lo que la soución tendrá la forma

x  xoe at 1  at  .

Este movimiento se denomina “críticamente

amortigado”, y su gráfica correspondiente es:


107

Observe que, a diferencia del caso anterior, la velocidad durante el retorno a la posición de equilibrio permanece prácticamente constante.

Caso 3:

b²  a ²

<0

En este caso, obtendremos la solución en forma de números complejos. Por otro lado, quiere decir que el término de recuperación

a² 

k ² es mayor que el término disipativo b ²  . Esto permitirá m 4m ²

al sistema oscilar, pero no con amplitud constante, pues la solución incluye el término disipativo –b antes del discriminante. La solución tiene la forma:

x  xo donde   a²  b²

 ²  b² cos  .t   e  bt  b .  

y   arctg 

denomina subamortiguado.

A este movimiento se le


108

Finalmente, veamos que ocurres si, además de las fuerzas de recuperación y disipativas, sobre el sistema actúa una fuerza extena. Especialmente si este fuerza externa es aplicada en forma periódica. La ecuación general de movimiento se escribe, con la inclusión de este nuevo término, en la forma:

ma  Frecuperación  Fdisipativas  Fexterna ó, en forma detallada:

ma  kx   Nos interesa el caso en que

dx  f (t ) dt la fuerza aplicada tiene un

comportamiento periódico, es decir. solución final tiene la forma

x

f (t )  Fo cos( t ) .

Fo (  )²  (k  m²)²

cos( t   )

La


donde   arctg

 . k  m²

109 Si la viscosidad del medio es muy

baja, es decir   0, y si  

k , la frecuencia de la fuerza m

aplicada coincide o es prácticamente igual a la frecuencia propia del sistema, el denominador tiende a cero y la amplitud de la oscilación aumenta desmedidamente en cada paso. A este fenómeno se le conoce como Resonancia.

En la figura puede apreciarse como la amplitud de la oscilación crece a medida que la frecuencia externa se acerca a la frecuencia propia del sistema. Finalmente, el sistema al no poder oscilar con una amplitud mayor a la que le permite su estructura, se destruye (la amplitud se torna infinita).

Un ejemplo de resonancia se da cuando mecemos un columpio. Si aplicamos un empujón cada vez que el columpio llega a su desviación máxima respecto a la vertical, el columpio se elevará cada vez más. Finalmente, si seguimos impulsándolo de esta manera podemos lograr que de una vuelta completa (no se recomienda al lector experimentar consigo mismo).


110 Un ejemplo muy ilustrativo de la capacidad destructiva de la resonancia fué la destrucción del puente Tacoma Narrows (Estado de Washington, USA). Los fuertes vientos imperantes en la zona hicieron oscilar el puente como un ala. Cada ráfaga de viento aumentaba la amplitud de la oscilación, hasta que finalmente el puente colapsó.

En la secuencia puede apreciarse (visto desde el extremo superior izquierdo) la manera en que oscilaba el puente de Tacoma Narrows. En realidad fuero dos oscilaciones combinadas: de arriba hacia abajo y alrededor del eje longitudinal.

Como resultado, la forma de diseñar y construir puentes fué mejorada, prestándose mayor atención al entorno del sitio elegido. Se estudian las corrientes de viento, las corrientes acuáticas, las características sísmicas del suelo, etc. Una de las soluciones adoptadas es construir los puentes a partir de secciones cada una con una frecuencia propia diferente (como un sistema de resortes, cada uno con diferente coeficiente de restitución). De esta manera se minimiza la probabilidad de que alguna frecuencia externa pueda coincidir con la frecuencia propia.


111

Dos vistas del puente Tacoma Narrows. A la izquierda, en plena oscilaci贸n. Observe el efecto de torsi贸n provocado por las oscilaciones componentes. A la derecha, el momento de su ruptura.

Finalmente, en cualquier puente est谩 prohibido el paso de formaciones a paso de marcha. Cualquier unidad de infanter铆a que pase por un puente debe hacerlo a paso de camino, no a paso sincronizado.


112 ES FISICA, AUNQUE NO LO PAREZCA Un ejemplo de aplicación de modelos oscilatorios lo constituye el modelo presa – predador, descrito mediante las ecuaciones de Lotka – Volterra. El comportamiento interdependiente de la presa y el predador (en el estudio de Lotka, peces y tiburones) es descrito mediante el sistema

dF  F (a  bF  cS ) dt dS  S (k   F ) dt donde todas las constantes son positivas excepto b que puede tomar el valor cero. La solución analítica da como resultado dos funciones oscilatorias, una para cada especie.

Observe que las amplitudes son diferentes, así como las fases iniciales. ¿Podría el sistema funcionar mejor si ambas funciones estuvieran en fase, es decir coincidieran sus máximos? ¿Por qué necesariamente debe haber un desfase? ¿Cuál es el desfase máximo posible? Como puede apreciar el lector, el estudio de los procesos oscilatorios es de vital importancia para el estudio de la naturaleza. Queda al lector analizar las ecuaciones presentadas e identificar los términos disipativos, de recuperación y externos si los hubiera. Trate de plantear un sistema donde el ser humano compita por alimento con los tiburones. ¿Qué rol juega el ser humano aquí?


113 CAPITULO VII ONDAS Tomemos una cuerda tensa, fija por un extremo, Si agitamos una sola vez la cuerda, se producirá una deformación, la que comienza a avanzar a lo largo de ella. Si pudiésemos tomar una serie de fotos del desplazamiento de la deformación veríamos lo siguiente:

Hemos perturbado la cuerda mediante un movimiento vertical. La perturbación producida en el extremo se desplazará a lo largo de la cuerda con una velocidad v . Sin embargo, una mirada más detallada nos hace notar con sorpresa, que cada elemento de cuerda ha permanecido en todo momento sobre su posición en el eje horizontal.

En la figura hemos tomado tres elementos de la cuerda, exagerando sus dimensiones para una mejor visualización. Observe que, a medida que la perturbación viaja a lo largo de la cuerda, cada una de las partículas oscila solamente de arriba hacia abajo cuando es alcanzada. Sin embargo, ninguna de ellas se desplaza en forma


114 horizontal. Estamos ante una perturbación transversal (a la cuerda) que viaja en forma longitudinal (paralela a la cuerda). Si agitamos la cuerda ya no una, sino varias veces seguidas a intervalos regulares, el cuadro que observaríamos sería el siguiente:

Vemos una serie de perturbaciones (una por cada oscilación vertical de nuestra mano) que avanzan a lo largo de la cuerda. Hemos resaltado un elemento de cuerda al igual que en el ejemplo anterior. Puede verse que el elemento de cuerda oscila en el plano vertical, desviándose ligeramente hacia arriba y hacia debajo de la horizontal, oscilando en forma perpendicular a la cuerda y a la velocidad lineal de viaje de la perturbación cada vez que es alcanzado por una perturbación, pero no se desplaza en forma horizontal. En el primer caso, se denomina a esta perturbación pulso de onda. En el segundo caso, a la serie de perturbaciones se les denomina tren de ondas. Cuando las partículas del sistema tienen movimiento perpendicular a la dirección de progagación de la onda, nos encontramos ante ondas transversales. Si además la perturbación es producida en forma periódica, la onda resultante se denomina onda armónica. Son características de una onda armónica: - longitud de onda (): distancia entre dos “picos” o dos “valles” de la onda


115 -

Amplitud (A): La mitad de la distancia entre el máximo (“pico”) y mínimo (“valle”) de la onda.

Como puede verse en la siguiente figura, la longitud de onda y la amplitud son independientes entre sí.

El período T de la onda es el tiempo que se requiere para que una partícula del sistema realice una oscilación completa. Durante este tiempo la onda habrá avanzado una longitud de onda . La velocidad de la onda puede definirse como el tiempo empleado en recorrer una longitud de onda:

v de donde

T

  vT

Recordemos que la frecuencia de una oscilación es la inversa del período f 

1 , de modo que la relación entre velocidad de la onda, T

longitud de onda, y su frecuencia es


vf

116

De las figuras anteriores puede verse que la forma de la cuerda en determinado instante puede definirse mediante una función y  f ( x ) . Esto equivale, haciendo una analogía con fotografía, a una toma instantánea. Sin embargo, lo que tenemos en realidad es una sucesión de tales instantáneas. Debemos además especificar siempre en qué momento tomamos la foto. Para tener la información completa, debemos enonces dar información no solo sobre la forma de la cuerda, sino a qué instante está asociada esta forma. La función toma entonces la forma

y  f ( x, t )

Esta función es denominada función de onda. Analicemos el pulso de onda mostrado en la figura siguiente. En el instante inicial t  0 , la función de onda se escribe en la forma y ( x, 0)  f ( x) . Luego de un tiempo t, la onda se habrá desplazado

vt

una distancia . En el sistema de referencia O, ubicado en la posición inicial, la función de onda será ahora y  y ( x, t )  f ( x, t ) . En el sistema O‟ asociado con el pulso de onda, la función de onda se escribirá y '  y '( x ', t )  f ( x ', t ) .

Como la onda no se deforma, se cumple que y  y ' , de modo que f ( x, t )  f ( x ', t ) . Por otro lado, las coordenadas x y x ' están en


todo momento relacionadas por la transformación x '  x  vt , de modo que

117

y  f ( x, t )  f ( x  vt )

Si la perturbación es causada por una acción que puede ser descrita mediante la función seno o coseno, la coordenada vertical está determinada por

 2 y  yo cos   T

 t   yo cos  2 ft  

vf

Pero, como ya habíamos visto, se cumple que que reescribimos la expresión anterior en la forma

, de modo

v    2   2 y  yo cos  2 t   yo cos  vt   yo cos         

 x 

y como f ( x, t )  f ( x  vt ) , entonces

  x t   2  y  yo cos  ( x  vt )   yo cos  2           T  Al analizar el resultado comprobamos que: - la coordenada y en cualquier momento tiene el mismo valor en x, x   , x  2 y así sucesivamente, y - cualquier posición en y tiene el mismo valor en los tiempos t , t  T , t  2T y así sucesivamente Analicemos ahora las fuerzas que actúan sobre un segmento de la cuerda. Despreciando el efecto de la gravedad, solo tomaremos en cuenta las fuerzas actuantes en cada extremo de ella (ver figura siguiente)


118

La fuerza neta actuante sobre la cuerda es

F ( x  dx)  F ( x)

La componente de esta fuerza neta en el eje horizontal será

F cos  x  dx  F cos  x Como la desviación de la posición de equilibrio es muy pequeña , entonces los ángulos también lo serán. Los cosenos por lo tanto son cercanos a la unidad. Podemos reescribir la expresión anterior como

F cos  x  dx  F cos  x  F  F  0 Este resultado implica que la cuerda no se desplaza (o lo hace de manera imperceptible) en forma horizontal cuando la onda se propaga. En cuanto a la componente vertical de la fuerza neta, se escribe en función del seno del ángulo

Fsen  x  dx  Fsen  x


119 Siendo los ángulos muy pequeños, podemos reemplazar el seno por la tangente sen   tan  . Pero la tangente del ángulo no es otra cosa que la derivada parcial de f ( x, t ) respecto a x (se está analizando para un instante t determinado, de modo que t  const ). Reescribimos entonces la componente vertical de la fuerza neta en la forma

 f ( x, t )   f ( x, t )   Fsen  x  dx  Fsen  x  F        x  x  dx  x  x  Pero

 f ( x, t )  f ( x, t )   f ( x, t )    dx      x  x  dx  x  x x x  f ( x, t )   f ( x, t )   ² f ( x, t )  dx      x ²  x  x  dx  x  x por lo que la componente vertical de la fuerza neta es

Fsen  x  dx  Fsen  x  F

 ² f ( x, t ) dx x ²

Como consecuencia de la II Ley de Newton

 ² f ( x, t ) dx  dm.a x ² dm es la masa del segmento y a su aceleración F

donde Además, si la cuerda es homogénea, y tiene una densidad lineal , entonces dm   dl . La aceleración en y se define como

