TEOREMA RANGKAIAN AKHMAD SAIFUDDIN 12312022
MATERI BAHASAN 4.1 PENGANTAR 4.2 CIRI LINEARITAS 4.3 SUPERPOSISI 4.4 SUMBER TRANSFORMASI 4.5 TEOREMA THEVENIN 4.6 TEOREMA NORTON 4.7 TRANSFER DAYA MAKSIMUM
PENGANTAR
4.1 PENGANTAR • Keuntungan utama menganalisis rangkaian menggunakan hukum Kirchhoff adalah kita dapatmenganalisis rangkaian tanpa gangguan dari konfigurasi asalnya. • Kerugian utama dari pendekatan dengan metode yang sama adalah bahwa untuk rangkaian yang kompleks, akan terasa sangat membosankan.
• Perkembangan dari aplikasi rangkaian elektrik telah membawa perubahan dari rangkaian yang sederhana ke rangkaian yang kompleks (rumit) • Untuk mengatasi kerumitan tersebut, seorang insinyur bertahun-tahun yang lalu telah mengembangkan teori untuk mempermudah analisis rangkaian
• Contohnya adalah teori dari Thevenin dan Norton. Sejak teori dari mereka diaplikasikan pada rangkaian linear, kita untuk pertama kalinya mendiskusikan tentang konsep dari rangkaian secara linear. • Selanjutnya, kita membahas tentang superposisi, sumber transformasi, dan transfer energi maksimum dalam bab ini
Konsep yang kita kembangkan diaplikasikan pada bagian akhir sampai pada sumber pemodelan dan perhitungan hambatan
CIRI LINEARITAS
4.2 CIRI LINEARITAS • Linearitas adalah suatu ciri dari sebuah elemen yang mendeskripsikan suatu hubungan linear antara sebab dan akibat • Meskipun ciri ini diaplikasikan pada banyak rangkaian, kita harus membatasi penggunaannya hanya pada resistor di bab ini. • Ciri yang akan kita bahas adalah kombinasi dari ciri homogenitas dan ciri additivitas
• Ciri homogenitas dari suatu elemen menunjukkan bahwa jika input dikalikan dengan suatu konstanta, putput yang dihasilkan juga merupakan perkalian dari konstanta yang sama. • Pada suatu hambatan contohnya, hukum Ohm menunjukkan hubungan antara input I dengan output v, v=IR
• Jika arus diperbesar dengan suatu konstanta k, maka tegangan juga akan bertambah besar sesuai dengan k juga. Dan hal itu ditunjukkan melalui persamaan : k i R = kv • Ciri aditivitas menunjukkan bahwa respon pada pertambahan input adalah pertambahan respon pada setiap input yang diaplikasikan secara terpisah • Hal ini dapat diperlihatkan menggunakan hubungan arus dan tegangan pada sebuah hambatan
Jika : v1 = i1 R Dan v2 = i2 R Lalu kita aplikasikan (i1 + i2), maka diperoleh : v = (i1 + i2)R = i1R + i2R = v1 + v2 Kita bisa mengatakan bahwa sebuah hambatan adalah elemen yang linear karena hubungan antara arus dan tegangan menunjukkan suatu ciri homogenitas dan aditivitas
• Pada umumnya, sebuah rangkaian dikatakan linear jika kedua komponen homogen dan additif. • Sebuah rangkaian linear hanya terdiri dari komponen linear, sumber bebas maupun sumber tak bebas.
