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donde |φc i representa la parte condensada y P0
|φJ i = e
k
fkˆb†k↑ˆb†−k↓
|0ib ,
(2.43)
representa la parte normal, o no condensada, del estado fundamental [62] y donde P k6= ± Q .
P0
k
=
2
Dado que la funci´on de onda de partida (2.39) es un singlete, se puede ver entonces que la aparici´on de este condensado est´a relacionado con la ruptura de la simetr´ıa SU (2) en el estado fundamental [60, 61, 62]. F´ısicamente esto puede pensarse considerando el proceso hipot´etico de encender un campo magn´etico espiral h con vector de onda Q, tomar el l´ımite termodin´amico N → ∞, y luego hacer el l´ımite h → 0. Por ejemplo, un estado coherente
√ Nm |φc i = e
2
! ˆb† +ˆb† Q 2 ↑
Q − 2 ↑
−ˆb†Q +ˆb† 2 ↓
Q − 2 ↓
|0ib
(2.44)
as´ı seleccionado se corresponde con un estado espiral cu´antico con magnetizaci´on m y vector de onda magn´etico Q sobre el plano y − z, dado que el valor medio del operador esp´ın en este estado es hφc |Sˆiy |φc i = m sin (Q·Ri )
hφc |Sˆiz |φc i = m cos (Q·Ri ) ;
(2.45)
mientras que la magnetizaci´on local m y el condensado de bosones est´an relacionados por r
Nm δk,− Q + δk,+ Q 2 2 r 2 Nm hφc |ˆbk↓ |φc i = δk,− Q − δk,+ Q , 2 2 2 hφc |ˆbk↑ |φc i =
(2.46)
que en el espacio real implica un valor medio de los espinores de la forma
ˆ √ hφ |b |φ i cos c i↑ c = 2m hφc |ˆbi↓ |φc i ı sin
.
Q·Ri 2 Q·Ri 2
(2.47)
Reemplazando estos valores en las ecs. (2.12) se obtienen las expresiones semicl´asicas para los par´ametros de campo medio Aij = hφc |Aˆ†ij |φc i = ı m sin [ Q2 ·(Rj −Ri )] ˆ † |φc i = Bij = hφc |B ij
m cos [ Q2 ·(Rj −Ri )] ,
(2.48)