Análisis de Desempeño de la Codificación Convolucional en Sistemas de Comunicaciones CDMA by Alejandro Iturri

Journal of Vectorial Relativity

JVR 4 (2009) 4 1-11

Análisis de Desempeño de la Codificación Convolucional en Sistemas de Comunicaciones CDMA G Leija-Hernández 1, M Badaoui 2 Y A Iturri-Hinojosa 3

El trabajo presenta un análisis de desempeño de la codificación convolucional en los sistemas de comunicaciones CDMA de banda ancha. El análisis se realiza con parámetros de desempeño como son la relación de energía de bit a densidad espectral de ruido, Eb/No, y la probabilidad de error de trama, Pf(e). Se estudian algunos codificadores convolucionales, y se proponen valores adecuados para estos parámetros de desempeño de acuerdo a la longitud del registro del codificador, de un sistema de comunicaciones digital.

RESUMEN:

KEYWORDS: Pf(e), Eb/No, CDMA.

INTRODUCCIÓN

Es de vital importancia buscar soluciones para optimizar el tráfico en sistemas CDMA. Esto se logra analizando diversos parámetros de desempeño, capaces de diagnosticar las funciones del canal de tráfico, para asegurar la mayor fluidez posible en la transmisión de información durante la comunicación. Dos parámetros importantes son la probabilidad de error de trama Pf(e) y la relación de energía de bit a densidad espectral de ruido (Eb/No). Encontrando los valores convenientes para la relación Eb/No para una Pf(e) adecuada de 0.01, se asegura un buen funcionamiento del sistema CDMA con codificación convolucional [1].

II.

II.1

DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA

Sistema de comunicación digital

Los datos digitales de entrada son usualmente binarios, aunque pueden estar codificados por cualquier alfabeto de q≥2 símbolos. Los datos llegan a una velocidad de un símbolo por cada Ts segundos y se almacenan en un registro hasta llenar un bloque de K símbolos. Posteriormente este bloque se presenta al canal codificador como uno de los M posibles mensajes, denotados como H1,H2,…,HM donde M=qK y q es la dimensión del dato alfabeto [1]. La combinación del codificador y del modulador realiza el mapeo del conjunto de los M mensajes, {HM}, en el conjunto de M señales de energía finita, {xm(t)}, de duración finita T=KTs. 1, 2, 3

ESIME-Zacatenco/IPN, Área. de Diciembre, 2009 E-mail: aiturri@ipn.mx

1,3

Ing. en Comunic. y Electrón, Ing. Eléctrica. Anexo Edif. 5, Col. Lindavista CP 07738 México DF

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La Fig. 1 muestra el diagrama a bloques de un sistema de comunicaciones digitales lado transmisor [1].

Fig. 1 Diagrama en bloques del transmisor de un sistema de comunicaciones digitales [1]

II.2

Tasa de Error de Trama

La tasa de errores de trama, es un registro histórico del funcionamiento real del sistema en cuanto a errores. Por ejemplo, si un sistema tiene una probabilidad de error de trama de 10 −3 , quiere decir que en el pasado hubo una trama errónea por cada 1000 tramas transmitidas. Se calcula la tasa de error de trama y posteriormente se la compara con la probabilidad esperada de error, para evaluar el desempeño del sistema [2,5,9]. Cualquier canal simétrico sin memoria, tiene dependencia con la interferencia y con el desvanecimiento, y es independiente de símbolo a símbolo. Por ello existe un código binario convolucional de longitud restringida K que depende de la tasa del código, r, dada en bits/símbolo. Considerando que la trama contiene L-bits, la probabilidad de error está definida por [6]: Pf <

L 2 − Kro / r , 2 1 − 2 − ( ro / r − 1 )

(

)

r < ro

(1)

donde r0 es función exclusiva estadística del canal sin memoria, a menudo considerado como un límite práctico de la velocidad del código r del código convolucional binario, dada por:

Ro = 1 − log 2 (1 + Z )