Rangkaian linear adalah rangkaian yang mana output linearnya berhubungan langsung dengan inputnya
•
• Catat bahwa karena p = i2 R = , hubungan antara daya dan tegangan (atau arus) adalah tidak linear. • Oleh karena itu, teorema yang digunakan pada bab ini tidak relevan untuk membahas hubungan antar daya dengan tegangan maupun arus
• Untuk memahami prinsip linearitas, lihatrangkaian yang ditunjukkan pada gambar dibawah :
• Rangkaian linear tidak memiliki sumber yang bebas di dalamnya. Ini tertarik oleh sebuah sumber vs dimana digunakan sebagai input. • Rangkaian tersebut terhenti oleh sebuah beban/hambatan R. kita bisa meletakkan arus i yang melalui R sebagai output. • Misalkan vs =10 V, diberikan i = 2 A. berdasar pada prinsip linearitas, vs = 1 V akan memberikan i = 0,2 A. • Sama halnya dengan ketika kita meletakkan i = 1mA, harus ada vs sebesar 5 mV
Contoh 4.1
• Untuk rangkaian yang ditunjukkan pada gambar di atas, tentukan i0 ketika vs = 12 V dan vs = 24 V
Solusi 4.1 • Dengan menggunakan KVL untuk dua loop, maka kita dapat : 12i1 – 4i2 + vs = 0 -4i1 + 16i2 -3vx – vx = 0 Tapi vx = 2i1, maka persamaan di atas menjadi : -10i1 + 16i2 – vs = 0 Dengan melakukan manipulasi aljabar, kita dapatkan : 2i1 + 12i2 = 0 i1 = -6i2 -76i2 + vs = 0 i2 =
• Ketika vs = 12 V,
i0 = i2 = Ketika vs = 24 V, i0 = i2 = Terlihat bahwa ketika sumber diperbesar 2 kalinya, maka i0 juga bertambah besar 2 kalinya juga
Contoh 4.2 Asumsikan I0 = 1 A dan gunakan liniaritas untuk menentukan nilai yang sebenarnya dari I0 pada rangkaian yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini :
Solusi 4.2 • I0 = 1 A, maka V1 = (3 + 5) I0 = 8 V dan I1 = = 2 A, Jika
Gunakan KCL pada node 1, sehingga diperoleh : I2 = I1 + 10 = 3 A V2 = V1 + 2I2 = 8 + 6 = 14 V I3 = = 2 A Gunakan KCL pada node 2, sihingga diperoleh : I4 = I3 + I2 = 5 A
Oleh karena itu, Is = 5 A. ini menunjukkan ketika kita mengasumsikan I0 = 1, diperoleh nilai Is = 5 A. jadi, ketika Is = 15 A, maka nilai yang sesungguhnya dari I0 = 3 A
SUPERPOSISI
4.3 SUPERPOSISI • Jika sebuah rangkaian memiliki dua atau lebih sumber bebas, satu cara untuk menentukan nilai dari variabel yang spesifik (tegangan atau arus) adalah dengan menggunakan analisis node atau mesh pada bab 3. • Cara lain adalah untuk menentukan kontribusi dari tiaptiap sumber bebas pada variabel dan kemudian menjumlahkannya. • Metode ini dikenal sebagai superposisi
Prinsip superposisi adalah bahwa tegangan (atau arus ) yang melewati suatu komponen pada rangkaian linear merupakan penjumlahan aljabar dari tegangan (atau arus) yang melewati komponen tersebut yang disebabkan oleh aktivitas sumber sendiri
• Prinsip superposisi membantu kita untuk menganalisis suatu rangkaian linear dengan lebih dari satu sumber bebas dengan menghitung kontribusi dari masing-masing sumber bebas secara terpisah. • Meskipun untuk mengaplikasikan prinsip superposisi, kita harus memenuhi dua pemikiran di bawah ini :
1. Kita anggap bahwa satu sumber bebas ada pada suatu waktu ketika sumber bebas lainnya dimatikan. Langkah ini memudahkan kia untuk mengatur rangkaian 2. Sumber tak bebas dibiarkan utuh karena mereka dikontrol oleh variabel yang ada pada rangkaian
• Dengan pemikiran-pemikiran tersebut dalam otak, maka kita bisa mengaplikasikan prinsip superposisi dalam tiga langkah : 1. Matikan semua sumber bebas kecuali satu sumber. Tnetukan output (tegangan maupun arus) pada sumber bebas yang aktif menggunakan analisis node atau mesh 2. Ulangi langkah 1 untuk tiap sumber bebas lainnya 3. Tentukan kontribusi total dengan menambah secara aljabar masing-masing kontribusi dari tiap sumber bebas
• Menganalisis sebuah rangkaian menggunakan superposisi memiliki kerugian, yaitu membutuhkan pengerjaan yang lebih banyak. • Jika rangkaian memiliki tiga sumber bebas, kita mungkin harus menganalisis ketiga sumber bebas itu dan menentukan kontribusi masing-masing sebelum menjumlahkannya secara aljabar.
• Meskipun demikian, metode superpoisisi membantu kita mengurangi kerumitan dari suatu rangkaian menjadi rangkaian yang lebih sederhana. • Tetap pegang bahwa superposisi didasari pada sebuah linearitas.
