Matemรกtica
Temario de Matemática
I.
Conjuntos Numéricos A. Números naturales y números enteros B. Fracciones C. Relación entre fracciones y números decimales
II.
Números Naturales A. Operaciones con números naturales B. Potencias con números naturales (propiedades) C. Raíces cuadradas con números naturales D. Jerarquía de opciones (uso de signos de agrupación)
III.
Divisibilidad A. Múltiplos y divisores B. Criterios de divisibilidad C. Números primos y compuestos D. Descomposición de un número en producto de factores primos E. Máximo común divisor F. Mínimo común múltiplo
IV.
Números Enteros A. Numero entero y su opuesto B. Recta numérica C. Suma y resta de dos números enteros D. Suma y resta de varios números enteros E. Multiplicación de números enteros F. División de números enteros G. Potencias con base entera H. Operaciones combinadas
V.
Decimales y Fracciones A. Operaciones con números decimales B. Fracciones equivalentes C. Simplificación de fracciones D. Reducción de fracciones a común denominador E. Suma y resta de fracciones F. Producto y cociente de fracciones G. Potencia de fracciones
VI.
Proporcionalidad y Porcentajes A. Razón y proporción B. Proporcionalidad directa C. Proporcionalidad inversa D. Repartos de proporcionalidad directa E. Porcentaje
VII.
Ecuaciones y Álgebra I.
Expresiones algebraicas
II.
Operaciones algebraicas
III.
(Suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación)
IV.
Productos notables
V.
Factorización
VI.
Ecuaciones (lineales y cuadráticas)
VII.
Sistemas de ecuaciones
VIII.
Funciones A. Función y sus elementos B. Composición y combinación de funciones C. Graficas de funciones D. Transformación y traslación de funciones E. Funciones constantes
F. Funciones lineales G. Funciones cuadráticas H. Funciones cubicas I. Funciones polinomiales J. Funciones racionales K. Funciones exponenciales L. Funciones radicales M. Funciones logarítmicas N. Funciones trigonométricas
IX.
Geometría A. Figuras planas B. Triángulos C. Teorema de Pitágoras D. Funciones trigonométricas E. Cuadriláteros F. Polígonos regulares G. Circunferencia y círculo H. Área de figuras planas I. Cuerpos geométricos J. Prisma K. Pirámide L. Cilindro M. Cono N. Esfera
I.Conjuntos numéricos A. Números naturales y enteros Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). El conjunto de los números naturales está formado por: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Números enteros El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
B. Fracciones Numerador / denominador Al número de arriba lo llamamos numerador, es el número de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. Fracciones equivalentes Algunas fracciones parecen diferentes pero en realidad son la misma, por ejemplo: 4/
8
(cuatro octavos)
=
2/
4
(dos cuartos)
=
1/
2
(una mitad)
Normalmente lo mejor es dar la respuesta usando la fracción más simple ( 1/2 en este caso). Eso se llama simplificar o reducir la fracción. C. Relación entre fracciones y números decimales Los números decimales son números cuyo valor de posición se basa en 10s. Los números enteros son en realidad números decimales que son mayores o iguales a cero. La tabla de los valores de posición puede extenderse para incluir los números menores que uno, que a veces son llamados fracciones decimales. Se usa un punto decimal para separar la parte del número entero y la parte del número fraccionario. Fracción
Número decimal 1/10 0.1 1/5 0.2 ½ 0.5 5/10 (esta fracción es equivalente a 1/2 pues resulta de 0.5 multiplicar numerador y denominador por 5, de ahí que representen el mismo número decimal) ¼ 0.25 ¾ 0.75 2/2 1.0 2/11 0.18181818… 11/3 3.66666666... 128/45 2.8444444...
Así pues, para encontrar la expresión decimal de una fracción basta con dividir el numerador por el denominador de ésta, por ejemplo la fracción 1/2, cuya división da como resultado 0.5 (ó 1:2). Ahora bien, vemos que no siempre el resultado que nos da la división de una fracción resulta ser un número decimal exacto (cuando tiene un número finito de cifras decimales distintas del 0), cuando esto ocurre, hablamos de decimales periódicos puros o mixtos. II. Número naturales A. Operaciones con números naturales Suma de números naturales A+b=c Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma 1. Interna: a + b 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5+5=2+8 10 = 10 3. Conmutativa: a + b = b + a 2+5=5+2 7=7 4. Elemento neutro: a + 0 = a 3+0=3 Resta de números naturales A-b=c Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. Propiedades de la resta 1. No es una operación interna 2−5 2. No es conmutativa 5−2≠2–5 Multiplicación de números naturales A·b=c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación 1. Interna: a · b 2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5) 6 · 5 = 2 · 15 30 = 30 3. Conmutativa: a · b = b · a 2·5=5·2 10 = 10 4. Elemento neutro: a · 1 = a 3·1=3 5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 2 · 8 = 6 + 10 16 = 16 6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 6 + 10 = 2 · 8 16 = 16 División de números naturales D: d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, d, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Propiedades de la división 1. División exacta
15 = 5 · 3 2. División entera
17 = 5 · 3 + 2 3. No es una operación interna 2: 6 4. No es conmutativo. 6: 2 ≠ 2: 6 5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0: 5 = 0 6. No se puede dividir por 0.
B. Potencias con números naturales Una potencia es la multiplicación de un mismo número escrita en forma abreviada. Si un cierto número a es multiplicado una cierta cantidad n de veces, escribimos la potencia de la siguiente forma:
A es un número natural incluido también el cero (se llama base) N es un número natural (se llama exponente)
Propiedades de las potencias 1. A0 = 1 2. A1 = a 3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n 25 · 22 = 25+2 = 27
4. Cociente de potencias con la misma base: am : a n = am - n 25 : 22 = 2 5 - 2 = 2 3
5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n (25)3 = 215
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n 2 3 · 43 = 8 3 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n 63 : 33 = 2 3 C. Raíces cuadradas con números naturales La raíz cuadrada de un número entero positivo es el valor positivo que elevado al cuadrado es igual a dicho número.
Ejemplo:
El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que todo número al cuadrado es positivo.
Ejemplo:
Raíz cuadrada de un número entero Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo. Ejemplo:
El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número. Ejemplo:
Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.
Raíz cuadrada entera La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no sea un cuadrado perfecto. Ejemplo:
La raíz entera de un número entero es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.
El resto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera. Resto = radicando − raíz2 Ejemplo: Resto = 17 − 42 = 1 D. jerarquía de operaciones Tipos de operaciones combinadas Operaciones combinadas sin paréntesis -
Combinación de sumas y diferencias.
9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. = 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7 -
Combinación de sumas, restas y productos.
3·2-5+4·3-8+5·2= Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15 -
Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = Efectuamos las sumas y restas. = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10
-
Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 = Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 = Seguimos con los productos y cocientes. = 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 = Efectuamos las sumas y restas. = 26 Operaciones combinadas con paréntesis (15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16: 4) -5 + (10 - 23)= Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )= Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18 Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes [15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. = [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) = Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. = [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2= Operamos en los paréntesis. = 12 · 7 - 3 + 2 Multiplicamos.
= 84 - 3 + 2= Restamos y sumamos. = 83
con fracciones
Primero operamos con los productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
III. Divisibilidad A. Múltiplos y divisores - ¿cuáles son los múltiplos de un número? - ¿cuáles son los divisores de un número? Múltiplos. Los múltiplos de un número natural "n" son todos aquellos que se obtienen al multiplicar el número "n" por: 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Ejemplo 1: hallamos los múltiplos de 5. 5x0=0 5x1=5 5 x 2 = 10 5 x 3 = 15 5 x 4 = 20 5 x 5 = 25 5 x 6 = 30 5 x 7 = 35 5 x 8 = 40
luego, los múltiplos de 5 son: {0, 5, 10, 15, 20, 25,...}
Ejemplo 2: hallamos los múltiplos de 7. 7x0=0 7x1=7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35 7 x 6 = 42 7 x 7 = 49 7 x 8 = 56
luego, los múltiplos de 7 son: {0,7,14,21,28,35, ...}
observaciones: al observar los múltiplos de 5 y de 7 vemos que: - un número tiene infinitos múltiplos. - el cero es múltiplo de todo número natural. Divisores: los divisores de un número natural "n" son todos aquellos números menores o iguales que "n" que lo dividen exactamente. Ejemplo 1. Hallamos los divisores de 10.
10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 luego, los divisores de 10 son: {1, 2, 5, 10}
ejemplo 2. Hallamos los divisores de 24. 24 : 1 = 24 24 : 2 = 12 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4 24 : 8 = 3 24 : 12 = 2 24 : 24 = 1 luego, los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} observaciones: al observar los divisores de 10 y 24 vemos que: - un número tiene limitado número de divisores. - el 1 es divisor de todo número natural.
B. Criterios de divisibilidad
Divisibilidad por 2
Un número entero es divisible por 2 si su última cifra es 0, 2, 4, 6, o 8.
