Supondremos que el lector est´a familiarizado con este principio y sus aplicaciones. Aunque no lo usaremos mayormente en estas notas, es conveniente saber que ambos principios, el de Inducci´on y el de buen orden, son equivalentes. Un resultado interesante es que los dos principios anteriores son equivalentes. Teorema 1.1. El Principio de Buen Orden implica el Principio de Inducci´ on. ´ n. Sea P un conjunto de n´ Demostracio umeros naturales que verifica las hip´otesis del Principio de Inducci´on. Sea A el conjunto de los n´ umeros que no pertenecen a P . (Nos basta pues demostrar que A es vac´ıo). Supongamos que A es no vac´ıo. En virtud del Principio de Buen Orden, A tiene un menor elemento “a”. a no puede ser 1 ya que por hip´otesis, 1 ∈ P . Luego a − 1, el predecesor a, es un entero positivo que pertenece a P porque a es el m´as peque˜ no que no pertenece a P . Pero entonces, por la segunda parte de la hip´otesis de inducci´on, a = (a − 1) + 1 ∈ P , lo que es una contradicci´on. Esta contradicci´on proviene de suponer que A es no vac´ıo. Luego todos los enteros positivos pertenecen a P . Analogamente tenemos: Teorema 1.2. El Principio de Inducci´ on implica el Principio de Buen Orden.
´ n. Ejercicio. Demostracio
(1) Sea R+ el conjunto de los n´ Ejercicios 1.1. umeros reales positivos ordenados en la forma habitual. ¿Es este un buen orden? (2) Sea A = {n2 : n ∈ Z}, con el orden natural. ¿Es este un buen orden? (3) Demuestre que no puede existir una cadena descendente infinita de enteros positivos. (4) Demuestre el teorema 1.2. 2. Divisibilidad ´ n 1.1. Sean a y b dos enteros con a = Definicio 6 b. Decimos que a divide a b si existe un entero n tal que na = b. Tambi´en decimos que b es un m´ ultiplo de a. Denotamos este hecho por a | b. Si a no divide a b escribiremos a - b. Teorema 1.3. Si a, b y c son enteros, entonces: (1) Si a | b y b | c, entonces a | c. (2) Si a | b y a | c, entonces a | mb + nc, para cualquier par de enteros m, n. (3) Si a | b y b 6= 0, entonces 0 < |a| ≤ |b|. (4) Si a | b y b | a, entonces a = ±b.
´ n. Demostracio (3) b = ma 6= 0, luego a 6= 0 y m 6= 0. Por lo tanto, |a| ≥ 1, |m| ≥ 1 y |b| = |ma| = |m||a| ≥ 1 |a| ≥ 1 > 0. 7