 ² y  ² f ( x, t )  t ² t ²


120 Reemplazando en la ecuación de movimiento y tomando en cuenta que dx  dl cos   dl

 ² f ( x, t )  ² f ( x, t ) dx   dx x ² t ²  ² f ( x, t )   ² f ( x, t )  x ² F t ²

F

Esta expresión se denomina Ecuación de onda. Ahora bien, sobre el segmento de cuerda actúa una aceleración centrípeta, para la cual se cumple que

ay 

v² R

donde R es el radio su curvatura. Y

entre el radio de curvatura y la longitud del segmento se cumple que dl  R. . La componente en y que actúa sobre el elemento de cuerda es

F .  F

Fsen , pero como   0, puede ser representada como

dl . R

Esta fuerza centrípeta será

F

dl v²  dm.a y  dm R R

Despejando respecto al cuadrado de la velocidad

F

dl F F  v ²,  v ²,  v² dm dm dl 

Obtenemos de esta manera una nueva forma de la ecuación de onda, esta vez en función de la velocidad de la misma

 ² f ( x, t ) 1  ² f ( x, t )  x ² v ² t ²


121 Veamos ahora otro tipo de oscilación. En la figura se muestra un tubo lleno de gas. En el extremo del tubo se dispone de un émbolo. Luego de empujar el émbolo hacia delante por una sola vez, vemos que se produce una acumulación de gas en la zona adyacente. La densidad del gas ha cambiado en dicha zona, siendo en este momento mayor que la original. Luego podremos observar como esta zona de mayor densidad viaja por el tubo, siguiendo su eje longitudinal. Estamos ante una perturbación longitudinal que viaja paralela al eje del tubo. A esta perturbación se le conoce como pulso de onda longitudinal. ¿A qué se debe este comportamiento del gas? No es difícil explicarlo, si recordamos que en un gas las moléculas están dispersas y, además, tienen movimiento oscilatorio.


122 En la figura adjunta se muestra el mismo tubo, en el cual hemos resaltado algunas partículas. Asumamos que la densidad del gas es homogénea en el tubo antes de presionar el émbolo. El número de partículas por unidad de volumen es el mismo a lo largo del tubo (a). En cuanto presionamos el émbolo, las partículas vecinas a él son impulsadas hacia delante (b). En la zona adyacente al émbolo se concentra un mayor número de moléculas por unidad de volumen, sumándose las que empujó el émbolo a las que ya se encontraban allí. El némero de choques por unidad de tiempo, tanto entre ellas como con las paredes aumenta. Las moléculas comienzan, en virtud de su actividad cinética a chocar con las de la zona vecina, transmitédoles, por choques, energía cinética. Algunas inclusive pasan por un breve instante al siguiente segmento. Como resultado (c), en la zona siguiente se forma ahora una zona de mayor presión, donde el número de choques se ha incrementado. Aquí vuelve a repetirse el proceso, viajando de esta manera la zona de alteración de presión a través del tubo (d, e). Este es el mecanismo de un pulso de onda logitudinal. En todo momento las moléculas han oscilado alrededor de sus puntos de equilibrio. Aunque cuando


123 reciben energía cinética en virtud de los choques con otras, su amplitud aumenta.

Aclaremos ahora los conceptos de Amplitud, frecuencia, y longitud de onda para este caso. En la figura siguiente puede apreciarse el efecto sobre el gas al empujar el émbolo con diferentes amplitudes. Puede apreciarse como la mayor amplitud de oscilación del émbolo se traduce en una Efecto de la Amplitud (A) de la oscilación del myor variación de la émbolo en la onda resultante. Observe que, a mayor es la presión local mayor amplitud del émbolo, alteración de presión resultante. respecto a la presión en equilibrio. Las áreas más oscuras corresponden a las de mayor presión. En el caso de una onda transversal, la amplitud se definía como la desviación vertical máxima de la cuerda respecto a su posición de equilibrio. Análogamente, aquí definiremos la amplitud de la onda como la desviación máxima de presión respecto de la presión de equilibrio.


124 En cuanto a la frecuencia, la figura adjunta ofrece una clara representación respecto al efecto de incrementar la frecuencia de oscilación del émbolo (manteniendo la amplitud constante). Por Dos oscilaciones con la misma amplitud, pero diferente unidad de frecuencia. Obseve que en ambos casos la alteración tiempo se de presión local resutlante es la misma. Sin embargo, generan (y por unidad de tiempo, llega un mayor número de zonas llegarán al otro de alta presión al otro extremo del tubo. extremo del tubo) más zonas de alta presión. Sin embargo, observe que, en ambos, casos, la desviación máxima de la presión local respecto al equilibrio es la misma. Solo se ha incrementado el número de “picos” de presión generados por unidad de tiempo. Finalmente, recordemos que en el caso de ondas transversales, la longitud de onda se definía como la distancia entre dos desviaciones verticales máximas en la onda. Por analogía, la longitud de una onda longitudinal será la distancia entre dos “picos” de presión contiguos. El mecanismo de transmisión de una onda longitudinal nos indica que la velocidad a la que se transmita la onda va a depender del medio. Si la energía se transmite en este caso por choques entre moléculas, podemos intuitivamente concluir que, a mayor densidad del medio, mayor será la velocidad del sonido. De igual manera, podemos intuir que la temperatura influirá en la velocidad de transmisión de la onda. La siguiente tabla nos muestra la velocidad del sonido en diferentes medios.


125 Velocidad del Sonido Medio Velocidad (m/s) Aire (0o C) 331 Aire (20oC) 343 Helio 965 Hidrógeno 1284 Agua (0oC) 1402 o Agua (20 C) 1482 Agua de mar 1522 (20C, Salinidad 3.5%) Aluminio 6420 Acero 5941 Granito 6000 A 0oC y 01 ATM de presión, excepto donde se indique lo contrario. Los datos para el Helio y el Hidrógeno parecieran contradecir nuestra hipótesis. Sin embargo, recordemos que sus moléculas son muy ligeras, su inercia es muy poca, por lo que es muy fácil incrementar su velocidad y amplitud de oscilación. Por ello, la perturbación de presión se transmite muy rápidamente en este medio, El aire por el contrario es una mezcla de oxígeno y nitrógeno, dos gases mucho más pesados. En conclusión, la velocidad de transmisión del sonido depende de muchos factores: temperatura, presión, medio de transmisión, entre otros. En el caso de la atmósfera, podemos citar, además de temperatura y presión podemos. la humedad p.e. Puede el lector ahora explicarse por qué, luego de una noche de discoteca o concierto, al día siguiente percibe un constante zumbido en el oído. Esto se debe a la manera como funcionan los altoparlantes y al mecanismo de audición. El oído es un ejemplo de transmisión de señales longitudinales. El problema radica en que las ondas sonoras no viajan en línea recta, sino cubriendo un frente esférico. Por lo tanto, la energía que llega es muy baja y debe ser amplificada. La amplificación mecánica se logra cambiando de medio, utilizando un medio mucho más denso a continuación del medio de baja densidad. Claro, deben estar


126 físicamente separados. Esta separación física debe, además, transmitir la perturbación recibida desde el exterior (aire) al interior (medio más denso). Debe ser una membrana elástica. Esta membrana es el tímpano.16 La onda sonora llega al tímpano, éste vibra de acuerdo con las características de la onda incidente, y como un émbolo, transmite la vibración al medio interno. En el interior se encuentra tres huesos (yunque, martillo y estribo). Estos huesos vibran amplificando la onda recibida y transmitiéndola a una cavidad llena de líquido, la cóclea. Dentro de la cóclea, se forman ondas de presión en el líquido, las cuales son captadas por cilios, los cuales se doblan ante esas ondas de presión. La flexión de los cilios origina una señal nerviosa, la cual es transferida al centro de audición por el nervio coclear.

Esquema del oído humano. Puede verse la ruta que sigue la onda sonora, cambiando de medio cada vez, de gaseoso a sólido, y luego a líquido.

Ahora bien, los parlantes usados en discotecas o en conciertos funcionan prácticamente a la inversa. Convierten señales eléctricas en vibraciones mecánicas (en la membrana circular), las cuales se transmiten al medio gaseoso. Las oscilaciones que hemos analizado hasta ahora eran de baja amplitud. Sin embargo, si presta atención, verá que durante un concierto las membranas de los 16

El tímpano tiene un diámetro vertical de 8.5 – 10 mm, y un diámetro horizontal de 8 – 9 mm.


127 parlantes vibran en forma perfectamente visible, en algunos casos dan la impresión de saltar de su contenedor. Sobre la energía que se está transmitiendo al aire puede juzgar el elctor mediante dos experiencias prácticas: A) Colóquese a un costado del parlante y mire en forma perpendicular a la línea de salida del sonido. Observará que, a medida que sube el volumen, la amplitud de vibración se hace mayor, y puede verse como el aire es puesto en movimiento. Esto se percibe como una distorsión de la imagen de los objetos situados detrás de la salida, análoga a lo que ocurre en el desierto cuando vemos los objetos distorsionados por el aire caliente que se eleva desde el suelo. B) Ponga la mano sobre un parlante. No es necesario en este caso recurrir a un parlante profesional. Un subwoofer como los que vienen con cualquier equipo multimedia o de Teatro Casero (Home Theater) bastará. Coloque la mano a unos 10 cms de la salida e incremente el volumen de salida poco a poco. No solo percibirá el choque de la masa de aire en movimiento, sino inclusive el incremento de temperatura!!! Imagine la cantidad de energía que, en un rave, impacta en sus tímpanos. Recuerde que ésta es una membrana elástica, de modo que tenderá a recuperar su forma, siempre y cuando no se exceda su límite de elasticidad. En este caso (rave, concierto, discoteca), se producirá una deformación irreversible. Al no poder recuperar su flexibilidad original inmediatamente queda A) deformada ejerciendo una presión constante adicional sobre el oído medio, B) no podrá reaccionar ante toda la gama de ondas incidentes,sino solo ante aquellas cuya energía pueda deformar aún más la ya deformada membrana. Esto explica no solo el origen del molesto zumbido en las mañanas (y en parte el dolor de cabeza), sino también la característica sordera parcial que experimentamos. En caso no se someta al oído de nuevo a una presión de este tipo, en unos días puede recuperar sus propiedades elásticas y la sensibilidad. Si por el contrario, es sometido constantemente a este tipo de esfuerzos (escuchar música con volumen alto, usar audífonos constantemente, trabajar en zonas


128 de intenso ruido), la deformación se torna irreversible y la sordera parcial (y en algunos casos, total) es inevitable. Un ejemplo final: Cuando aquellos que vivimos en las ciudades (en nuestro caso, tomando a Lima como ejemplo extremo) viajamos al campo, no percibimos muchos de los sonidos que nos rodean. Esto se debe al nivel de ruido imperante en las ciudades (tráfico automotor, aviones, altoparlantes, etc.). Nuestros tímpanos se encuentran bajo tal presión que se encuentra en lo podríamos llamar un estado de “deformación inicial natural”. No se sorprenda el lector si después de unos días en el campo comienza a percibir todo un universo de sonidos que inicialmente no notaba. Ese silencio que percibimos inicialmente en realidad es solo consecuencia de nuestra incapacidad auditiva citadina. Analicemos ahora otro tipo de perturbación viajera (onda). Tomemos ahora un líquido contenido en un canal, en uno de cuyos extremos se encuentra un émbolo. Al igual que en el caso anterior, se producirá una perturbación. Solo que, al trabajar con líquidos, y estar el extremo superior abierto, la variación local de presión originará una redistribución de masa en el mismo punto. El líquido es incompresible para efecto prácticos, de modo que, si el émbolo empuja el medio, éste se redistribuirá en la línea de menor resistencia. Se forma de esta manera una „joroba”.