Divisibilidad por 3
Un número entero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. Por ejemplo, ¿es 394 divisible por 3? Sumamos sus cifras: 3 + 9 + 4 = 16. Ya que 16 no es divisible por 3, 394 tampoco lo es.
También se puede usar este método para hallar el resto o residuo: se suman las cifras y se divide el resultado obtenido por 3. El resto de esta división es también el resto de la división del número original por 3. Por ejemplo, ya hallamos que la suma de las cifras de 394 es 16. El resto de dividir 16 por 3 es 1; entonces dividiendo 394 por 3, el resto es 1 también. Se puede aplicar este criterio múltiples veces. ¿es 907730485 divisible por 3? La suma de sus cifras es 9 + 7 + 7 + 3 + 4 + 8 + 5 = 43. Si no sabes si 43 es divisible por 3, puedes sumar las cifras de 43 y obtener 4 + 3 = 7. Entonces, ya que 7 no es divisible por 3, tampoco lo son 43 y 907730485.
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4. También todos los números que terminan con un doble cero son divisibles por 4. Por ejemplo, 45,253. En este caso el número formado por las dos últimas cifras es 53. Como 53 no es divisible por 4 entonces tampoco 45,253 lo es. Otro ejemplo: 59,700 es un número divisible por 4 ya que termina con un doble cero. Otro ejemplo: ya que 80 es divisible por 4, entonces 3280, 32480, 293180 etcétera son todos divisibles por 4.
Divisibilidad por 5
Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0 ó 5, entonces ese número es divisible por 5.
Divisibilidad por 10
Es muy fácil: si la última cifra de un número es 0, entonces ese número es divisible por 10.
Divisibilidad por 6
Si un número es divisible tanto por 2 como por 3, entonces es divisible por 6.
Divisibilidad por 11
Toma las cifras de tu número por la derecha, y alterna sumando y restando. Si el resultado es divisible por 11, también tu número lo será.
Por ejemplo, estudiamos 294,398. Alternamos sumando y restando sus cifras comenzando por la derecha: 8 - 9 + 3 - 4 + 9 - 2 = 5. Ya que 5 no es divisible por 11, tampoco 294,398 lo es. Además 5 representa también el residuo que obtendríamos al dividir 294,398 por 11. Hallar todos los divisores (factores) En principio es simple: se prueban todos los números enteros entre 1 y la raíz cuadrada de su número. Tomamos un ejemplo. Hallar todos los divisores de 112. Por defecto, 1 y 112 dividen a 112, y por tanto son divisores de 112. Después de esto, probamos los números enteros en orden: 2, 3, 4, 5, 6, etc. Si son divisores de 112 o no. Primero se nota que 112 es divisible por 2 ya que su última cifra es 2. (También es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras conforman un número, el 12, que es divisible por 4.) Entonces dividimos por 2 para hallar otro divisor: 112 ÷ 2 = 56. Este número también divide a 112: 112 ÷ 56 = 2. Entonces tenemos dos divisores más: 2 y 56. Todos los otros divisores estarán entre 2 y 56. Vamos a chequear si el 3 es o no un divisor del 112. Sumando sus cifras obtenemos: 1 + 1 + 2 = 4. Como 4 no es divisible por 3, 112 tampoco lo será. Ya dijimos que el 4 es un divisor del 112. Efectivamente al efectuar la división obtenemos: 112 ÷ 4 = 28; entonces 28 también es un divisor de 112. Hasta ahora encontramos los siguientes divisores 1, 2, 4, 28, y 56. Si hay otros, serán entre 4 y 28. 5 no sirve ya que 112 termina en 2. 6 no sirve ya que 112 no resultó divisible por 3. 7 si es un divisor: 112 ÷ 7 = 16. Entonces 7 y 16 son divisores. 8 si es un divisor: 112 ÷ 8 = 14. Entonces 8 y 14 son divisores - los demás posibles divisores estarán entre 8 y 14. 9 no puede ser un divisor ya que 3 no fue un divisor.
10 no es un divisor ya que 112 no termina en cero. 11 no sirve. (2 - 1 + 2 = 2 y 2 no divide a 11). Y, si tratamos de dividir 112 por 11, la respuesta es un poco más de 10. Ya hemos probado 10. Entonces no necesitamos probar más números. Entonces los divisores del 112 son: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, y 112.
C. Números primos y compuestos -
Un número primo se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo. Un número compuesto se puede dividir exactamente entre otros números además de 1 y él mismo.
(así que cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto) Ejemplos Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se puede dividir ¿primo o exactamente entre compuesto? (1 no es primo ni compuesto) 1,2 Primo 1,3 Primo 1,2,4 Compuesto 1,5 Primo 1,2,3,6 Compuesto 1,7 Primo 1,2,4,8 Compuesto 1,3,9 Compuesto 1,2,5,10 Compuesto
Factores Los "factores" son los números que multiplicas para llegar a otro número:
Algunos números se pueden factorizar de muchas maneras:
Si sólo hay una manera de factorizar un número, ese número es primo; si hay varias maneras es un número compuesto.
D. Descomposición de un número en producto de factores primos Imagina que tienes el número 12 y queremos descomponer en factores primos: un factor puede ser 6 otro, 2 y ya tenemos que
12 = 2 x 6 pero 6 no es un número primo porque
6=2x3
Cuando vamos a descomponer un número en factores primos, comenzamos siempre por los factores más pequeños. Escribimos el número a descomponer y a su derecha trazamos una recta vertical y detrás de ésta, vamos colocando los factores primos comenzando por el menor. Ahora tienes que recordar muy bien cuándo un número es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, 13..
Siempre que descompongas un número en sus factores primos el último valor que aparecerá será el 1. La respuesta se presenta:
Como ves, se escribe el número y a su derecha en forma de producto (por eso estamos hablando de factores) los números primos con sus exponentes o número de veces que se repite cada factor.
A veces te pueden salir nĂşmeros primos muy grandes y es trabajoso comprobar que lo son.
Cómo ahorrar trabajo para saber si un número grande es primo a. Si lo hacemos manualmente haciendo divisiones con números primos cada vez de mayores, paramos en el momento en que el cociente es menor que el divisor. Ejemplo: Descomponer en sus factores primos el número 3054:
Como veo que 509 no es divisible por 2, 3, 5, 7, 11 lo divido por 13, 17, 19, 23:
En las divisiones que tienes encima ves que el cociente siempre es mayor que el divisor. En este caso, hay que continuar probando con números primos cada vez mayores en el divisor hasta que el cociente sea menor que el número que se encuentre en este lugar. Si el resto no es cero ya puedes decir que el número que tienes en el dividendo es un número primo. b. Otra forma para facilitar el trabajo para saber si un número es primo es utilizar la hoja de cálculo. Los resultados de las operaciones son instantáneas y si el resultado ves que tiene decimales, pruebas por el siguiente número primo
E. Máximo común divisor El máximo común divisor (m.c.d. O mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. se toman los factores comunes con menor exponente. 3. se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor Hallar el m. C. D. De: 72, 108 y 60:
Solución: 72 = 23 · 32 108 = 22 · 33 60 = 22 · 3 · 5 M. C. D. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12 12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60 .Propiedades del máximo común divisor 1. Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor. Ejemplo: Calcular los divisores comunes de 54 y 90. M.c.d (54, 90) = 18 Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, 18. 2. Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número. Ejemplo: M.C.D. (54, 90) = 18 si multiplicamos los dos números por 3 queda: 54 · 3 = 162
90 · 3 = 270 M.C.D. (162, 270) = 54 = 18 · 3
3. Esta propiedad es consecuencia de la anterior: dados varios números, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1). Ejemplo: M.C.D. (54, 90) = 18 54 : 18 = 3 90 : 18 = 5 M.C.D. (3, 5) = 1 4. Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. C. D. De los dos. Ejemplo: El número 12 es divisor de 36. M.C.D. (12, 36) = 12
F. Mínimo común múltiplo En realidad es muy fácil de hacer. Sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida. Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5: Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:
Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15 Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.
IV. Números enteros El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.
A. Numero entero y su opuesto Opuesto de un número entero
Es evidente que: A. Lo contrario de deber dinero es tener dinero. B. Lo contrario de ir hacia la derecha es ir hacia la izquierda. C. Lo contrario de bajar es subir. Por eso resulta fácil que entiendas el significado de opuesto.
El opuesto de -3 es +3 el opuesto de +6 es -6
y lo escribiremos así: y lo escribiremos así:
op (-3) = +3 op (+6) = -6
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero.
lo escribiremos así:
Op (+a) = -a
op (-a) = +a
B. Recta Numérica La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera ordenados y separados con la misma distancia :
C. Suma y resta de dos números enteros Suma Vamos a representar el 1 positivo con (una cruz) 1 negativo, es decir -1 con (una raya) Por ejemplo: 3 positivo será -3 será 5 será -5 será
Recuerda que -1 + 1 = 0 . Así que cada vez que tengamos Ejemplo: 3 + - 4
3 -4
0
0
0
-1
Por lo tanto, 3 + - 4 = -1
-2 + 6
-2 6 0 0
++++ 4
y
es igual a 0.