(2)

siendo Z el parámetro de desempeño para la decisión del tipo de decodificador a usarse [6]. Los códigos convolucionales son generados por la continua ejecución de operaciones lógicas sobre una secuencia limitada de m bits contenidos en un mensaje. Son adecuados para usarse en canales con mucho ruido (alta probabilidad de error). Un codificador que tiene memoria utiliza códigos convolucionales. El codificador convolucional acepta b símbolos binarios en su entrada y produce n símbolos binarios en su salida. La velocidad de codificación está definida por r = b/n, y los valores típicos de b y n varían desde 1 hasta 8, la variación de R es de 1/2 hasta 7/8, ver Fig. 2.

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Fig. 2

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Proceso de un Codificador Convolucional (2,1,9) para r=1/2 y (3,1,9) para r=1/3

Por consiguiente, cada trama de k-bits produce una trama de salida de n-bits. La redundancia provista en la salida se debe a nb. En la Fig. 2 se ve un codificador convolucional (2,1,9), la razón de estos valores es para mantener la probabilidad de error por debajo de 10 −2 y para obtener una velocidad de codificación de 1/2 y de 1/3. Un valor reducido de la velocidad de codificación R indica un alto grado de redundancia; esto proporciona un control de errores más efectivo a expensas de incrementar el ancho de banda de la señal codificada [7]. Para tener un código convolucional efectivo con longitud restringida K y velocidad r, es recomendable utilizar la siguiente expresión [6].

Pf <

L T (Z ) 2

(3)

donde T(Z) es la función de generación de código, y Z es obtenida de (2):

Z = 2 1− R 0 − 1

(4)

Ahora, se considera un sistema de comunicaciones personal inalámbrico con técnica de acceso CDMA, que utiliza codificación convolucional con señalización ortogonal M-aria [8]. Se desplazan b bits hacia la entrada del registro, para seleccionar n señales M-arias sucesivas generando una tasa de codificación R=b/n bits/símbolo. La probabilidad de error de trama de los L-bits generados, para una longitud restringida de registro de bK bits, está dado por [6]:

Pf <

L 2

⎛ 2b −1 ⎞ 2 − bKRo / R ⎜⎜ ⎟⎟ − b [( Ro / R )− 1 ] ⎝ b ⎠1− 2

(5)

Utilizando la expresión (5) se encuentra la probabilidad de error de trama con respecto a α = Ro/R.

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En la modulación de espectro disperso existe redundancia de codificación. Por consiguiente, no se impone ninguna limitación en la tasa del código. El código convolucional se convoluciona sobre otro, es decir, se añaden bits de redundancia a un paquete de datos de entrada.

Fig. 3 Probabilidad de error de trama para bK= 9 [6]

Como se puede observar en la Fig. 3, para α = 0.6 dB corresponde un valor de Pf =0.01. Es decir, una trama errónea por cada 100 tramas transmitidas. Una probabilidad de error de trama menor a 10 −2 se considera como nivel aceptable para el funcionamiento del vocoder sobre el tráfico de voz [6]. El vocoder es el encargado de generar el canal de tráfico de CDMA y codificar la voz en tramas PCM [4]. II.3

Probabilidad de Error de Trama

La probabilidad de error de trama Pf(e) es la expectativa teórica o matemática, de determinado sistema respecto a la tasa de error de trama. La probabilidad de error es una función de la relación de potencia de portadora a ruido, o en forma más específica, el promedio de la relación de energía por bit a densidad de potencia de ruido. Depende de la cantidad de condiciones posibles de codificación que se usan (señalización M-aria) [5]. Ahora bien, mediante la ecuación (5) se puede encontrar la probabilidad de error de trama en función de α . En este caso, para valores de bK = 9, b = 1,2, y 3, donde bK es el registro de desplazamiento de tramas de entrada del código convolucional. La Fig. 4 muestra la respuesta a estos valores.

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1 b=1 b=2 b=3

0.1

0.01

0.001 0.5

1.5

2.5

ro/r

Fig. 4 Tasa de error de trama como una función de alfa.