Por ley de conservación de masa, si parte de la masa se ha acumulado en este pico, en la zona adyacente se produce un vacío (valle). De esta manera se forma una perturbación que conocemos como “ola” (figura superior). En la figura inferior, se muestra el efecto de la acción periódica y constante del émbolo. Se produce un tren de


129 ondas. Estas ondas pueden considerarse transversales. Esto puede comprobarse si observamos el movimiento de una botella en el oleaje. Oscilará de arriba hacia abajo, la ola pasará y la botella serguirá en el mismo punto.17

Si bien la ola avanza en dirección longitudinal, el objeto oscilará en el plano vertical al pasar la ola, manteniéndose finalmente en su posición horizontal.

La amplitud de la onda (máxima altura alcanzada por el líquido) está determinada por la amplitud de la acción. Observe en la figura que, cuanto mayor es la desviación del émbolo de su posición de equilibrio, mayor es la altura de la “ola” así formada.

17

El avance hacia la playa es consecuencia de la acción del viento y/o las corrientes marinas, cuyos mecanismos están relacionados, con la temeperatura y la rotación de la Tierra.


130 En cuanto a la frecuencia de la onda, está condicionada por la frecuencia de la acción externa. En la figura se muestra dos “olas” resultantes de la aplicación de dos acciones con frecuencias diferentes pero de igual amplitud. Observe que, si bien la altura de las “olas” es la misma, en el segundo caso llegarán al otro extremo más olas por unidad de tiempo.

Las olas marinas son formadas por la acción del viento, el cual pone en movimiento las capas superficiales. Es el viento el que determina el tipo de oleaje que observamos en la playa, el cual es una combinación de amplitud y frecuencia. A los tablistas les conviene olas de gran amplitud, pero de frecuencia moderada (las olas seguidas son peligrosas, no dan tiempo a recuperarse), al bañista común, olas de poca amplitud y baja frecuencia. Cuando el mar está “picado” tenemos olas de gran amplitud y alta frecuencia. Cuando la amplitud de las olas es demasiado grande, y la frecuencia alta, se produce el denominado “maretazo”.


131

Diferencia entre una ola y un tsunami. La ola (figura superior) es causada por la acción del viento, el cual mueve solamente las capas superficiales. El tsunami (figura inferior) es un pulso de onda originado en el fondo del mar que mueve una gran masa de agua desde las capas inferiores con una gran amplitud.

A diferencia de las olas, los tsunamis son producidos por el desplazamiento de grandes masa de tierra, sea por el choque de placas tectónicas o deslizamiento. Este movimiento de tierra, usualmente asociado a un terremoto, pone en movimiento una gran masa de agua desde las profundidades del océano. El fondo oceánico actúa como un pistón. La onda se propaga en forma generalmente esférica. En alta mar no se nota, pues la elevación (amplitud) de la ola es de unos centímetros. Al acercarse a tierra, la onda transmite su energía cinética a la masa de agua, la cual se traduce en el desplazamiento de la masa de agua tanto en forma vertical (energía potencial), como en dirección horizontal (energía cinética). El agua se eleva hasta alturas de 30 metros en algunos casos, avanzando sobre la costa. Sin embargo, cuando comienza a formarse esta ola gigante, la masa de agua que es elevada deja un vacío adelante, el que es llenado por el agua que se encuentra delante de la ola. Como resultado, en la costa se aprecia que el mar se retira. Esto puede observarse minutos y hasta horas antes de que


132 llegue la ola principal. Puede el lector calcular la energía requerida para originar desplazamientos como el descrito.

Reconstrucción esquemática del maremoto del 28 de diciembre del 2004 (Indonesia). El pulso se originó a 4000 metros de profundidad poniendo en movimiento la masa de agua ubicada encima de dicho nivel. Si bien la energía se distribuyó radialmente (llegando inclusive a las costa de Africa) fue suficiente para causar devastación en el sudeste asiático. (Tomado de Vremya, RUTV)

Cuando la ola principal llega a la costa ingresa en tierra firme cientos o miles de metros debido a la energía cinética que trae. Luego, una vez agotada su energía, la ola decae, se detiene, y el agua retorna al mar. El 28 de diciembre del 2004, en el sudeste asiático, tuvo lugar uno de los maremotos más devastadores registrados en los últimos tiempos. La onda generada viajó desde Indoenesia, pasando por las costas de Sri Lanka, hasta la costa de Africa Oriental, donde embarcaciones pesqueras fueron volcadas y arrastradas tierra adentro.


133

Simulación del maremoto del 28/12/2004. En la secuencia se observa el progreso de la onda generada por el terremoto submarino. Se inicia en Indonesia, pasa por Sri Lanka, embistiéndola frontalmente, luego se dirige hacia las costas de Africa Oriental..

En cuanto al Perú, el maremoto más devastador se registró el 28 de Octubre de 1746. Solo se salvaron 200 de los 5 000 habitantes que tenía el Callao en aquella época. El mar ingresó hasta más allá del actual mercado en la calle Colón. El mascarón de proa que se encuentra en una de las esquinas pertenece a una embarcación que fue encontrada en dicho lugar luego de que las aguas bajaron.


(A)

(B)

(C) (D) Secuencia de fotos satelitales que muestran la evoluci贸n del Tsunami del 28 de diciembre del 2004. (A) La costa de antes del maremoto. (B) El mar se retira. (C) El mar avanza sobre la costa (D) La costa luego del maremoto.


135

28 de diciembre del 2004. Secuencia tomada de un video aficionado. El video fue tomado desde la azotea de un hotel. Puede apreciarse claramente el momento de choque de la ola con la costa. Acerca de la altura de la ola puede juzgarse por la casa que se ve en el extremo inferior izquierdo y las palmeras vecinas. Todos son cubiertos por la ola.


136 CAPITULO VIII DINAMICA ROTACIONAL

Hasta el momento hemos analizado el movimiento traslacional de un cuerpo, representado por un punto material, bajo la acción de una fuerza. Y si bien se ha descrito el movimiento rotacional de un cuerpo, caracterizado por su velocidad angular  y su aceleración angular , en momento alguno hemos analizado la causa de este movimiento de rotación y su variación de estado. Veamos qué ocurre si un punto material de masa m, situado a una distancia r de un punto central O es sometido a la acción de una fuerza F. Si el cuerpo se encuentra de alguna manera unido a este punto central, se producirá un efecto de giro bajo la acción de la fuerza. Este giro es caracterizado por la velocidad angular del movimiento. Sin embargo, podemos apreciar que el sentido de giro dependerá no de la magnitud de la fuerza, sino del sentido de aplicación de la misma. Si en la figura hubiésemos aplicado una fuerza en sentido opuesto, el efecto de giro hubiera sido contrario y el vector  apuntaría hacia abajo. Por otro lado, el efecto de giro varía a medida que varía la distancia entre la masa y el punto de giro. Un ejemplo práctico de esta variación del giro en función de la distancia puede experimentarse al abrir una puerta. Si debe abrirse una puerta, ¿dónde es preferible aplicar la fuerza, en el punto medio o al extremo de la misma? Por


137 experiencia sabemos que haremos un menor esfuerzo (deberemos aplicar una menor fuerza) cuando abrimos la puerta empujándola desde el extremo opuesto al eje de giro. Si el punto de aplicación se encuentra en el medio, deberemos aplicar una mayor fuerza para obtener el mismo resultado. Habrá notado el lector que es muy raro que las perillas se ubiquen en medio de las puertas, salvo por razones estrictamente de estética. A partir del ejemplo anterior, podemos concluir que el efecto de giro provocado por una fuerza dependerá tanto de la magnitud y la dirección de la fuerza aplicada, como de la distancia al punto de giro. Esto nos obliga a definir una nueva magnitud que relacione tanto la fuerza aplicada como la distancia entre el punto de aplicación y el punto de giro. Esta nueva magnitud será de tipo vectorial, ya que el sentido de aplicación de la fuerza determinará el sentido de giro. A esta nueva magnitud se le denomina momento de una fuerza o torque:

   M  r F

El orden de los factores es determinado por la regla de la mano derecha. La  dirección del vector M coincide con la dirección de giro.

  dv Recordemos que F  m . dt

Entonces, ya que m en nuestra aproximación no relativista es constante:

     dv M  r F  r m dt    d (mv ) dp M r  r dt dt  

Por otro lado, dado r  p , su derivación da como resultado:

Disposición mutua de los vectores r, F y M. De acuerdo con la regla de la mano derecha r gira hacia F. Es fácil ver que si F tuviera sentido opuesto el vector M apuntaría hacia abajo.


      dp  dp d   dr   dp r p   pr  v  mv  r  r dt dt dt dt dt Resumiendo:

138

  d   dL M  r  p  dt dt 

La magnitud vectorial L  r  p se denomina momento de la cantidad de movimiento o momentum angular. Quiere decir que la aplicación de un torque al punto material de masa m provoca la variación de su momentum angular. Podemos concluir además que,  si el torque es nulo ( M  0 ), el momentum angular se mantiene

constante ( L  const ). momentum angular.

Esta es la ley de conservación de

¿Podemos afirmar que, si la resultante de fuerzas aplicadas es nula, el momentum es constante? Estaríamos tentados a afirmarlo, pero si observamos atentamente la figura adjunta, veremos que sobre el cuerpo se están aplicando dos fuerzas iguales de sentido opuesto. Y si bien la suma de ambas da cero, se produce un efecto de giro en el cuerpo, pues cada una de ellas actúa sobre él, de manera no colineal, a una distancia del eje central.

Quiere decir que la condición

F  0

es necesaria mas no

suficiente para considerar un cuerpo en equilibrio. La suma de torque también debe ser cero. Así, las condiciones de equilibrio se escribirán:

  F  0,

 M  0


139 Para mayor precisión recordemos que las fuerzas actuantes pueden descomponerse en todo sistema se cumple que

   F  Fint ernas  Fexternas . Sin embargo, en

F

 0 , por lo que escribiremos

 int ernas  dL  M externos dt

que es la Ecuación de Momentos de un punto o sistema de puntos. La Ecuación de Momentos es análoga a la Ecuación de Movimiento anteriormente formulada. Esta última se aplica al movimiento traslacional, en tanto que la Ecuación de Momentos se aplica al movimiento rotacional. Para el movimiento rotacional se cumple que

   v  r  ,

 

  r v

ó

Reemplazando en la expresión correspondiente al momentum angular:

      L  r  p  m r  v     L  m(r  (  r )) Solucionando el triple producto vectorial obtenemos finalmente:          L  m(r  (  r ))  m(r  r )  m(r   )r  L  mr ²

El segundo término es nulo ya que el radio vector y el vector velocidad angular son mutuamente perpendiculares. Nótese que ha aparecido una nueva magnitud mr ² . A este nueva magnitud se le denomina Momento de Inercia del punto de masa m respecto al punto de giro O. Podemos entonces reescribir para el momentum angular, representando

I  mr ² :   L  I


140 y para la ecuación de momentos:

  dL d ( I  ) M  dt dt

Si el momento de inercia es constante entonces la ecuación de momentos toma el aspecto:

   d M I  I dt

donde  es la aceleración angular, dependiendo su signo de la derivada (aumenta o disminuye la velocidad angular por acción del torque). Con los resultados obtenidos hasta el momento podemos establecer los siguientes paralelos entre movimiento traslacional y movimiento rotacional. Movimiento Traslacional Velocidad

  dr v dt Aceleración   dv a dt

Medida de Interacción:  Fuerza F Ecuación de Movimiento

    dv dp F  ma  m  dt dt

Movimiento Rotacional Velocidad angular

d  n dt Aceleración angular   d   dt 



Medida de Interacción:    Torque M  r  F Ecuación de Momentos

  dL d ( I  ) M  dt dt

A partir de esta comparación podemos dilucidar el sentido del Momento de Inercia. Observe que, comparando las Ecuaciones de Movimiento y de Momentos, el momento de Inercia I ocupa en la estructura de esta última el lugar de la masa. Sin embargo, al