Resta Restar un número es igual que sumar su opuesto. a –b=
a + -b
el opuesto de b es -b
Ejemplo: 3 – 4 = 3 + -4 +++ - - - - = -1 0 00
el opuesto de 4 es -4
En la resta, se cambia a suma y se escribe el opuesto del número que se está reatando, entonces se siguen las reglas de la suma. -2 - 5 = -2 + -5 -- - - - - = -7
5
- ( -7)
el opuesto de 5 es –5
= 5 + 7 = 12
el opuesto de –7 es 7
D. Suma de varios números enteros Observa la siguiente suma de varios enteros:
(+3)+(-2)+(-1)+(+4)+(+6)+(-5) (+3)+(+4)+(+6) + (-2)+(-1)+(-5) (+13) + (-8) = (+5)
Para sumar varios números enteros de distinto signo:
Se suman separadamente los positivos por un lado, y los negativos por otro.
Por último se suman el número positivo y el número negativo obtenidos.
E. Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Ejemplo:
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = −10
(−2) · 5 = −10
F. División de números enteros La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Ejemplo:
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = −2
(−10) : 5 = −2
G. Potencia con base entera Potencia con base entera y exponente natural Una potencia es un producto de factores iguales, es decir, es una multiplicación donde un número se multiplica por sí mismo un número de veces. Por ejemplo: (-2) · (-2) En este caso se multiplica el número (-2) por sí mismo dos veces. Si queremos expresar esto en forma de potencia lo expresaríamos como (-2)² Otro ejemplo: 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ En este caso el número 3 se multiplica por sí mismo 4 veces. (-2)⁴ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16 En la potencia (-2)⁴, el factor que se repite (en este caso -2) se llama base, y el número de veces que se repite (en este caso 4) se llama exponente. Las potencias que tienen como exponente el 2 se llaman cuadrados, y a las que tienen como exponente 3 se llaman cubos: (-2)²
-2 elevado al cuadrado ( o -2 al cuadrado)
(-2)³
-2 elevado al cubo (o -2 al cubo)
H. Operaciones Combinadas Cómo resolver ejercicios con operaciones combinadas
Paso 1: realizamos las operaciones que estén dentro de los paréntesis.
Por ejemplo: 3 x ( 2 + 4 ) Primero hacemos la operación de dentro del paréntesis: 2 + 4 = 6 Después realizamos la operación: 3 x 6 = 18
Paso 2: hacemos las multiplicaciones y divisiones, siempre de izquierda a derecha.
Por ejemplo: 24 : 6 x 2
Primero realizamos la división porque está más a la izquierda que la división: 24 : 6 = 4 Después hacemos la multiplicación: 4 x 2 = 8
Paso 3: por último, hacemos las sumas y restas.
Por ejemplo: 2 + 3 x 5 Primero hacemos la multiplicación: 3 x 5 = 15 Después hacemos la suma: 2 + 15 = 17 Vamos a ver un ejemplo de operaciones combinadas: 6 + ( 8 – 3) x 2 Primero hacemos el paréntesis: 8 – 3 = 5 De esta manera, nos queda: 6 + 5 x 2 Ahora hacemos la multiplicación: 5 x 2 = 10 Y por último nos queda la operación de sumar: 6 + 10 = 16 Vamos a ver otro ejemplo de operaciones combinadas: 21 : 3 + 7 x 4 Lo primero es hacer los paréntesis, pero en este caso no hay. lo siguiente en hacer las multiplicaciones y divisiones: 21 : 3 = 7 y por otro lado 7 x 4 = 28 Ahora nos queda solo la suma: 7 + 28 = 35
V. Decimales y Fracciones A. Operaciones con números decimales Para sumar o restar dos o más números decimales, debes ordenarlos en columnas haciendo coincidir las comas. Después se suman o restan como si fuesen números naturales (de derecha a izquierda) y se pone la coma en el resultado, bajo la columna de las comas. Ejemplo:
- Multiplicación de números decimales Para multiplicar números decimales, se multiplican como si fueran números naturales y, en el producto, se separan con una coma, contando desde la derecha, tantas cifras decimales como tengan en total los dos factores. Resolvamos las siguientes situaciones: - Multiplicación de un decimal por un número natural Para multiplicar un número decimal por un número natural debes multiplicar prescindiendo de la coma y luego en el resultado o producto se le agrega la coma comenzando a contar desde la derecha tantas cifras como decimales había:
- Multiplicación de un número decimal por otro número decimal para multiplicar un número decimal por otro número decimal, debes multiplicar prescindiendo de la coma y luego en el resultado o producto se pondrá la coma, comenzando a contar por la derecha, tantas cifras decimales como había en los dos números juntos:
-División con decimales División de un número decimal por un número natural Para dividir números decimales se debe identificar cuál de ellos posee más dígitos decimales y luego multiplicar ambos (dividendo y divisor) por un múltiplo de 10 con tantos ceros como dígitos decimales posee el número identificado. Finalmente, se realiza la división de los números naturales obtenidos tras la multiplicación. Ejemplo:
- División de un número natural entre un decimal Para dividir un número natural entre un numero decimal, se multiplican ambos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y después se hace la división de números naturales obtenida. Ejemplo:
- División de un número decimal por un decimal Para dividir un número decimal entre un número decimal, se multiplican ambos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y después se hace la división obtenida. Lo importante es saber que el dividendo de la división obtenida puede ser un número natural o decimal, pero el divisor siempre es un número natural.
B. Fracciones equivalentes Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor, aunque parezcan diferentes. Estas fracciones son en realidad lo mismo: 1 2 4 = = 2 4 8 ¿por qué es lo mismo? Porque cuando multiplicas o divide a la vez arriba y abajo por el mismo número, la fracción mantiene su valor. La regla a recordar es: ¡lo que haces a la parte de también lo tienes que hacer a la parte de abajo!
arriba
Por eso, estas fracciones son en realidad la misma: ×2
1
=
2
×2
×2
2 4
=
4 8
×2
Y en un dibujo se ve así: ½
2/
=
4/
4
=
8
de
la
fracción
C. Simplificación de fracciones Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple. Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número. Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente. Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.
Reducción de fracciones a común denominador: 1) calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores 2) como denominador de las nuevas fracciones ponemos el mcm calculado antes. 3) como numerador de cada nueva fracción, ponemos el resultado de dividir el mcm entre el denominador y multiplicar por el numerador. Ejemplo: reducir a común denominador las fracciones
1)
2)
3)
El resultado serĂa:
E. Suma y resta de fracciones: - fracciones con igual denominador En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores. A) veamos un ejemplo:
Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:
Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:
- fracciones con distinto denominador En este caso para sumar o restar fracciones: Lo primero que hay que hacer es buscar un denominador comĂşn a todas ellas.
Luego sustituir las fracciones originales por fracciones equivalentes con este denominador común. Y ¿cómo se calcula este denominador común? Una manera sencilla de calcularlo es multiplicar todos los denominadores; el resultado es el denominador común. Hay una forma más correcta de calcularlo a través del mínimo común múltiplo. Es una forma más compleja que queda para cursos superiores. Una vez obtenido el denominador común hay que calcular las fracciones equivalentes. Para cada fracción haremos lo siguiente. Sustituimos su denominador por el denominador común. Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el denominador común por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente. Es más fácil ver todo esto con un ejemplo:
Vamos a calcular las fracciones equivalentes: Primero calculamos el denominador común: 4 x 3 x 5 = 60 Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción: Primera fracción: Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 4 =15 Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 = 30 Segunda fracción: Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 3 = 20 Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 = 120 Tercera fracción: Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 5 =12 Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 = 36
Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:
Y procedemos a la suma:
F. y cociente de fracciones: Producto de fracciones
Para multiplicar fracciones, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.
Cociente de fracciones
Para dividir fracciones se multiplican en cruz.
G. Potencia de fracciones Para elevar una fracci贸n a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente.
Potencias de exponente negativo
Propiedades de las potencias de fracciones
1.
2. 3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
4. Divisi贸n de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
6. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
VI. Proporcionalidad y Porcentajes A. Razón y proporción: 1. Razones La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente. 2. Proporciones. Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras: A/b=c/d o a:b::c:d Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.
B. Proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por su correspondiente valor de la primera magnitud, se obtiene siempre el mismo valor (constante). A esta constante se le llama razón de proporcionalidad directa. Para resolver un ejercicio de proporcionalidad directa se puede utilizar:
La razón de proporcionalidad. Una regla de tres. El método de reducción a la unidad
C.Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por ese mismo número. Al multiplicar cualquier valor de la primera magnitud por su correspondiente valor de la segunda magnitud, se obtiene siempre el mismo valor. A este valor constante se le llama constante de proporcionalidad inversa. Para resolver un ejercicio de proporcionalidad inversa se puede utilizar:
La razón de proporcionalidad. Una regla de tres. El método de reducción a la unidad.