Los valores que resultan de Pf de la Fig. 4, representan a una trama errónea por un número determinado de tramas transmitidas en un sistema CDMA. Por ejemplo, del valor de la relación de Ro/R= 2 dB se puede obtener una probabilidad de trama igual a 1/0.0186 que representa a una trama con error por cada 52 transmitidas. La tabla 1 presenta el número de tramas recibidas con una trama fallida, obtenida de la figura 4, para algunos valores de α. Tabla.1 Número de tramas transmitidas con una trama fallida

II.4

α =Ro/R

Para b=1

Para b=2

Para b=3

0.5

1/0.236=4

1/0.193=5

1/0.217=4

1/0.0186=52

1/0.0137=72

1/0.0169=59

2.5

1/0.0036=277

1/0.00345=289

1/0.00426=234

1/0.0008=1250

1/0.00106=940

Desempeño de los Códigos Convolucionales

El funcionamiento de los códigos convolucionales depende principalmente del desvanecimiento por multitrayectoria, el cual se produce cuando una señal directa se cancela parcialmente por las reflexiones en tierra, en agua o en objetos intermedios entre transmisor y receptor. Este desvanecimiento reduce la intensidad de señal en 20 decibeles o más. Cualquier sistema inalámbrico CDMA por microondas debe incluir un margen para el desvanecimiento en sus cálculos de ganancia del sistema. El desvanecimiento es una reducción de intensidad de señal por debajo de su nivel normal [2,3].

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Mediante el desarrollo de la fórmula m/R/α se encontrará el desempeño óptimo de los códigos convolucionales empleando señales ortogonales entrelazadas en ambiente multitrayectoria. Para este caso de codificación convolucional con señalización ortogonal M-aria:

Ro = − log 2 z

(6)

siendo [6]:

⎡ 1+ S ⎤ Z =⎢ 2⎥ ⎣ (1 + S / 2) ⎦

(7)

De (6) y (7): ⎤ ⎡ 1+ S Ro = − log 2 ⎢ 2 ⎥ ⎣ (1 + S / 2 ) ⎦

(8)

donde: α = Ro/R

(9)

Después de una serie de operaciones con estas expresiones, se obtiene la ecuación de segundo grado siguiente [10].

2−Ro/m 2 −Ro/m S + 2 −1 S + 2−Ro/m −1 =0 4

(

) (

)

(10)

Utilizando la expresión (10), se obtiene el desempeño de los códigos convolucionales ver Fig. 5. Se describe el comportamiento de la señal recibida por m trayectorias. Igualmente, proporciona información necesaria para determinar si la señal será óptima o no al ser recibida. Por ejemplo, para Eb/No/α = 6.684dB, α=2dB. El valor de α = 2dB, es debido a que Pf debe de ser menor a 0.01 para el funcionamiento del vocoder.

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8.5

(Eb/No)/Alpha, dB

7.5

6.5 -4

Fig. 5.

-2

2 4 (m/R)/Alpha, dB

El desempeño de los códigos convolucionales

Recordamos que Eb/No es la relación de energía de bit a densidad espectral de ruido, es decir, la relación de la energía contenida en un solo bit de información por la potencia de ruido presente en un ancho de banda normalizado a 1Hz [10]. Se obtiene Eb/No =8.684dB si α = 2dB. La siguiente Tabla resume algunas correspondencias en estos parámetros de desempeño. Tabla 2. Parámetros de Desempeño de m=qK multitrayectorias a combinarse en el receptor

Eb/No/α 6.68 dB 6.85 dB 7.24 dB 7.78 dB 8.44 dB

III.

(m/R)/α 2 4 6 8 10

Eb/No 8.68 dB 8.85 dB 9.24 dB 9.78 dB 10.44 dB

ANÁLISIS DE RESULTADOS

La respuesta de la relación de Energía de Bit a Densidad Espectral de Ruido, Eb/No se muestra en la Fig. 6 [10].