Contoh 4.3 Gunakan teorema superposisi untuk menentukan v dalam rangkaian pada gamabr 4.6.
Solusi 4.3 • Karena ada dua sumber, maka : v = v1 + v2 • Dimana v1dan v2 memiliki kontribusi pada sumber tegangan 6 V dan sumber arus 3 A. untuk menentukan v1, kita atur sumber arus menjadi nol, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 4.7 (a), diberikan :
12i1 – 6 = 0 ďƒ i1 = 0,5 A
• Lalu, v1 = 4i1 = 2 V • Kita juga dapat menggunakan pembagian tegangan untuk memperoleh v1 dengan menulis :
• Untuk memperoleh v2 , kita atur sumber tegangannya menjadi nol, seperti yang ditunjukkan oleh gambar 4.7 (b)
• Dengan menggunakan pembagian arus, didapat :
• Sehingga :
• Dan kita temukan :
SUMBER TRANSFORMASI
4.4 SUMBER TRANSFORMASI • kita telah menyepakati bahwa transformasi kombinasi antara seri-paralel dan wye-delta membantu kita dalam merringkas rangkaian. • Sumber transformasi adalah alat meringkas/mempermudah rangkaian.
lain
untuk
• Dasar dari alat ini adalah konsep keseimbangan • Kita katakanbahwa sebuah keseimbangan rangkaian adalah satu dari karakteristik v-i(diidentifikasi melalui rangkaaian asal)
• Pada subbab 3.6, kita melihat bahwa tkeseimbangan tegangan-node atau arus-mesh dapat ditentukan dengan inspeksi dari rangkaian ketika semua sumber adalah sumber bebas • Oleh karena itu, dalam analisis rangkaian dapat mengganti sumber tegangan dalam rangkaian seri dngan sebuah hambatan untuk sebuah sumber arus dalam rangkaian paralel dengan sebuah hambatan.
• Hal ini ditunjukkan melalui gambat di bawah ini :
Sebuah sumber transformasi adalah proses dari penggantian sumber tegangan vs pada rangkaian seri dengan resistor R oleh sumber arus is pada rangkaian paralel dengan resistor R atau vice versa
• Gambar dua rangkaian di atas adalah rangkaian yang seimbang. Untuk membuktikan bahwa dua rangkaian di atas seimbang adalah dengan cara jika sumber dimatikan, keseimbangan hambatan pada titik a-b di kedua rangkaian adalah R
• Selain itu, ketika titik a-b pada rangkaian short, rangkaian
ini akan memiliki arus yang mengalir dari a ke b sebesar isc = pada rangkaian yang berada di sebelah kiri dan isc = is untuk rangkaian di sebelah kanan. • Jadi, pada kedua rangkaian seimbang. • Seperti ditunjukkan pada persamaan sumber transformasi di bawah ini :
• Sumber transformasi juga diaplikasikan pada sumber tak bebas. • Seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini, sumber tegangan tak bebas pad rangkaian seri dengan sebuah hambatan dapat ditransformasikan pada sebuah sumber arus tak bebas dalam rangkaian paralel dengan hambatan atau vice versa
• Seperti pada transformasi wye-delta yang telah dipelajari di bab 2, sumber transformasi tidak mempengaruhi bagian sisa dari rangkaian. • Ketika dapat diaplikasikan, sumber transformasi merupakan alat yang sangat kuat untuk melakukan manipulasi pada rangkauan agar menjadi rangkain yang sederhana
Contoh 4.6 Gunakan sumber transformasi untuk menentukan v0 pada rangkaian yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
Solusi 4.6 • Pertama-tama, kita transformasikan sumber arus dan sumber tegangan untuk memperoleh rangkaian seperti gambar di bawah ini
• Lalu kombinasikan hambatan 4-Ί dan 2- Ί pada rangkaian seri dan transformasikan sumber tegangan 12-V.