D.Repartos de proporcionalidad directa: consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.
VIII.
Ecuaciones y Algebra
Terminología Algebraica La diferencia fundamental entre el álgebra y la aritmética es para efectuar sus operaciones esta última utiliza números concretos, mientras que en álgebra se usa, además de números concretos, las letras del alfabeto para representar cantidades (números) conocidas o desconocidas; es decir, los símbolos que utiliza el álgebra para representar cantidades son los números concretos y las letras del alfabeto. Por lo demás, las operaciones algebraicas son las mismas que las de la aritmética:
Suma Resta Multiplicación División Potenciación Radicación
A. Expresión Algebraica Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Una expresión algebraica posee de los siguientes elementos:
variable: Es la letra o parte literal de la expresión ejemplo: a, z, x, r, m.
  
coeficiente: Es la parte numĂŠrica que le da el valor a la expresiĂłn. Ejemplo: -4, √2 exponente: Es el nĂşmero que indica el grado de la expresiĂłn. Ejemplo: đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘? 2 signo: Es el sĂmbolo que me Ăndica si la expresiĂłn es positiva o negativa (+,-)
Ejemplo:
-4 �2 B. Operaciones Algebraicas Operaciones con polinomios: Un polinomio es cualquier expresión algebraica constituida por un conjunto finito de tÊrminos, en cada uno de los cuales aparecen número y letras relacionadas sólo mediante productos y potencias de exponentes que son números naturales. Algunos ejemplos de polinomios son:   
đ?’™đ?&#x;? -7x+6 3đ?’™đ?&#x;? y-5ađ?’ƒđ?&#x;” +7đ?’?đ?&#x;’ 6ađ?’ƒđ?&#x;? -15ađ?’ƒđ?&#x;’ -6ađ?’ƒđ?&#x;“
En cambio, las expresiones:  
7a-đ?’™đ?&#x;?/đ?&#x;? 16đ?’™âˆ’đ?&#x;‘ +4
No son polinomio porque contienen exponentes que no son números naturales. Clasificación de Polinomios: De acuerdo con el número de tÊrminos que tienen, los polinomios se clasifican como: 
Monomio: Un monomio es una expresiĂłn algĂŠbrica en la que las Ăşnicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural, ejemplo: 6đ?’Žđ?&#x;‘

Binomio: Un binomio es una expresiĂłn algebraica formada por dos monomios. a-7b

Trinomio: Es una expresiĂłn algebraica formada por tres monomios. 7đ?’™đ?&#x;? -5x+6
Suma de polinomios: Para sumar dos o mås polinomios se requiere reducir tÊrminos semejantes de los polinomios que se suman. Para ello pueden escribirse los polinomios en renglones sucesivos de forma que los tÊrminos semejantes queden en una misma columna y a continuación se reducen tÊrminos semejante. Es importante que los polinomios que se suman se ordenen todos respecto a una misma letra, ya sea en forma descendente o disminuyendo; es decir, que los exponentes de una letra escogida vayan aumentando o disminuyendo de uno en uno. Ejemplo: 
4đ?’™đ?&#x;‘ -8+6đ?’™đ?&#x;? -đ?’™đ?&#x;’ -9x; 2x-4đ?’™đ?&#x;? -5+đ?’™đ?&#x;‘ -đ?’™đ?&#x;’ ; -5đ?’™đ?&#x;‘ -2đ?’™đ?&#x;’ +19+3x-đ?’™đ?&#x;?
SoluciĂłn: Si ordenamos los polinomios en forma descendente respecto a x y los colocamos en renglones queda: -đ?’™đ?&#x;’ +4đ?’™đ?&#x;‘ +6đ?’™đ?&#x;? -9x-8 -đ?’™đ?&#x;’ +đ?’™đ?&#x;‘ -4đ?’™đ?&#x;? +2x-5 -2đ?’™đ?&#x;’ -5đ?’™đ?&#x;‘ -đ?’™đ?&#x;? +3x+19 De donde al reducir tĂŠrminos semejantes resulta: -4đ?’™đ?&#x;’ +đ?’™đ?&#x;? -4x+6 2đ?’™đ?&#x;? -5xy+đ?’šđ?&#x;? -7; -3đ?’šđ?&#x;? -đ?’™đ?&#x;? -7xy-1; 5đ?’™đ?&#x;? -xy+6 SoluciĂłn: Ordenemos los polinomios respecto a x, coloquĂŠmoslos en renglones y reduzcamos tĂŠrminos semejantes: 2đ?’™đ?&#x;? -5xy+đ?’šđ?&#x;? -7 -đ?’™đ?&#x;? -7xy-3đ?’šđ?&#x;? -1 5đ?’™đ?&#x;? - xy +6 6đ?’™đ?&#x;? -13xy-2đ?’šđ?&#x;? -2
Resta de polinomios: Toda resta puede expresarse como una suma aplicando la regla siguiente: X – y = x + (-y) En otras palabras, para restar dos polinomios se suma el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo. Se acostumbra escribir en un renglĂłn los tĂŠrminos del minuendo y por debajo de ĂŠste los que corresponden al inverso aditivo del sustraendo, de forma que los tĂŠrminos semejantes estĂŠn colocados en una misma columna; por Ăşltimo, se procede a reducir tĂŠrminos semejantes. Resta de polinomios: -10đ?’™đ?&#x;’ +8đ?’™đ?&#x;‘ -7x-4+5đ?’™đ?&#x;? de 10đ?’™đ?&#x;? -6đ?’™đ?&#x;’ +x-10-đ?’™đ?&#x;‘ . SoluciĂłn: De acuerdo con la orden tenemos: (10đ?’™đ?&#x;? -6đ?’™đ?&#x;’ +x-10-đ?’™đ?&#x;‘ ) y (-10đ?’™đ?&#x;’ +8đ?’™đ?&#x;‘ -7x-4+5đ?’™đ?&#x;? ) Ordenamos los polinomios respecto a x en forma descendente y aplicamos la regla de la reste asĂ, tenemos: -6đ?’™đ?&#x;’ -đ?’™đ?&#x;‘ +10đ?’™đ?&#x;? +x-10 +10đ?’™đ?&#x;’ -8đ?’™đ?&#x;‘ -5đ?’™đ?&#x;? +7x+4 4đ?’™đ?&#x;’ -9đ?’™đ?&#x;‘ +5đ?’™đ?&#x;? +8x -6 MultiplicaciĂłn de monomios: En la multiplicaciĂłn de dos o mĂĄs monomios se aplican las reglas de los signos, las leyes de los exponentes y los axiomas de la multiplicaciĂłn. Para multiplicar dos o mĂĄs monomios podemos seguir estos pasos: 1. Se determina el signo del producto. 2. Se multiplican los coeficientes numĂŠricos. 3. Se multiplican las partes literales aplicando las leyes de las exponentes respectivas. Ejemplo: a. (3đ?’™đ?&#x;? y)(7xđ?’šđ?&#x;’ )
SoluciĂłn: Puesto que los dos monomios son positivos, el producto tendrĂĄ el mismo grado. (3đ?’™đ?&#x;? y)(7xđ?’šđ?&#x;’ ) = (3) (7) đ?’™đ?&#x;?+đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;?+đ?&#x;’ = 21đ?’™đ?&#x;‘ đ?’šđ?&#x;“ MultiplicaciĂłn de un monomio por un polinomio: Para efectuar esta operaciĂłn se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicaciĂłn que, como recordaras postula lo siguiente: a(b + c + d ‌ + k) = ab + ac + ad ‌ + ak Ejemplo: a. 3đ?’™đ?&#x;? (2đ?’™đ?&#x;‘ - 7đ?’™đ?&#x;? –x + 6) SoluciĂłn: 3đ?’™đ?&#x;? (2đ?’™đ?&#x;‘ - 7đ?’™đ?&#x;? –x + 6) =m (3đ?’™đ?&#x;? ) (2đ?’™đ?&#x;‘ ) + 3đ?’™đ?&#x;? (-7đ?’™đ?&#x;? ) + 3đ?’™đ?&#x;? (-x) +3đ?’™đ?&#x;? (6) = 6đ?’™đ?&#x;“ - 21đ?’™đ?&#x;’ - 3đ?’™đ?&#x;‘ + 18đ?’™đ?&#x;? MultiplicaciĂłn de un polinomio por un polinomio: Ejemplo: a. (7x – 5)(4đ?’™đ?&#x;‘ - 5đ?’™đ?&#x;? – 2x + 3) SoluciĂłn: (7x – 5)(4đ?’™đ?&#x;‘ - 5đ?’™đ?&#x;? – 2x + 3) = 7x(4đ?’™đ?&#x;‘ - 5đ?’™đ?&#x;? – 2x + 3) - 5(4đ?’™đ?&#x;‘ - 5đ?’™đ?&#x;? – 2x + 3) = 28đ?’™đ?&#x;’ - 35đ?’™đ?&#x;‘ - 14đ?’™đ?&#x;? + 21x - 20đ?’™đ?&#x;‘ + 25đ?’™đ?&#x;? + 10x – 15 = 28đ?’™đ?&#x;’ - 55đ?’™đ?&#x;‘ + 11đ?’™đ?&#x;? + 31x – 15
DivisiĂłn de Polinomios DivisiĂłn de un monomio entre un monomio: Para dividir un monomio entre un monomio se siguen estos pasos: 1. Se dividen los coeficientes numĂŠricos 2. Se aplica la ley de los exponentes correspondientes.

8đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;“ / 2đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;Ž
8đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;“ / 2đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;Ž = (8) / (2) đ?’‚đ?&#x;?đ?&#x;“−đ?&#x;?đ?&#x;Ž = 4đ?’‚đ?&#x;“
División de un polinomio entre un monomio: Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de la división, es decir, se divide cada tÊrmino del polinomio entre el monomio. Ejemplo: 
15đ?’™đ?&#x;‘ – 12đ?’™đ?&#x;? + 6x 3x
SoluciĂłn: 15đ?’™đ?&#x;‘ – 12đ?’™đ?&#x;? + 6x = 15đ?’™đ?&#x;‘ - 12đ?’™đ?&#x;? + 6x = 5đ?’™đ?&#x;? – 4x 3x 3x 3x 3x DivisiĂłn de polinomios: La divisiĂłn euclidiana de dos polinomios, al igual que la divisiĂłn de nĂşmeros enteros dentro del dominio entero, permite encontrar como resultado del proceso de divisiĂłn un polinomio cociente y un polinomio residuo, y para efectuarla se seguirĂĄn estos pasos: 
  

Se ordenan los dos polinomio en orden decreciente de una de las letras comunes a ambos polinomios incluidos los tĂŠrminos con coeficiente cero para las potencias faltantes Se divide el primer tĂŠrmino del dividendo entre el primer tĂŠrmino del divisor con lo que obtiene el primer tĂŠrmino cociente. Se multiplica el primer tĂŠrmino del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, y se obtiene un nuevo dividendo. Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos 2 y 3 hasta que el polinomio resultante sea cero o contenga la letra respecto a la que se hizo el procedimiento del primer paso, con un exponente menor que el que posee dicha letra en el divisor. Se comprueba que el resultado sea correcto, multiplicando el cociente por el divisor y al producto obtenido se le suma el residuo de la divisiĂłn. El resultado debe coincidir con el polinomio dividendo.
Ejemplo: (15đ?’™đ?&#x;’ - 7đ?’™đ?&#x;‘ y - 6đ?’™đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + 7xđ?’šđ?&#x;‘ - 3đ?’šđ?&#x;’ ) / (5đ?’™đ?&#x;? + xy - 3đ?’šđ?&#x;? )
SoluciĂłn:
PotenciaciĂłn de polinomios: La potenciaciĂłn de polinomios se apoya en el concepto fundamental de potencia, mismo que se define: bn = b x b x b x b x................... x b Lo cual quiere decir que multiplicare una base (b) por si misma una cantidad n de veces (n es el exponente). Entonces para resolver el siguiente ejemplo: (3a3b + 5b3)2 TendrĂŠ que efectuar la siguiente multiplicaciĂłn: (3a3b1 + 5b3)(3a3b1 + 5b3) Ya que el exponente 2 me indica que lo debo multiplicar por si mismo dos veces. Finalmente tendremos: (3đ?‘Ž3 đ?‘?1 + 5đ?‘? 3 ) (3đ?‘Ž3 đ?‘?1 + 5đ?‘? 3 ) = 9đ?‘Ž6 đ?‘? 2 + 15đ?‘Ž3 đ?‘? 4 + 15đ?‘Ž3 đ?‘? 4 + 25đ?‘? 6 (3đ?‘Ž3 đ?‘?1 + 5đ?‘? 3 ) (3đ?‘Ž3 đ?‘?1 + 5đ?‘? 3 ) = 9đ?‘Ž6 đ?‘? 2 + 30đ?‘Ž3 đ?‘? 4 + 25đ?‘? 6
RadicaciĂłn Algebraica RaĂz de un monomio: 1. Se extrae la raĂz del signo, de acuerdo con la ley de signos de un radical. 2. Se extrae la raĂz del coeficiente 3. Se divide los exponentes de las letras entre el Ăndice de la raĂz.
RaĂz cuadrada de un polinomio: 1. Se ordena y completa el polinomio; luego, se agrupa los tĂŠrminos de 2 en 2, empezando por la derecha.
2. Se halla la raíz cuadrada del primer término (monomio o binomio) del primer grupo de la izquierda, que será el primer término de la raíz cuadrada del polinomio. Se multiplica esta raíz por ´sí misma, se cambia de signo y se suma al polinomio dado, eliminándose la primera columna. 3. Se baja los términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raíz hallada y se divide el primer término de los bajados entre este duplo. El cociente asía hallado es el segundo término de la raíz. Este segundo término de la raíz, con su propio signo, se escribe al lado derecho del duplo del primer término de la raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segundo término con signo cambiado, sumándose este producto a los dos términos que se había bajado. 4. Se baja el siguiente grupo de términos. Se duplica la parte de la raíz ya hallada y se divide el primer término del residuo entre el primero de este duplo, el cociente es el tercer término de la raíz. Este tercer término con su propio signo se escribe al lado del duplo de la raíz hallada y se forma un trinomio, este trinomio se multiplica por dicho tercer término e la raíz con signo cambiado y este producto se suma al residuo. 5. Se continúa el procedimiento anterior, hasta obtener un resto, cuyo grupo sea una unidad menor que el grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo. Ejemplo:
C.Productos Notables Al multiplicar algunos tipos de expresiones algebraicas se obtienen productos en los que se distinguen algunos rasgos notables, los cuales nos permiten efectuar dichas operaciones en forma rápida al aplicar la regla correspondiente. Tales productos reciben el nombre de “productos notables”. A continuación veremos algunos casos.
Producto de dos binomios conjugados: Si se tiene el binomio x + y, entonces x – y es su conjugado, y viceversa. Para multiplicar dos binomios conjugados se aplica la regla siguiente: Multiplicación de dos binomios conjugados: El producto de un binomio por su conjugado es igual al cuadrado del primer tÊrmino menos el cuadrado de segundo. Consideremos como primer tÊrmino el que tiene signo positivo en ambos binomio, de manera que (x – y) (x + y) = � 2 - � 2 Comprobación: Multipliquemos (x – y) (x + y): x+y x–y � 2 + xy - xy - � 2 �2 - �2 Cuadrado de un binomio: El producto de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer tÊrmino, mås el doble producto del primer tÊrmino por el segundo, mås el cuadrado del segundo tÊrmino, es decir:
Producto de dos binomios que tienen un tĂŠrmino comĂşn: El producto de dos binomios que tienen un tĂŠrmino comĂşn es igual al cuadrado del tĂŠrmino comĂşn, mĂĄs el producto del tĂŠrmino comĂşn por la suma de los no comunes, mĂĄs el producto de los tĂŠrminos no comunes, es decir: ComprobaciĂłn: (x + a) (x + b) = x(x + b) + a(x + b) = đ?‘Ľ 2 + bx + ax + ab AsĂ: (x + a)(x + b) = đ?‘Ľ 2 + x(a + b) +ab
Cubo de un binomio: El cubo de un binomio es igual al cubo del primer tĂŠrmino, mĂĄs el triple producto del cuadrado del primer tĂŠrmino por el segundo, mĂĄs el triple producto del primer tĂŠrmino por el cuadrado del segundo, mĂĄs el cubo del segundo, es decir:
D.FactorizaciĂłn Factor comĂşn: 8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
Factor ComĂşn por agrupaciĂłn de tĂŠrminos: 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b Agrupo los tĂŠrminos que tienen un factor comĂşn: (2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b ) Saco el factor comĂşn de cada grupo: a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 ) Como las expresiones encerradas entre parĂŠntesis son iguales se tiene: ( 2x -y +5 )(a + b) Trinomio cuadrado perfecto: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 x
3 2.3.x 6x
Diferencia de cuadrados:
Trinomio cuadrado perfecto por AdiciĂłn y sustracciĂłn: Factorizar x4 + 3x2 + 4 SOLUCIĂ“N đ?‘Ľ 4 + 3đ?‘Ľ 2 + 4
RaĂz cuadrada de đ?‘Ľ 4 es đ?‘Ľ 2 RaĂz cuadrada de 4 es 2 Doble producto de la primera raĂz por la segunda: 2(đ?‘Ľ 2 )(2) = 4đ?‘Ľ 2 El trinomio đ?‘Ľ 4 + 3đ?‘Ľ 2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces: đ?‘Ľ 4 + 3đ?‘Ľ 2 + 4 đ?‘Ľ 4 + 3đ?‘Ľ 2 + 4 + đ?‘Ľ2 - đ?‘Ľ 2 Se suma y se resta đ?‘Ľ 2 -----------------------= (đ?‘Ľ 4 + 4đ?‘Ľ 2 + 4) - đ?‘Ľ 2 Se asocia convenientemente. = (đ?‘Ľ 2 + 2)2 - đ?‘Ľ 2
Se factoriza el trinomio cuadrado Perfecto.