141 depender el momento de inercia I no solo de la masa m sino de la distancia al punto de giro, cuantifica la resistencia del cuerpo al cambio de estado rotacional. Ahora bien, si en lugar de analizar un punto material debemos analizar un sistema de puntos, podemos: A) Analizar cada punto por separado y luego superponer los resultados parciales ó B) Concentrar toda la masa en el centro de masas del sistema (o cuerpo) y analizar su comportamiento como un punto material situado a una distancia r‟ del punto de giro. Tomemos un sistema de puntos materiales que gira alrededor de un eje de giro con una velocidad angular . Esta velocidad angular es común a todos los puntos del sistema. Por lo tanto, el momentum angular total será:

    L  m1r1 ²  m2 r2 ²  ...  mn rn ²

ó

  L   m1r1 ²  m2 r2 ²  ...  mn rn ²     n  L    mi ri ²    i 1 

Para un sistema de puntos el momento de inercia se expresa como la suma de los momentos de inercia de cada uno de sus componentes.

n

I   mi ri ² i 1

Si tomamos un cuerpo sólido cualquiera, y lo dividimos en masas elementales m, la expresión anterior se convierte en:

n

I   mi ri ² i 1


142 Si además tomamos masas elementales muy pequeñas m 0, pasando al límite nuestra sumatoria se convierte en una integral. Tomando en cuenta que en un cuerpo sólido la distribución de masa no es necesariamente homogénea, es decir m = m(r), la expresión del momento de inercia para un cuerpo sólido será:

I   r ² dm Para el mismo sistema de puntos se cumple que su energía cinética es: n

n 1 1 2 K   mi vi   mi ri 2 ² i 1 2 i 1 2

1 n L²  1 K    mi ri 2 ²   I  ²  2  i 1 2I  2 Una vez más, note la simetría de la estructura de la expresión respecto al caso traslacional. Detengámonos un momento a analizar algunas consecuencias de los resultados obtenidos. En primer lugar habíamos concluído que, si el momento de fuerzas es nulo, el momentum angular del cuerpo o sistema permanece constante. Quiere decir que el producto I  debe permanecer constante. Si por algún motivo variase el momento de inercia del cuerpo, la velocidad angular  variará en consecuencia. Si I aumenta,  disminuye y viceversa. ¿Cómo puede variar el momento de inercia?. Muy simple, reconfigurando el cuerpo.


143

La reconfiguración del cuerpo en la figura provoca una disminución de las distancias al eje de giro, por lo que el momento de inercia resultará menor. Como consecuencia, se produce un incremento de la velocidad angular

Esto es lo que hacen los patinadores artísticos cuando desean girar sobre el mismo punto a alta velocidad. El hielo ofrece poca resistencia, de modo que su torque (aplicado sobre las cuchillas de los patines) es despreciable. Al momento de girar, el atleta cierra los brazos, minimizando las distancias En la foto, Katherina Witt, campeona al eje de giro. Al haber olímpica de patinaje artístico. Observe disminuído el momento de como pliega los brazos y una de las piernas para adquirir mayor velocidad inercia, la velocidad angular angular. aumenta. Si en lugar de solamente cerrar los brazos alrededor del tronco, además los eleva y los cruza por encima de su cabeza, entonces el momento de inercia será mucho menor aún, alcanzando una gran velocidad de giro.


144 Para detenerse, abren los brazos, maximizan las distancias, disminuye sensiblemente la velocidad de giro y, clavando un patín en el hielo (aplicando un torque), se detienen. En la secuencia se aprecia en detalle como entra en giro el atleta. 1)

2)

1

2 3)

4)

3

4 5)

6)

5

6

7 7)

Empieza el giro, excepto por el pie de apoyo, los brazos y la pierna derecha se encuentran a distancias máximas del eje de giro. La pierna derecha es flexionada. El momento de inercia disminuye, la velocidad angular aumenta Los brazos se retraen hacia el cuerpo. Observe que la pierna derecha está completamente flexionada. La velocidad angular aumenta más. Los brazos quedan pegados al cuerpo, la pierna derecha está flexionada. La velocidad de giro ya es alta, pero aún puede minimizarse más el momento de inercia Los brazos se elevan siguiendo el eje de giro. La pierna desciende. Se minimizan distancias de brazos y piernas, el momento de inercia es mínimo. El atleta gira a gran velocidad. Brazos en alto, piernas muy juntas, el momento culminante de la figura. El patín derecho se clava en el hielo por un instante. El torque detiene al atleta.

Un caso parecido ocurre en las competencias de saltos ornamentales. A fin de realizar el salto mortal, el atleta recoge brazos y piernas, de manera de girar en el aire. Si bien aquí el


145 torque ejercido por el aire NO es despeciable, le permitirá realizar dos o tres vueltas en el aire (aquí radica gran parte de la complejidad del ejercicio). Luego, extenderá brazos y piernas cayendo a la piscina.

En las dos fotografías de la columna puede apreciarse el momento en que el saltador recoge brazos y piernas a fin de poder realizar volteretas seguidas en el aire.

En la foto, la saltadora intenta un giro alrededor de su eje longitudinal. Para ello debe alinear todo su cuerpo al tiempo que cierra los brazos. De esta manera realiza un tirabuzón antes de zambullirse.

Analicemos ahora un cuerpo que tiene tanto movimiento traslacional como rotacional. Determinaremos su energía cinética utilizando las expresiones anteriormente deducidas para ambos casos.


146 Tomemos una masa elemental m de la rueda mostrada en la figura. La rueda se mueve con una velocidad lineal V. Pero la masa elemental además tiene una velocidad tangencial v‟, producto de la rotación del cuerpo. Su velocidad total registrada en

   v  v ' V .

O será Su energía cinética será, por lo tanto:

  1 1 1 2 2 2 mv  mv '  mV  m(v '.V ) 2 2 2   1 K  K ' mV 2  ( p '.V ) 2 Si realizamos este análisis, obtendermos el mismo resultado para cada masa elemental m. Aplicando el principio de superposición (sumando las energías cinéticas de todas las masas elementales), llegamos a:

  1 2 K  K ' mV  ( pi .V ) 2

Aquí m es la masa total del objeto, K‟ es la energía cinética del cuerpo (consecuencia de la rotación del cuerpo) registrada en el sistema centrado en O‟. En el producto escalar se encuentra

 p  i

,

que es el momentum total del cuerpo (suma de los momenta parciales) en el sistema O‟. Podemos, utilizando el concepto de centro de masas, reemplazar la sumatoria por

  pc '  m vc ' que es 

el momentum total del centro de masas de la rueda. El término vc ' es la velocidad del centro de masas respecto a O‟. Entonces


  1 K  K ' mV 2  ( p c '.V ) 2   1 2 K  K ' mV  m(v c '.V ) 2

147

Pero el centro de masas se encuentra en reposo respecto a O‟, ya que coincide con él, por lo que el producto escalar se convierte en nulo. Finalmente, obtenemos para el cuerpo analizado que su energía cinética se expresa como:

1 K  K ' mV 2 2 Habíamos ya aclarado que K‟ es la energía cinética del cuerpo debida a su rotación. Recordemos que para un cuerpo en rotación su energía cinética es K rot 

1 I  ² , por lo que la expresión anterior 2

puede reescribirse como

Ktotal 

1 1 I  ²  mV 2 2 2

Ó en forma más general

Ktotal  Ktraslación  Krotación La energía cinética de un cuerpo es igual a la suma de su energía cinética debida a su traslación y su energía cinética debida a su rotación. Esto es, ni más ni menos, que el principio de superposición. Utilicemos este resultado para analizar ahora la oscilación de un sistema de puntos o un cuerpo cualquiera. Para ello utilizaremos el método de coordenadas generalizadas, ya que solo necesitamos determinar las energías cinética y potencial. En la figura siguiente se muestra un cuerpo sólido en forma de flecha. Se encuentra fijo en el punto A en posición vertical. La distancia del punto de sujección al centro de masas del cuerpo (ubicado en el punto C) es “a” Observe que esta distancia es


148 DIFERENTE de la longitud del objeto. Al inclinársele en un ángulo , el centro de masas se eleva una altura h.

Concentremos toda su masa en el punto C, de manera de analizarlo como si se tratase de un péndulo simple. Su energía potencial en este momento será:

U  mgh  mga(1  cos  )   U  2mga sin 2   2

Su energía cinética se expresará como:

1 2 I 2 K  I   2 2 La energía total del sistema será: 2   I  E  U  K  2mga sin     2 2 2

Si no actúan fuerzas disipativas o la acción de estas es despeciable, nos encontramos en el caso en que E  U  K  co nst , por lo que podemos aplicar el método antedicho. Recordemos que, si  0


149 (desviación

muy

pequeña),

entonces

correspondiente a la energía potencial sin 2

en

 2

la

2 4

expresión . De modo que

nuestra ecuación de energía se reescribe como:

mga 2 I  2 E     const 2 2 Hemos obtenido la ecuación de energía en función de la coordenada . A partir de aquí, podemos obntener que la frecuencia cíclica del sistema es:

2 

mga I

Observe que el resultado depende del momento de inercia, el cual varía dependiendo de la orientación o disposición del cuerpo respecto al punto o eje de giro. Si el cuerpo estuviera sujeto de un punto más cercano al centro de masas, la magnitud del momento de inercia sería diferente, y el resultado numerico final también. Utilicemos ahora este método para analizar la oscilación de un sistema conformado ya no por una masa puntual, sino por un cuerpo sólido. En la figura (se proporciona la vista superior) se muestra un sistema masa resorte formado por un cilindro y dos resortes. El cilindro se desplaza por la superficie sin deslizamiento. La energía potencial del sistema está determinada solamente por los resortes, por lo tanto:

U

1 (2k ) x 2 2


150 El rodillo tiene movimiento traslacional y rotacional. Su energía cinética será, por lo tanto:

K

1 2 1 2 mv  I  2 2

Debemos ahora elegir nuestra coordenada generalizada. Como quiera que la energía potencial se expresa en función del desplazamiento x, utilzaremos esta variable. Escribimos la expresión para la energía cinética en función de x y obtenemos

1 2 1 I 2 K  mx  x 2 2 r2 La energía mecánica total será:

2k 2 1 mr 2  I  2 E x  x  const 2 2 r2 Y finalmente, la frecuencia cíclica a partir de la ecuación de energía es

2k  r mr 2  I 2

2

Observe que, a diferencia del caso traslacional puro estudiando anteriormente, donde el cuerpo solo se desliza por la superficie, aquí el momento de inercia influye en el resultado. No es lo mismo, por lo tanto, un clindro hueco que uno macizo. Por otro lado, el término correspondiente a la inercia del sistema se ha hecho mayor, ya que incluye tanto la masa del cuerpo como su momento de inercia. Si el lector no está convencido de que la geomtría del cuerpo influye en el resultado, calculemos los momentos de inercia de un cilindro macizo de paredes delgadas y de un cilindro macizo, ambos homogéneos (su densidad  es constante), de radio exterior R y altura h, respecto a su eje de simetría.. Para el cilindro macizo


151

I   r ² dm   r ² d (  Volumen) R

I   r ² d (   r ² h)  2 h  r 3dr 0

I

2h 4 1 1 R    R ² h  R ²  mR ² 4 2 2

Para el cilindro de paredes delgadas, asumamos que la pared interior tiene un radio R‟. Tomemos masas elementales en forma de anillos concéntricos de espesor dr. El volumen de este anillo será dV  h.2 rdr . Como ya hemos dicho, la densidad es constante, por lo que la integral del momento de inercia toma la forma:

 R 4 R '4  I  h 2  R 3dR  h 2    4 4   R' h I  R ²  R '²  R ²  R '²  2 m I   R ²  R '²  2 R

Para un cilindro de paredes infinitamente delgadas, R = R‟, de modo que

I  mR ² .

No solamente cambia el momento de inercia si es que la distribución de masas cambia. También cambia si el eje o punto de referencia varía. Veamos qué ocurre con un cuerpo cuyo momento de inercia se ha medido respecto a un eje perpendicular al papel en el punto O. ¿Será el mismo si lo medimos respecto a un eje, también pependicular al papel, en el punto A?


