Colegio: TALENTOS
Cuarto Año
TEMA: DIVISIBILIDAD II CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: - Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que este sea divisible; y si no lo es nos permitirá calcular el residuo a partir de ellos. Veamos los siguientes criterios EN BASE 10: I) Divisibilidad por 2n: 1. Divisibilidad por 2 - Sea abcd : De donde abcd = 2 (22.a+21.b + c) + d abcd = 2 + d 2
Luego: Si d = {0,2,4,6,8} abcd = 2 abcd será 2 , si y solo si d = 2 2
2. Divisibilidad por 4: (4 = 22) - Sea abcd : De donde: abcd = 22(2.a + b) + cd abcd = 4 +cd Luego: Si cd abcd = 4 abcd Será 4 ; si y sólo sí cd = 4
1
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Colegio: TALENTOS
Cuarto Año
3. Divisibilidad por 8: (8=23) Sea abcd = 23 (a) + bcd abcd = 8 + bcd Luego: Si bcd = {000,008,016,...992} bcd = 8 abcd será 8 ; si y sólo sí bcd = 8 Nota: De manera más general podemos decir que: - “Para un número de „n‟ cifras, será múltiplo de 2 m; si y solo sí las últimos „m‟ cifras de este número (contando de izquierda a derecha) son múltiplos de 2m; todo esto independientemente de las demás cifras de este número”
n abc... fg ... pqr 2 fg ... pqr ( 2n )
"m" cifras "n" cifras
II. Divisibilidad por 5n: - De manera inductiva, análoga a la anterior podemos concluir que: “Para todo número de „n‟ cifras, será múltiplo de (5m), si y solo sí el número formado por las [ultimas „m‟ cifras (contando de izquierda a derecha son también múltiplos de (5m); todo esto independientemente de las demás cifras”.
m abc... fg ... pqr 5 fg ... pqr ( 5m )
"m" cifras "n" cifras
De manera deductiva; se cumple que: 1. abcd = 5 + d; Si: d = 5 abcd = 5 5
2
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Colegio: TALENTOS
Cuarto Año
2. abcd = 25 + cd ; Si: cd = 25 abcd = 25
3. abcd = 125 + bcd Si bcd = 125 abcd = 125 Obs: Esta propiedad que se obtuvo con 2 y 5: pasan a ser un CRITERIO DE DIVISIBILIDAD pero tener en cuenta que esas características especiales se dan porque en la base 10 se cumple que: 2 x 5 = 10 De manera visionaria podemos generalizar para otras bases: veamos por ejemplo: En base 6: 6 = 3 x 2 i) 132 3 = 3 + 3 = 3 (6)
(6)
(6)
(6)
2
ii) 1323(6)= ( 3(6) )+ 23(6)
1.63 + 3.62 + 2 x 6 + 3 = 9 +6x2+3
339 = 9 + 15
339 = 9 + 6
3
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Colegio: TALENTOS
Cuarto Año
33‟9 -69 -6
9 37
339 = 9 +6
Lo cual es cierto, como podemos ver. III. Divisibilidad por 3: - Dado un número con cierta cantidad de cifras decimos que este número es múltiplo de 3 más la suma de cifras de dicho número. Veamos: abcd = 3 + (a+b+c+d); pero:
Si (a+b+c+d) = 3 abcd = 3 IV. Divisibilidad por 9: - Dado un número con cierta cantidad de cifras; decimos que este número es múltiplo de 9 más la suma de cifras de dicho número. Veamos: abcd = 9 + (a+b+c+d); pero: Si (a+b+c+d) = 9 abcd = 9 Obs.
Nuevamente dando una visión más general acerca de este criterio de divisibilidad, podemos decir lo siguiente para el criterio de divisibilidad por 9 en base 10: 10 = 9 + 1 9 = 10 - 1
Veamos en base 5: 4 = 5 - 1
4
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Colegio: TALENTOS
Cuarto Año
321(5) = 4
3 2 1 5 5 5 5
52 x 3 + 5 x 2 + 1 = 4 + 6 86 = 4 + 6
86 -6
4 20
86 = 4 + 6
Lo cual es cierto, y se multiplica en el cuadro.