= [(đ?‘Ľ 2 + 2) - x] [(đ?‘Ľ 2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia de cuadrados. = (đ?‘Ľ 2 + 2 + x) (đ?‘Ľ 2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupaciĂłn. = (đ?‘Ľ 2 + x+ 2) (đ?‘Ľ 2 - x + 2) Se ordenan los tĂŠrminos de cada factor. . Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2) Trinomio de la forma x2 + bx + c:
SoluciĂłn Descomponemos el trinomio en dos factores cuyo primer tĂŠrmino es la raĂz cuadrada de
Observamos que el signo del segundo tĂŠrmino del trinomio es negativo, y que al multiplicar el signo del segundo tĂŠrmino por el signo del tercer tĂŠrmino tambiĂŠn es negativo; entonces:
Posteriormente buscamos dos nĂşmeros que sumados nos den el valor absoluto del segundo tĂŠrmino (13) y multiplicados nos den el valor absoluto del tercer tĂŠrmino (42), obteniendo asĂ la soluciĂłn al problema:
Trinomio de la forma ax2+bx+c: ? Solución Se multiplica el trinomio por el coeficiente de producto de 6 por .
Observamos que
y que
, que es 6, y se deja indicado el
, por lo que podemos escribir:
Factorizamos este trinomio como factorizamos los trinomios del tipo
.
El primer factor será la raíz cuadrada de ; los signos serán los del segundo factor, y el resultado de la multiplicación del segundo por el tercer término.
Buscamos dos números que al multiplicarlos nos den 120 y al sumarlos nos den 22; éstos son 12y 10, entonces la factorización queda de la siguiente manera:
Como al principio multiplicamos por 6, ahora dividimos por 6 para no alterar el trinomio, y factorizamos los binomios y el divisor de tal manera que simplifiquemos cada uno de ellos:
Finalmente tenemos:
Cubo perfecto de binomios: 8x^3 +12x^2 +6x +1 >> Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos: raíz cúbica de 8x^3 = 2x
y
raíz cúbica de 1 = 1
>> Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión: 2° término: 3(2x) ^ 2(1) = 3(4x^2)(1) = 12x^2 3° término: 3(2x)(1)^2 = 3(2x)(1) = 6x >> Como todos los términos de la expresión son positivos la el binomio resultante de la expresión es: 8x^3 +12x^2 +6x +1 = (2x +1) ^ 3 , que es la Solución. Suma y diferencia de cubos perfectos: 8x^3 -125 1° Se encuentra las raíces cúbicas de: .
8x^3 = 2x
y
125 = 5
–> Desarrollando la Regla: Suma de las raíces cúbicas: (2x -5) Cuadrado de la 1° raíz cúbica: (2x)^2 = 4x^2 Producto de las 2 raíces cúbicas: (2x)(5) = 10x Cuadrado de la 2° raíz cúbica: (5)^2 = 25 –> 8x^3 -125 = (2x -5)(4x^2 +10x +25) Solución.
E. Ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal. Una ecuación en la variable x es lineal si puede escribirse en la forma ax + b = c, en donde a,b y c son números reales, con a ≠ .0
La ecuación lineal, en una variable, también se denomina ecuación de primer grado, ya que la potencia más alta en la variable es uno. Si la variable en una ecuación se reemplaza por un número real que hace que la proposición sea verdadera, entonces ese número es una solución de la ecuación. Por ejemplo, 8 es la solución de la ecuación y − 3 = ,5 ya que al reemplazar y con 8 se obtiene una proposición verdadera. Una ecuación se resuelve determinando su conjunto solución, el conjunto de todas las soluciones. El conjunto solución de la ecuación y − 3 = 5 es { }. Ejemplo: 4x − 2x − 5 = 4 + 6x + 3. Primero, reduzca términos semejantes de manera separada en ambos lados de la ecuación para obtener: 2x − 5 = 7 + 6x Luego, utilice la propiedad de la suma para obtener los términos con x en el mismo lado de la ecuación y los demás términos (los números) en el otro lado. Una manera de hacerlo consiste en sumar primero 5 a ambos miembros. 2x − 5 + 5 = 7 + 6x + 5 2x = 12 + 6x Ahora reste 6x a ambos lados. 2x − 6x = 12 + 6x − 6x − 4x = 12 Por último, divida ambos entre -4 para obtener sólo la x en el lado izquierdo.
Para estar seguro de que -3 es la solución, verifíquela sustituyendo en la ecuación original (no en una intermedia).
Verdadera Como se obtiene una proposición verdadera, -3 es la solución. El conjunto solución es {− 3}
EcuaciĂłn cuadrĂĄtica: Una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica es una ecuaciĂłn en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son nĂşmeros reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10
a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x
a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10
a = -6, b = 0, c = 10
MĂŠtodos de factorizaciĂłn: MĂŠtodo de la raĂz cuadrada: Si una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica tiene la forma especial x2 = d, con ≼ 0, la resolvemos factorizando: đ?‘Ľ2 – d = 0 (x - √đ?‘‘) (x + √đ?‘‘) Lo que da por resultado x = √đ?‘‘ o x = -√đ?‘‘. MĂŠtodo de completar al cuadrado: Cuando una expresiĂłn cuadrĂĄtica no puede factorizarse fĂĄcilete y la ecuaciĂłn no tiene la forma especial, podemos hallar las raĂces completando al cuadrado. Esta tĂŠcnica se aplica a la expresiĂłn cuadrĂĄtica de la forma đ?‘Ľ 2 + Bx + C; es decir, la expresiĂłn cuadrĂĄtica debe tener 1 como su coeficiente principal. Reescribimos la ecuaciĂłn đ?‘Ľ 2 + Bx + C = 0 De modo que los tĂŠrminos que tengan la variable x queden en el miembro izquierdo de la ecuaciĂłn: đ?‘Ľ 2 + Bx = -C đ??ľ
Luego agregamos ( 2 )2 a ambos miembro de esta Ăşltima ecuaciĂłn:
đ??ľ
đ??ľ
đ?‘Ľ 2 + đ??ľđ?‘Ľ + ( 2 )2 = -C + ( 2 )2 Ahora, el miembro izquierdo de la ecuaciĂłn resultante es un cuadrado perfecto: đ??ľ
đ??ľ
đ?‘Ľ + ( 2 )2 = ( 2 )2 – C Ahora es fĂĄcil despejar x con el mĂŠtodo de la raĂz cuadrada. La fĂłrmula cuadrĂĄtica: La tĂŠcnica de completar el cuadrado en una expresiĂłn cuadrĂĄtica es muy Ăştil en otras situaciones. Nos ayudarĂĄ a deducir una fĂłrmula que exprese las raĂces de đ?‘Žđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? = 0 . La fĂłrmula es:
Ejemplo: 2 Teorema de PitĂĄgoras: En un triĂĄngulo rectĂĄngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triĂĄngulo rectĂĄngulo" a un triĂĄngulo con un ĂĄngulo recto).
Entonces, el cuadrado de a (a²) mĂĄs el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 = đ?‘? 2
F. Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x1,y1) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución. Métodos de resolución: Reducción: Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema, con las mismas soluciones, que tenga los coeficientes de una misma incógnita iguales o de signo contrario, para que al restar o sumar las dos ecuaciones la incógnita desaparezca. 2x + 5y = 11 3x - 5y = 4 2x + 5y = 11 3x - 5y = 4 5x = 15 -------- x = 3 2(3) + 5y= 11 -------- 5y = 5 ------- y=1 Sustitución: Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra. 2x + y = 4 x + 2y =5 Y =4 – 2x x + 2 (4 – 2x) = 5 X + 2(4 - 2x) = 5 ----- x+ 8 – 4x =5 -3x=-3---- x = 1 2(1) + y = 4 ----- y = 2 Igualación Para resolver un sistema por el método de igualación se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan.
2x + y = 7 3x + y = 10 Y = 7 – 2x y = 10 – 3x 7 – 2x = 10 – 3x ----- x = 3 y = 7 – 2x = 7 – 2(3) = 1 ----- Y = 1
Sistema de ecuaciones no lineales Es un sistema de ecuaciones en el que por lo menos una de las ecuaciones no sea lineal.