152 Dividimos el cuerpo en pequeñas masas elementales dm (ver figura). Y de la gráfica encontramos que la relación entre los vectores de posición para ambos sistemas de referencia es:

   r ar '

  

donde r , r ', a son respectivamente; el radio vector del elemento de masa respecto a O, el radio vector de dicho elemento respecto a A, y el radio de posición de A respecto a O. Por lo tanto se cumple que

  r ' ²  r ²  a ²  2(a  r )

y la integral del momento de inercia

respecto a A se escribirá:

  r '² dm  r ² dm  a ² dm  2 a     rdm

La integral de la derecha es el momento de inercia respecto a A , I A . La primera integral de la izquierda representa el momento de inercia respecto a O, I o . La última integral puede representarse como

   rdm  mRc

donde

 Rc es

radio vector del centro de masas

respecto a O, paralelo a la superficie del dibujo. Así, obtenemos la relación:

  I A  I o  ma²  2m(a  Rc )

En particular, si el centro de masas coincide con el punto O, entonces

 Rc  0 , y la expresión final es:

I A  I o  ma² Esta relación expresa el Teorema de Huygens – Steiner. El Momento de Inercia de un cuerpo respecto a cualquier eje puede ser representado como la suma del momento de inercia respectro a un eje que pase por su centro de masa y la masa multiplicada por el cuadrado de la distancia entre los ejes


153 ES FISICA… AUNQUE NO LO PAREZCA En las figuras adjuntas puede apreciarse a dos de los predadores más conocidos de la historia (gracias a Hollywood mayormente). Todos eran bípedos, todos eran predadores. El ser bípedos les permitía ver a sus víctimas desde lejos y desarrollar altas velocidades (relativamente, en el caso del T Rex).

Tyranosaurus Rex

Todos ellos presentan un centro de gravedad bajo, lo que les daba estabilidad. Observe que su masa esá concentrada hacia el centro del cuerpo. Eso les evitaba caerse, ya que el terreno era muy irregular. Si al lector le cuesta mantener el equilibrio cuando resbala o tropieza, imagine la dificultad para un animal de tal masa.

Velociraptor

Sin embargo, a fin de estabilizarse, todos disponen de una larga cola, que es más gruesa (y tiene por lo tanto mayor masa) cuanto mayor es el tamaño y masa del dinosaurio. Observe que el centro de masas de la cola está más alejado del eje de giro del cuerpo (situado en la línea que une las cabezas de fémur), garantizado un contratorque cuando el animal se inclinaba, sea para atacar o para alimentarse.

Dilophosaurus

Puede verse en el Tyranosaurio la disposición de ambos centros de masas. Observe que a mayor inclinación la cola tiende a colocarse en forma prácticamente horizontal, alejando al máximo la masa de la cola del eje de giro.


154 CAPITULO IX GRAVITACION

El estudio del movimiento de los cuerpos celestes data de los inicios de la Historia. Surgió como una necesidad desde el momento en que el Hombre se convirtió en agricultor. La observación de fenómenos celestes periódicos (las fases de la Luna, los solsticios, los eclipses) y su relación, real o aparente, con fenómenos terrestres (mareas y crecidas del río), le permitieron disponer de una herramienta que le permitía saber cuándo era mejor sembrar o cosechar. Cuando acercarse a la orilla del río, cuándo alejarse de ella. Le permitió conocer el mejor momento de zarpar desde la costa para poder dirigirse a otras tierras y comerciar o explorar. Nacieron los primeros calendarios. Hay que reconocer que los calendarios Dos vistas del calendario antiguos son muy precisos. El Azteca. En la foto superior, calendario azteca p.e. predice los el calendario en piedra. En eclipses hasta la fecha con una la inferior, reconstrucción precisión que envidian los modernos gráfica. Su año constaba de 260 días, dividido en astrónomos. En Stonehenge semanas de 13 días. (Inglaterra), las ruinas que allí se encuentran conforman un calendario solar muy preciso, que toma como referencias los solsticios de junio y diciembre. Nuestros antepasados también lograron construir calendarios muy precisos, aunque la Conquista nos privó de muchos de ellos. Sin embargo, las Líneas de Nazca conforman un calendiario solar muy preciso por


155 ejemplo18. Y la fiesta del Inti Raymi coincide con el solsticio de invierno (en nuestro hemisferio). A pesar de esta precisión en la descripción, e incluso en la predicción, de fenómenos celestes la explicación de las causas de los mismos no era nada científica, debido al incipiente nivel de desarrollo de la ciencia. Durante siglos, junto con asombrosos y precisos instrumentos convivieron las más fantásticas explicaciones (desde Apolo en su carreta de fuego, pasando por el dragón que se come el Sol, hasta el Dios Sol que se levanta del lago y reposa en el mar). Fué la época de oro de la astrología, la que muchas veces estaba por encima de la astronomía. En el siglo XVI Tycho Brahe (1546 – 1601), astrónomo danés, sistematiza sus observaciones realizadas noche tras noche sobre la posición de la Luna y otros cuerpos celestes conocidos (Venus, Marte, Júpiter, Saturno). Fué una labor de veinte años, meramente descriptiva, realizada sin ayuda de telescopio que sin embargo permitió a posteriori llegar a conclusiones muy interesantes. La información cuantitativa se convertiría luego en información cualitativa.

Tycho Brahe

18

Johannes Kepler

Se recomienda a los interesados la lectura de las obras de la Dra. María Reiche.


156 Fué Johannes Kepler (1571 – 1630) quien, analizando las tablas dejadas por Brahe, llegó a la conclusión de que todos los cuerpos celestes se rigen por las mismas reglas. Es más, formuló las tres leyes que llevan su nombre, indicando que TODO cuerpo celeste en el Universo se rige por ellas. Aunque las Leyes de Kepler son ahora conocidas por cualquier estudiante de secundaria, hay que recordar que Kepler realizó con pluma y papel el trabajo que una PC de escritorio haría hoy en cuestión de minutos usando un software estadístico de mediana potencia. Y no tenía conocimiento absoluto del cálculo diferencial e integral. Esa herramienta la inventarían Newton y Leibnitz posteriormente Ese es su gran mérito, y el legado que nos dejó. Kepler enunció sus tres leyes de la siguiente forma: 1. Todo planeta se mueve siguiendo una trayetoria elíptica en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. (Publicada en 1609)

2. El radio vector del planeta cubre superficies iguales en tiempos iguales. (Pulbicada en 1609)


157 3. Los cuadrados de los períodos de las órbitas de los planetas guardan entre sí la misma relación que los cubos de los semiejes mayores de sus respectivas órbitas. (Publicada en 1619)

T12 : T22 : T32 :...  a13 : a23 : a33 :... De la primera Ley de Kepler se desprende que la trayectoria del planeta es una línea curva. Quiere decir que actúa una fuerza dirigida hacia el Sol, y el cuerpo experimenta una aceleración centrípeta. Asumamos inicialmente que el planeta sigue una órbita circular. La aceleración centrípeta se escribirá:

  4  ar   ² r  r T²

 ar es la aceleración centrípeta dirigida a lo largo del radio

donde (de allí el subíndice r) y T es el período de la órbita. De la Tercera Ley de Kepler aplicada a la órbita circular en la forma

T12 : T22 : T32 :...  r13 : r23 : r33 :... obtenemos que

r3 K  const T² siendo K la denominada Constante de Kepler. La aceleración centrípeta será ahora, incluyendo la Constante de Kepler en la expresión inicial

   4 K r ar   ² r  r² r

Ahora bien, habiendo Newton ya enunciado sus Tres Leyes, a partir de ellas podía deducir fácilmente la fuerza actuante sobre el planeta:


    4 Km r F  mar  m ² r  r² r

158

donde m es la masa del planeta. De acuerdo con la III Ley de Newton sobre el Sol debe actuar, de parte del planeta, la misma fuerza, solo que en sentido contrario. La aceleración que experimente el Sol será inversamente proporcional a su masa (muy pequeña por tanto). Por otro lado, al no haber contacto ente los cuerpos, se está produciendo una interacción a distancia entre ellos, la cual es producto de sus masas. Si incluímos la interacción entre masas en la expresión anterior obtenemos:

   4 KMm r 4 K Mm r F   Mr ² r M r² r El término que antecede al producto de masas da origen a una nueva constante

G

4 K M

denominada Constante de Gravitación Universal. Así, Newton formula el siguiente postulado: “Una partícula del Universo atrae todas las demás con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. La dirección de la fuerza sigue la línea que une a las partículas.” Esta es la Ley de Gravitación Universal que se expresa mediante la conocida fórmula

  Mm r F  G r² r

 r Hemos incluído en la notación vectorial el vector unitario dirigido a r lo largo del radio. Es difícil negar el aporte de Brahe y Kepler a este logro de Newton.


159 Dado que la fuerza es centrípeta, y está dirigida a lo largo del radio, su Torque será nulo. Quiere decir, utilizando ya las herramientas newtonianas, que el momentum angular del planeta se mantiene constante. Es decir

     L  r  p  r  mv  const

Ahora bien, si tomamos un tiempo infinitamente pequeño dt, el planeta describirá un arco de longitud dl, que puede aproximarse a

un segmento recto. Por otro lado, dl  vdt . De la figura puede verse que en este intervalo el radio vector ha barrido una superficie elemental dS, que puede calcularse como

1 r.v.dt . Sin embargo, 2 esta es una superficie dirigida, pues será barrida en dirección de las agujas del reloj, o en contra de ellas. Por ello escribiremos

 1   d S  r  vdt 2

ó

 d S  1    S  rv dt 2

 A esta nueva magnitud S la denominaremos Velocidad Sectorial. Multiplicando ambos lados por la masa m

 1   m S  r  mv 2 Reordenando obtenemos

    2m S  r  mv  L


160   dL  0 , el vector Momentum Cuando el torque es nulo M  dt Angular es constante. Como en este caso la fuerza de atracción gravitacional (única actuante) es colineal con el radio vector, su torque es igual a cero. Por lo que podemos concluir que

  2m S  L  const   L S  const 2m La Velocidad Sectorial es constante y, efectivamente, se barren áreas iguales en tiempos iguales. Una vez más, recordemos que Kepler llegó a esta conclusión sin conocer ni el cálculo ni la dinámica. Antes de continuar, debemos precisar que hasta ahora hemos calculado la fuerza de interacción entre dos cuerpos como si se tratase de dos masas puntuales. Sin embargo, cuando los cuerpos se hayan muy próximos respecto En este caso, las distancias no son despreciables, a sus dimensiones, de modo que hay que analizar el problema debe tratarse el dividiendo los planetas en casquetes elementales problema mediante que se atraen entre sí. Luego se deberá tomar la el uso de integral por volumen. integrales. En este caso el planteamiento puede complicarse ya que los planetas no tienen una distribución homogénea de masas. La fuerza de atracción gravitacional es una fuerza central y conservativa. Por lo tanto la energía potencial gravitacional puede calcularse utilizando la relación:


161

 dU  F   gradU   er dr

donde

 er  1 es

el

vector

unitario

respecto

al

radio.