Sea abcdn = abcdn = n 1 + (an + bn + cn + dn)
Y: si (an + bn + cn + dn) = n 1
abcdn = n 1
V. Divisibilidad por 11: (11=10+1) - Dado un número con cierta cantidad de cifras, decimos que este número es 11 más la última cifra, menos la penúltima cifra, más la antepenúltima cifra, ... ; y así sucesivamente hasta llegar a la primera cifra (contando de izquierda a derecha). Veamos: abcd = 11 + (+ d -c + b -a); Pero: Si (d - c + b - a) = 11 = abcd = 11 Obs: Dando una generalización similar a la anterior: se puede comprobar que: en cierta base:
abcd n = n 1 + (+dn + cn + bn - an)
5
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Colegio: TALENTOS
Cuarto Año
Y: Si (+dn - cn + bn - an) = n 1
abcdn = n 1 “Otros criterios de Divisibilidad” 1. Divisibilidad por 7 Dado:
abcdef = 7 + {(f + 3e + 2d) -(c + 3b + 2a)} - + N Pero, si: N = 7 abcdef 7 2. Divisibilidad por 13: Dado:
abcdef = 13 + {(f - 3e - 4d) -(c - 3b - 4a)} - + N 3. Divisibilidad por 33: Dado: abcdef = 33 + (ab - cd - ef) N
Si: N = 33 = abcdef = 33
6
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Colegio: TALENTOS
4. Divisibilidad por 99: Dado:
Si: N = 99 = abcdef = 99
7
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Cuarto Año
Colegio: TALENTOS
Cuarto Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.
En la siguiente secuencia: 1, 2, 3, ..., 400 ¿Cuántos son 3 y 5 simultáneamente?
6.
Rpta.:
Rpta.: 7. 2.
¿Cuántos números de 3 cifras ? son 13
Rpta.:
3.
¿En una división el divisor es 11 + 3, el cociente 11 + 8 y
Rpta.:
Si a la derecha de un número de 3 cifras se repite el mismo número, el número de 6 cifras así formado, es siempre múltiplo de: Rpta.:
5.
Si: a + b + c = 6. Entonces: abc + cab + bca ; siempre será múltiplo. Como mínimo impar de:
Si: 6a8ab es divisible por 45. Determinar ab Rpta.:
9. Se tiene un número formado por 113 cifras, las 63 primeras son 8 y los restantes 6. Hallar el residuo de dividir el número entre 7. Rpta.: 10. En un aula, se dispone de cierto número de carpetas. Para que los alumnos se sienten de 3 en 3, de 4 en 4 ó de 5 en 5, harían falta carpetas, sin embargo, si se sientan de 6 en 6 sobraría una carpeta. ¿Cuántos alumnos y cuántas carpetas disponen el aula, si los primeros no exceden de 100?
Rpta.:
8
Si ab = 5 , ba 9 y abc 8 Calcular c
Rpta.: 8.
el resto 11 - 2. ¿Qué forma tiene el dividendo?
4.
¿Cuántos números de 4 cifras existen tales que al dividirlos entre 12 dan como residuo 5?
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Rpta.:
Colegio: TALENTOS
11. ¿Cuántos numerales de 3 cifras son divisibles por 4, pero no por 5 ni por 3? Rpta.: 12. Si: abc 8 cba6 = ... 2(7) Hallar: a + c Rpta.:
9
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Cuarto Año
Colegio: TALENTOS Cuarto Año
PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Hallar el mayor ab tal que al convertir N 137 ab a la base 6 termina en 5. a) 79 c) 99 e) 31
b) 86 d) 47 2
02. Sea N = K donde k puede ser cualquier número natural, al convertir N a la base 9, la cifra de primer orden es x. Hallar la suma de todos los valores diferentes que puede tomar X. a) 19 c) 16 e) 14
b) 20 d) 32
03. ¿Cuál es el menor número de términos que debe tomar S = 91 + 91 + 91 + ...; para que la suma tenga 6 divisores. a) 4 c) 9 e) 7
b) 12 d) 6
04. Desde el 1 hasta el 600, ¿cuántos son múltiplos de 2 y 11 , pero no de 4 ? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 05. Dado abcabc 5 ; siempre es divisible entre: a) 4 c) 15
10
b) 13 d) 18
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012
Colegio: TALENTOS Cuarto Año
e) 24 06. Hallar el menor de 4 cifras, múltiplo de 4, donde sus 3 primeras cifras son iguales, además al dividir dicho número entre 3 deja como residuo 2. a) 1112 c) 3334 e) 2222
b) 2226 d) 1111
07. Hallar el numeral capicúa de 3 cifras divisible por 45. Dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 100 c) 200 e) 720
b) 80 d) 400
ab 7 4 08. Si: babab ... 69 cifras
Calcular a + b a) 6 c) 15 e) 12
11
b) 7 d) 16
Aritmética-4to-2daClase-05-09VI2012