La resoluciĂłn de estos sistemas se suele hacer por el mĂŠtodo de sustituciĂłn, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1Âş Se despeja una incĂłgnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y=7−x 2Âş Se sustituye el valor de la incĂłgnita despejada en la otra ecuaciĂłn. đ?‘Ľ 2 + (7 − x)2 = 25 3Âş Se resuelve la ecuaciĂłn resultante. đ?‘Ľ 2 + 49 − 14x + đ?‘Ľ 2 = 25 2đ?‘Ľ 2 − 14x + 24 = 0 đ?‘Ľ 2 − 7x + 12 = 0
4Âş Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuaciĂłn, se obtienen asĂ los valores correspondientes de la otra incĂłgnita. x=3
y=7−3
y=4
x=4
y=7−4
y=3
VIII. Funciones A.Función y sus elementos: Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).
Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f). Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).
B. Composición y combinación de funciones Composición de funciones: Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 (g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7
Combinación de funciones Sí dos funciones f y g están definidas para todos los números reales x y sí f(x) y g(x) son ambos números reales, entonces es posible realizar operaciones numéricas reales como la suma, la resta, la multiplicación y la división con f(x) y g(x). Además, sí g(x) es un número en el dominio de f, entonces también es posible evaluar a f en g(x). Combinaciones Aritméticas: Dos funciones se pueden combinar mediante las cuatro operaciones aritméticas. Combinaciones aritméticas: Sí f y g son dos funciones, entonces la suma f + g, la resta f – g, el producto fg y el cociente f/g se definen de la siguiente forma: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) ≠ 0
Dominio de una combinación aritmética: cada función, resultado de la combinación, está definida en la intersección de los dominios de f y g, es decir, que el dominio de cada función, es el conjunto de los números reales que son comunes a ambos dominios, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.
C.Gráficas de funciones Función constante:
Funci贸n identidad:
Funci贸n lineal:
Funci贸n af铆n:
Funci贸n Cuadr谩tica:
Funci贸n racional:
Funci贸n exponencial:
Función logarítmica:
D. Transformaciones y Traslaciones de Funciones Al aplicar ciertas transformaciones a la representación gráfica una función dada, obtenemos representaciones de funciones relacionadas.
de
Si c es un número positivo, entonces la gráfica de la función y=f(x)+c es la gráfica de la función y=f(x) desplazada c unidades hacia arriba. Esto se debe a que cada ordenada de los puntos del gráfico aumenta c unidades. Si c es un número positivo, entonces la gráfica de la función y=f(x-c) es la gráfica de la función y=f(x) desplazada dos unidades hacia la derecha. Esto se debe a que si la función tenía un valor en cierto x, ahora dicho valor se lo encontrará en x+c. Traslaciones: verticales y horizontales Supongamos que c>0, entonces la gráfica de: y=f(x)+c, se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia arriba. y=f(x)-c, se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia abajo. y=f(x-c), se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia la derecha. y=f(x+c), se obtiene de desplazar la gráfica de la función y=(x) una distancia de c unidades hacia la izquierda.
E. Funciones Constantes La función constante es del tipo: y=n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Rectas verticales: Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:
F. Funciones Lineales La función lineal es del tipo: y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2x
Pendiente: “m” es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
Función identidad: f(x) = x Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
G. Función Cuadrática Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx + c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c
(0,c)
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 1. Vértice xv = − (−4) / 2 = 2
yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1) 2. Puntos de corte con el eje OX x² − 4x + 3 = 0
(3, 0)
(1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY (0, 3)
H. Función Cúbica La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:
; Donde el coeficiente a es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales. La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuartica. f(x)=-x3 +8
I. Funciones Polinomiales Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn Su dominio es número real tiene imagen.
, es decir, cualquier
J. Funciones Racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.
K. Funciones exponenciales La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x .
L. Función radical El criterio de las funciones radicales viene dado por la variable x bajo el signo radical. Función radical de índice impar. El dominio es
M. Funciones Logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
N. Funciones Trigonometricas Función Seno: f(x) = sen x Dominio: Recorrido: [−1, 1] Período: Continuidad: Continua en Impar: sen(−x) = −sen x
Función coseno: f(x) = cos x
Dominio: Recorrido: [−1, 1] Período: Continuidad: Continua en Par: cos(−x) = cos x Función tangente: f(x) = tg x
Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Período: Impar: tg(−x) = −tg x Función cotangente f(x) = cotg x
Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Período: Impar: cotg(−x) = −cotg x
Función secante: f(x) = sec x
Dominio: Recorrido: (− ∞, −1]
[1, ∞)
Período: Continuidad: Continua en Par: sec(−x) = sec x Función cosecante f(x) = cosec x
Dominio: Recorrido: (− ∞, −1]
[1, ∞)
Período: Continuidad: Continua en Impar: cosec(−x) = −cosec x
IX.
Geometría
A.Figuras planas Las figuras planas y las propiedades geométricas se comprenden en todo tipo de polígonos en general sean regulares o irregulares así como también el circulo. Su estudio comprende las relaciones entre líneas y puntos y ángulos de los polígonos irregulares, los métodos para el dibujo de estas figuras y los métodos de cálculo de su superficie. Debemos tener en cuenta que un polígono irregular es aquel que sus lados no son de igual longitud y sus vértices no están contenidos dentro de una circunferencia, por tanto el polígono regular es aquel que tiene todos sus lados de una misma longitud y también todos sus ángulos de la misma medida. Las figuras planas son:
Cuadrado Triángulo Hexágono Pentágono Rectángulo
B. Triángulos Es una poligonal cerrada con tres las y tres ángulos, que en los cuales sumados dan 180°, cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos. Hay tres clases de triángulos, está el triángulo equilátero que tiene tres lados iguales, está el isósceles que tiene dos lados iguales y el tercero desigual, esta también el triángulo escaleno que tiene todos sus lados desiguales. Los triángulos se clasifican por ángulos, el triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos, un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto de 90° y obtusángulo tiene un ángulo obtuso o sea mayor a 90°.
C.Teorema de PitĂĄgoras Se conoce como teorema a la preposiciĂłn que puede ser demostrado de manera lĂłgica a partir de un axioma o de otros teoremas que ya han sido respectivamente demostrados. En este contexto es fundamental respetar algunas reglas de influencia para arriba a dicha demostraciĂłn. Es decir en un triĂĄngulo rectĂĄngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, la formula inicial para calcular la hipotenusa del triĂĄngulo rectĂĄngulo ď&#x201A;ˇ
C= â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2
De esta fĂłrmula se obtienen las siguientes: ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ
A= â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;? 2 + đ?&#x2018;? 2 B= â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2
D.Funciones trigonomĂŠtrica Una funciĂłn trigonomĂŠtrica es aquella que se define por la aplicaciĂłn de una razĂłn trigonomĂŠtrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonomĂŠtricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente.
La función seno Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.
La función coseno La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.
La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.
E. Cuadriláteros Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros, tienen que tener lados rectos y la figura tiene que ser bidimensional. Tipos de cuadriláteros Hay tipos especiales de cuadriláteros como:
El rectángulo El rombo El cuadrado.
Estos son paralelogramos y también están :
El trapezoide El deltoide.
Si no es ninguna de estos es un cuadrilátero irregular.
El rectángulo Un rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos ángulos son todos rectos (90°). Además los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.
El rombo Un rombo es una figura de cuatro lados cuyos lados son todos iguales. Además los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son iguales. Otra cosa interesante es que las diagonales (las líneas de puntos en la segunda figura) se cortan en ángulos rectos, es decir, son perpendiculares.
El cuadrado Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos (90°) Además los lados opuestos son paralelos. Un cuadrado también es un rectángulo (ángulos de 90°) y un rombo (lados iguales).
El paralelogramo
Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud, y los ángulos opuestos son iguales (los ángulos "a" son iguales, y los ángulos "b" son iguales) El trapezoide
Trapezoide
Trapezoide regular
Un trapezoide tiene un par de lados paralelos. Se llama trapezoide regular si los lados que no son paralelos tienen la misma longitud y si los dos ángulos sobre un lado paralelo son iguales, como en el dibujo.
Un trapezoide no es un paralelogramo porque sólo un par de lados es paralelo El deltoides parece una cometa. Tiene dos pares de lados, cada par son dos lados adyacentes (que se tocan) de la misma longitud. Los ángulos donde se encuentran los pares son iguales. Las diagonales (líneas de puntos) son perpendiculares, y una de las diagonales bisecta (divide por la mitad) a la otra. y esos son los cuadriláteros especiales; si uno no es de estos tipos, es un cuadrilátero irregular. Cuadriláteros irregulares
Un cuadrilátero que no encaja en ninguno de los tipos anteriores.
F. Polígonos Regulares Tiene más de cuatro lados iguales. Los ángulos también son iguales. El de cinco lados se llama pentágono. El de seis lados hexágono.