Transformando la expresión a

Fdr  dU

e integrando entre dos puntos cualesquiera, obtenemos la expresión para la energía potencial gravitacional

U  G

Mm r

¿Cómo saber si un cuerpo que pasa cerca de un planeta entrará en órbita, caerá hacia él, o pasará de largo? Recurriremos una vez más a la Ecuación de Energía en vista de que no actúan fuerzas disipativas

E  K U La velocidad del cuerpo componente radial

 v

la descompondremos en una

 vr dirigida paralela al radio vector de posición

respecto al planeta, y una componente angular

 v

perpendicular a

la primera dirigida a lo largo de la tangente a la hipotética órbita del cuerpo. Escribimos la ecuación de energía


162

E  K U 

mv ² Mm G  const 2 r

Luego, tomando en cuenta las componentes radial y angular, y que

v²  vr2  v2

reescribimos en la forma 2

mvr ² mv Mm  G E 2 2 r Para la componente angular se cumple que

v  r

d  r , por lo dr

que la ecuación de energía se transforma en

mvr ² mr ²² Mm  G E 2 2 r El segundo término corresponde a la energía cinética de rotación alrededor del planeta. El primero, a la energía cinética a lo largo del radio (puede que se esté moviendo hacia el planeta o desde el planeta). Una vez más reescribimos la ecuación de energía, esta vez incluyendo el momentum angular del cuerpo:

mvr ² mr ²² mr ² Mm  G E 2 2 mr ² r mvr ² m² r 4² Mm  G E 2 2mr ² r obteniendo

mvr ² L² Mm  G E 2 2mr ² r mvr ² Mm L² G  E 2 r 2mr ²


163 El término V (r )  G

Mm L²  se denomina función de r 2mr ²

potencial, y su gráfica se obtiene a partir de las gráficas de

V1 (r )  G

Mm y r

V2 (r ) 

L² . 2mr ²

La gráfica de potencial se

muestra a continuación.

Puede verse que tiene forma de “pozo potencial”, de modo que la solución se reduce a determinar si el cuerpo tendrá suficiente energía para salir del pozo. Pueden darse tres casos (ver figura siguiente):


164 1. E > 0 : En este caso el cuerpo pasará cerca del origen de la fuerza de atracción (el planeta) por el punto C, alejándose luego hacia el infinito sin retorno. Imagine el lector que suelta una bola desde lo alto de la cuesta graficada. Al no actuar fuerza de rozamiento alguna, la bola pasará el pozo potencial (la energía cinética adquirida se lo permite) y seguirá de largo alejándose indefinidamente. Este es el caso de cometas que pasan una sola vez por el sistema solar como el Kohoutek (1972). Esta situación corresponde a uina trayectoria hiperbólica. 2. E = 0 : En este caso el cuerpo también pasará cerca del astro o planeta central y luego se alejará hacia el infinito. Ahora bien, observe que la gráfica se acerca asintóticamente al eje. Su energía le permitirá alcanzar el mismo nivel inicial “en el infinito”. El concepto de “infinito” es relativo. Puede tratarse de un punto situado a una distancia muchísimo mayor que las dimensiones del sistema visitado. Este es el caso de cometas que visitan periódicamente el Sistema Solar como el Halley, cada 76 años. Este caso corresponde a una trayectoria parabólica. 3. E < 0 : En este caso no hay escapatoria posible. El cuerpo oscilará entre dos posiciones límite (en la gráfica A y B), acercándose al astro en A y alejándose al máximo en B. Este es el caso de una órbita elíptica como la de todos los planetas y asteroides del Sistema Solar Utilicemos ahora la ecuación de energía y la ley de conservación de momentum para calcular los parámetros de una órbita elíptica, específicamente sus ejes mayor y menor. En el Perihelio P y en el Afelio A la componente radial de la velocidad es nula, de modo que vr  0 y la ecuación de energía se escribe ahora en la forma:

Mm L²  0 r 2mr ² Mm L² r²  G r 0 E 2mE E G


165

Cuando E < 0 la ecuación tiene dos raíces reales r1 , r2 , calculadas a partir de la expresión. 2

Mm Mm  L²  G   G  4  r r  2mr ²  r1,2  2 Una de ellas corresponde al Perihelio, la otra al Afelio. La suma de ambas raíces da como resultado la longitud del eje mayor de la

elipse 2a  r1  r2 . Además, al sumar las soluciones obtenemos para el semieje menor:


166

r1  r2  2a  G

Mm E 19

Mm a  G 2E

Calculemos ahora la longitud del eje menor. velocidad sectorial será:

En el punto B la

1 2

  vb Sea en la ecuación de energía

r  a , de modo que:

mv ² Mm G E 2 a Obtenemos para la velocidad el valor

Mm   2 E  G  E M a   v  2  2G m m a

Pero

E  G

Mm , 2a

de modo que luego de reemplazar E en el

radical la velocidad es expresa como:

19

Recuerde que en este caso E < 0, de modo que el resultado final es positivo.


167

v  2G v  G

M M  2G 2a a

M M M  2G  G a a a

Finalmente:

1 M  b G 2 a a b  2 GM


168 ES FISICA…. AUNQUE NO LO PAREZCA Hollywood (no en forma exclusiva) ha abusado de todo tipo de monstruos gigantescos, humanoides en planetas de alta gravedad, insectos gigantes, etc. ¿Que tan viables son? Tomemos por ejemplo a King Kong. En casi todas las versiones pelea con dinosaurios, y .. es del tamaño de ellos. En una versión japonesa de los 60‟s pelea inclusive con… ¡Godzilla! King Kong es un gorila, la estructura de su cuerpo está hecha para andar a cuatro manos o en posición bípeda. Y cuando pelea con el T Rex o con Godizilla se yergue en dos manos. Si observa el cuerpo del gorila verá que la mayor parte de su masa está concentrada en el torso, de modo que: A) El peso que deben soportar las piernas de un gorila semejante sería inmenso. Recuerde que el T Rex para soportar su peso tiene unas patas muy gruesas, su cuerpo está distribuído de modo que su centro de masas se encuentra muy abajo, además tiene una cola para equilibrarse en caso se agache. B) Asumiendo que existiera tal simio, sus huesos

King Kong

T - Rex

Brachiosaurus


169 debe ser muy gruesos, ya que es la única manera de soportar el peso, y debería andar a cuatro manos sin posibilidad de mantenerse en posición bípeda. Los grandes dinosurios eran cuadrúpedos (p.e. el Brachiosaurio). Ni qué decir de Godzilla o Mothra. El tamaño de Godzilla es mayor que el de un rascacielos (ver las versiones de los 60‟s, donde es más alto que la Torre de Tokyo). Definitivamente no podría moverse. En cuanto a Mothra, una polilla de tales dimensiones necesitaría no solo alas mucho más grandes, sino un sistema muscular que pueda mover esas alas. Considerando que los insectos transportan el oxígeno por difusión, Mothra moriría ahogado nada más tratar de levantar su peso del suelo. Quizás en un planeta de menor gravedad… ¿qué opina el lector?

Godzilla y Mothra


170 CAPITULO X DINAMICA DE FLUIDOS A diferencia de los cuerpos sólidos, los líquidos y gases no tienen forma. Adoptan la forma del envase en que se encuentren. En estado de equilibrio, la tensión en un medio fluído (líquido o gas) es siempre perpendicular a la superficie sobre la que actúa. Por otro lado, en estado de ingravidez, todo líquido tiene a tomar la forma esférica, a la que corresponde la mínima energía potencial. En estado de equilibrio la magnitud de la tensión normal actuante no depende de la orientación de la superficie. Para demostrarlo, tomemos una superficie arbitraria S.  Sea n el vector unitario perpendicular a la superficie. La tensión actuante sobre la superficie puede escribirse como:

 n  P n

donde P 

T . El vector S

 Pn puede ser descompuesto de la manera:

    Pn  Px nx i  Py n y j  Pz nz k

Si multiplicamos escalarmente esta consecutivamente, encontraremos que:

expresión

por

   i , j, k

P  Px  Py  Pz Quiere decir que, en estado de equilibrio, la tensión normal (presión P) no depende de la orientación de la superficie sobre la que actúa. Esta es la Ley de Pascal (1623 – 1662)


171 Analicemos ahora un tubo elemental de líquido con volumen elemental dV, base dS y longitud dx. Sobre la base, en el punto x, actúa una fuerza

P( x)dS

, y en el punto (x + dx) una fuerza

 P ( x  dx )dS .

El signo negativo se debe a que, en este último punto, la fuerza actuante es originada por la inercia del líquido que se encuentra más adelante, el cual se opone a la acción de P ( x )dS . La fuerza neta actuante sobre el volumen analizado será

dFx  [ P( x)  P( x  dx)]dS Observe que dentro del corchete tenemos la variación de Presión a lo largo del eje X, considerando las componentes y y z constantes (lo cual es correcto, ya que son perpendiculares al eje X y por lo tanto no influyen en le ecuación). Podemos reescribir esta expresión en forma de derivada parcial:

dFx   Como

P dx dS x

dxdS  dV , entonces la expresión se convierte en:

dFx  

P dV x

Finalmente, como la fuerza en el líquido actúa por unidad de volumen dV, trasponiendo el volumen elemental

dF P  sx   dV x x


172 donde sx es la componente en el eje X de la fuerza actuante por unidad de volumen originada por la variación de la presión normal. Si procedemos de forma análoga para y y z, obtendremos las respectivas proyecciones de la fuerza en los dos ejes restantes.

sy  

dP dP , sz   dy dz

Reconstruímos entonces la fuerza actuante por unidad de volumen originada por la presión sobre la superficie. Para ser más exactos, originada por la variación de la presión en su distribución espacial:

sx   y

P P P ; sy   ; sz   x y z

 P  P  P  s  i  j k x y z  s   grad P 

En estado de equilibrio de equilibrio, la fuerza s debe equilibrase con

la fuerza volumétrica f actuante por parte del líquido

 f  gradP  0  f  gradP

A esta última expresión se le conoce como Ecuación fundamental de la hidrostática. En caso que el líquido NO se encuentre en equilibrio, bajo la acción de la fuerza neta experimentará un cambio de estado. En este caso obtendremos

 dv    f  gradP dt

que no es más que la ecuación de movimiento del líquido. Esta es la Ecuación de Euler. A partir de la ecuación de equilibrio podemos concluir que, en  f debe expresarse como la equilibrio, la fuerza volumétrica gradiente de una función escalar. Es decir, debe depender


173 solamente de sus coordenadas y de ningún otro factor. Significa  que f debe ser una fuerza conservativa. Así, para que un líquido se encuentre en equilibrio es necesario y suficiente que el campo de fuerzas en el que se encuentra sea conservativo.

En caso no actúen fuerzas volumétricas entonces f  0 , y por lo tanto

P P P    0 . En equilibrio, la presión P es la misma en x y z

cualquier punto del volumen del líquido. Si el líquido se encuentra en

  f   g . Pero el peso

el campo de atracción de la Tierra entonces está dirigido a lo largo de la vertical por lo que:

P P P   0;   g x y z

Quiere decir que la presión no depende de las coordenadas x e y, y que en cada plano z = const la presión debe ser constante. A estos planos se les denomina Superficies isobáricas (la presión es la misma en cada punto). Si el líquido es homogéneo e incompresible, y asumimos g = const obtenemos que la variación de presión respecto a la altura se expresa como

P  Po   gz

donde la constante de integración Po es la presión del líquido en z = 0, es decir, en la superficie libre del líquido. Veamos qué ocurre en el caso de un gas. Al igual que en el caso anterior, la presión depende solamente de la componente vertical. Para un gas en equilibrio, a partir de la ecuación de Mendeleev obtenemos

P

RT

donde  es el peso molecular del gas y R la constante universal de gases (R = 8.31 J.k-1mol-1). La ecuación diferencial puede escribirse como:


dP g  P dz RT

174

La temperatura T puede ser medida a diferentes alturas sin mayor problema, y de esta manera podemos conocer la dependencia T(z). Conociendo esta dependencia podemos con toda confianza tomar la integral. Si asumimos que T = const, entonces la tarea se simplifica, ya que la ecuación diferencial en variables separables

dP g  dz P RT

da como resultado, luego de su integración:

ln

P  gz  Po RT

Aplicando el operador exponente:

P  Poe

 gz RT

Esta es la denominada Fórmula barométrica. Es la misma ley por la cual varía la densidad del aire respecto a la altura, por ejemplo:

   oe

 gz RT

donde o es la densidad en z = 0, es decir, a nivel del mar. A pesar de que es un modelo donde hemos idealizado el comportamiento de la temperatura, puede explicarse rápidamente el lector el por qué al subir a altura, cada centenar de metros hacia arriba es más difícil de tolerar. No es lo mismo subir de 1000 a 1200 msnm, que de 2000 a 2200, y menos de 4600 a 4800!!!! La densidad


175 del aire (y la presión) decrecen exponencialmente. El típico zumbido en los oídos, percibido cuando subimos a gran altura, se debe a la diferencia de presiones entre el medio interno y el medio externo, haciendo que el tímpano se tense hacia afuera, sensación que se hace más sensible con cada metro que subimos. Por otro lado, la cantidad de oxígenos disponible disminuye en picado, 20 provocando la conocida sensación de “soroche”.