• Transformasi tersebut bisa ditunjukkan dalam gambar di bawah ini :
• Lalu kombinasikan hambatan 3Ω dan hambatan 6 Ω pada rangkaian paralel sehingga kita mendapatkan hambatan totalnya 2Ω
• Kombinasikan juga sumber arus 2A dan sumber arus 4A untuk mendapatkan sumber arus 2 A. • Lalu kita aplikasikan transformasi sehingga rangkaian kita menjadi seperti gambar di bawah ini :
• Kita gunakan pembagian arus pada gambar rangkaian di
atas, dan kita dapatkan : Dan Karena hambatan 8Ί dan 12 Ί terangkai secara paralel, maka masing-masing memiliki tegangan yang sama yang melewati hambatan tersebut. Sehingga :
TEOREMA THIVENIN
4.5 TEOREMA THEVENIN
• Sering terjadi dalam praktik bahwa sebuah komponen partikuler dalam suatu rangkaian merupakan variabel dimana komponen lain telah tetap. • Sebagai contoh, sebuah terminal mungkin bisa dihubungkan ke peralatan lain membentuk suatu beban variabel
• Setiap waktu komponen variabel dirubah, keseluruhan rangkaian harus dianalisi secara menyeluruh lagi. • Untuk mengatasi masalah ini, teorema thevenin menyediakan sebuah teknik dengan mengganti bagian yang telah tetap dengan rangkaian yang seimbang
• Berdasarkan pada teorema Thevenin, rangkaian linear (a) di bawah ini dapat diganti dengan rangkaian linear (b)
TeoremaThevenin menyatakan bahwa sebuah rangkaian linear dua terminal dapat diganti dengan sebuah rangkaian seimbang yang berisi sumber tegangan vTh pada rangkaian seri dengan sebuah hambatan RTh dimana vTh merupakan rangkaian tegangan terbuka pada terminal dan RTh merupakan input atau hambatan keseimbangan pada terminal ketika sumber bebas dihilangkan
• Pembuktian dari teorema ini akan diberikan nanti pada subbab 4.7. Fokus kita saat ini adalah bagaimana menemukan keseimbangan tegangan Thevenin VTh dan hambatan RTh. Untuk melakukannya, kita bisa membuktikan bahwa dua rangkaian di bawah ini seimbang.
• Dua rangkaian dikatakan seimbang jika mereka memiliki hubungantegangan dan arus yang sama terhadap terminal mereka. • Mari kita tentukan apakah kedua rangkaian ini seimbang. • Jika terminal a-b dibuat rangkaian terbuka, tidak ada arus yang mengalir, maka pada rangkaian terbuka tegangan yang melewati terminal a-b harus sama dengan tegangan sumber Vth
• Hal ini ditunjukkan oleh gambar di bawah ini
• Lagi, dengan beban yang tidak terhubung dan terminal ab merupakan rangkaian terbuka, kita matikan semua sumber bebas. • Input hambatan dari rangkaian yang mati pada terminal ab harus sama dengan Rth karena kedua rangkaiannya seimbang. • Maka, Rth adalah input hambatan pada terminal ketika sumber bebas dimatikan. Seperti ditunjukkan gambar tadi.
• Untuk mengaplikasikan ide menemukan hamabtan Thevenin, kitap perlu beberapa kasus. • Sering kali terjadi bahwa nilai Rth negatif. Pada kasus ini, hambatan negatif (v = -iR) mengimplikasikan bahwa rangkaian menyediakan daya.
• Hal ini memungkinkan dalam sebuah rangkaian dengan sumber tak bebas, akan diilstrasikan pada contoh 4.10 • Teorema Thevenin sangat penting dalam melakukan analisis rangkaian. Karena teorema ini membantu menyederhanakan rangkaian. • Jaringan yang seimbang memperlihatkan cara yang sama pada rangkaian asli secara eksternal
• Rangkaian yang besar dapat digantikan dengan sebuah sumber tegangan bebas dan sebuah hambatan. Penggantian ini merupakan teknik yang sangat bermanfaat dalam membuat desain rangkaian. • Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, sebuah rangkaian linear dengan sebuah beban variabel dapat diganti dengan keseimbangan Thevenin dari sebuah beban secara eksklusif
• Misalkan sebuah rangkaian linear diterminalkan oleh beban RL, seperti terlihat pada gambar di bawah ini :
• Arus IL yang melalui beban dan tegangan VL melewati
beban secara mudah ditentukan oleh keseimbangan Thevenin dari rangkaian pada beban terminal. Seperti yang telah ditunjukkan gambar rangkaian sebelumnya, kita peroleh :
• Catat bahwa keseimbangan Thevenin pembagi tegangan yang sederhana
merupakan
Contoh 4.8 • Tentukan rangkaian keseimbangan Thevenin dari rangkaian di bawah ini untuk terminal a-b kiri. Lalu tentukan arus yang melalui RL = 6,16, dan 36 Ί
Solusi • Kita tentukan RTh dengan mematikan sumber tegangan 32V (ganti dengan rangkaian short) dan sumber arus 2 A (ganti dengan rangkaian terbuka). Maka rangkaian menjadi seperti ditunjukkan di gambar di bawah ini :
• Untuk menentukan VTh, pertimbangkan rangkaian di bawah ini :
• Lalu gunakan analisis mata jala (mesh) pada kedua loops, dan kita hitung :
•
• Dengan menyelesaikan i1, maka kita dapatkan i1=0,5 A
• Secara berurutan, hal ini memperlihatkan kemudahan jika kita menggunakan analisis node. • Kita memperbolehkan hambatan 1Ω ketika tidak ada arus yang melaluinya.