G. Circunferencia y círculo Línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. Centro de la circunferencia Punto del que distan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la circunferencia Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Elementos de la circunferencia Cuerda
Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro
Cuerda que pasa por el centro
Arco
Cada una de las partes en una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Circulo
Figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.
Elementos de un círculo Segmento circular
Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Semicírculo
Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Zona circular
Porción limitada cuerdas.
Sector circular
Porción de círculo limitada por dos radios.
Corona circular
Porción de círculo lim itada por dos círculos concéntricos
Trapecio circular
Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.
de círculo por dos
H. Área de figuras planas Cuadrado A= l*l
Es decir, el área es igual al valor de un lado (l) multiplicado por si mismo.
ď&#x201A;ˇ
rectĂĄngulo A= b*a
El ĂĄrea de un rectĂĄngulo es la multiplicaciĂłn de base por la altura. ď&#x201A;ˇ
rombo A=(d*d)/2
El ĂĄrea de un rombo es igual al producto de la diagonal mayor (d) por la diagonal menor (d) y l resultado se divide en dos. ď&#x201A;ˇ
Trapecio A=(b+b)*h/2
El ĂĄrea es igual a la suma de las dos bases (byb), multiplicando por la altura (h) y dividido entre dos. ď&#x201A;ˇ
Paralelogramo a= b*h
El ĂĄrea es la multiplicaciĂłn de la base por la altura. ď&#x201A;ˇ
PolĂgono regular A=(p*a)/2
El ĂĄrea es igual al perĂmetro (p) multiplicado por la apotema (a) y dividido entre dos. ď&#x201A;ˇ
cĂrculo A=đ?&#x153;&#x2039;*r2
El ĂĄrea de un cĂrculo es el producto de đ?&#x153;&#x2039; (3.1416) por el radio elevado al cuadrado.
la
I. Cuerpos geométricos es una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares. Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro,icosaedro. para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio pitágoras y a los que platón recurrió incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por descartes en 1640 y del que el matemático suizo leonhard euler dio una famosa demostración en 1752. Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares.
Tetraedro
Hexaedro (cubo)
Octaedro
Dodecaed ro
Icosaedro
4 caras (triángulos equiláteros )
6 caras (cuadrado s)
8 caras (triángulos equiláteros)
12 caras (pentágono s regulares)
20 caras (triángulos equiláteros)
4
6
8
12
20
N° de vértices
4
8
6
20
12
N° de aristas
6
12
12
30
30
N° caras
de
N° de lados de cada cara
3
4
3
5
3
N° aristas concurren tes en un vértice
3
3
4
3
5
J. Prisma Un prisma es un poliedro con una base poligonal de n lados, una copia de traslación y otra n caras que une lados correspondientes de las dos bases.
K. Pirámide Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide. Elementos de una pirámide
L. Cilindro Cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. Elementos del cilindro
M. Cono Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Elementos de un cono: Eje: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. Bases: es el círculo que forma el otro cateto. Generatriz: es rectángulo.
la
hipotenusa
del
triángulo
Altura: es la distancia del vértice a la base.
N. Esfera Una esfera es la regi贸n del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esf茅rica. Elementos de la esfera
EstadĂstica
Temario de Estadística
Estadística A. Población y muestra B. Variables estadísticas C. Frecuencia D. Tabla de frecuencia E. Diagrama de barras F. Polígono de frecuencia G. Diagrama de sectores H. Medidas de tendencia central I. Media, mediana y moda J. Medidas de posición K. Cuartiles, deciles y centiles L. Medidas de dispersión M. Desviación estándar N. Desviación media O. Varianza
I.Estadística A. Población y muestra Población Conjunto de datos formados por fenómenos que lo constituyen. Muestra Parte de una población que se considera representativa de la misma.
B. Variables estadísticas Llamamos variable de estadística a una propiedad característica de la población que estamos interesados en estudiar. Los tipos de variables son:
Cualitativa: no se expresa mediante número y describe a las variables. Cuantitativa: se expresa mediante un número. De estas hay dos tipos: Cuantitativa discreta: sólo admite valores aislados. Cuantitativa contínua: puede admitir cualquier valor dentro de un intervalo.
C. Frecuencia La frecuencia es el número de veces que se repite la variable. Existen distintos tipos de frecuencia: Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por ni. Frecuencia relativa: la frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fi o fr. Frecuencia porcentual: la frecuencia relativa es un tanto por uno, sin embargo, hoy día es bastante frecuente hablar siempre en términos
de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. La denotaremos por pi o f%. Frecuencia absoluta acumulada: Esta frecuencia tiene sentido calcularla para variables cuantitativas o cualitativas ordenables, en los demás casos no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable. Calculemos la frecuencia absoluta acumulada de la muestra anterior:
Frecuencia relativa acumulada: Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por fi
Porcentaje acumulado: Análogamente se define el porcentaje acumulado y lo vamos a denotar por pi como la frecuencia relativa acumulada por 100.
D. Tabla de frecuencias Tabla de frecuencia con datos no agrupados Los datos no agrupados son las de observaciones realizadas en un estudio estadística que se presentan en su forma original tal y como fueron recolectados, para obtener información directamente de ellos.
Tabla de frecuencia de datos agrupados La tabla de frecuencia de datos agrupados es aquella de la distribución en los datos estadísticos que se encuentran ordenados en clase y con la frecuencia de toda clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase.
E. Diagrama de barras El diagrama de barras es un gráfico que se utiliza para representar datos de variables cualitativas o discretas. Está formado por barras rectangulares cuya altura es proporcional a la frecuencia de cada uno de los valores de la variable. Algunas de las principales características del diagrama de barras son:
En el eje de abscisas se colocan las cualidades de la variable.
En el eje de ordenadas se colocan las barras proporcionales de la frecuencia relativa o absoluta de los datos.
Las barras pueden ser horizontales o verticales, según si los valores de la variable se reflejan en el eje horizontal o vertical.
Todas las barras deben tener el mismo ancho y no deben sobreponerse las unas con las otras.
Existen también distintos tipos de diagramas de barras como los siguientes: Gráfico de barras sencillo Representa los datos de una única serie o conjunto de datos.
Gráfico de barras agrupado
Representa los datos de dos o más series o conjuntos de datos.
Cada serie se representa en un mismo color.
Las barras se colocan una al lado de la otra por categoría de la variable para comparar las series de datos.
Gráfico de barras apilado
Representa los datos de dos o más series o conjuntos de datos. Cada serie se representa en un mismo color. Cada barra representa una categoría de la variable, y se divide en segmentos que representan cada una de las series de datos.
Pirámide de población Una pirámide de población es un diagrama de barras bidireccional que muestra la población por sexo y rangos de edad en un momento determinado. En el eje vertical se representan los intervalos de edades. En el eje horizontal se representan los porcentajes de población. En una dirección se representarán los hombres y en el otro las mujeres.
F. Polígono de frecuencia Polígono de frecuencia es el nombre que recibe una clase de gráfico que se crea a partir de un histograma de frecuencia. Estos histogramas emplean columnas verticales para reflejar frecuencias): el polígono de frecuencia es realizado uniendo los puntos de mayor altura de estas columnas.
G. Diagrama de sectores Un diagrama se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. El diagrama circular o de sectores se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
H. Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central son valores que se ubican en el centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan cuatro de estos valores también como estadígrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio.
I. Media, mediana y moda Media aritmética Es la medida de posición utilizada con más frecuencia. La media aritmética es la suma de todos y cada uno de los valores dividida entre el total de valores.
Mediana La mediana es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados; de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana.
Moda Valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables y la mediana. que la media
J. Medidas de posición Es un número que se escoge como orientación para hacer mención a un grupo de datos, resultando muy útiles en la interpretación porcentual de la información.
K. Cuartiles, deciles y centiles Cuartiles Son medidas que dividen la distribución de frecuencia en cuatro partes iguales.
Deciles Son medidas de posición que dividen la distribución de frecuencia en diez partes iguales y éstas van desde el número uno hasta el número nueve. Centiles Son medidas que dividen la distribución de frecuencia en cien partes iguales
L. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión nos permiten conocer si los valores en general están cerca o alejados de los valores centrales, muestran la variabilidad de una distribución de datos, indicando por medio de un número si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la medida de tendencia central.
M. Desviación estándar Es la raíz cuadrada de la medida de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
N. desviación media Esta medida de dispersión considera todos los datos, está definida como el promedio aritmético de los valores absolutos de la desviación de cada valor de la variable con respecto a la media aritmética.
O. Varianza La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada observación con respecto a la media. Existen dos tipos de varianza -
Varianza poblacional
Varianza de toda la población. Es el valor medio de las desvariaciónes con respecto a la media elevada al cuadrado. Varianza muestral La varianza muestral es el valor medio de las desviaciones con respecto a la media, elevadas al cuadrado.