En la figura puede apreciarse la gráfica teórica de decrecemiento de la presión a medida que nos elevamos sobre el nivel del mar. Observe que rápido decrece en las “cercanías” del nivel “0”. Si desea una referencia sobre qué significa cada nivel de altura, compare la sensación experimentada en Huancayo, Cuzco, Puno y Pasco.

20

Para mayor detalle sobre los efectos de la altura en el ser humano puede consultar “El Reto Fisiológico de Vivir en los Andes”, editado por C. Monge y F. León Velarde, IFEA, LIMA - PERU.


176 VALORES DE LAS DIFERENTES PRESIONES ATMOSFERICAS EN 21 FUNCION DE LA ALTURA Altitud P. Barométrica P. O2 Ambiental (m) (mm Hg) (mm de Hg) 0 760 159.2 1000 647.1 141.2 2000 596.3 124.9 3000 526 110.2 3500 493.4 103.4 4000 426.5 96.9 4200 450.6 94.4 4400 438.9 91.9 4600 427.5 89.6 5000 405.4 84.9 6000 354.2 74.2 7000 308.3 64.6 8000 267 56.0 8848 236.3 49.5 En la tabla se aprecia la variación de la Presión atmosférica y la Presión parcial del oxígeno a medida que se incremente la altura.

Se muestra la gráfica real de variación de Presión respecto a la Altura. Se incluye además la ubicación de algunas ciudades del Perú según su elevación sobre el nivel del mar 22.

21

Tomado de “Altura: Conocimientos Básicos”, Unidad de Diagnóstico de Tolerancia de Altura (UDTA – LID), Universidad Peruana Cayetano Heredia.


177 Analicemos ahora el comportamiento de un líquido en movimiento. Para ello tomemos un tubo por el cual circula líquido de manera tal, que las partículas se mueven a lo largo de líneas paralelas entre sí (líneas de corriente), sin cruzar de una a otra. El tubo tiene una sección de entrada S1 y una sección de salida S2. La masa dm que pasa por una sección por unidad de tiempo está definida por:

dmi   Si vi dt

Aquí, el subínidice indica la sección por la que pasa el elemento de masa,  es la densidad del líquido (que consideraremos constante, lo que corresponde a un líquido incompresible), S es la sección transversal y vi dt es el segmento que avanza el líquido en el intervalo de tiempo analizado. Por Ley de Conservación de masas, la masa que entra al tubo es la misma que sale, de modo que

 Volumen1   Volumen2  S1v1dt   S2v2 dt S1v1  S2v2  const A menor sección del tubo, la velocidad del líquido es mayor. Esta es la Ecuación de Continuidad de un líquido. El lector ya ha utilizado intuitivamente este principio (sin darse cuenta) al regar el jardín p.e. Cuando queremos alcanzar un lugar alejado, cerramos ligeramente la sección de salida con el dedo. De esta manera el agua sale con mayor velocidad, por lo tanto con 22

Fuente: Boletín de Estadísticas Geográficas No 1. Instituto Nacional de Estadística, 1987


178 mayor momentum (es la misma masa por unidad de tiempo), y como consecuencia, tiene mayor alcance. Algo parecido sucede con las magueras utilizadas por los bomberos. Estas tienen una salida de diámetro mucho menor que la manguera. Así logran imprimir mayor velocidad a la masa de agua, alcanzado pisos altos desde el nivel de la calle.

Dos tomas que permiten apreciar la velocidad con que sale el chorro de agua de una manguera contra incendios. Aparte de la presión proporcionada por la bomba, la menor sección de salida permite incrementar la velocidad y, por lo tanto, el alcance.

Veamos ahora qué ocurre cuando incluímos en el análisis la acción de un campo de fuerzas conservativas, p.e. el campo gravitacional de la Tierra. Para ello utilizaremos la Ley de Conservación de energía. Despreciaremos cualquier intercambio de calor que pudiera haber entre el líquido y el medio. El trabajo realizado por la fuerza de presión al trasladar la masa contenida en el tubo desde MNCD a M‟N‟C‟D‟ será igual a la variación de energía de este 23 elemento de masa. El trabajo realizado por la presión P1 en S1 23

La presión P está determinada exclusivamente por la densidad del líquido y su temperatura T.


179 puede ser expresado como A1  PS 1 1l1 , donde l1  MM ' es el desplazamiento registrado. El trabajo realizado por la presión P2 en S2 es opuesto al movimiento del líquido, por lo tanto podemos representarlo como realizado será

A2  P2 S2l2

donde S2  DD ' . El trabajo total

A  Fl 1 1  F2l2  PS 1 1 (v1t )  P2 S2 (v2 t ) Hemos reemplazado los desplazamientos por los productos de velocidad y tiempo en extremo. Este trabajo tiene que ser igual a la variación de energía mecánica del líquido. La energía mecánica en cada extremo será

1 mv1 ²  mgh1 2 1 E2  mv2 ²  mgh2 2 Escribiendo detalladamente la ecuación A  E2  E1 : E1 

1 2 1  mv2  mgh2   mv12  mgh1  2 2  Ahora

bien,

de

 PS 1 1 (v1t )  P2 S 2 (v2 t )

la

ecuación de continuidad tenemos que S1 (v1t )  S2 (v2t )  V . El volumen que entra y sale del tubo es el mismo. Por lo tanto dividimos toda la ecuación entre el volumen y agrupamos los términos comunes. Obtenemos un resultado interesante:

1 2 1  v2   gh2  P2   v12   gh1  P1  const 2 2 Esta ecuación, que no es mas que consecuencia de la Ley de Conservación de Energía, se denomina Ecuación de Bernoulli (1700 – 1782). A lo largo de una línea de corriente de un líquido


180 ideal la suma de la energía mecánica del líquido y la presión permanece constante. El término

1 2  v representa la energía cinética del líquido por unidad 2

de volumen. A fin de mantener la homogeneidad de la expresión (P es parte de ella), se le denomina Presión cinética o Presión Dinámica. El término  gh representa la energía potencial del líquido por unidad de volumen en el campo gravitacional de la tierra. Si el tubo se encuentra en posición horizontal (h1 = h2), entonces la expresión se simplifica. Quedan solamente la energía cinética por unidad de volumen y la presión:

1 2 1  v2  P2   v12  P1  const 2 2 Quiere decir que la presión es mayor allí donde la velocidad sea menor. O, puesto de otra forma, a mayor velocidad del líquido, menor presión. Podemos, a partir de la ecuación de continuidad, afirmar que en aquellos segmentos en que la sección sea menor, la presión será menor; y allí donde la sección sea mayor la presión será mayor.

En la figura se muestra un tubo de sección decreciente. Las diferencias de altura son despreciables. Puede apreciarse que, a medida que la sección se estrecha, la presión disminuye, ya que la velocidad aumenta (Ecuación de Continuidad).

No debe extrañar este resultado al lector. Recuerde que la presión es originada por el choque de las moléculas sobre las paredes, de modo que, cuando la velocidad es baja, las moléculas pueden chocar


181 un mayor número de veces por unidad de tiempo con la pared (mayor presión). Pero, si la velocidad aumenta, las moléculas serán “jaladas” hacia adelante, chochando un menor número de veces con las paredes (menor presión).

En la figura se muestra (en forma intencionalmente exagerada) la manera en que decrece la presión a medida que aumenta la velocidad. Al moverse cada vez más rápido, el número de golpes por unidad de tiempo de la molécula sobre las paredes disminuye.

Un resultado semejante se obtiene si en un tubo como el que se muestra a continuación, con sección variable, y unido a manómetros de agua unidos como vasos comunicantes, se hace ingresar aire con cierta velocidad. En el tubo delgado la presión de aire será menor, por lo que la columna de líquido se elevará más que en los manómetros unidos a las secciones anchas.

Si hacemos la sección de salida del tubo cada vez más pequeña, el líquido subirá cada vez más. Si además de hacer el tubo extremadamente estrecho en el extremo, introducimos aire a gran velocidad, la presión del aire será menor que la presión del líquido.


182 El líquido saldrá del tubo, se mezclará con el aire y será expulsado en la dirección del aire. Pero la mezcla estará cambiando de una sección muy pequeña a una sección para efectos prácticos “infinita”, de modo que la mezcla se expandirá tratando de ocupar el máximo volumen posible mientras su momentum la impulsa hacia adelante. Este es el principio del pulverizador, y es aplicado tanto en desodorantes (spray) como en nebulizadores. Utilicemos ahora los resultados obtenidos para medir el gasto de líquido que pasa por un tubo (masa que pasa por unidad de tiempo). Para ello, reescribiremos la Ecuación de Bernoulli en la forma:

La masa que pasa

v1 ² P1 v2 ² P2    2  2  por el tubo es M   S1v1t   S1v1t de

modo que, siendo el gasto Q 

v1 

Q Q , v2   S1  S2

M , determinamos las velocidades t

. Reemplazando en la Ecuación de Bernoulli:

P P Q² Q²  1  2 2  ² S1 ²  2  ² S 2 ²  Q²  1 1  1      P2  P1  2  ²  S1 ² S 2 ²   Q  2  S1S 2

P2  P S 2 ²  S1 ²

Analicemos ahora que ocurre en un tubo de sección constante pero curvatura muy pronunciada. Si seguimos la línea marcada por la velocidad veremos que chocará en el codo ejerciendo una fuera F sobre el tubo. Por III Ley de Newton el tubo reaccionará con una fuerza F‟.


183

Luego del chocar con el codo, el líquido cambia de dirección y sale despedido por el otro extremo. Despreciemos la turbulencia que pueda ocasionar el cambio de dirección. Para un sistema cerrado, la ley de conservación de momentum se escribe siendo

  p  mv .

  dp1 dp2   0, dt dt

Los respectivos momenta serán

  p1   S1v1t.v1   p2   S2v2 t.v2

Pero de las condiciones del problema la sección es invariable, por lo que la magnitud de la velocidad también lo será. Quiere decir que

  S2  S1  S ,  v1  v2  v .

La variación de momentum

puede escribirse entonces en la forma

   p   Sv(v2  v1 )t

y si t  0 pasando la límite

   dp   F   Sv(v2  v1 ) dt


184 Puede verse que la fuerza que se ejercerá sobre el codo no solo es proporcional a la magnitud de la velocidad, sino también a la variación vectorial de la misma. Quiere decir que, cuanto más pronunciado sea el codo (cercano a 90 grados o mayor), mayor será la fuerza actuante. El líquido, al actuar en forma contínua sobre el codo, primero lo deformará, y si no es elástico, lo romperá.

La arteria aorta soporta la salida de la sangre recién bombeada por el corazón. Esta sangre sale con velocidad máxima. La aorta distribuye inicialmente esta sangre, debiendo dirigir hacia la parte inferior del cuerpo gran parte del flujo, dando una vuelta de casi 180 grados. La aorta es una arteria muy gruesa, la más gruesa de todas. De no ser así, no soportaría la fuerza que la sangre bombeada ejerce sobre ella.