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9.5 9.4 9.3

Eb/No (dB)

9.2 9.1 9 8.9 8.8 8.7 8.6 8.5 1

3 4 (Eb/No)/Alpha, dB

Fig. 6 Relación de Energía de Bit por Densidad Espectral de Ruido

La siguiente Tabla resume algunas correspondencias. La probabilidad de error de trama y la relación de Energía de Bit a Densidad Espectral de Ruido son medidas a nivel de la señal banda base en el lado receptor. Tabla 3. Algunos Valores de Eb/No

Eb/No (dB)

Eb/No/α(dB)

8.684 8.855 9.245 9.787 10.44

6.684 6.855 7.245 7.787 8.440

La ganancia de codificación se define como la disminución de Eb/No obtenida cuando se utiliza algún tipo de codificación. La Fig. 7 muestra la respuesta obtenida para la probabilidad de error de trama respecto a Eb/No para algunas longitudes restringidas bK del codificador convolucional con b=1. La ganancia de codificación se incrementa al aumentar Eb/No. Se logra una ganancia de 8.99dB para un valor típico de Pf=0.001 mínimo requerido para bK=9. Por ejemplo, para una probabilidad de error de trama de 0.01, el valor de Eb/No para bK=12 debe ser mayor o igual a 8.16 dB.

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-1

-2

bK=6 bK=9 bK=12 -3

6.5

7.5

8 8.5 Eb/No, dB

9.5

Fig. 7 Probabilidad de Error de Trama en función de Eb/No para bK= 6, 9, 12

IV.

CONCLUSIONES

Se presenta un análisis de desempeño de los códigos convolucionales en los sistemas de comunicaciones CDMA de banda ancha. Se presentan los resultados obtenidos de la probabilidad de error de trama respecto a la relación energía de bit a densidad espectral de ruido para longitudes restringidas del codificador convolucional K=5, 9 y 12. Los codificadores con registros de almacenamiento grandes, alcanzan una relación Eb/No menor respecto a los registros de longitud menor, para un mismo requerimiento de probabilidad de error de trama. Por ejemplo, entre los registros K=9 y 12, la diferencia de Eb/No es de 0.8dB aproximadamente, para una probabilidad de error de trama de 0.01. Y esta diferencia aumenta conforme la longitud del registro disminuye. Igualmente se presenta la curva de comportamiento de la relación Eb/No con Eb/No/alfa.

REFERENCIAS [1]

Andrew J. Viterbi, Jim K. Omura, Principles of Digital Communication and Coding, Mc. Graw Hill Series in Electrical Engineering. 1979.

[2]

Wayne Tomasi, Sistemas de

[3]

Samuel C. Yang, CDMA RF System Engineering, Artech House, 1998.

[4]

Diplomado en Telecomunicaciones. Módulo I Telefonía, Alcatel.

[5]

Roger L. Freeman, Ingeniería de Sistemas de Telecomunicaciones (Diseño de Redes Digitales y Analógicas), Limusa Noriega.

[6]

Andrew J. Viterbi, Ephraim Zehavi “Performance of Power Controlled Wideband Terrestrial Digital Communication”, 41, No. 4. 1993 IEEE.

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Comunicaciones Electrónicas Prentice Hall, cuarta edición 2003.

G Leija-Hernández et al.: Análisis de Desempeño de la Codif. Convolucional en Sist. de Com. CDMA [7]

Leon W. Couch II, Sistemas de Comunicaciones Digitales y Analógicos. Noriega editors, 1998.

[8]

Qiang Shen, Power Assignment in CDMA Personal Systems With Integrated Voice/data Traffic, 1996.

[9]

Andy Bateman, Digital Communications Design of the Real World, México: Marcombo, 2003.

Diciembre, 2009

[10] L. Alejandro Iturri, Luis Maldonado Alcalá, Gabriela Leija Hernández, “Parámetros de Desempeño en Sistemas de Comunicaciones CDMA de Banda Ancha”, 2do. Congreso Internacional de Sistemas Computacionales y Electrónicos, Septiembre 2-5, 2008, México D.F.

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