174. Дано: ABCD; АС=СВ = 5; DB = 5 5 . Решение: Построим линейный угол двугранного угла ABCD. АС ⊥ СВ по условию, следовательно, надо найти еще один отрезок, перпендикулярный СВ. Нам по условию даны несколько прямоугольных треугольников; подсчитаем остальные ребра тетраэдра по теореме Пифагора: AB =
AC 2 + CB 2 = 25 + 25 = 50 = 5 2 ;
AD = DB 2 − AB 2 = 5 3 ; DB =
AD 2 + AB 2 = 5 5 ;
DC = AC 2 + DA 2 = 5 2 ⋅ 3 + 5 2 = 10 .
Заметим, что в ∆DBC DB2 = DC2 + BC2. То есть ∠DCB = 90о. BC ⊥ AC, BC ⊥ DC, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости ВС ⊥ пл. ADC, следовательно, ∠ACD – линейный угол двугранного угла ABCD. cos ∠ACD =
1 AC 1 = , отсюда ∠ACD = arccos = 60 o (т.к. угол 2 DC 2
острый). Ответ: 60о. 175. Решение: Построим SO ⊥ пл. АВС. SA, SB, SC – наклонные, а равные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВС АО = R, R – радиус описанной окружности. ∆АВС – правильный; продолжим АО, СО и ВО до пересечения их со сторонами треугольника. ВВ1 ⊥ АС, СС1 ⊥ АВ, АА1 ⊥ ВС (из свойств правильного треугольника). Соединим точки S и В, А1 и S, С1 и S. ∠SB1O – линейный угол двугранного угла SAСВ. ∠SC1О – линейный угол двугранного угла SABC. 88