•• Pada node atas, KCL memberikan :
Atau
Sebagai perhitungan berikutnya. • Kita juga bisa menggunakan sumber transformasi untuk menemukan VTh
• Rangkaian keseimbangan Thevenin seperti ditunjukkan gambar di bawah ini :
• Arus yang melewati RL adalah :
•
Ketika RL = 6, Ketika RL = 16, Ketika RL = 36,
TEOREMA NORTON
4.6 TEOREMA NORTON • Pada tahun 1926, sekitar 43 tahun setelah Thevenin mempublikasikan Teoremanya, E.L Norton, seorang insinyur Amerika pada Laboratorium Bell Telephone, memperkirakan Teorema serupa : Teorema Norton menyatakan bahwa sebuah rangkaian linear dua terminal dapat diganti dengan sebuah rangkaian seimbang yang terdiri dari sebuah sumber arus IN pada rangkaian paralel dengan sebuah hambatan RN, dimana IN adalah rangkaian arus short yang melewati terminal dan RN adalah input atau hambatan seimbang pada terminal ketika sumber bebasnya dimatikan
• Dengan demikian, pada rangkaian di gambar (a) di bawah ini dapat diganti dengan rangkaian pada gmabar (b).
• Pembuktian dari teorema Norton akan dilakukan di subbab berikutnya. Untuk saat ini, fokus kita adalah bagaimana cara mendapatkan RN dan IN. • Kita tentukan RN dengan cara yang sama ketika kita mencari RTh. • Pada nyatanya, dari apa yang kita tahu tentang sumber transformasi, hambatan Thevenin dan Norton adalah sama. RN=RTh
• Untuk menentukan arus Norton IN, kita tentukan aliran arus rangkaian short dari terminal a ke b pada kedua rangkaian di bawah ini :
• Jelas terlihat pada gambar (b) bahwa arus pada rangkaian short adalah IN. Sehingga : IN = isc • Terlihat pada gambar di bawah ini, sumber tak bebas dan sumber bebas memperlihatkan cara yang sama dengan teorema Thevenin
•
Hubungan antara Teorema Norton dan Teorema Thevenin dapat ditunjukkan pada persamaan sebagai berikut :
TRANSFER DAYA MAKSIMUM
4.7 TRANSFER DAYA MAKSIMUM • Dalam banyak situasi, sebuah rangkaian didesain untuk menyiapkan daya kepada beban. • Keseimbangan Thevenin sangat berguna dalam menentukan daya maksimum dari sebuah rangkaian linear yang dapat disampaikan ke beban. • Asumsikan bahwa kita bisa menyesuaiakan beban hambatan RL. Jika pada keseluruhan rangkaian diganti dengan keseimbangan Thevenin kecuali bebannya, makadaya diantarkan menuju beban sebesar :
Gambar rankaian dari penyampaian daya tadi adalah sebagai berikut :
• Untuk rangkaian yang diberikan, VTh dan RTh tidak bebas. Dengan mengubah hambaan RL, daya yang dihantarkan pad beban juga bervariasi seperti yang ditunjukkan oleh gambar :
Daya maksimum yang ditransferkan pada beban ketika hambatan beban sama dengan hambatan Thevenin siperlihatkan dari bebannya (RL = RTh)
SEKIAN TERIMA KASIH