Hasta ahora hemos tratado con un líquido ideal, en el cual las partículas viajan en forma paralela a lo largo de líneas de corriente, no chocan una con la otra, ni cruzan de una línea a otra. En una situación real, las moléculas chocan entre sí, y chocan con las paredes del recipiente (que no es idealmente liso) de forma inelástica. Hay rozamiento, tanto entre el líquido y las paredes, como entre las diferentes capas del líquido mismo. Esta fuerza de rozamiento entre capas, dirigida en forma tangencial a la capa de líquido se denomina fuerza de rozamiento interno o viscosidad. Sobre la existencia del rozamiento interno puede el lector convencerse tomando un recipiente cilídrico cualquiera y llenándolo


185 con agua. Una vez que la superficie del agua se estabilice, comience a dar vueltas al envase. Poco a poco todo el líquido comienza a girar, primero los bordes, y luego el centro. Primero, por rozamiento, son arrastradas las capas más cercanas a la pared. Luego estas capas arrastran a las siguientes y así consecutivamente. Finalmente todas las capas girarán uniformemente como si se tratase de un cuerpo sólido. Analicemos ahora en detalle esta situación. Tomemos dos capas paralelas de líquido separadas entre sí una distancia h. La capa inferior se encuentra en reposo, mientras que la capa superior se desplaza con una velocidad

vo .

A fin de que la capa superior pueda moverse de manera uniforme, es necesario aplicar una fuerza  F en dirección del movimiento (en caso contrario, el rozamiento terminaría por frenarla totalmente). A fin de mantener  la capa inferior en su posición es necesario aplicar una fuerza  F tangente a la superficie. En caso contrario, la capa inferior sería finalmente arrastrada por las capas intermedias, las que a su vez son arrastradas por la capa superior. Sir Isaac Newton estableció en forma experimental la magnitud de

v

esta fuerza F, que es proporcional a la velocidad o y la superficie S de la capa, e inversamente proporcional a la distancia entre las capas.

F  S

vo h

El coeficiente de proporcionalidad  se denomina coeficiente de rozamiento interno ó coeficiente de rozamiento viscoso.


186 Depende exclusivamente de los parámetros que caracterízan el estado interno del líquido, especialmente de la temperatura.

Si la capa superior se mueve con velocidad v1 , y la capa inferior con

velocidad v2 , la expresión anterior será proporcional a la velocidad relativa de las capas:

F  S

v2  v1 h

Note el lector que el cociente expresa una variación de velocidad respecto a la altura h. Esta no es otra cosa que la diferencia de posiciones de las capas en el eje vertical Y . Por lo tanto podemos reescribir el cociente en la forma v

y

F  S

y entonces

v y

Si la distancia entre las capas es infinitamente pequeña, y  0, y pasando al límite encontramos que

F  S

dv dv  S x dy dy

Hemos agregado el subíndice x para denotar que es la velocidad horizontal la que varía respecto a la altura. Dicho de otra manera, la velocidad longitudinal de una capa de líquido varía en función de su altura respecto a la base. Analicemos ahora qué ocurre en un tubo cilíndrico de radio R, por el cual fluye un líquido incompresible viscoso. Tomemos un segmento elemental del tubo de manera tal que la velocidad de la corriente v es la misma a lo largo del tubo. La velocidad sí puede variar en función de la distancia r desde el centro. Quiere decir


que v  v(r ) . El segmento elemental tiene una superficie , altura dx y superficie lateral S.

187

Sobre la superficie lateral actúa una fuerza tangencial de rozamiento interno

dv dv   (2 rdx) dr dr dv dF  2 r dx dr dF   S

donde 2 rdx es la superfice lateral del cilindro.

Por otro lado, entre los extremos del cilindro actúa, una fuerza generada por la diferencia de presiones

dF   P( x)  P( x  dx)  . dF   r ²

dP dx dx

Cuando la corriente es estacionaria (las líneas de corriente no se cruzan ni se cortan, sino que discurren en todo momento paralelas entre sí), estas fuerzas se encuentran en equilibrio:

dv dP dx   r ² dx  0 dr dx dv dP 2 r dr dx

 2 r

Al plantear el problema ya habíamos indicado que v(r ) , la derivada

dv no dependen de x, por lo que en el eje X es constante. Debe ser dr dP constante entonces la derivada , la que puede entonces dx escribirse en función de la diferencia de presiones entre los extremos y la longitud l del tubo en la forma obtenemos la ecuación diferencial:

dP P2  P1  . Como resultado, dx l


dv  

P1  P2 rdr 2 l

188

Tomando la integral desde un punto situado a una distancia r del centro hacia el borde: 0

 v

R

dv    r

P1  P2 rdr 2 l

P2  P1  R²  r ²  4 l P v(r )   R²  r ²  4 l v(r ) 

Vemos que las velocidades en el tubo se distribuyen en función del radio, desde una velocidad máxima en el eje, vale decir r  0

vmax 

P

4 l

hasta v  0 en el borde, cuando r  R . Además, la distribución tiene forma de parábola, desde el eje hacia los bordes. En cuanto al gasto Q de líquido en el tubo, es decir, la masa que atraviesa la superficie  por unidad de tiempo, podemos escribir

dQ   v,    r ² d Como dS  2 rdr , entonces el gasto elemental es:

dQ   v 2 rdr

Reemplazando la velocidad por la expresión v(r ) ya encontrada, tenemos:


189

P Q  2 ( R ²  r ²)rdr  4 l 0 R

Q  

P 4 R 8 l

Esta es la denominada Fórmula de Poiselle.

Distribución de velocidades en un tubo de corriente estacionaria. Las capas más cercanas a las paredes experimentan el mayor rozamiento, por lo que tienen la menor velocidad. Estas capas frenan a las que se encuentran inmediatamente adyacentes, mas no en la misma medida, ya que este es ahora rozamiento viscoso, entre capas del mismo líquido. Estas a su vez frenan las siguientes capas, y así sucesivamente. La capa central es la que experimenta el menor rozamiento viscoso, por lo que la pérdida de velocidad es mínima. A lo largo del eje la velocidad del líquido es máxima


190 ES FISICA … AUNQUE NO LO PAREZCA La sangre no es un fluído ideal. Contiene góbulos rojos (eritrocitos, encargados del transporte del O 2 hacia las células) y leucocitos (glóbulos blancos, los defensores del organismo). Es un fluído viscoso, por lo que cabe esperar que la distribución de velocidades en las arterias y arteriolas siga la forma parabólica que hemos encontrado párrafos atrás. Sin embargo, lo que se observa en arterias y arteriolas es que se comporta como un líquido casi ideal, como si los eritrocitos no estuvieran presentes. En las inmediaciones de las paredes se registra ¡¡¡¡la velocidad máxima!!!!

La sangre contiene glóbulos rojos, que son los encargados de entregar el oxígeno a las células y recoger el dióxido de carbono

Esta aparente paradoja tiene una explicación muy simple. Los glóbulos rojos son partículas diluídas en la sangre. Al momento de ser bombeada la sangre, la distribución de eritrocitos en el volumen respecto al radio de la arteria puede considerarse homogénea. La velocidad es, efectivamente, mayor en el eje longitudinal de la arteria que en la pared. Pero esta alta velocidad comienza a arrastrar los eritrocitos hacia el eje, atrayéndolos como si fuera un sumidero, concentrándolos en su cercanía, y alejándolos de la paredes. Como resultado, cerca de las paredes queda solamente plasma, el cual comienza a moverse más rápidamente que la mezcla de plasma y eritrocitos que se forma en el eje. Aquí se está concentrando una gran cantidad de masa, por lo que inercia aumenta, y su velocidad resulta siendo menor. A este fenómeno se le denomina Efecto Fahraeus – Linqdvist.


191

Ilustración del efecto Fahraeus – Linqdvist. Los eritrocitos son atraídos por la corriente hacia el centro, produciéndose una acumulación en el eje. Esto incrementa la viscosidad, frenando el líquido en el eje. Por otro lado, cerca de las paredes queda solo líquido, el cual tiene una menor viscosidad que la mezcla de líquido y glóbulos acumulada en el centro. Al tener una menor viscosidad, las capas exteriores fluirán más rápido que las centrales, invirtiéndose la distribución de velocidades. Este fenómeno cesa definitivamente en los capilares, donde el diánetro es tan estrecho que los góbulos rojos avanzan uno tras ooro en un lento movimiento semejante al de una oruga.


192 MAS FISICA …. EN LA SANGRE A partir de la Fórmula de Poiselle se obtiene el coeficiente de resistencia hidráulica. La fórmula de Poiselle Q  

P 4 R nos 8 l

dice que, debido a la diferencia de presiones entre los extemos de tubo, se produce un gasto de líquido. Pasa determinada masa de líquido por una superficie por unidad de tiempo. Este gasto es regulado por los siguientes factores:  la viscosidad del líquido (resistencia interna) : Cuanto mayor resistencia interna menor masa llega a pasar de un extremo a otro por unidad de tiempo. La resistencia frena el flujo  la longitud del tubo: A mayor longitud, mayor tiempo empleado en recorrer el tubo. Conjugue con el efecto anterior. Y si añadimos a ésto el hecho de que las partículas vibran chocando unas con otras, la cantidad de choques (y y por lo tanto la desviación momentánea de la trayectoria principal) aumenta  la densidad del líquido: Cuantifica la inercia del líquido, cuanto más denso, mayor inercia, mayor resistencia al cambio de estado, v.g. al movimiento  el radio del tubo: A mayor radio, mayor cantidad de líquido ingresa y por lo tanto pasa mayor cantidad por el otro extremo. Reescribiendo la fórmula como una relación causa – efecto, cuya magnitud es regulada por ciertos factores tenemos:

Q

1  8 l    R 4   

P

8 l 24 . A  R 4 partir de esta expresión vemos que hay varias formas de reducir la resistencia hidráulica: - reducir la viscosidad del líquido El coeficiente de resistencia hidráulica será entonces

24

Este razonamiento es muy semejante al que se hace para deducir la Ley de Ohm

I V

R


193 -

reducir la longitud del tubo aumentar la densidad del líquido aumentando al mismo tiempo el radio del tubo incrementar la sección transversal  R ² del tubo.

La tarea del sistema circulatorio es hacer llegar la sangre a todas las células por muy alejadas que se encuentren, Y la bomba de la cual se dispone (corazón) no es de régimen contínuo, sino de pulsos. Cada pulso debe ser aprovechado al máximo, para lo cual las arterias decrecen en radio (ecuación de continuidad). Pero la sangre es viscosa, y la longitud a recorrer muy grande. La densidad 25 y la viscosidad de la sangre no pueden variarse , de modo que para reducir la resistencia se debe hallar una solución que: A) reduzca las distancias a recorrer longitudinalmente B) maximice la sección transversal En la figura siguiente se aprecia el esquema del sistema circulatorio, desde las arterias hasta las venas.

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En realidad si lo hacemos, sobre todo cuando constantemente nos alimentamos con alimentos de alto contenido de grasas como p.e. hamburguesas, pollo broaster, etc. Las grasas ingresan al torrente sanguíneo variando la viscosidad de la sangre.


194 Observe que la solución es una combinación de ambas soluciones posibles. Puede apreciarse que el conducto principal se ramifica. Estas ramificaciones no son largas, por el contrario, los ramales resultantes de cada ramificación consecutiva son más cortos. De esta manera, en cada ramificación se reduce la longitud del tubo. Por otro lado, el área TOTAL se incrementa en cada paso, sumando las áreas parciales de los tubos ramificados, llegando al máximo en los capilares. Cabría esperar, de acuerdo con la Ley de Bernoulli, que luego la velocidad aumente al comenzar a converger los capilares en vénulas, y éstas en venas. Esto es lo nos dice la curva teórica. Sin embargo, la viscosidad del líquido es muy alta en los capilares, ya que en cada capilar el diámetro es muy pequeño (5 – 7 m). De no ser así, pasarían demasiado rápido, y no entregarían el oxígeno adecuadamente, ni recogerían el dióxido de carbono. Este movimiento de oruga (ver figura) termina por reducir la velocidad de la sangre a prácticamente cero. La sangre venosa se moverá por el empuje de la sangre que viene de las arterias, pero con baja velocidad. Esta baja velocidad es el motivo por el cual la sangre siempre se extrae de una vena.

Tenemos entonces zonas de baja viscosidad y alta velocidad (arterias), y zonas de alta viscosidad y baja velocidad (arteriolas y capilares). Estas últimas son las zonas de disipación de energía.


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Curso de Física General - Mecánica